02OKS:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02OKS} \section{Úvod} \label{sec:Uvod} V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice…“) |
m |
||
Řádka 4: | Řádka 4: | ||
\label{sec:Uvod} | \label{sec:Uvod} | ||
− | V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice, jejich shluky či částice podléhající vlivu okolního silového pole. Celý systém částice spolu s působícím polem šlo přitom považovat za izolovaný, nevyměňující si hmotu či energii s~nějakým jiným systémem. Ve skutečnosti samozřejmě žádný takový, dokonale izolovaný, systém neexistuje. Pojem izolovaného systému slouží spíše jako idealizace skutečnosti, se kterou lze rozumně počítat a ke které se reálně můžeme pouze více či méně přiblížit. U dostatečně izolovaných systémů bude tato aproximace | + | V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice, jejich shluky či částice podléhající vlivu okolního silového pole. Celý systém částice spolu s působícím polem šlo přitom považovat za izolovaný, nevyměňující si hmotu či energii s~nějakým jiným systémem. Ve skutečnosti samozřejmě žádný takový, dokonale izolovaný, systém neexistuje. Pojem izolovaného systému slouží spíše jako idealizace skutečnosti, se kterou lze rozumně počítat a ke které se reálně můžeme pouze více či méně přiblížit. U dostatečně izolovaných systémů bude tato aproximace použitelná. Pro vývoj takovýchto systémů se v úvodních kurzech odvozovali různé rovnice -- Schrödingerova rovnice, Klein-Gordonova rovnice, Diracova rovnice atd. Například v případě Schrödingerovy rovnice jsme mohli vývoj systému popsat pomocí evolučního operátoru, unitárního operátoru působícího na stav sys\-té\-mu. Skutečnost, že daný operátor je unitární, zapříčiňuje časovou reverzibilitu vývoje daného systému. Během evoluce se tedy informace o stavu systému neztrácí a mezi každými dvěma časovými okamžiky existuje invertibilní operátor převádějící stav systému v jednom okamžiku na stav v okamžiku druhém. |
Co ale když vývoj zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlivu okolí? Pod \emph{okolím} daného systému rozumíme nějaký jiný systém, jehož vývoj nejsme schopni plně zachytit a jeví se nám jako narušitel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně interaguje. V reálném světě může jít například o zbytkové magnetické pole, které nevhodně působí na zkoumaný spin a jehož vliv přitom není experimentátor s to potlačit ani nijak kontrolovaně ovládat. Podobným narušitelem mohou být i částice, které se uvolňují z měřící aparatury a interagují se zkoumanou částicí. Příkladů by šlo samozřejmě najít mnoho a to nejen těch z laboratorního prostředí. Vývoj takovéhoto systému vystaveného vlivům prostředí již nelze popsat jednoduše pomocí evolučního operátoru. Časový vývoj již není obecně reverzibilní, část informace o počátečním stavu se vytrácí do okolí. Pokud máme na začátku například vzorek částic se spinem mířícím ve stejném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spiny vlivem okolních polí a okolních interagujících částic namířeny zcela nahodile. Informace uložená na počátku, spiny namířené stejným směrem, byla vlivem okolí odnešena ze zkoumaného systému. Tato informace o počátečním rozložení spinů je sice stále přítomna, je ale ukryta ve stavu okolí, s~nímž nelze dobře manipulovat a jenž nelze dobře měřit. | Co ale když vývoj zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlivu okolí? Pod \emph{okolím} daného systému rozumíme nějaký jiný systém, jehož vývoj nejsme schopni plně zachytit a jeví se nám jako narušitel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně interaguje. V reálném světě může jít například o zbytkové magnetické pole, které nevhodně působí na zkoumaný spin a jehož vliv přitom není experimentátor s to potlačit ani nijak kontrolovaně ovládat. Podobným narušitelem mohou být i částice, které se uvolňují z měřící aparatury a interagují se zkoumanou částicí. Příkladů by šlo samozřejmě najít mnoho a to nejen těch z laboratorního prostředí. Vývoj takovéhoto systému vystaveného vlivům prostředí již nelze popsat jednoduše pomocí evolučního operátoru. Časový vývoj již není obecně reverzibilní, část informace o počátečním stavu se vytrácí do okolí. Pokud máme na začátku například vzorek částic se spinem mířícím ve stejném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spiny vlivem okolních polí a okolních interagujících částic namířeny zcela nahodile. Informace uložená na počátku, spiny namířené stejným směrem, byla vlivem okolí odnešena ze zkoumaného systému. Tato informace o počátečním rozložení spinů je sice stále přítomna, je ale ukryta ve stavu okolí, s~nímž nelze dobře manipulovat a jenž nelze dobře měřit. | ||
Řádka 19: | Řádka 19: | ||
\ii \der{\ket{\psi(t)}} = H \ket{\psi(t)} \quad (\hbar = 1). | \ii \der{\ket{\psi(t)}} = H \ket{\psi(t)} \quad (\hbar = 1). | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Předpokládáme-li nezávislost Hamiltoniánu na čase, můžeme zavést evoluční operátor ve tvaru $U(t_2,t_1) = U(t_2 - t_1)$. Časový vývoj systému, jehož stav v čase $t$ | + | Předpokládáme-li nezávislost Hamiltoniánu na čase, můžeme zavést evoluční operátor ve tvaru $U(t_2,t_1) = U(t_2 - t_1)$. Časový vývoj systému, jehož stav v čase $t$ označíme $\ket{\psi(t)}$, pak můžeme vyjádřit pomocí evolučního operátoru v kompaktním tvaru $\ket{\psi(t_2)} = U(t_2,t_1) \ket{\psi(t_1)}$. Norma stavového vektoru přitom zůstává zachována, $\der{} \braketSame{\psi(t)} = 0$, jak se lze snadno přesvědčit z rovnice výše. Žádná informace o stavu systému tedy neproudí pryč. Z čistého stavu dostaneme opět čistý stav (pro podrobnosti viz později). Navíc evoluční operátory $U(t)$ tvořící jednoparametrickou grupu transformací popisují časově reverzibilní vývoj. Jak uvidíme, u otevřených systémů žádná z těchto věcí už nebude pravda. |
Protože $H \adj{H} = \adj{H} H$, je Hamiltonián diagonalizovatelný v ortonormální bázi svých vlastních vektorů. Opět, v případě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoje obecně diagonalizovat nepůjde. | Protože $H \adj{H} = \adj{H} H$, je Hamiltonián diagonalizovatelný v ortonormální bázi svých vlastních vektorů. Opět, v případě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoje obecně diagonalizovat nepůjde. | ||
V následující kapitole probereme ze všeho nejdřív způsob, jakým popisovat stav kvantového systému. Jednou z dalších odlišností je totiž fakt, že při popisu otevřeného systému se již nelze spolehnout na vektory z Hilbertova prostoru coby nositele informací o daném stavu. | V následující kapitole probereme ze všeho nejdřív způsob, jakým popisovat stav kvantového systému. Jednou z dalších odlišností je totiž fakt, že při popisu otevřeného systému se již nelze spolehnout na vektory z Hilbertova prostoru coby nositele informací o daném stavu. |
Aktuální verze z 12. 8. 2017, 16:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02OKS
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02OKS | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:16 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:52 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:04 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvodní stránka | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:06 | titlepage.tex | |
Kapitola2 | editovat | Přehled značení | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:07 | Prehled_znaceni.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod | Maresj23 | 12. 8. 2017 | 16:05 | Uvod.tex | |
Kapitola4 | editovat | Operátor hustoty | Gajaleks | 15. 2. 2023 | 11:13 | Operator_hustoty.tex | |
Kapitola5 | editovat | Matematický aparát | Maresj23 | 1. 10. 2017 | 07:30 | Matematicky_aparat.tex | |
Kapitola6 | editovat | vonNeumannova entropie | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:08 | vonNeumannova_entropie.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kvantové měření | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:09 | Kvantove_mereni.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kvantové operace | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:09 | Kvantove_operace.tex | |
Kapitola9 | editovat | Změny kvantového systému | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:09 | Zmeny_kvantoveho_systemu.tex | |
Kapitola10 | editovat | Dovětek | Kyseljar | 5. 9. 2015 | 11:09 | Dovetek.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02OKS} \section{Úvod} \label{sec:Uvod} V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice, jejich shluky či částice podléhající vlivu okolního silového pole. Celý systém částice spolu s působícím polem šlo přitom považovat za izolovaný, nevyměňující si hmotu či energii s~nějakým jiným systémem. Ve skutečnosti samozřejmě žádný takový, dokonale izolovaný, systém neexistuje. Pojem izolovaného systému slouží spíše jako idealizace skutečnosti, se kterou lze rozumně počítat a ke které se reálně můžeme pouze více či méně přiblížit. U dostatečně izolovaných systémů bude tato aproximace použitelná. Pro vývoj takovýchto systémů se v úvodních kurzech odvozovali různé rovnice -- Schrödingerova rovnice, Klein-Gordonova rovnice, Diracova rovnice atd. Například v případě Schrödingerovy rovnice jsme mohli vývoj systému popsat pomocí evolučního operátoru, unitárního operátoru působícího na stav sys\-té\-mu. Skutečnost, že daný operátor je unitární, zapříčiňuje časovou reverzibilitu vývoje daného systému. Během evoluce se tedy informace o stavu systému neztrácí a mezi každými dvěma časovými okamžiky existuje invertibilní operátor převádějící stav systému v jednom okamžiku na stav v okamžiku druhém. Co ale když vývoj zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlivu okolí? Pod \emph{okolím} daného systému rozumíme nějaký jiný systém, jehož vývoj nejsme schopni plně zachytit a jeví se nám jako narušitel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně interaguje. V reálném světě může jít například o zbytkové magnetické pole, které nevhodně působí na zkoumaný spin a jehož vliv přitom není experimentátor s to potlačit ani nijak kontrolovaně ovládat. Podobným narušitelem mohou být i částice, které se uvolňují z měřící aparatury a interagují se zkoumanou částicí. Příkladů by šlo samozřejmě najít mnoho a to nejen těch z laboratorního prostředí. Vývoj takovéhoto systému vystaveného vlivům prostředí již nelze popsat jednoduše pomocí evolučního operátoru. Časový vývoj již není obecně reverzibilní, část informace o počátečním stavu se vytrácí do okolí. Pokud máme na začátku například vzorek částic se spinem mířícím ve stejném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spiny vlivem okolních polí a okolních interagujících částic namířeny zcela nahodile. Informace uložená na počátku, spiny namířené stejným směrem, byla vlivem okolí odnešena ze zkoumaného systému. Tato informace o počátečním rozložení spinů je sice stále přítomna, je ale ukryta ve stavu okolí, s~nímž nelze dobře manipulovat a jenž nelze dobře měřit. Právě popsaným systémům, které jsou vystaveny všetečným a neodstranitelným vlivům okolí, budeme říkat \emph{otevřené (kvantové) systémy}. Jejich časový vývoj budeme označovat jako \emph{vývoj otevřeného systému}, \emph{otevřený vývoj}, \emph{otevřená evoluce} či \emph{otevřená dynamika}. Pokud budeme uvažovat složený systém skládající se ze studovaného systému a jeho okolí, nazveme tento \emph{složený systém}, \emph{celý systém} či prostě jen \emph{systém}. \emph{Studovaný systém} budeme nazývat též \emph{zkoumaný systém} a konečně \emph{okolí} budeme označovat též jako \emph{prostředí}. Vedle okolí se při studiu kvantových systémů uvažují i pomocné systémy, které nelze označit za okolí a které jsou do úlohy zavedeny více méně uměle, aby zjednodušili manipulaci se zkoumaným systémem. Pro systém takto přidaný budeme užívat buď název \emph{pomocný systém} či anglický název \emph{ancilla}. Na rozdíl od tradičních kurzů o kvantové fyzice provedeme ještě jednu změnu. Zatímco dosud se pracovalo s kvantovými systémy o nekonečněrozměrných stavových prostorech, jakým byl například prostor vlnových funkcí volné částice, zde se omezíme na Hilbertovy prostory stavů, které mají dimenzi \emph{konečnou}. Operátory řídící vývoj otevřených systémů tak lze reprezentovat pomocí matic, což budeme i v mnoha důkazech využívat. Nejtypičtějším příkladem kvantového systému s konečněrozměrným stavovým prostorem je právě částice se spinem, kde studujeme pouze spinové stupně volnosti. Dalším příkladem může být polarizace fotonů, jejíž stavový prostor je dvourozměrný. Konečněrozměrné Hilbertovy prostory můžeme obdržet i v případě, kdy uvažujeme elektrony vázané v orbitalech atomů. Pokud předpokládáme, že excitace elektronu na příliš vysoké energetické hladiny jsou prakticky nemožné, je stavový prostor takovýchto elektronů, alespoň co se jejich energie týče, též konečněrozměrný. \subsection{Vývoj v uzavřeném kvantovém systému} \label{sec:Vyvoj_v_uzavrenem_kvantovem_systemu} Jak již bylo předesláno v úvodu, vývoj otevřených systémů se od vývoje těch uzavřených liší. Připomeňme si v krátkosti některé z výsledků kvantové teorie pro uzavřené systémy. Tyto výsledky pak budeme moci konfrontovat s výsledky získanými pro otevřené systémy. Vývoj v uzavřeném systému je generován odpovídajícím Hamiltoniánem $\ham$ prostřednictvím Schrödingerovy rovnice \begin{equation} \ii \der{\ket{\psi(t)}} = H \ket{\psi(t)} \quad (\hbar = 1). \end{equation} Předpokládáme-li nezávislost Hamiltoniánu na čase, můžeme zavést evoluční operátor ve tvaru $U(t_2,t_1) = U(t_2 - t_1)$. Časový vývoj systému, jehož stav v čase $t$ označíme $\ket{\psi(t)}$, pak můžeme vyjádřit pomocí evolučního operátoru v kompaktním tvaru $\ket{\psi(t_2)} = U(t_2,t_1) \ket{\psi(t_1)}$. Norma stavového vektoru přitom zůstává zachována, $\der{} \braketSame{\psi(t)} = 0$, jak se lze snadno přesvědčit z rovnice výše. Žádná informace o stavu systému tedy neproudí pryč. Z čistého stavu dostaneme opět čistý stav (pro podrobnosti viz později). Navíc evoluční operátory $U(t)$ tvořící jednoparametrickou grupu transformací popisují časově reverzibilní vývoj. Jak uvidíme, u otevřených systémů žádná z těchto věcí už nebude pravda. Protože $H \adj{H} = \adj{H} H$, je Hamiltonián diagonalizovatelný v ortonormální bázi svých vlastních vektorů. Opět, v případě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoje obecně diagonalizovat nepůjde. V následující kapitole probereme ze všeho nejdřív způsob, jakým popisovat stav kvantového systému. Jednou z dalších odlišností je totiž fakt, že při popisu otevřeného systému se již nelze spolehnout na vektory z Hilbertova prostoru coby nositele informací o daném stavu.