01MAA3:Kapitola12: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (překlep v důkazu 12.10 - II) |
m (Doplnění drobností.) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA3} | %\wikiskriptum{01MAA3} | ||
− | \section{ | + | \section{Totální derivace} |
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 22: | Řádka 22: | ||
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
\item $f$ je spojité. | \item $f$ je spojité. | ||
− | \item $f$ je spojité v~$\ | + | \item $f$ je spojité v~$\vec o$. |
\item $f$ je omezené, tj. | \item $f$ je omezené, tj. | ||
$(\exists k)(\forall\vec x\in\vec X) | $(\exists k)(\forall\vec x\in\vec X) | ||
Řádka 66: | Řádka 66: | ||
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x}) | k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x}) | ||
\} | \} | ||
− | =\sup_{\vec x\in\vec X\sm\ | + | =\sup_{\vec x\in\vec X\sm\vec o} |
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}. | \frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}. | ||
\] | \] | ||
Řádka 73: | Řádka 73: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buďte $\vec X$, $\vec Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem | Buďte $\vec X$, $\vec Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem | ||
− | $\L(\vec X,\vec Y)$ budeme rozumět lineární prostor všech lineárních | + | $\L(\vec X,\vec Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních |
− | spojitých zobrazení $\vec X\mapsto \vec Y$ s~normou z~předchozí | + | {\bf spojitých} zobrazení $\vec X\mapsto \vec Y$ s~normou z~předchozí |
definice. | definice. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 85: | Řádka 85: | ||
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left( | \lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left( | ||
f(x)-f(x_0)-L(x-x_0) | f(x)-f(x_0)-L(x-x_0) | ||
− | \right)=\ | + | \right)=\vec o. |
\] | \] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 98: | Řádka 98: | ||
\[ | \[ | ||
f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad | f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad | ||
− | \lim_{x\to x_0}\omega(x)=\ | + | \lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o |
\] | \] | ||
\item | \item | ||
Řádka 116: | Řádka 116: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$ | Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$ | ||
− | z~předchozí definice nazýváme {\bf derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme | + | z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme |
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] | \[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 122: | Řádka 122: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s derivací parciální. | ||
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}! | \item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}! | ||
+ | \item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve fyzice platí následující rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 139: | Řádka 141: | ||
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)= | \[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)= | ||
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\] | f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\] | ||
− | \[\frac{\pd f}{\pd | + | \[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)= |
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\] | f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\] | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 155: | Řádka 157: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak | Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak | ||
− | \[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\ | + | \[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\vec o.\] |
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu | Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu | ||
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$. | uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$. | ||
Řádka 218: | Řádka 220: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná | Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná | ||
− | v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty | + | v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty $(\exists_1 \vec k) (\forall \vec h) (f'(x_0)\vec h=\la \vec k,\vec h \ra $) nazýváme {\bf gradientem} |
− | h) | + | |
funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$. | funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 226: | Řádka 227: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item $(\vec k,\vec{e_i} | + | \item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)! |
+ | \item Z fyziky ($\R^3$) již známe symbol nabla, tj. $\grad f\equiv \nabla f$ | ||
+ | \item Vzorec na výpočet parciální derivace: $f'(x_0)\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, \\ tj. $f'(x_0)\vec{e_i}$ značí skalární součin. | ||
\item | \item | ||
\[ | \[ | ||
Řádka 235: | Řádka 238: | ||
f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}= | f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}= | ||
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\ | \frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\ | ||
− | & = \frac{ | + | & = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}= |
\norm{\grad f(x_0)} | \norm{\grad f(x_0)} | ||
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | Z~předchozího a za použití Schwarzovy nerovnosti vyplývá: | + | Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá: |
\[ | \[ | ||
− | |f_v(x_0)|=|f'(x_0)\vec v|=| | + | |f_v(x_0)|=|f'(x_0)\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0), |
\] | \] | ||
− | tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. | + | tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4). |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 277: | Řádka 280: | ||
\begin{theorem}[o přírůstku] | \begin{theorem}[o přírůstku] | ||
− | Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\ | + | Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na |
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že | $(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že | ||
$f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$. | $f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$. | ||
Řádka 290: | Řádka 293: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{i t}$ na $ | + | Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{i t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=ie^{i \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni} | \begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni} | ||
− | Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\ | + | Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na |
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že | $(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že | ||
\[ | \[ | ||
Řádka 327: | Řádka 330: | ||
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$} | \index{funkce homogenní stupně $\alpha$} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru E do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \setminus \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$ | + | Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \setminus \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$ |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 377: | Řádka 380: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Buď $f:X\mapsto Y$, $X$ | + | Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na |
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom | $\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom | ||
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné. | $f$ je v~$x_0$ diferencovatelné. | ||
Řádka 405: | Řádka 408: | ||
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost. | Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | \|(g'(x)-g'(x_0))\vec h \|&=\|(g'(x)-g'(x_0))\sum | + | \begin{split} |
− | + | \|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\ | |
− | \end{ | + | = & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| |
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 447: | Řádka 452: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice. |
\[ | \[ | ||
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)= | F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)= | ||
Řádka 453: | Řádka 458: | ||
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0) | \sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0) | ||
\] | \] | ||
− | \item V~případě, že $m=r=n$, | + | \item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty. |
\[ | \[ | ||
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0) | \det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0) | ||
Řádka 481: | Řádka 486: | ||
\right)_{t=t_0} | \right)_{t=t_0} | ||
\] | \] | ||
+ | |||
+ | Značíme takto | ||
\[ | \[ | ||
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}= | \frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}= | ||
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot | \frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot | ||
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)} | \frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)} | ||
− | \] | + | \], |
− | $\J\! F:=\det F'$ | + | kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát |
\[ | \[ | ||
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0) | \J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0) | ||
− | \] | + | \]. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} |
Verze z 25. 8. 2013, 17:08
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 09:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 22. 2. 2016 | 00:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 14:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 22:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 19:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 22:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 13:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 18:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 10:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 14:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Totální derivace} \begin{theorem} Je-li $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ a $\dim\vec X<\infty$, potom $f$ je spojité. \begin{proof} \[ \norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}} \le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}} =\norm{\vec x-\vec y}K \] jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost, tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$). \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $f\in\L(\vec X,\vec Y)$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní: \begin{enumerate}[(I)] \item $f$ je spojité. \item $f$ je spojité v~$\vec o$. \item $f$ je omezené, tj. $(\exists k)(\forall\vec x\in\vec X) (\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$. \item $f$ je lipschitzovské, tj. $(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y} \le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$. \item $f$ je stejnoměrně spojité. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item $1\implies 2$: zřejmé. \item $2\implies 3$: Ze spojitosti $f$ vyplývá, že $(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\vec X) (\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$. Pro každý vektor $\vec x\in\vec X$ pak platí \[ \norm{ f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right) }\le 1, \] s~využitím linearity pak dostáváme \[ \norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}. \] \item $3\implies 4$: \[ \norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)} \le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}. \] \item $4\implies 5$: zřejmé. \item $5\implies 1$: zřejmé. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{norma lineárního zobrazení} \begin{define} Buď $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ omezené. Potom \[ \norm{f}=\inf\{ k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x}) \} =\sup_{\vec x\in\vec X\sm\vec o} \frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}. \] \end{define} \begin{define} Buďte $\vec X$, $\vec Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem $\L(\vec X,\vec Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních {\bf spojitých} zobrazení $\vec X\mapsto \vec Y$ s~normou z~předchozí definice. \end{define} \begin{define} Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru, $x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\vec X,\vec Y)$ takové, že platí \[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left( f(x)-f(x_0)-L(x-x_0) \right)=\vec o. \] \end{define} \index{diferencovatelnost v~bodě} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové $L\in\L(\vec X,\vec Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí: \[ f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad \lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o \] \item Derivace ve směru \[ L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)= \lim_{t\to 0}\frac1t\left( f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)- \omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h} \right)= \lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t} \] \label{poznamkaderivace} \end{enumerate} \end{remark} \index{derivace zobrazení} \begin{define} Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$ z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme \[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s derivací parciální. \item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}! \item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve fyzice platí následující rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité. \begin{proof} Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve směru. Platí, že \[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)= f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\] \[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)= f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\] \begin{proof} Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace \[ \lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\vec X,\vec Y)$ jeho přidružené lineární zobrazení. Pak $(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$. \begin{proof} Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak \[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\vec o.\] Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{1210} Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom \begin{enumerate}[(I)] \item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$, \item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$, \item \[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\] \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(I)] \item \begin{multline*} \abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\ =\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)} \end{multline*} \item \[ \begin{split} &\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\ &=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)- \quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\ &\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+ f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\ &\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\ &\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+ f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\ &\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot \abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,} \end{split} \] \item \[ \begin{split} &\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+ \frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\ &\le\frac1{g^2(x_0)g(x)} \abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\ &=\frac1{g^2(x_0)g(x)} \abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\ &\le\frac1{g^2(x_0)g(x)} \abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+ \abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\ &\le\frac1{g^2(x_0)g(x)} \abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+ \norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\ \end{split} \] Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to zřejmé). \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{gradient} \begin{define} Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty $(\exists_1 \vec k) (\forall \vec h) (f'(x_0)\vec h=\la \vec k,\vec h \ra $) nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)! \item Z fyziky ($\R^3$) již známe symbol nabla, tj. $\grad f\equiv \nabla f$ \item Vzorec na výpočet parciální derivace: $f'(x_0)\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, \\ tj. $f'(x_0)\vec{e_i}$ značí skalární součin. \item \[ \vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}} \] \[ \begin{split} f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}= \frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\ & = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}= \norm{\grad f(x_0)} \end{split} \] Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá: \[ |f_v(x_0)|=|f'(x_0)\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0), \] tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4). \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} \label{1212} Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$ \begin{proof} \[ \begin{split} \lim_{\tau\to 0}\left( \frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau} \right) & = \lim_{\tau\to 0}\left( \frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau} \right)=\\ & = \lim_{\tau\to 0}\left( \frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)- f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h) }{\tau} \right)+\\ &\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\ & = f'(x_0+t\vec h)\vec h \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$. \end{remark} \begin{theorem}[o přírůstku] Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na $(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že $f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$. \begin{proof} Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde $\xi\in(0,1)$. Potom \[f(x)-f(x_0)=f'(x_0+\xi\vec h)\vec h= f'(x_0+\xi(x-x_0))(x-x_0)=f'(y)(x-x_0).\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{i t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=ie^{i \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$. \end{remark} \begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni} Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na $(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že \[ \|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\| \] \begin{proof} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{1215} Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\Theta$ pro každé $x\in A$. Potom $f(x)=konst.$ \begin{proof} Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A|f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$, neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná. \begin{enumerate}[a)] \item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď $y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$. \item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená. \end{enumerate} $B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$. \end{proof} \end{theorem} \index{funkce homogenní stupně $\alpha$} \begin{define} Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \setminus \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$ \end{define} \begin{theorem} Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \setminus \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \setminus \{ x_0 \}$: \[ f'(x)(x-x_0)=\alpha f(x) \] \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 ; +\infty)$ do $\R$ předpisem \[ \varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{homogenita} t^\alpha f(x). \] Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí \[ \left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x). \] Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost \[ f'(x)(x - x_0) = \alpha f(x). \] \item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí \[ f'(y)(y - x_0) = \alpha f(y). \] Definujme na intervalu $(0 ; +\infty)$ zobrazení \[ \psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0)). \] Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 ; +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 ; +\infty)$ platí \[ \begin{split} \psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t(x-x_0)) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0) = \\ & = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t(x-x_0))t(x-x_0) - \alpha f(x_0+t(x-x_0)) \right) = 0 \end{split} \] Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu $(0 ; +\infty)$ a platí \[ \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0))=\psi (t) = \psi (1) = f(x). \] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na $\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom $f$ je v~$x_0$ diferencovatelné. \begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)] Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$, $\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí: \[ f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)= \sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+ \sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0) \] Potom \[ \lim_{x\to x_0}\omega(x)= \lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0)) \frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}} =0. \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} $\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$ $\exists f'$ $\Rightarrow$ $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$ \end{remark} \begin{theorem} Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost. \begin{proof} \[ \begin{split} \|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\ = & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \index{$\c{1}$ třída} \begin{define} Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$, tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé $i\in\widehat{\dim X}$ \end{define} \begin{theorem} Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě $t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí $F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$. \begin{proof} \[ \begin{split} &\frac{1}{\norm{t-t_0}} \norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\ &=\frac{1}{\norm{t-t_0}} \norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+ f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\ &\le\frac{1}{\norm{t-t_0}} \norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\ &\le\frac{1}{\norm{t-t_0}} \norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+ \norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\ &\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)} \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice. \[ F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)= \sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)= \sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0) \] \item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty. \[ \det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0) \] \[ \left( \begin{matrix} \frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\ \end{matrix} \right)_{x=x_0} \left( \begin{matrix} \frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\ \end{matrix} \right)_{t=t_0} \] Značíme takto \[ \frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}= \frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot \frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)} \], kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát \[ \J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0) \]. \end{enumerate} \end{remark}