01MAA3:Kapitola14: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(důkaz věty o extrémech opraven podle Vrány) |
|||
Řádka 43: | Řádka 43: | ||
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní). | \item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní). | ||
− | \item Je-li | + | \item Je-li $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum. |
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní. | \item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní. | ||
− | \item Je-li | + | \item Je-li $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum. |
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém. | \item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Řádka 67: | Řádka 67: | ||
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0 | \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0 | ||
\] | \] | ||
− | \item | + | \item $f''(x)>0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že |
− | + | $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)>0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální | |
− | + | minimum | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum | + | |
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec | \item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec | ||
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že | h)-f(x_0)\le 0$, platí, že | ||
Řádka 82: | Řádka 75: | ||
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0 | \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0 | ||
\] | \] | ||
− | \item | + | \item $f''(x)<0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že |
+ | $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)<0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální | ||
+ | maximum | ||
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a | \item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a | ||
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného | $\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného |
Verze z 19. 2. 2011, 13:51
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 09:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 22. 2. 2016 | 00:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 14:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 22:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 19:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 22:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 13:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 18:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 10:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 14:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Lokální extrémy} \index{lokální maximum} \index{lokální minimum} \begin{define} Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když \[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{ resp.}\] \[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\] \end{define} \begin{remark} Extrém může mít pouze reálná funkce. \end{remark} \index{ostré lokální maximum} \index{ostré lokální minimum} \begin{define} Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když \[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\] \[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\] \end{define} \begin{define} Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$. \end{define} \begin{theorem} Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak $x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$. \end{theorem} \begin{define} Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme, že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní. Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme, že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní. \end{define} \begin{theorem} Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$. \begin{enumerate}[(I)] \item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní). \item Je-li $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum. \item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní. \item Je-li $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum. \item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém. \end{enumerate} \begin{proof} \[ f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec h)\norm{\vec h}^2 \] \[ \begin{split} f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}= \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)- \omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2} \end{split} \] \begin{enumerate}[(I)] \item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že \[ \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0 \] \item $f''(x)>0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)>0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum \item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)\le 0$, platí, že \[ \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0 \] \item $f''(x)<0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)<0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální maximum \item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a $\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě $x_0$ lokální extrém. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem}