01RMF:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 10: | Řádka 10: | ||
Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. | Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. | ||
Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce. | Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce. | ||
− | \begine{define} | + | \begine{define} |
Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že | Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že | ||
pro $f\in L^1$ definujeme | pro $f\in L^1$ definujeme | ||
$$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$ | $$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$ | ||
− | \end{define} | + | \end{define} |
\begin{remark} | \begin{remark} |
Verze z 9. 11. 2016, 23:02
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Integrální transformace} Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě. V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem. Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí. \section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí} \subsection{Motivace} Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru. Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce. \begine{define} Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že pro $f\in L^1$ definujeme $$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$ \end{define} \begin{remark} V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí. \footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.} \begin{enumerate} \item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$} \begin{proof} Pro dokázání toto tvrzení stačí vyjít z definice: $$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq \displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\i x\cdot \xi} \right\vert}{=1} \left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$ Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$. \end{proof} \item \end{enumerate} \end{remark}