01MAA3:Kapitola11: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Poznámka k větě 10.9 a k jejímu důkazu.) |
(label pro následující editaci) |
||
Řádka 75: | Řádka 75: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
+ | \label{derivace z tělesa} | ||
Buď $\phi:T \to X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru, | Buď $\phi:T \to X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru, | ||
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li | $t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li |
Verze z 19. 1. 2017, 11:46
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 12:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 08:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 16:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 21. 2. 2016 | 23:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 13:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 17:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 21:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 21:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 10:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 17:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 09:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 13:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Afinní prostory} \index{afinní prostor} \begin{define} \label{affine} Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď definováno zobrazení $X\times X\to\VEC X$ takové, že platí: \begin{enumerate}[(i)] \setlength{\itemsep}{4pt} \item $\left( \forall x,y,z\in X\right) \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $. \item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$ bijekce. \end{enumerate} Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem nad $T$}. Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}. \index{přidružený lineární prostor} \index{volný vektor} $\VEC X$ nazýváme {\bf přidruženým lineárním prostorem} a jeho prvky se nazývají {\bf volné vektory}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1). \item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor. \item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$ takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}. \item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá: \[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\] \item Při volbě $z=x$ dostáváme: \[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies \vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\] \item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$. \item \[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k= \underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\] \[ \begin{split} 0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)= \vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\ &=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k, \end{split} \] tedy \[ \vec k=\vecc{z-y}, \] takže rovnost platí. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální, eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém lineárním prostoru. \end{define} \index{afinní zobrazení} \index{přidružené lineární zobrazení} \begin{define} Zobrazení $a:X\to Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje lineární zobrazení $L$ z $\VEC X$ do $\VEC Y$ takové, že \[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\] $L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Afinní zobrazení mezi normovanými afinními prostory je spojité právě tehdy, když je $L$ spojité, tj. $L\in \L(\VEC X,\VEC Y)$. (Věty \ref{Spojitost lin. zobr. kon. dom.} a \ref{Spojitost lin. zobr.} říkají, že to pro konečnou dimenzi platí vždy.) Zde je rozdíl oproti LA, kde se spojitost nezkoumala. \item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{derivace z tělesa} Buď $\phi:T \to X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru, $t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li \[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0)) \in \VEC X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji $\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$ \end{define} \begin{remark} Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!) \end{remark} \index{směr} \begin{define} Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor: $\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$. \end{define} \index{derivace ve směru} \begin{define}[G\^ateaux] Buď $f: X \to Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme $\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$. \end{define} \begin{remark} I derivace ve směru je vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{Y}$. \end{remark} \begin{example} \[f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\ 1 & (x,y)=(0,0) \end{cases} \] \[ \vec v=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\\sin\vartheta\end{pmatrix}\quad\vartheta\in\left( -\pi,\pi\right] \] \[ \phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))= f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)= \sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0 \] \[ \phi(0)=1 \] $f$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$, tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$. \end{example} \index{souřadný systém} \begin{define} Buď $E$ prostor dimenze $n \in \N$. Pak $(n+1)$-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$, právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $E$. \end{define} \index{parciální derivace} \begin{define} Buď $f: X \to Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ normální souřadný systém ($\forall i \in \hat n \; \norm{\vec e_i} = 1$) na $X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě $x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item \[\frac{\pd}{\pd w}\left( \frac{\pd f}{\pd v} \right)(x_0)= \left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0) =f_{\vec v\vec w}(x_0) \] \item \[ f_i(x_0) \equiv \frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0) \] \item Vránovo značení parciálních derivací $f_{\vec{v}}$ popř. $f_i$ je přejato z matematické fyziky (viz TEF2) a je v souladu s tím, že derivace je kovariantní tenzor (indexy dole). \end{enumerate} \end{remark} \begin{example} \item \[ f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} \] Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě $(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace v~$(0,0)$ ale existují: \[ \phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta} {\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0 \] \[ \phi(0)=0 \] \[ \phi'(0)=\lim_{t\to 0} \frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}= \begin{cases} 0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\ \displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak} \end{cases} \] \end{example} \begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}] Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f: X \to \mathbb{R}$ definované na kouli $B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný systém na $X$, a nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in B(x_0,r)$ tak, že \[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\] kde \[ x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n) \] \begin{proof} Nejdříve předpokládejme \[ \begin{split} y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\ y_0&=x_0\\ y_n&=x\\ \end{split} \] pak \[ \begin{split} f(x)-f(x_0) & = f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\ & =\sum_{i=1}^n\left( f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)- f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\ &=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i} f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i). \end{split} \] \uv {Vynechaná} proměnná je nezávislá proměnná, tj. $f$ je funkcí vynechané proměnné. Můžeme použít Lagrangeovu větu, protože $\norm{y_i-x_0} \leq \norm{x-x_0}$ spolu s předpokladem existence parciálních derivací uvnitř $B(x_0,r)$ zajišťuje její předpoklady. (Využíváme toho, že v metrice indukované normou je koule konvexní.) \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ představuje standardní skalární součin; proto je třeba předpokládat Eukleidovský prostor. Abychom mohli zavést derivaci na obecnějších prostorech, je třeba pracovat s obecným skalárním součinem. K tomu nám v příští kapitole pomůže Rieszova věta a abstraktnější zavedení derivace. \item Využíváme reálnost funkce, věta neplatí pro komplexní funkce. \end{enumerate} \end{remark}