Verze z 22. 5. 2016, 17:01

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2Priklady}
\section{Rozvoj funkce do mocninné řady}
 
\subsection*{\fbox{Rozcvička}} 
 
\begin{itemize}
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = e^{-x}  
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n!}$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = e^{ax}  
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!}x^n $}
 
\end{itemize}
 
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
\begin{enumerate}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \cosh x  
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $}
 
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \cos{ax}  
\end{priklad}
 
\res{$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n a^{2n}}{(2n)!}x^{2n}$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $-2$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{1-2x}
\end{priklad}
 
\res{$\frac{1}{5} \sum_{n=0}^{+\infty} \left ( \frac{2}{5} \right )^n(x+2)^n $}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $\pi$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \sin x
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}(x-\pi)^{2n+1}; x \in (-\infty, +\infty) $}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $1$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \sin{\frac{1}{2}\pi x};
\end{priklad}
 
\res{$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!} \left ( \frac{\pi}{2}\right)^{2n}(x-1)^{2n}$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $1$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \ln(1+2x);
\end{priklad}
 
\res{$f(x) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \left ( \frac{2}{3} \right )^n(x-1)^n$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $2$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = x \ln{x}
\end{priklad}
 
\res{$2 \ln 2 + (1+\ln 2)(x-2) + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n(n-1)2^{n-1}}(x-2)^n$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = x \sin x 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+2}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $-2$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{(1-2x)^3}
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty}(n+2)(n+1)\frac{2^{n-1}}{5^{n+3}}(x+2)^n$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $\pi$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
f(x) = \cos^2 x
\end{priklad}
 
\res{$1 + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n 2 ^{2n-1}}{(2n)!}(x-\pi)^{2n}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\ln(1-x^2) 
\end{priklad}
 
\res{$-\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{n}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
x^2 \sin x
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+3}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
e^{3x^3} 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3^n}{n!}x^{3n}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\frac{2x}{1-x^2} 
\end{priklad}
 
\res{$2 \sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\frac{1}{1-x} + e ^x 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!+1}{n!}x^n$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
x \ln(1+x^3)
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x ^{3n+1}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
x^3 e ^{-x^3}  
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!}x^{3n+3}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\sqrt{1-x^2}
\end{priklad}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\frac{1}{\sqrt{1+x}}
\end{priklad}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\frac{1}{\sqrt[3]{1+x}}
\end{priklad}
\res{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n n!}\prod_{k=1}^n (3k-2) x^n}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\sqrt[4]{1-x}
\end{priklad}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
x e^{5x^2} 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{5^n}{n!}x^{2n+1}$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\sqrt{x}\,\arctg{\sqrt{x}}  
\end{priklad}
 
\res{$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{n+1}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
(x+x^2)\sin{x^2} 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(x^{4n+3} + x^{4n+4})$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
x\,\arctg{x} - \frac12 \ln (x^2+1) 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n(2n-1)}x^{2n}$}
 
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\arctg x \left ( \frac{2-2x}{1+4x} \right ) 
\end{priklad}
 
\res{$\arctg x + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}(2x)^{2n+1}$}
 
 
\item Do mocninné řady se středem v bodě $0$ rozviňte funkci 
\begin{priklad}
\frac{1}{4} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right ) + \frac{1}{2} \arctg x 
\end{priklad}
 
\res{$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$}
 
\end{enumerate}