01FA2:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrum uzavřeného operátoru} \begin{theorem}[Hilbertova identita] Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neo...) |
(Oprava chyb, přizpůsobení současné podobě přednášky) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01FA2} | %\wikiskriptum{01FA2} | ||
− | |||
\section{Spektrum uzavřeného operátoru} | \section{Spektrum uzavřeného operátoru} | ||
+ | |||
+ | Nejprve zopakujeme definici uzavřeného operátoru a definici spektra. | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Grafem operátoru $A\colon X\to Y$ nazýváme podprostor vektorového prostoru $X\oplus Y$ daný vztahem | ||
+ | \[\Gamma(A):=\{[x,Ax] \mid x\in\Dom A\}.\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Operátor $A$ označujeme jako uzavřený, když $\Gamma(A)$ je uzavřený v $X\oplus Y$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{tvrzeni} | ||
+ | Operátor $A$ je uzavřený, právě když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ platí | ||
+ | \[x_n\to x\wedge Ax_n\to y\implies x\in\Dom A\wedge Ax = y.\] | ||
+ | \end{tvrzeni} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Nechť $A$ je uzavřený a $A^{-1}$ existuje. Potom $A^{-1}$ je | ||
+ | uzavřený. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Operátor $A\colon X\mapsto Y$ je uzavíratelný (má uzávěr), právě když $\uz{\Gamma(A)}$ je grafem nějakého lineárního operátoru. Tento operátor pak značíme $\uz{A}$ a nazýváme uzávěr $A$. | ||
+ | Jestliže $A$ je uzavíratelný, pak existuje jeho nejmenší uzavřené rozšíření a je jím právě jeho uzávěr. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{tvrzeni} | ||
+ | Operátor $A$ lze uzavřít právě tehdy, když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ takovou, že $x_n\to 0$ a $Ax_n\to y$, platí $y=0$. K tomu, aby $x$ patřilo do definičního oboru $\uz{A}$ je nutné a stačí, aby existovala posloupnost $x_n\in\Dom A$ taková, že $x_n\to x$ a $A x_n$ konverguje, je-li to splněno, pak $Ax_n\to \uz{A}x$. | ||
+ | \end{tvrzeni} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[o uzavřeném grafu] | ||
+ | Nechť $A\colon\X\to\Y$ je uzavřený lineární operátor, $\X$ a $\Y$ jsou | ||
+ | Banachovy prostory. Potom jestliže $\Dom A=\X$, pak $A$ je omezený. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Podle předpokladů je $\Gamma(A)$ uzavřený podprostor v $\X\oplus\Y$, takže $\Gamma(A)$ je B-prostor s normou | ||
+ | $$\norm{[x,y]}_{\oplus} = \norm{x}_\X+\norm{y}_\Y.$$ | ||
+ | Zobrazení $S_1\colon \Gamma(A) \to\X$, $S_1([x,Ax]) = x$ je vzájemně | ||
+ | jednoznačné spojité zobrazení prostorů $\Gamma(A)$ a $\X$, tudíž podle věty o inverzním zobrazení je $S_1^{-1}$ spojité. | ||
+ | Podobně zavedeme spojité zobrazení $S_2\colon \Gamma(A) \mapsto\Y$, $S_2([x,Ax]) = Ax$. Složené zobrazení $S_2\circ S_1^{-1}$ je definováno na celém $\X$ a $\forall x \in\X$ platí $S_2( S_1^{-1}x) = Ax$ proto $A = S_2\circ S_1^{-1}$. Protože složení dvou spojitých zobrazení je spojité, je i $A$ spojité. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Součtem operátorů s různým definičním oborem budeme mít na mysli jejich součet na průniku definičních oborů, tedy $\Dom(A+B)=\Dom A\cap\Dom B$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Je-li $A$ uzavřený, je uzavřený také $A-\lambda I$ pro libovolné $\lambda\in\C$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buď $\X$ Banachův, $A\colon\Dom A\subset\X\to\X$ uzavřený operátor. O komplexním číslu $\lambda$ řekneme, že je prvkem \emph{rezolventní množiny} $\rho(A)$, je-li operátor $A-\lambda I$ bijekce $\Dom A$ na $\X$. V opačném případě řekneme, že je $\lambda$ prvkem spektra $\sigma(A):=\C\sm\rho(A)$. Spektrum operátoru dále rozdělíme na tři disjunktní množiny. Není-li $A-\lambda I$ prostý, tj. jedná-li se o vlastní číslo $A$, řekneme, že je prvkem \emph{bodového} spektra $\sigmap(A)$; je-li prostý, ale není surjektivní, zařadíme $\lambda$ buď do \emph{spojitého} spektra $\sigmac(A)$, je-li $\uz{\Ran(A-\lambda I)}=\X$, nebo do \emph{reziduálního} spektra $\sigmar(A)$, je-li i $\uz{\Ran(A-\lambda I)}\neq\X$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Pro prvky rezolventní množiny $\lambda\in\rho(A)$ platí, že inverze $(A-\lambda I)^{-1}$ je uzavřený všude definovaný operátor na Banachově prostoru. Podle věty o uzavřeném grafu to znamená, že je $(A-\lambda I)^{-1}$ omezený. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Na rezolventní množině uzavřeného operátoru $A$ definujeme tzv. \emph{rezolventní funkci} neboli \emph{rezolventu} $R_A\colon\rho(A)\to \B(\X)$ vztahem $R_A(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1}$. Je-li jasné, ke kterému operátoru rezolventa přísluší, značíme často $R_\lambda$ nebo $R(\lambda)$ místo $R_A(\lambda)$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $\X$ Banachův prostor nad $\C$, $A$ hustě definovaný uzavřený operátor na $\X$. Potom $B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})\subset\rho(A)$ a pro každé $\mu\in B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})$ je $R(\mu)=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof}\footnote{Fanoušci pana profesora Havlíčka mohou využít lemma z FA1, které umožňuje zapsat $B^{-1}$ jako součet geometrické řady se členy $(I-B)^k$. (Viz Modrá smrt, strana 96, lemma 3.6.4.) Příslušné lemma lze ostatně v této kapitole využít ještě minimálně jednou; kromě lenosti mě od jeho zařazení do wikiskript odrazovala i snaha držet se co nejpřesněji těch důkazů, které nám byly předvedeny na přednášce.} | ||
+ | Pro důkaz konvergence opět stačí ukázat, že konverguje řada z norem. To je splněno, neboť | ||
+ | \[\norm{R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\norm{R(\lambda)}(\underbrace{\norm{R(\lambda)}(\mu-\lambda)}_{<1})^k.\] | ||
+ | Označme součet řady $B(\mu):=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$. Stačí ukázat $B(\mu)(A-\mu I)=(A-\mu I)B(\mu)=I$. Nejprve je potřeba ověřit, že sedí definiční obory. To je splněno, neboť $\Dom B(\mu)=\X$ a $\Ran B(\mu)\subset\Ran R(\lambda)\subset\Dom A$. Nyní upravme | ||
+ | \[(A-\mu)B(\mu)=(A-\lambda+\lambda-\mu)R(\lambda)\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=(I-(\mu-\lambda)R(\lambda))\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=\] | ||
+ | \[\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k-\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=I.\] | ||
+ | Stejným způsobem se upraví součin v opačném pořadí. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | \begin{dusl} | ||
+ | Rezolventní množina je otevřená, tj. spektrum uzavřené. | ||
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Rezolventní funkce je spojitá, a dokonce holomorfní na rezolventní množině. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Nejprve spojitost: | ||
+ | \[\norm{R(\mu)-R(\lambda)}=\norm{\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\sum_{k=1}^{+\infty}\norm{R(\lambda)}^{k+1}\abs{\mu-\lambda}^k=\frac{\norm{R(\lambda)}^2\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\] | ||
+ | Nyní holomorfnost. Ukážeme, že $R'(\lambda)=R(\lambda)^2$. | ||
+ | \[\norm{\frac{1}{\mu-\lambda}(R(\mu)-R(\lambda))-R(\lambda)^2}=\norm{\sum_{k=2}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^{k-1}}\le\frac{\norm{R(\lambda)}^3\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\] | ||
+ | \end{proof} | ||
\begin{theorem}[Hilbertova identita] | \begin{theorem}[Hilbertova identita] | ||
Řádka 8: | Řádka 95: | ||
kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$. | kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | $\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda) | + | $\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = \X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda) $. |
− | Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. | + | Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. Stačí tedy pro každé $x\in \X$ dokázat rovnost |
− | + | ||
\[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?= | \[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?= | ||
(A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\] | (A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\] | ||
Řádka 24: | Řádka 110: | ||
Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují. | Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují. | ||
\end{dusl} | \end{dusl} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Úpravou $(\lambda-\mu)(R(\lambda)R(\mu)-R(\mu)R(\lambda))$. | ||
+ | \end{proof} | ||
− | + | \begin{theorem} | |
− | + | Nechť $\X$ je Banachův prostor nad $\C$, $A\in\B(\X)$. Potom | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \begin{theorem} | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
− | \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $X$ | + | \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $\X$ |
− | na $X$. | + | na $\X$. |
\item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$. | \item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$. | ||
\item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je | \item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je | ||
Řádka 97: | Řádka 131: | ||
\[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\] | \[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\] | ||
Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde | Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde | ||
− | R_\lambda(A-\lambda)=I$ a proto $\tilde | + | R_\lambda(A-\lambda)=I$, a proto $\tilde |
R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$. | R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$. | ||
− | \item | + | \item Pro spor předpokládejme $\sigma(A)=\emptyset$, tj. $\rho(A)=\C$. Rezolventa $R_\lambda$ je tedy celá funkce (holomorfní na celém $\C$). Abychom mohli použít Liouvillovu větu, ukážeme ještě, že je omezená. Zobrazení $\lambda\mapsto R_\lambda$ je spojité, na kompaktní množině tedy musí být omezené, tedy $\sup_{\lambda\le\norm{A}+1}\norm{R_\lambda}<+\infty$. Pro $\lambda>\norm{A}+1$ můžeme použít vyjádření z předchozího bodu |
− | + | \[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n=\frac{1}{\abs{\lambda}-\norm{A}}<1.\] | |
− | \[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n | + | Podle Liouvillovy věty je tím pádem rezolventní funkce konstantní, označme $R_\lambda=C$. Musí tedy $\abs{C}=\lim_{\abs{\lambda}\to+\infty}\norm{R_\lambda}=0$, tedy $R_\lambda=0$. To je ale spor s tím, že $R_\lambda$ je bijekce.\qed |
− | + | ||
− | + | ||
− | je $R_\lambda$ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\noqed | \noqed | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \end{ | + | \end{theorem} |
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | Vyjádření rezolventy v předchozím bodě je jejím Laurentovým rozvojem na mezikruží $\{\lambda\in\C\mid\abs{\lambda}>\norm{A}\}$. | |
− | $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda} | + | |
− | + | Číslo $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda}\mid\lambda\in\sigma(A)\}$ nazýváme spektrální poloměr $A$. V minulé větě jsme odvodili, že pro omezené operátory je $r_\sigma(A)\le\norm{A}$. Rezolventní funkce $R_\lambda$ je analytická na mezikruží $\{\lambda\mid\abs{\lambda}>r_\sigma(A)\}$, má na něm tedy Laurentův rozvoj. Z jednoznačnosti Laurentova rozvoje pak plyne, že odvozený vztah | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{laur_res}R_\lambda= | \label{laur_res}R_\lambda= | ||
-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n | -\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | + | je platný pro všechna $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ i v případě $r_\sigma(A)<\norm{A}$. | |
− | + | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Nechť $X$ je Banachův prostor, $A\in\B(X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom | + | Nechť $\X$ je Banachův prostor, $A\in\B(\X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom |
$p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$. | $p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 176: | Řádka 161: | ||
$p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$. | $p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$. | ||
− | Zobrazení $p(A)-\lambda | + | Zobrazení $p(A)-\lambda\colon\X\to\X$ je bijekce, právě když pro |
− | každé $n$ je $A-\xi_n | + | každé $n$ je $A-\xi_n\colon\X\to\X$ bijekce: |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item[($\Leftarrow$)] Složením bijekcí vznikne bijekce. |
− | \item | + | \item[($\Rightarrow$)] Je-li stupeň polynomu nula nebo jedna, je to triviální. Pro polynomy vyššího stupně využijeme toho, že operátory $A-\xi_i$ vzájemně komutují: |
Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není | Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není | ||
prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i | prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i | ||
\[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) | \[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) | ||
− | (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)=0 | + | (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)x=0,\] |
− | + | pročež $p(A)-\lambda$ není prosté. | |
− | Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=X$, potom | + | Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=\X$, potom |
\[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) | \[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) | ||
− | (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=X.\] | + | (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=\X.\] |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda | + | |
− | X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce | + | Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda\colon\X\to |
+ | \X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce | ||
$\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists | $\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists | ||
z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$. | z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{dusl} | ||
+ | Pro každé $A\in\B(\X)$ a $n\in\N_0$ platí $r_\sigma(A)^n=r_\sigma(A^n)$. | ||
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} \label{le:liminf} | ||
+ | Buď $A \in \B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \le \liminf\norm{A^n}^{1/n}$. | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Spojením předchozího důsledku a známé nerovnosti $r_\sigma(B) \le \norm{B}$ získáváme pro každé přirozené $n$ odhad $r_\sigma(A)^n = r_\sigma(A^n) \le \norm{A^n}$. Odmocněním a následným aplikováním $\liminf$ získáme požadovanou nerovnost. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} \label{le:limsup} | ||
+ | Buď $A\in\B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \ge \limsup\norm{A^n}^{1/n}$. | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Nejprve ukažme, že pro $0<\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$ řada $-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n$ nekonverguje, ale pro $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ konverguje. | ||
+ | |||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Víme, že je-li $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$, dotyčná řada konverguje. Představuje totiž Laurentův rozvoj rezolventy, a ten je jednoznačně daný. | ||
+ | \item Sporem ukážeme, že je-li $\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$, řada nekonverguje. Kdyby existovalo $\lambda_0$, | ||
+ | $\abs{\lambda_0}<r_\sigma(A)$ a řada konvergovala, | ||
+ | potom | ||
+ | \[\exists C \ge 0 \text{ takové, že }\forall n\in N \quad \norm{\frac{ A^n}{\lambda_0^{n+1}}}\le C.\] | ||
+ | Z toho můžeme pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}$ vyvodit | ||
+ | \[\norm{\frac1{\lambda^{n+1}} A^n}= | ||
+ | \abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1} | ||
+ | \norm{\frac1{\lambda_0^{n+1}}A^n}\le | ||
+ | C\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1},\] | ||
+ | tj. příslušná řada konverguje jako geometrická řada, její součet představuje rezolventu a spektrální poloměr tedy nemůže být větší než $\lambda_0$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | Je-li $\abs{\lambda}< \limsup\norm{A^n}^{1/n}$, existuje nekonečně mnoho $n$ takových, že $\abs{\lambda}<\norm{A^n}^{1/n}$ neboli | ||
+ | \[1<\norm{\frac1{\lambda^n}A^n}.\] | ||
+ | Není tedy splněna ani nutná podmínka konvergence a řada pro každé $\lambda$, $\lambda < \limsup\norm{A^n}^{1/n}$ diverguje. Z toho, co jsme si prve dokázali o spektrálním poloměru, ale nezbytně vyplývá požadovaná nerovnost. | ||
+ | \end{proof} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Nechť $A\in\B(X)$. Potom | + | Nechť $A\in\B(\X)$. Potom |
\[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\] | \[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\] | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Větu ihned dostáváme spojením předchozích dvou lemmat.\footnote{Zde jsme si dovolili výraznější odchýlení od přednášky, protože důkaz na ní prezentovaný je zbytečně o krok delší. Nejprve se totiž dokazuje silnější podoba lemmatu \ref{le:limsup}: spektrální poloměr je \emph{roven} příslušnému limes superior. Následně se prohlásí, že musíme ověřit existenci limity, a slavnostně se dokáže lemma \ref{le:liminf}. Prostým přeuspořádáním důkazu z přednášky dostáváme důkaz ze skript, v němž ale jednu pasáž můžeme vypustit.} Všimněme si ještě, že podle věty mimo jiné příslušná limita vždy existuje (což není vůbec samozřejmé). | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
\begin{lemma} | \begin{lemma} | ||
− | Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$ | + | Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$. |
− | + | \end{lemma} | |
− | + | \begin{proof} | |
− | + | $x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H \; \la x,Ay \ra = 0 \Leftrightarrow \forall y\in \H \; \la A^*x,y \ra = 0 \Leftrightarrow x\in \Ker A^*$. | |
− | $x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H | + | \end{proof} |
− | + | ||
− | + | \begin{dusl} | |
− | + | Nechť $A\in\B(\H)$, pak $\uz{\Ran A}=(\Ker A^*)^\perp$. | |
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | Nyní se podrobněji podíváme na spektrální vlastnosti normálních a hermitovských operátorů. Dále tedy budeme uvažovat, že $\H$ je Hilbertův prostor. | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Operátor $A\in\B(\H)$ nazveme \emph{normální}, je-li splněno $AA^*=A^*A$ a \emph{hermitovský}, je-li splněno $A=A^*$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Zejména při práci s hermitovskými operátory pro nás bude důležitá seskvilineární forma $f_A(x,y)=\la x,Ay\ra$, kde $A\in\B(\H)$. Dva operátory $A$ a $B$ se rovnají, právě když se rovnají příslušné formy, neboť $\forall x,y\in\H\;\la x,Ay\ra=\la x,By\ra\iff\forall x,y\in\H\;\la x,(A-B)y\ra=0\iff\forall y\in\H\; (A-B)y=0$. Protože seskvilineární forma je určena jednoznačně svojí diagonálou prostřednictvím polarizační formule\footnote{Pozor, toto platí pouze nad tělesem $\C$. Na $\R$ totiž polarizační formule pro seskvilineární formy obecně neplatí. Protipříkladem je například operátor otočení o pravý úhel v $\R^2$, pro který je $\la x, Ax \ra$ vždy nula. Toto se ale člověk ve škole nedozví a ani mu nehrozí, že by to po něm někdo chtěl na zkoušce.}, znamená to, že | ||
+ | \[A=B\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra=\la x,Bx\ra.\] | ||
+ | |||
+ | Snadno vidíme, že operátor je hermitovský, právě když je příslušná forma symetrická, a víme, že to nastane právě tehdy, když je reálná, tedy | ||
+ | \[A=A^*\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra\in\R.\] | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Operátor $A\in\B(\H)$ je normální, právě když pro každé $x\in\H$ je $\norm{Ax}=\norm{A^*x}$. | ||
\end{lemma} | \end{lemma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[\norm{Ax}^2=\norm{A^*x}^2\iff\la x,A^*Ax\ra=\la x,AA^*x\ra\iff A^*A=AA^*.\] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
\begin{theorem}[Weylovo kritérium] | \begin{theorem}[Weylovo kritérium] | ||
− | Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom | + | Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom platí: |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
\item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že | \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že | ||
− | $\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$. | + | $\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$, tj. právě když $\inf_{\norm{x}=1}\norm{(A-\lambda I)x}>0$. |
\item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$, | \item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$, | ||
$\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$. | $\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
+ | \end{theorem} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | + | První ekvivalence v (i) jinými slovy říká, že rezolventní množina $A$ je shodná s tzv. oblastí regularity $A$, tu v následujících odstavcích dokážeme. Druhá ekvivalence je zřejmá a tvrzení (ii) je pouze obměnou ekvivalence (i). | |
− | + | \begin{enumerate} | |
− | + | \item[($\Rightarrow$)] Buď $\lambda\in\rho(A)$. Potom pro | |
− | + | ||
$x\in\H$ je | $x\in\H$ je | ||
− | \[\norm{x}=\norm{ | + | \[\norm{x}=\norm{R_\lambda(A-\lambda)x}\le |
− | \norm{ | + | \norm{R_\lambda}\norm{(A-\lambda)x}.\] |
− | + | Stačí volit $M=1/\norm{R_\lambda}$. | |
− | + | \item[($\Leftarrow$)] Je-li $(A-\lambda)x=0$, potom $M\norm{x}=0$ | |
− | + | a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté, zbývá ukázat, že je na. Protože $A$ je | |
− | + | normální, je $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\Ker(A^*-\bar\lambda)^\perp=\Ker(A-\lambda)^\perp=\{0\}^\perp=\H$. | |
− | a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté | + | Zbývá tedy ukázat uzavřenost oboru hodnot. Vezměme konvergentní posloupnost $y_n\in\Ran A-\lambda$, $y_n\to y\in\uz{\Ran(A-\lambda)}$. A vezměme odpovídající $x_n\in\H$ takovou, že $(A-\lambda)x_n=y_n$. Ta je cauchyovská, neboť |
− | + | \[\norm{y_n-y_m}=\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\] | |
− | + | Má tedy limitu $x$ a ze spojitosti $A$ už plyne $y=(A-\lambda)x\in\Ran(A-\lambda)$.\qed | |
− | normální, je | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \[\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\] | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
− | |||
\noqed | \noqed | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \end{ | + | |
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Část důkazu Weylova kritéria opakuje důkaz tvrzení, které by čtenář měl znát z FA1: \uv{Reziduální spektrum normálního operátoru je prázdné.} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
\begin{tvrzeni} | \begin{tvrzeni} | ||
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$. | Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$. | ||
− | + | \end{tvrzeni} | |
− | + | \begin{proof} | |
− | $ | + | Buď $\lambda\in\C$, $\lambda=\mu+\im\nu$, $\mu,\nu \in \R$. Protože $A=A^*$, je |
− | + | $\la (A-\mu)x,\nu x \ra =\nu \la Ax,x\ra -\mu\nu\la x,x\ra \in\R$, z čehož plyne | |
− | + | \[ | |
− | + | \norm{(A-\lambda)x}^2 = \la (A-\mu)x-i\nu x, (A-\mu)x-i\nu x \ra | |
− | + | =\norm{(A-\mu)x}^2+\abs{\nu}^2\norm{x}^2\ge | |
\abs{\nu}^2\norm{x}^2, | \abs{\nu}^2\norm{x}^2, | ||
− | + | \] | |
− | takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé | + | takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé $x$, a tedy $\lambda\not\in\R\implies\lambda\in\rho(A)$. |
− | + | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
− | \ | + | \begin{define} |
− | + | Hermitovský operátor nazveme pozitivní, jestliže pro všechna $x \in \H$ platí | |
− | + | \[ | |
− | \end{ | + | \la x, Ax\ra \geq 0, |
− | + | \] | |
+ | to jest, jestliže je příslušná seskvilineární forma $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ také pozitivní (ne nutně pozitivně definitní, tj. diagonálou je seminorma, ne nutně norma). Pro pozitivní seskvilineární formy platí Cauchyho--Schwarzova nerovnost, která v tomto případě nabude tvaru | ||
+ | \[\abs{\la x,Ay\ra}^2\le\la x,Ax\ra\la y,Ay\ra.\] | ||
+ | |||
+ | S pomocí této definice lze mezi hermitovskými operátory zavést uspořádání. Řekneme, že $A$ je větší nebo roven $B$, jestliže $A-B$ je pozitivní operátor, tj. symbolicky | ||
+ | \[ | ||
+ | A\ge B\iff \forall x\in\H \; \la x,Ax \ra \ge \la x,Bx \ra. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
\begin{lemma} | \begin{lemma} | ||
Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$. | Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{lemma} | \end{lemma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Vezmeme Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro formu $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ a poté Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro skalární součin. | ||
+ | \[ | ||
+ | \norm{Ax}^4=\abs{\la Ax,Ax\ra}^2 \le | ||
+ | \la x,Ax\ra \la Ax,A^2x\ra \le | ||
+ | \la x,Ax \ra \norm{Ax}\norm{A^2x} \le | ||
+ | \la x,Ax \ra \norm{Ax}^2\norm{A}. | ||
+ | \] | ||
+ | Pro $Ax = 0$ je požadovaná nerovnost triviální, v opačném případě ji získáváme vydělením předchozího vztahu. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Pro $A=A^*$ označíme | |
− | + | \[ | |
+ | M_A := \sup_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra,\quad m_A := \inf_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra. | ||
+ | \] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | + | Nechť $A\in\B(\H)$, $A=A^*$. Potom | |
− | + | \begin{enumerate}[(i)] | |
\item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$, | \item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$, | ||
\item $m_A,M_A\in\sigma(A)$. | \item $m_A,M_A\in\sigma(A)$. | ||
− | + | \end{enumerate} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Už víme, že spektrum je podmnožinou $\R$. Ukážeme, že $\lambda>M_A\implies\lambda\in\rho(A)$. Z~definice $M_A$ plyne $(x,Ax)\le M_A\norm{x}^2$ pro každé $x$, a tedy pro $\lambda>M_A$ je | ||
+ | \[(\lambda-M_A)\norm{x}^2\le\lambda\la x,x\ra-\la x,Ax\ra=\la x,(\lambda-A)x\ra\le | ||
+ | \norm{x}\norm{(A-\lambda)x} | ||
+ | \] | ||
+ | pro každé $x$. Po vydělení $\norm{x}$ z~Weylova kritéria plyne, že $\lambda\in\rho(A)$. | ||
+ | |||
+ | \item Buď $x_n\in\H$, $\norm{x_n}=1$, | ||
+ | $M_A=\lim_{n\to\infty}\la x_n,Ax_n \ra$. Potom $\la x_n,(M_A-A)x_n \ra \to 0$ a | ||
+ | \[\norm{(M_A-A)x_n}^2\le\norm{M_A-A} \la x_n,(M_A-A)x_n\ra \to 0. | ||
+ | \] | ||
+ | Z~Weylova kritéria pak vyplývá $M_A\in\sigma(A)$.\qed | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \noqed | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
\label{norma_herm} | \label{norma_herm} | ||
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom | Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom | ||
− | \[\norm{A}=r_\sigma(A)=\ | + | \[\norm{A}=r_\sigma(A)= |
− | + | \max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,Ax\ra}.\] | |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | + | Ukážeme první rovnost. Druhá snadno plyne z předchozí věty (obě čísla $m_A$ a $M_A$ jsou prvky spektra) a třetí z definice čísel $m_A$ a $M_A$. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | Pro $ | + | Pro $\norm{x}=1$ plyne ze Schwarzovy nerovnosti |
− | $\norm{Ax}^2= | + | $\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra =\la x,A^2x\ra\le\norm{A^2x}$, tedy |
− | + | $\norm{A}^2\le\norm{A^2}$, současně ale pro každý | |
− | + | operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže celkem | |
− | + | ||
− | operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže | + | |
$\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na | $\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na | ||
$\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$: | $\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$: | ||
− | Pro $n= | + | Pro $n=1$ to platí a |
\[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2= | \[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2= | ||
\left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\] | \left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\] | ||
Řádka 465: | Řádka 396: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | S využitím znalostí z předešlého důkazu není těžké dokázat, že pro hermitovský (a s využitím jedné věty z některé z následujících kapitol i normální) operátor dokonce platí $\norm{A^k}=\norm{A}^k$. Ale ani toto tvrzení se na FA2 neprobírá -- jen jsem nemohl odolat a musel jsem ho sem připsat. Konec konců by to někdo mohl dostat u zkoušky jako jednoduché \uv{neznámé tvrzení}. | ||
+ | \end{remark} |
Verze z 30. 9. 2015, 14:41
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 10:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 20:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 09:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 10:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 01:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 11:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrum uzavřeného operátoru} Nejprve zopakujeme definici uzavřeného operátoru a definici spektra. \begin{define} Grafem operátoru $A\colon X\to Y$ nazýváme podprostor vektorového prostoru $X\oplus Y$ daný vztahem \[\Gamma(A):=\{[x,Ax] \mid x\in\Dom A\}.\] \end{define} \begin{define} Operátor $A$ označujeme jako uzavřený, když $\Gamma(A)$ je uzavřený v $X\oplus Y$. \end{define} \begin{tvrzeni} Operátor $A$ je uzavřený, právě když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ platí \[x_n\to x\wedge Ax_n\to y\implies x\in\Dom A\wedge Ax = y.\] \end{tvrzeni} \begin{remark} Nechť $A$ je uzavřený a $A^{-1}$ existuje. Potom $A^{-1}$ je uzavřený. \end{remark} \begin{define} Operátor $A\colon X\mapsto Y$ je uzavíratelný (má uzávěr), právě když $\uz{\Gamma(A)}$ je grafem nějakého lineárního operátoru. Tento operátor pak značíme $\uz{A}$ a nazýváme uzávěr $A$. Jestliže $A$ je uzavíratelný, pak existuje jeho nejmenší uzavřené rozšíření a je jím právě jeho uzávěr. \end{define} \begin{tvrzeni} Operátor $A$ lze uzavřít právě tehdy, když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ takovou, že $x_n\to 0$ a $Ax_n\to y$, platí $y=0$. K tomu, aby $x$ patřilo do definičního oboru $\uz{A}$ je nutné a stačí, aby existovala posloupnost $x_n\in\Dom A$ taková, že $x_n\to x$ a $A x_n$ konverguje, je-li to splněno, pak $Ax_n\to \uz{A}x$. \end{tvrzeni} \begin{theorem}[o uzavřeném grafu] Nechť $A\colon\X\to\Y$ je uzavřený lineární operátor, $\X$ a $\Y$ jsou Banachovy prostory. Potom jestliže $\Dom A=\X$, pak $A$ je omezený. \begin{proof} Podle předpokladů je $\Gamma(A)$ uzavřený podprostor v $\X\oplus\Y$, takže $\Gamma(A)$ je B-prostor s normou $$\norm{[x,y]}_{\oplus} = \norm{x}_\X+\norm{y}_\Y.$$ Zobrazení $S_1\colon \Gamma(A) \to\X$, $S_1([x,Ax]) = x$ je vzájemně jednoznačné spojité zobrazení prostorů $\Gamma(A)$ a $\X$, tudíž podle věty o inverzním zobrazení je $S_1^{-1}$ spojité. Podobně zavedeme spojité zobrazení $S_2\colon \Gamma(A) \mapsto\Y$, $S_2([x,Ax]) = Ax$. Složené zobrazení $S_2\circ S_1^{-1}$ je definováno na celém $\X$ a $\forall x \in\X$ platí $S_2( S_1^{-1}x) = Ax$ proto $A = S_2\circ S_1^{-1}$. Protože složení dvou spojitých zobrazení je spojité, je i $A$ spojité. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Součtem operátorů s různým definičním oborem budeme mít na mysli jejich součet na průniku definičních oborů, tedy $\Dom(A+B)=\Dom A\cap\Dom B$. \end{remark} \begin{remark} Je-li $A$ uzavřený, je uzavřený také $A-\lambda I$ pro libovolné $\lambda\in\C$. \end{remark} \begin{define} Buď $\X$ Banachův, $A\colon\Dom A\subset\X\to\X$ uzavřený operátor. O komplexním číslu $\lambda$ řekneme, že je prvkem \emph{rezolventní množiny} $\rho(A)$, je-li operátor $A-\lambda I$ bijekce $\Dom A$ na $\X$. V opačném případě řekneme, že je $\lambda$ prvkem spektra $\sigma(A):=\C\sm\rho(A)$. Spektrum operátoru dále rozdělíme na tři disjunktní množiny. Není-li $A-\lambda I$ prostý, tj. jedná-li se o vlastní číslo $A$, řekneme, že je prvkem \emph{bodového} spektra $\sigmap(A)$; je-li prostý, ale není surjektivní, zařadíme $\lambda$ buď do \emph{spojitého} spektra $\sigmac(A)$, je-li $\uz{\Ran(A-\lambda I)}=\X$, nebo do \emph{reziduálního} spektra $\sigmar(A)$, je-li i $\uz{\Ran(A-\lambda I)}\neq\X$. \end{define} \begin{remark} Pro prvky rezolventní množiny $\lambda\in\rho(A)$ platí, že inverze $(A-\lambda I)^{-1}$ je uzavřený všude definovaný operátor na Banachově prostoru. Podle věty o uzavřeném grafu to znamená, že je $(A-\lambda I)^{-1}$ omezený. \end{remark} \begin{define} Na rezolventní množině uzavřeného operátoru $A$ definujeme tzv. \emph{rezolventní funkci} neboli \emph{rezolventu} $R_A\colon\rho(A)\to \B(\X)$ vztahem $R_A(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1}$. Je-li jasné, ke kterému operátoru rezolventa přísluší, značíme často $R_\lambda$ nebo $R(\lambda)$ místo $R_A(\lambda)$. \end{define} \begin{theorem} Buď $\X$ Banachův prostor nad $\C$, $A$ hustě definovaný uzavřený operátor na $\X$. Potom $B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})\subset\rho(A)$ a pro každé $\mu\in B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})$ je $R(\mu)=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$. \end{theorem} \begin{proof}\footnote{Fanoušci pana profesora Havlíčka mohou využít lemma z FA1, které umožňuje zapsat $B^{-1}$ jako součet geometrické řady se členy $(I-B)^k$. (Viz Modrá smrt, strana 96, lemma 3.6.4.) Příslušné lemma lze ostatně v této kapitole využít ještě minimálně jednou; kromě lenosti mě od jeho zařazení do wikiskript odrazovala i snaha držet se co nejpřesněji těch důkazů, které nám byly předvedeny na přednášce.} Pro důkaz konvergence opět stačí ukázat, že konverguje řada z norem. To je splněno, neboť \[\norm{R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\norm{R(\lambda)}(\underbrace{\norm{R(\lambda)}(\mu-\lambda)}_{<1})^k.\] Označme součet řady $B(\mu):=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$. Stačí ukázat $B(\mu)(A-\mu I)=(A-\mu I)B(\mu)=I$. Nejprve je potřeba ověřit, že sedí definiční obory. To je splněno, neboť $\Dom B(\mu)=\X$ a $\Ran B(\mu)\subset\Ran R(\lambda)\subset\Dom A$. Nyní upravme \[(A-\mu)B(\mu)=(A-\lambda+\lambda-\mu)R(\lambda)\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=(I-(\mu-\lambda)R(\lambda))\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=\] \[\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k-\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=I.\] Stejným způsobem se upraví součin v opačném pořadí. \end{proof} \begin{dusl} Rezolventní množina je otevřená, tj. spektrum uzavřené. \end{dusl} \begin{theorem} Rezolventní funkce je spojitá, a dokonce holomorfní na rezolventní množině. \end{theorem} \begin{proof} Nejprve spojitost: \[\norm{R(\mu)-R(\lambda)}=\norm{\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\sum_{k=1}^{+\infty}\norm{R(\lambda)}^{k+1}\abs{\mu-\lambda}^k=\frac{\norm{R(\lambda)}^2\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\] Nyní holomorfnost. Ukážeme, že $R'(\lambda)=R(\lambda)^2$. \[\norm{\frac{1}{\mu-\lambda}(R(\mu)-R(\lambda))-R(\lambda)^2}=\norm{\sum_{k=2}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^{k-1}}\le\frac{\norm{R(\lambda)}^3\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\] \end{proof} \begin{theorem}[Hilbertova identita] Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neomezený) operátor, platí \[(R_\lambda-R_\mu)=(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu.\] kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$. \begin{proof} $\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = \X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda) $. Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. Stačí tedy pro každé $x\in \X$ dokázat rovnost \[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?= (A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\] Ta ale platí, protože \[\%=((A-\mu)-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x= x+(-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=x.\] \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují. \end{dusl} \begin{proof} Úpravou $(\lambda-\mu)(R(\lambda)R(\mu)-R(\mu)R(\lambda))$. \end{proof} \begin{theorem} Nechť $\X$ je Banachův prostor nad $\C$, $A\in\B(\X)$. Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $\X$ na $\X$. \item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$. \item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je \[R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n.\] \item $\sigma(A)\not=\emptyset$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Přímo z~definice. \item Vyplývá z~(iii). \item Protože $\frac1{\abs{\lambda}}\norm{A}<1$, je \[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\] Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde R_\lambda(A-\lambda)=I$, a proto $\tilde R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$. \item Pro spor předpokládejme $\sigma(A)=\emptyset$, tj. $\rho(A)=\C$. Rezolventa $R_\lambda$ je tedy celá funkce (holomorfní na celém $\C$). Abychom mohli použít Liouvillovu větu, ukážeme ještě, že je omezená. Zobrazení $\lambda\mapsto R_\lambda$ je spojité, na kompaktní množině tedy musí být omezené, tedy $\sup_{\lambda\le\norm{A}+1}\norm{R_\lambda}<+\infty$. Pro $\lambda>\norm{A}+1$ můžeme použít vyjádření z předchozího bodu \[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n=\frac{1}{\abs{\lambda}-\norm{A}}<1.\] Podle Liouvillovy věty je tím pádem rezolventní funkce konstantní, označme $R_\lambda=C$. Musí tedy $\abs{C}=\lim_{\abs{\lambda}\to+\infty}\norm{R_\lambda}=0$, tedy $R_\lambda=0$. To je ale spor s tím, že $R_\lambda$ je bijekce.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Vyjádření rezolventy v předchozím bodě je jejím Laurentovým rozvojem na mezikruží $\{\lambda\in\C\mid\abs{\lambda}>\norm{A}\}$. Číslo $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda}\mid\lambda\in\sigma(A)\}$ nazýváme spektrální poloměr $A$. V minulé větě jsme odvodili, že pro omezené operátory je $r_\sigma(A)\le\norm{A}$. Rezolventní funkce $R_\lambda$ je analytická na mezikruží $\{\lambda\mid\abs{\lambda}>r_\sigma(A)\}$, má na něm tedy Laurentův rozvoj. Z jednoznačnosti Laurentova rozvoje pak plyne, že odvozený vztah \begin{equation} \label{laur_res}R_\lambda= -\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n \end{equation} je platný pro všechna $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ i v případě $r_\sigma(A)<\norm{A}$. \end{remark} \begin{theorem} Nechť $\X$ je Banachův prostor, $A\in\B(\X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom $p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$. \begin{proof} Buď $\lambda\in\C$, $p(z)-\lambda=a_n(z-\xi_1)\cdots(z-\xi_n)$, kde $\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ jsou kořeny $p(z)-\lambda$ včetně násobností. Analogicky platí $p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$. Zobrazení $p(A)-\lambda\colon\X\to\X$ je bijekce, právě když pro každé $n$ je $A-\xi_n\colon\X\to\X$ bijekce: \begin{enumerate} \item[($\Leftarrow$)] Složením bijekcí vznikne bijekce. \item[($\Rightarrow$)] Je-li stupeň polynomu nula nebo jedna, je to triviální. Pro polynomy vyššího stupně využijeme toho, že operátory $A-\xi_i$ vzájemně komutují: Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i \[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)x=0,\] pročež $p(A)-\lambda$ není prosté. Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=\X$, potom \[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=\X.\] \end{enumerate} Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda\colon\X\to \X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$. \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Pro každé $A\in\B(\X)$ a $n\in\N_0$ platí $r_\sigma(A)^n=r_\sigma(A^n)$. \end{dusl} \begin{lemma} \label{le:liminf} Buď $A \in \B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \le \liminf\norm{A^n}^{1/n}$. \end{lemma} \begin{proof} Spojením předchozího důsledku a známé nerovnosti $r_\sigma(B) \le \norm{B}$ získáváme pro každé přirozené $n$ odhad $r_\sigma(A)^n = r_\sigma(A^n) \le \norm{A^n}$. Odmocněním a následným aplikováním $\liminf$ získáme požadovanou nerovnost. \end{proof} \begin{lemma} \label{le:limsup} Buď $A\in\B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \ge \limsup\norm{A^n}^{1/n}$. \end{lemma} \begin{proof} Nejprve ukažme, že pro $0<\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$ řada $-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n$ nekonverguje, ale pro $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ konverguje. \begin{enumerate} \item Víme, že je-li $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$, dotyčná řada konverguje. Představuje totiž Laurentův rozvoj rezolventy, a ten je jednoznačně daný. \item Sporem ukážeme, že je-li $\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$, řada nekonverguje. Kdyby existovalo $\lambda_0$, $\abs{\lambda_0}<r_\sigma(A)$ a řada konvergovala, potom \[\exists C \ge 0 \text{ takové, že }\forall n\in N \quad \norm{\frac{ A^n}{\lambda_0^{n+1}}}\le C.\] Z toho můžeme pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}$ vyvodit \[\norm{\frac1{\lambda^{n+1}} A^n}= \abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1} \norm{\frac1{\lambda_0^{n+1}}A^n}\le C\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1},\] tj. příslušná řada konverguje jako geometrická řada, její součet představuje rezolventu a spektrální poloměr tedy nemůže být větší než $\lambda_0$. \end{enumerate} Je-li $\abs{\lambda}< \limsup\norm{A^n}^{1/n}$, existuje nekonečně mnoho $n$ takových, že $\abs{\lambda}<\norm{A^n}^{1/n}$ neboli \[1<\norm{\frac1{\lambda^n}A^n}.\] Není tedy splněna ani nutná podmínka konvergence a řada pro každé $\lambda$, $\lambda < \limsup\norm{A^n}^{1/n}$ diverguje. Z toho, co jsme si prve dokázali o spektrálním poloměru, ale nezbytně vyplývá požadovaná nerovnost. \end{proof} \begin{theorem} Nechť $A\in\B(\X)$. Potom \[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\] \end{theorem} \begin{proof} Větu ihned dostáváme spojením předchozích dvou lemmat.\footnote{Zde jsme si dovolili výraznější odchýlení od přednášky, protože důkaz na ní prezentovaný je zbytečně o krok delší. Nejprve se totiž dokazuje silnější podoba lemmatu \ref{le:limsup}: spektrální poloměr je \emph{roven} příslušnému limes superior. Následně se prohlásí, že musíme ověřit existenci limity, a slavnostně se dokáže lemma \ref{le:liminf}. Prostým přeuspořádáním důkazu z přednášky dostáváme důkaz ze skript, v němž ale jednu pasáž můžeme vypustit.} Všimněme si ještě, že podle věty mimo jiné příslušná limita vždy existuje (což není vůbec samozřejmé). \end{proof} \begin{lemma} Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$. \end{lemma} \begin{proof} $x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H \; \la x,Ay \ra = 0 \Leftrightarrow \forall y\in \H \; \la A^*x,y \ra = 0 \Leftrightarrow x\in \Ker A^*$. \end{proof} \begin{dusl} Nechť $A\in\B(\H)$, pak $\uz{\Ran A}=(\Ker A^*)^\perp$. \end{dusl} Nyní se podrobněji podíváme na spektrální vlastnosti normálních a hermitovských operátorů. Dále tedy budeme uvažovat, že $\H$ je Hilbertův prostor. \begin{define} Operátor $A\in\B(\H)$ nazveme \emph{normální}, je-li splněno $AA^*=A^*A$ a \emph{hermitovský}, je-li splněno $A=A^*$. \end{define} \begin{remark} Zejména při práci s hermitovskými operátory pro nás bude důležitá seskvilineární forma $f_A(x,y)=\la x,Ay\ra$, kde $A\in\B(\H)$. Dva operátory $A$ a $B$ se rovnají, právě když se rovnají příslušné formy, neboť $\forall x,y\in\H\;\la x,Ay\ra=\la x,By\ra\iff\forall x,y\in\H\;\la x,(A-B)y\ra=0\iff\forall y\in\H\; (A-B)y=0$. Protože seskvilineární forma je určena jednoznačně svojí diagonálou prostřednictvím polarizační formule\footnote{Pozor, toto platí pouze nad tělesem $\C$. Na $\R$ totiž polarizační formule pro seskvilineární formy obecně neplatí. Protipříkladem je například operátor otočení o pravý úhel v $\R^2$, pro který je $\la x, Ax \ra$ vždy nula. Toto se ale člověk ve škole nedozví a ani mu nehrozí, že by to po něm někdo chtěl na zkoušce.}, znamená to, že \[A=B\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra=\la x,Bx\ra.\] Snadno vidíme, že operátor je hermitovský, právě když je příslušná forma symetrická, a víme, že to nastane právě tehdy, když je reálná, tedy \[A=A^*\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra\in\R.\] \end{remark} \begin{lemma} Operátor $A\in\B(\H)$ je normální, právě když pro každé $x\in\H$ je $\norm{Ax}=\norm{A^*x}$. \end{lemma} \begin{proof} \[\norm{Ax}^2=\norm{A^*x}^2\iff\la x,A^*Ax\ra=\la x,AA^*x\ra\iff A^*A=AA^*.\] \end{proof} \begin{theorem}[Weylovo kritérium] Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom platí: \begin{enumerate}[(i)] \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že $\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$, tj. právě když $\inf_{\norm{x}=1}\norm{(A-\lambda I)x}>0$. \item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$, $\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} První ekvivalence v (i) jinými slovy říká, že rezolventní množina $A$ je shodná s tzv. oblastí regularity $A$, tu v následujících odstavcích dokážeme. Druhá ekvivalence je zřejmá a tvrzení (ii) je pouze obměnou ekvivalence (i). \begin{enumerate} \item[($\Rightarrow$)] Buď $\lambda\in\rho(A)$. Potom pro $x\in\H$ je \[\norm{x}=\norm{R_\lambda(A-\lambda)x}\le \norm{R_\lambda}\norm{(A-\lambda)x}.\] Stačí volit $M=1/\norm{R_\lambda}$. \item[($\Leftarrow$)] Je-li $(A-\lambda)x=0$, potom $M\norm{x}=0$ a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté, zbývá ukázat, že je na. Protože $A$ je normální, je $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\Ker(A^*-\bar\lambda)^\perp=\Ker(A-\lambda)^\perp=\{0\}^\perp=\H$. Zbývá tedy ukázat uzavřenost oboru hodnot. Vezměme konvergentní posloupnost $y_n\in\Ran A-\lambda$, $y_n\to y\in\uz{\Ran(A-\lambda)}$. A vezměme odpovídající $x_n\in\H$ takovou, že $(A-\lambda)x_n=y_n$. Ta je cauchyovská, neboť \[\norm{y_n-y_m}=\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\] Má tedy limitu $x$ a ze spojitosti $A$ už plyne $y=(A-\lambda)x\in\Ran(A-\lambda)$.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \begin{remark} Část důkazu Weylova kritéria opakuje důkaz tvrzení, které by čtenář měl znát z FA1: \uv{Reziduální spektrum normálního operátoru je prázdné.} \end{remark} \begin{tvrzeni} Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$. \end{tvrzeni} \begin{proof} Buď $\lambda\in\C$, $\lambda=\mu+\im\nu$, $\mu,\nu \in \R$. Protože $A=A^*$, je $\la (A-\mu)x,\nu x \ra =\nu \la Ax,x\ra -\mu\nu\la x,x\ra \in\R$, z čehož plyne \[ \norm{(A-\lambda)x}^2 = \la (A-\mu)x-i\nu x, (A-\mu)x-i\nu x \ra =\norm{(A-\mu)x}^2+\abs{\nu}^2\norm{x}^2\ge \abs{\nu}^2\norm{x}^2, \] takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé $x$, a tedy $\lambda\not\in\R\implies\lambda\in\rho(A)$. \end{proof} \begin{define} Hermitovský operátor nazveme pozitivní, jestliže pro všechna $x \in \H$ platí \[ \la x, Ax\ra \geq 0, \] to jest, jestliže je příslušná seskvilineární forma $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ také pozitivní (ne nutně pozitivně definitní, tj. diagonálou je seminorma, ne nutně norma). Pro pozitivní seskvilineární formy platí Cauchyho--Schwarzova nerovnost, která v tomto případě nabude tvaru \[\abs{\la x,Ay\ra}^2\le\la x,Ax\ra\la y,Ay\ra.\] S pomocí této definice lze mezi hermitovskými operátory zavést uspořádání. Řekneme, že $A$ je větší nebo roven $B$, jestliže $A-B$ je pozitivní operátor, tj. symbolicky \[ A\ge B\iff \forall x\in\H \; \la x,Ax \ra \ge \la x,Bx \ra. \] \end{define} \begin{lemma} Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$. \end{lemma} \begin{proof} Vezmeme Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro formu $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ a poté Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro skalární součin. \[ \norm{Ax}^4=\abs{\la Ax,Ax\ra}^2 \le \la x,Ax\ra \la Ax,A^2x\ra \le \la x,Ax \ra \norm{Ax}\norm{A^2x} \le \la x,Ax \ra \norm{Ax}^2\norm{A}. \] Pro $Ax = 0$ je požadovaná nerovnost triviální, v opačném případě ji získáváme vydělením předchozího vztahu. \end{proof} \begin{define} Pro $A=A^*$ označíme \[ M_A := \sup_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra,\quad m_A := \inf_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra. \] \end{define} \begin{theorem} Nechť $A\in\B(\H)$, $A=A^*$. Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$, \item $m_A,M_A\in\sigma(A)$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Už víme, že spektrum je podmnožinou $\R$. Ukážeme, že $\lambda>M_A\implies\lambda\in\rho(A)$. Z~definice $M_A$ plyne $(x,Ax)\le M_A\norm{x}^2$ pro každé $x$, a tedy pro $\lambda>M_A$ je \[(\lambda-M_A)\norm{x}^2\le\lambda\la x,x\ra-\la x,Ax\ra=\la x,(\lambda-A)x\ra\le \norm{x}\norm{(A-\lambda)x} \] pro každé $x$. Po vydělení $\norm{x}$ z~Weylova kritéria plyne, že $\lambda\in\rho(A)$. \item Buď $x_n\in\H$, $\norm{x_n}=1$, $M_A=\lim_{n\to\infty}\la x_n,Ax_n \ra$. Potom $\la x_n,(M_A-A)x_n \ra \to 0$ a \[\norm{(M_A-A)x_n}^2\le\norm{M_A-A} \la x_n,(M_A-A)x_n\ra \to 0. \] Z~Weylova kritéria pak vyplývá $M_A\in\sigma(A)$.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \begin{theorem} \label{norma_herm} Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom \[\norm{A}=r_\sigma(A)= \max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,Ax\ra}.\] \begin{proof} Ukážeme první rovnost. Druhá snadno plyne z předchozí věty (obě čísla $m_A$ a $M_A$ jsou prvky spektra) a třetí z definice čísel $m_A$ a $M_A$. Pro $\norm{x}=1$ plyne ze Schwarzovy nerovnosti $\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra =\la x,A^2x\ra\le\norm{A^2x}$, tedy $\norm{A}^2\le\norm{A^2}$, současně ale pro každý operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže celkem $\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na $\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$: Pro $n=1$ to platí a \[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2= \left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\] Konečně \[r_\sigma=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{n}}^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{2^n}}^{2^{-n}}= \lim_{n\to\infty}\norm{A}=\norm{A}.\qed\] \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} S využitím znalostí z předešlého důkazu není těžké dokázat, že pro hermitovský (a s využitím jedné věty z některé z následujících kapitol i normální) operátor dokonce platí $\norm{A^k}=\norm{A}^k$. Ale ani toto tvrzení se na FA2 neprobírá -- jen jsem nemohl odolat a musel jsem ho sem připsat. Konec konců by to někdo mohl dostat u zkoušky jako jednoduché \uv{neznámé tvrzení}. \end{remark}