Aktuální verze z 8. 4. 2019, 16:34

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Motivace}
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na 
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. 
 
 
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. 
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým 
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její 
definici: 
 
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$
a zároveň požadujeme
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$
 
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž 
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme 
 
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. 
 
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy a zavedli pro ně operace kompatibilní s těmi u klasických funkcí. 
Cílem je, abychom pro ně nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. hledat a ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak \uv{šikovně}, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. 
 
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého 
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. 
 
\newpage
 
\section{Koncept testování funkcemi}
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. 
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. 
Klasická metoda, tzv.  {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. 
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat 
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. 
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. 
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí 
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.
 
\begin{remark}
 
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). 
 
\end{remark}
 
\section{Testovací funkce}
\subsection{Úvod do problematiky}
 
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem, tj. $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$.
\end{define}
 
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. 
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ 
\end{define}
 
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, 
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. 
\end{remark}
 
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. 
 
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále 
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Proměnnými funkcionálu tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$, a jeho hodnotu při daném $\phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme 
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ 
\end{define}
 
\begin{remark}
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. 
 
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. 
 
\begin{remark}
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.
\end{remark}
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists  x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. 
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá 
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát 
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '}  \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. 
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}
 
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, 
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení 
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n}  f(x) \overline{g(x)} \dd x$. 
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. 
 
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: 
\begin{enumerate}
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C}  $;
\item Musí být lineární v 1. argumentu;
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. 
\end{enumerate}
 
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část 
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. 
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. Pro tento účel nejprve definujme relaci $\sim$.
 
\subsection {Zavedení $L^2$}
 
\begin{define}
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: 
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). 
\end{define}
 
Jedná se o~relaci ekvivalence, neboť je symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). 
Pomocí této ekvivalence potom můžeme faktorizovat množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence (množin, které jsou tvořeny funkcemi vzájemně ekvivalentními vzhledem k relaci $\sim$), které budou určovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. $L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak  se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. Připomeňme ještě několik důležitých pojmů o vektorových prostorech:
 
\begin{define}
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n  \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. 
\end{define}
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci  v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. 
 
\begin{define}
Buď  $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když 
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$
\end{define}
 
 
\begin{define}
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.
\end{remark}
 
\begin{define}
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.
\end{remark}
 
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:
\begin{define}
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \  : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]
\end{define}
 
\begin{remark}
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence 
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. 
\end{remark}
 
\begin{remark}
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. 
\end{remark}
 
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:
\begin{theorem}
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$
\end{theorem}
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}
 
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? 
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.
 
\begin{define}
Množinu 
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] 
nazýváme
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. 
 
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$
\end{define}
 
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás 
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. 
 
\begin{theorem}
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:
\begin{remark}
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. 
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. 
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.
\end{remark}
 
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro  všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje 
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq 
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} 
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. 
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
$\D \subset L^p$.
\begin{proof}
Stačí integrovat po kompaktním nosiči, na kterém $\phi$ nutně nabývá svého maxima \textit{K}. Integrál pak lze shora odhadnout 
 
$$ \Vert \phi \Vert_p = \sqrt[p]{\int_{\nf \phi} |\phi(x)|^p \ \text{d} x} \leq \vert\textit{K}\vert\cdot\sqrt[p]{\mu (\nf \phi)} < + \infty  .$$
 
\end{proof}
\end{theorem}