Aktuální verze z 16. 3. 2023, 19:25

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2Priklady}
% 2. kuzelosecky, polarni souradnice, parametricke krivky
\section{Kuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivky}
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
 
\begin{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Kuželosečky}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Napište rovnici paraboly, když znáte
\begin{priklad}
V = (0, 0), F=(2, 0).
\end{priklad}
\res{$y^ 2 = 8x$}
 
\item Napište rovnici paraboly, když znáte
\begin{priklad}
V = (-1, 3), F = (-1, 0).
\end{priklad}
\res{$(x+1)^2 = -12(y-3)$}
 
\item Napište rovnici paraboly, když znáte
\begin{priklad}
F = (1, 1), d: y = -1.
\end{priklad}
\res{$4y = (x-1)^2$}
 
\item Napište rovnici paraboly, když znáte
\begin{priklad}
F = (1, 1), d: x = 2.
\end{priklad}
\res{$(y-1)^2 = -2(x- 3/2)$}
 
\item Popište a načrtněte parabolu
\begin{priklad}
y^2 = 2x.
\end{priklad}
\res{$V = (0, 0), F=(1/2, 0), d: x = -1/2$}
 
\item Popište a načrtněte parabolu
\begin{priklad}
2y = 4x^2 - 1.
\end{priklad}
\res{$V = (0, -1/2), F = (0, -3/8), d:y = -5/8$}
 
\item Popište a načrtněte parabolu
\begin{priklad}
(x+2)^2 = 12-8y.
\end{priklad}
\res{$V = (-2, 3/2), F=(-2, -1/2), d: y = 7/2$}
 
\item Popište a načrtněte parabolu
\begin{priklad}
x = y^2 + y + 1.
\end{priklad}
\res{$V=(3/4, -1/2), F=(1, -1/2), d:x = 1/2$}
 
\item Nalezněte rovnice všech parabol, které prochází bodem $(5,
6)$, mají řídící přímku $y = 1$ a osu $x = 2$. 
\res{$2y = x^2 -4x + 7$; $18y = x^2-4x +103$}
 
\item Nalezněte rovnici paraboly, která má horizontální osu,
vrchol $V = (-1, 1)$ a prochází bodem $(-6, 13)$.
 
\item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa):
\begin{priklad}
F_1 = (-1, 0), F_2 = (1, 0), a = 3.
\end{priklad}
 
\res{$\ds \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$}
 
\item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa):
\begin{priklad}
F_1 = (1, 3), F_2 = (1, 9), a = 5.
\end{priklad}
 
\res{$\ds \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-6)^2}{25} = 1$}
 
 
\item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa):
\begin{priklad}
S = (1, 3), F_1 = (1, 1), a = 5.
\end{priklad}
 
\res{$\ds \frac{(x-1)^2}{21} + \frac{(y-3)^2}{25} = 1$}
 
 
\item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa):
\begin{priklad}
a = 5, V_1 = (3, 2), V_2 = (3, -4).
\end{priklad}
 
\res{$\ds \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$}
 
 
\item Popište a načrtněte elipsu
\begin{priklad}
3x^2 + 2y^2 = 12.
\end{priklad}
\res{$S = (0, 0), F = (0, \pm \sqrt 2), a = \sqrt 6, b = 2$}
 
\item Popište a načrtněte elipsu
\begin{priklad}
4x^2 + 9 y^2 - 18y = 27.
\end{priklad}
\res{$S = (0, 1), F = (\pm \sqrt 5, 1), a =3, b = 2$}
 
\item Popište a načrtněte elipsu
\begin{priklad}
4(x-1)^2 + y^2 = 64.
\end{priklad}
\res{$S = (1, 0), F = (1, \pm 4 \sqrt 3), a = 8, b = 4$}
 
\item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte
\begin{priklad}
F_1 = (0, -13), F_2 = (0, 13), a = 5.
\end{priklad}
 
\res{$\ds \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$}
 
 
\item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte
\begin{priklad}
F_1 = (-5, 1), F_2 = (5, 1), a = 3.
\end{priklad}
 
\res{$\ds \frac{x^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$}
 
 
\item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte
\begin{priklad}
F_1 = (-1, -1), F_2 = (-1, 1), a = 1/4.
\end{priklad}
 
\res{$\ds 16y^2 - \frac{16}{15}(x+1)^2 = 1$}
 
 
\item Popište a načrtněte hyperbolu
\begin{priklad}
\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1.
\end{priklad}
 
\res{$S = (0, 0), a = 3, V = (\pm 3, 0), F = (\pm 5, 0), y = \pm \frac{4}{3} x$}
 
 
\item Popište a načrtněte hyperbolu
\begin{priklad}
\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} = 1.
\end{priklad}
 
\res{$S = (1, 3), a = 3, V_1 = (4, 3), V_2 = (-2, 3), F_1 = (6, 3), F_2 = (-4, 3), y = \pm \frac{4}{3}(x-1) + 3$}
 
 
\item Popište a načrtněte hyperbolu
\begin{priklad}
4x^2 - 8x - y^2 + 6y - 1 = 0.
\end{priklad}
 
\res{$S = (1, 3), a = 2, V_1 = (1, 5), V_2 = (1, 1), F_{1, 2} = (1, 3 \pm \sqrt 5), y = 2x + 1, y = -2x + 5$}
 
 
\item Popište a načrtněte kuželosečku
\begin{priklad}
x^2 - 4y^2 - 10x + 41 = 0.
\end{priklad}
 
\res{$S = (5, 0), a = 2, V = (5, \pm 2), F = (5, \pm 2\sqrt 5), y = \pm \frac{1}{2}(x - 5)$}
 
\item Popište a načrtněte kuželosečku
\begin{priklad}
x^2 + 3y^2 + 6x + 8 = 0.
\end{priklad}
 
\item Popište a načrtněte kuželosečku
\begin{priklad}
y^2 + 4y + 2x + 1= 0.
\end{priklad}
\res{$V = (\frac{3}{2}, -2), F = (1, -2), d: x = 2$}
 
\item Popište a načrtněte kuželosečku
\begin{priklad}
9x^2 + 25 y^2 + 100y + 99 = 0.
\end{priklad}
 
\res{$S = (0, -2), F = (\pm \frac{4}{15}, -2), a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{5}$}
 
\item Popište a načrtněte kuželosečku
\begin{priklad}
7x^2 - 5y^2 + 14x - 40y = 118.
\end{priklad}
 
\item Popište a načrtněte kuželosečku
\begin{priklad}
(x^2 - 4y)(4x^2 + 9y^2 - 36) = 0.
\end{priklad}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Polární souřadnice}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic
\begin{priklad}
\left [3, \frac{1}{2} \pi \right]_p.
\end{priklad}
\res{$ [0, 3]_k$}
 
\item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic
\begin{priklad}
[-1, - \pi]_p.
\end{priklad}
\res{$ [1, 0]_k$}
 
\item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic
\begin{priklad}
\left[ -3, -\frac{1}{3} \pi\right]_p .
\end{priklad}
\res{$\left[ -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \sqrt3\right]_k$}
 
\item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic
\begin{priklad}
\left[ 3, - \frac{1}{2} \pi\right]_p .
\end{priklad}
\res{$[0, -3]_k$}
 
\item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu
\begin{priklad}
[0, 1]_k .
\end{priklad}
 
\res{$\left[ 1, \frac{1}{2} \pi + 2k \pi\right]_p  = \left[ -1, \frac{3}{2}\pi + 2k\pi\right]_p$}
 
 
\item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu
\begin{priklad}
[-3, 0]_k .
\end{priklad}
 
\res{$[3, \pi + 2k\pi]_p = [-3, 2k\pi]_p$}
 
 
\item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu
\begin{priklad}
[2, -2]_k.
\end{priklad}
 
\res{$\left[ 2\sqrt2, \frac{7}{4}\pi + 2k \pi\right]_p = \left[-2\sqrt2, \frac{3}{4}\pi + 2k\pi\right]_p$}
 
 
\item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu
\begin{priklad}
[4 \sqrt3, 4]_k.
\end{priklad}
 
\res{$\left[ 8, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right]_p = [-8, \frac{7}{6}\pi + 2k\pi]_p$}
 
 
 
\item Prověřte symetrii křivky
\begin{priklad}
r = 2 + \cos \varphi.
\end{priklad}
\res{dle osy x}
 
\item Prověřte symetrii křivky
\begin{priklad}
r(\sin \varphi + \cos \varphi) = 1.
\end{priklad}
\res{není symetrická}
 
\item Prověřte symetrii křivky
\begin{priklad}
r^2 \sin 2 \varphi = 1.
\end{priklad}
\res{dle počátku (obou os)}
 
\item Prověřte v polárních souřadnicích symetrii křivky
\begin{priklad}
x^2(y^2-1) = \frac{1}{4}.
\end{priklad}
\res{dle počátku a obou os}
 
 
 
\item Spočtěte plochu v křivce
\begin{priklad}
r = a \cos \varphi; \varphi \in [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ].
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{4} \pi a^2 $}
 
\item Spočtěte plochu v křivce
\begin{priklad}
r = a \sqrt{\cos 2 \varphi}; \varphi \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ].
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2} a^2$}
 
\item Spočtěte plochu v křivce
\begin{priklad}
r^2 = a^2 \sin^2 \varphi .
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2} \pi a^2$}
 
\item Spočtěte plochu mezi křivkami
\begin{priklad}
r = 2 \cos \varphi, r = \cos \varphi; \varphi \in [ 0, \frac{\pi}{4} ].
\end{priklad}
\res{$ \frac{3}{16} \pi + \frac{3}{8}$}
 
 
\item Spočtěte plochu mezi křivkami
\begin{priklad}
r = a \left(4 \cos \varphi - \frac{1}{\cos \varphi}\right);
\varphi \in [ 0, \frac{\pi}{4} ].
\end{priklad}
\res{$\frac{5}{2} a^2$}
 
\item Spočtěte plochu mezi křivkami
\begin{priklad}
r = e^ \varphi, r = e^{\frac\varphi2}; \varphi \in [ 0,\pi ].
\end{priklad} 
\res{$\frac{1}{4} (e ^{2\pi} + 1 - e^\pi)$}
 
\item Spočtěte plochu uvnitř $r = 4$ a napravo od křivky
\begin{priklad}
r = \frac2{\cos \varphi}.
\end{priklad}
\res{$\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2}(16-\frac{4}{\cos^2 \varphi}) \ud \varphi = \frac{16}{3}\pi -4\sqrt{3}$}
 
\item Spočtěte plochu uvnitř $r = 4$ a $r = \frac2{\cos \varphi}$ pro $\varphi \in [0, \frac\pi2]$.
 
\item Spočtěte plochu vně $r = 1 + \cos \varphi$ a uvnitř $r = 2 - \cos \varphi$.
\res{$2\pi + 3\sqrt{3}$}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Parametrické křivky}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{priklad}
x = 2t, y = \cos \pi t
\end{priklad}
v bodě $t=0$.
\res{$y = 1$}
 
 
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{priklad}
x = t^2, y = (2-t)^2
\end{priklad}
v bodě $ t = \frac{1}{2}$.
\res{$3x+y-3=0$}
 
 
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{priklad}
x= \cos^3 t, y = \sin^3 t
\end{priklad}
v bodě $t = \frac{\pi}{4}$.
\res{$2x + 2y - \sqrt{2} = 0$}
 
 
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{priklad}
r = 4 - 2 \sin \varphi
\end{priklad}
v bodě $\varphi = 0$.
\res{$2x + y -8 = 0$}
 
 
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{priklad}
r = \frac{4}{5-\cos \varphi}
\end{priklad}
v bodě $\varphi = \frac{1}{2} \pi$.
\res{$x-5y+4 = 0$}
 
 
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{priklad}
r = \frac{\sin \varphi - \cos \varphi}{\sin \varphi + \cos\varphi} 
\end{priklad}
v bodě $\varphi = 0$.
\res{$x + 2y + 1 =0$}
 
 
\item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny
\begin{priklad}
x = 3t - t^3, y = t+1.
\end{priklad}
 
\res{vert. $[2, 2], [-2, 0]$}
 
 
\item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny
\begin{priklad}
x= 3 - 4 \sin t, y = 4 + 3 \cos t.
\end{priklad}
 
\res{horiz. $[3, 7], [3, 1]$, vert. $[-1, 4], [7, 4]$}
 
 
\item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny
\begin{priklad}
x = t^2 - 2t, y = t^3 - 3t^2 + 2t.
\end{priklad}
 
\res{horiz. $[-\frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9} \sqrt 3]$, vert. $[-1, 0]$}
 
 
\item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny
\begin{priklad}
x = \cos t, y = \sin 2t.
\end{priklad}
 
\res{horiz. $[\pm \frac{1}{2} \sqrt 2, \pm 1]$, vert. $[\pm 1, 0]$}
 
 
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
x = t^2, y = t^3; t \in [ 0, 1 ].
\end{priklad}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
r = 2(1+ \cos \varphi)^{-1}; \varphi \in [ 0, \frac{\pi}{2} ].
\end{priklad}
\res{$\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt 2)$}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
r = a \sin^3 \frac{\varphi}{3}; \varphi \in [ 0, \pi ].
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{2} \pi a$}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
x = e^t \sin t, y = e^t \cos t; t \in  [ 0, \pi ].
\end{priklad}
\res{$\sqrt{2} (e^\pi - 1)$}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
r = e^{2 \varphi}; \varphi \in [ 0, 2\pi ].
\end{priklad}
\res{$\frac12 \sqrt 5(e^{4\pi} - 1)$}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
f(x) = \ln \left( \frac{1}{\cos x}\right); x \in [ 0, \frac{\pi}{4} ].
\end{priklad}
\res{$\ln(1+\sqrt2)$}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2-1}); x \in [ 1, 2 ].
\end{priklad}
\res{$\frac32$}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
x = t - \sin t, y = 1 - \cos t; t \in [ 0, 2\pi ].
\end{priklad}
\res{8}
 
\item Spočtěte délku křivky
\begin{priklad}
x = \cos t + t \sin t, y = \sin t - t \cos t; t \in [0, 2 \pi ].
\end{priklad}
\res{$2\pi^2$}
 
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{priklad}
y^2 = 2px; x \in [ 0, 4p ].
\end{priklad}
\res{$\frac{52}{3} \pi p^2$}
 
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{priklad}
6a^2xy = x^4 + 3a^4; x \in [ a, 2a ].
\end{priklad}
\res{$\frac{47}{16} \pi a^2$}
 
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{priklad}
x = \frac{2}{3} t ^{\frac32}, y = t; t \in [ 3, 8 ].
\end{priklad}
\res{$\frac{2152}{15} \pi$}
 
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{priklad}
r = e^ \varphi; \varphi \in [ 0, \frac\pi2  ].
\end{priklad}
\res{$[\frac25\sqrt2 \pi(2 e^\pi + 1)]$}
 
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{priklad}
4y = x^3; x \in [ 0, 1 ].
\end{priklad}
\res{$\frac{61}{432} \pi$}
 
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{priklad}
x = 2 \cos t, y = 2 \sin t; t \in [ 0, \frac\pi6 ].
\end{priklad}
\res{$4\pi(2-\sqrt{3})$}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item Načrtněte a popište křivku
\begin{priklad}
r = \frac{12}{2+\sin \varphi}.
\end{priklad}
 
 
\item Nalezněte body, ve kterých má křivka 
\begin{priklad}
x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \sin t  
\end{priklad}
vertikální a horizontální tečny.
 
\item Určete plochu, která je společná křivkám 
\begin{priklad}
r = 2a\sqrt 3 \cos\varphi; \varphi \in \left [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]
\end{priklad} \\
a 
\begin{priklad}
r = 2a \sin \varphi;  \varphi \in [0, \pi].
\end{priklad}
 
 
\item Načrtněte křivku 
\begin{priklad} 
r = \frac{9}{5-4 \sin \varphi}.
\end{priklad}
 
\item Načrtněte křivku 
\begin{priklad}
x(t) = 4t, y(t) = 3 \sqrt{t^2-1}.
\end{priklad}
 
\item Spočtěte délku křivky 
\begin{priklad}
x = \frac{1}{4} y^2 - \frac{1}{2} \ln y; y \in [1,  e].
\end{priklad}
\res{$\frac{e^2+1}{4}$}
 
 
\item Spočtěte obsah plochy, která leží uvnitř křivky 
\begin{priklad}
r = 2 \cos \varphi
\end{priklad}
a vně křivky $r=1$.
 
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle osy x) 
\begin{priklad}
x(t) = 2\cos t, y(t) =2\sin t; t\in [0,\frac \pi 6].
\end{priklad}
 
\res{$4\pi(2-\sqrt{3})$}
 
 
\item Nalezněte body, ve kterých má křivka 
\begin{priklad}
x(t) = 3 - 4\cos t,  y(t) = 4 + 3 \cos t
\end{priklad}
vertikální a horizontální tečny.
 
 
\item 
Nalezněte body, ve kterých má křivka 
\begin{priklad}
x(t) = 3 + 4\sin t, y(t) = 4 - 3 \cos t 
\end{priklad}
vertikální a horizontální tečny. Načrtněte křivku.
 
 
 
\end{enumerate}