Verze z 1. 8. 2010, 11:02
Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Diferenciální formy}
\begin{define}
{\bf Diferenciální formou} (stupně jedna) rozumíme každé zobrazení
$\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$.
\[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)e_i^\#\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Součet diferenciálních forem:
$(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)(x)=\omega(x)+\zeta(x)$.
\item Násobení číslem:
$(t\boldsymbol\omega)(x)=t\omega(x)$.
\item Součin se skalární funkcí:
$(f\boldsymbol\omega)(x)=f(x)\omega(x)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Je-li $f$ diferencovatelná funkce (na celém definičním oboru)
$\R^n\mapsto\R$, pak
\[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#.\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\d$ je cosi jako divergence, rotace aj. Příkladem diferenciální
formy je derivace.
\item Buď
%\[a(x)=\sum_{i=1}^n a_i x^i,\quad a(x)=a^\#\vec x,\quad l'(x)=a^\#\]
\[\chi^i(x)=x^i=e_i^\#\vec x,\quad \d\chi^i(x)=e_i^\#\]
\[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)e_i^\#=
\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)=
\left(\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\right)(x)\]
\[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\]
\item $xy\d x+y\d y$ je formálně blbost --- správně je
$\omega_1(x,y)=xy$, $\omega_2(x,y)=y$,
$\boldsymbol\omega=\boldsymbol\omega_1\d x+\boldsymbol\omega_2\d y$
nebo $\omega(x,y)=xy e_1^\#+y e_2^\#$.
\item
\[\d f(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)e_i^\#\]
\[\d f=\sum_{i=1}^n f_i\d x^i\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá {\bf exaktní},
existuje-li reálná funkce $f$ taková, že $\boldsymbol\omega=\d f$. Funkce $f$ je potom {\bf primitivní funkce}.
\end{define}
\begin{define}
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě
když $\boldsymbol\omega_i$ jsou třídy $\c{q}$ pro každé $i\in\n$.
\end{define}
\begin{remark}
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$,
$f\in\c{2}$, $\boldsymbol\omega_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$. Pak
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}=
\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}.\]
Ve fyzice tomu odpovídá $\rot f=0$, tj. potenciální pole.
\end{remark}
\begin{define}
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ taková, že
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}\quad
\forall i,j\in\n,\]
se nazývá {\bf uzavřená}.
\end{define}
\begin{remark}
Exaktní forma třídy $\c{1}$ je uzavřená. Není-li při vhodné třídě
forma uzavřená, není exaktní (neexistuje primitivní funkce).
\end{remark}
\begin{example}
\[\omega(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+\frac{x}{x^2+y^2}\d y\]
\[
\frac{\pd\omega_1}{\pd y}=-\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2},\quad
\frac{\pd\omega_2}{\pd x}=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2},
\]
takže $\omega$ je uzavřená.
\[
\phi(x,y)=
\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y \ge 0$}\\
-\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y < 0$}
\end{cases}
\]
\[
\frac{\pd\phi}{\pd x}=-\frac{\abs{y}}{x^2+y^2}\ \forall x,y,\quad
\frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2},
\]
\[P_\pi=\{(x,0)|x\le 0\}\]
\[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\]
Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit
$\boldsymbol\omega=\d f$ na $\R^2\sm\{(0,0)\}$; $\phi'(x,y)=f'(x,y)$
na oblasti $\R^2\sm P_\pi$. Liší se o~konstantu: $f=\phi+C$ a to je
spor kvůli skoku na $P_\pi$. $f$ musí být spojitá, ale $\phi$ není.
Jestliže je množina jednoduše souvislá (tj. množina bez děr), pak je
uzavřenost postačující podmínka. (omezená množina je jednoduše
souvislá, právě když ona i~její doplněk jsou souvislé)
\end{example}