Aktuální verze z 11. 6. 2018, 09:34

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Reprezentace vícečásticových systémů}
Nechť Hilbertův prostor jedné částice je nějaký separabilní $\hilbert$, na němž zvolíme konečnou nebo spočetnou bázi $(\ket{1}, \ket{2}, \ldots) = (\ket{i})_{i \in \mathscr{I}}$.
 
Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných; jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru
\begin{equation}
  \hilbert_n=\begin{cases}
  \mathscr{S}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),\\
  \mathscr{A}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),
  \end{cases}
  \label{eq:hilbert}
\end{equation} 
kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? (Proč ty jsou pro nerozlišitelné čístice nutné, jsme odvozovali v \cite{hlav:QM}.)
 
Označme si $m_k$ index vektoru v bázi $k$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel -- multiindex $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$. Ten parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože ta je tvořena normovanými vektory
\begin{equation}
	\frac{ \mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \left( \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots \otimes \ket{m_n} \right)}{\norm{\ldots}}, \label{eq:bazeTenzoru}
\end{equation}
kde $\mathscr{S}$, resp. $\mathscr{A}$ působící na vektor značí jeho ortogonální projekci na odpovídající stavový prostor. Takto bychom ovšem mnoho stavů započítali několikrát, při vyčíslování báze si tedy zavedeme podmínku $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, což takovým kolizím zabrání. Pro fermiony je podmínku ještě potřeba posílit na $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$, jinak by antisymetrizace v~případech s rovností dávala nulové vektory.
 
%================================================================================
\subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor}
%================================================================================
Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textbf{obsazovacími čísly} $(n_1, n_2, \ldots)$,  $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i\in\mathscr{I}} n_i = n$, která se definují jako
\begin{equation*}
	n_i = \#\left\lbrace k \in \hat{n}: m_k = i \right\rbrace,
\end{equation*}
kde $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_i$ tedy představuje počet částic ve stavu $\ket{i}$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako
\begin{equation}
	\ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \frac{\mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \bigl( \overbrace{\ket{1} \otimes \ldots \otimes \ket{1}}^{n_1\text{-krát}} \otimes \overbrace{\ket{2} \otimes \ldots \otimes \ket{2}}^{n_2\text{-krát}} \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}}.
  \label{BF:obsaz-cisla}
\end{equation}
Pro ferminony musíme vyžadovat $\forall i: n_i \in \{0, 1\}$.%
\footnote{To znamená, že v \eqref{BF:obsaz-cisla} budou hodnoty $n_i$ značit přítomnost nebo nepřítomnost daného členu.}
Při překročení jednoho fermionu na bázový stav by antisymetrizace dala nulový vektor a normalizace by nebyla definovaná.
 
Naším cílem je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic, tj. prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech a jejich superpozice. Tento prostor se nazývá \textbf{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme
\begin{equation}
	\hilbert^{\otimes k} = \underbrace{\hilbert \otimes \ldots \otimes \hilbert}_{k\text{-krát}},
\end{equation}
kde $\hilbert$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\hilbert^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots
\begin{equation}
	\fock_B(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{S}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\hilbert^{\otimes k}),
\end{equation}
a stejně tak pro fermiony
\begin{equation}
	\fock_F(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{A}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\hilbert^{\otimes k}).
\end{equation}
 
Je hned vidět, že pro $\dim \hilbert < \infty$ tak dostáváme
\[
  \begin{aligned}
    \dim \fock_B(\hilbert) &= \infty, \\
    \dim \fock_F(\hilbert) &= 2^{\dim \hilbert}.
  \end{aligned}
\]
 
Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\hilbert$ je separabilní, $\fock_B(\hilbert)$ i $\fock_F(\hilbert)$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $n_1 \neq n_2$, $\ket{\psi} \in \hilbert^{\otimes n_1}$ a $\ket{\varphi} \in \hilbert^{\otimes n_2}$ jako
\begin{equation}
	\braket{\psi}{\varphi} = 0
\end{equation}
a pro $n_1 = n_2 = n$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů -- pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_n}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}$ definujeme
\begin{equation}
	\left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_n}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_n}{\varphi_n}.
\end{equation}
S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů, jak je zvykem.
 
%================================================================================
\subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory}
%================================================================================
Zavádět Fockův prostor nemá mnoho významu bez operátorů, které by vyjadřovaly zobrazení mezi jednotlivými částmi direktního součtu, tj. měnily počet částic v systému. Zavedeme zde kreační a anihilační operátory, které mají velký význam pro druhou kvantizaci.%
\footnote{Jestliže vám připomínají formalizmus kolem harmonického oscilátoru ze zimy, jste na dobré cestě.}
 
Prvně se soustřeďme na bosonové operátory v bosonovém Fockově prostoru. Budeme požadovat, aby \textbf{kreační operátor} $\kreak{i}$ přidával do systému jednu částici v $i$-tém stavu, tj. pro bázové vektory
\begin{equation*}
  \kreak{i} : \fock_B(\hilbert) \to \fock_B(\hilbert): \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots},
\end{equation*}
kde konstanta $\beta_{n_i}$ prozatím zůstává neurčena. Když už budeme mít kreační operátor, odpovídající \textbf{anihilační operátor} definujeme pomocí hermitovského sdružení
\begin{equation}
	\anihilak{i} = \bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger.
\end{equation}
 
Abychom viděli, jaké konstanty $\beta'_{n_i}$ zvolit u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu
\[
  \begin{aligned}
    &\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{\bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots  \notag \\
    &\qquad = \begin{cases}
      0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\
      \ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0
    \end{cases} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots},
  \end{aligned}
\]
neboli vidíme, že
\begin{equation}
	\anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = 
		\begin{cases}
			0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0,\\
			\overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} & \mathrm{pro}\: n_{i}>0.
		\end{cases}
\end{equation}
Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
    &\quad - \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
    &= 0,
  \end{aligned}
\]
pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek stejný triviálně. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. Zkusme nyní pro $i\ne j$
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
    &\quad - \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
    &= 0
  \end{aligned}
\]
a nakonec pro $i = j$
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
  \end{aligned}
\]
 
Poslední komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. Celkově tedy pokládáme
\begin{equation}
	\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{ij} \opone.
  \label{eq:komutatorBosony}
\end{equation}
Ke splnění postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$:
\[
  \begin{aligned}
    \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i -1}} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1.
  \end{aligned}
\]
Shrnutí naší volby tedy je
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, \\
    \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}.
  \end{aligned}
\end{equation*}
 
Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako
\begin{equation*}
	\ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0},
\end{equation*}
kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který splňuje
\begin{equation}
	\anihilak{j} \ket{0} = 0, \forall j \in \mathscr{I},
  \label{eq:anihilakkk}
\end{equation}
a díky tomu lze Fockův prostor napsat jako
\begin{equation*}
	\fock_B(\hilbert) = \obal{\left. \left( \prod_{i\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i < + \infty}.
\end{equation*}
 
%================================================================================
\subsubsection{Operátory počtu částic}
%================================================================================
Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textbf{\boldmath operátor počtu částic v $i$-tém stavu}
\begin{equation}
	\hat{N}_i = \kreak{i} \anihilak{i},
\end{equation}
podívejme se, jak působí:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{j\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \right) \ket{0} \\
    &= \underbrace{\prod_{j\in\mathscr{I}, j \ne i} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0} = *,
  \end{aligned}
\end{equation*}
kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony}
\[
  \begin{aligned}
    * &=  A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\
    &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\
    &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\
    &= 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\
    &\,\,\,\vdots \notag \\
    &= n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
  \end{aligned}
\]
a vidíme, že operátor $\hat{N}_i$ je věrný svému názvu.
 
Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textbf{operátor celkového počtu částic}
\begin{equation}
	\hat{N} = \sum_{i\in\mathscr{I}} \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} \kreak{i} \anihilak{i}.
\end{equation}
 
Také si všimněme toho, že ${\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace}_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří na $\fock_B(\hilbert)$ úplný soubor komutujících operátorů se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$.
 
%================================================================================
\subsubsection{Časový vývoj}
%================================================================================
Uvažujme nejprve soustavu $n$ neinteragujících částic. Z hlediska operátoru časového vývoje se každá vyvíjí nezávisle na ostatních, tedy evoluci $n$ částic jsme schopni zapsat pomocí jednočásticových operátorů časového vývoje jako
\begin{equation}
  \hat{U}_n(t, t_0) = \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \ldots \otimes \hat{U}_1(t, t_0) =: \hat{U}_1(t, t_0)^{\otimes n}.
  \label{BF:operatorU}
\end{equation}
 
Hamiltonián celkového systému získáme časovou derivací \eqref{BF:operatorU}. Podle Leibnizova pravidla, ohnutého pro tenzorový součin,
\begin{equation*}
  \hat{H} = \hat{H}_1 \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ I \otimes \hat{H}_1  \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ \ldots \ + \ I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_1 =: \hat{H}_1^{\oplus n}.
\end{equation*}
 
Pokud $(\ket{i})_{i\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů energie v $\hilbert$, $\hat{H}_1 \ket{i} = E_i \ket{i}$, můžeme přepsat působení takového hamiltoniánu do formalizmu obsazovacích čísel jako
\begin{equation}
	\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i E_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
\end{equation}
což je vzorec použitelný nejen pro pevný celkový počet částic $n$, ale i na Fockově prostoru. Odsud už je jen krok k přepisu pomocí operátorů počtu částic,
\begin{equation}
	\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
\end{equation}
Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově
\begin{equation}
	\hat{H} =  \sum_{i=1}^{\infty} E_i \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \kreak{i} \anihilak{i},
\end{equation}
pro neinteragující částice na $\fock_B(\hilbert)$.
 
Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které
\begin{equation}
	\komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0,
\end{equation}
které zachovávají celkový počet částic.
 
%================================================================================
\subsubsection{Spojité stupně volnosti}
%================================================================================
Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i operátorům se spojitým spektrem či kombinacím komutujících operátorů, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající kreační a anihilační operátory jako
\begin{equation}
	\kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi},
\end{equation}
kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří nebo anihiluje
\begin{equation}
	\kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}).
\end{equation}
Třeba
\begin{equation}
	\kreak{\vec{p}, \xi} \kreak{\vec{p}', \xi} \ket{0},
\end{equation}
odpovídá stavu se dvěma částicemi s daným spinem a hybnostmi $\vec{p}$ a $\vec{p}'$, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\mathscr{S}\bigl(\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}', \xi} (\vec{y})\bigr)$.
 
Postulujeme komutační relace dle stejné logiky jako výše, ale s Diracovou funkcí místo Kroneckerovy delty u spojitých indexů:
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\
    \komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\
    \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') \opone.
  \end{aligned}
\]
Ve vyjádření pro obecný vektor z takového Fockova prostoru je pak potřeba sumu nahradit integrálem,
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor}
\end{equation}
kde v koeficientech $\alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}}$ jsou schované informace o stavu.
 
%================================================================================
\subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory}
%================================================================================
Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor $\bkreak{j}$. Rozepíšeme jeho působení na stav s obsazovacími čísly $(n_i)_{i\in\mathscr{I}}$ a budeme uvažovat, že konzistentně přidává $j$-tý stav \textsl{nalevo} od již existujících stavů.%
\footnote{Pochopitelně $j$-tý stav nesmí již být obsazen, proto uvažujeme $n_j = 0$.}
To je důležité, protože antisymetrizace pak přidá správný znaménkový faktor:
\[
  \begin{aligned}
    \bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j = 0, \ldots} &= \bkreak{j} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
    &= \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{j} \otimes \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
    &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \otimes \ket{j} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
    &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n'_j = 1, \ldots}.
  \end{aligned}
\]
Suma v předchozím výrazu počítá, kolik stavů před $j$–tým je obsazeno. 
Fermionový anihilační operátor je potom
\begin{equation*}
	\banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases}
0 & \text{pro\ } n_{j}=0,\\
\left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j' = 0, \ldots} & \text{pro\ } n_{j} = 1.
\end{cases}
\end{equation*}
 
Podívejme se, jaké relace naše operátory splňují. Bez újmy na obecnosti nechť $i<j$. Pokud $n_i$ nebo $n_j$ jsou $1$, pak
\begin{equation*}
  \bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = 0,
\end{equation*}
jinak
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    &\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 0, \ldots} = \notag \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \bkreak{i}\ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 1, \ldots} \notag \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \notag \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots},
  \end{aligned}
\end{equation*}
podobně
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    &\bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i = 0, \ldots, n_j = 0, \ldots} = \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \bkreak{j}\ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 0, \ldots} \\
    &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=1}^{j-1} n_k \right)+ 1} (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \\
    &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots},
  \end{aligned}
\end{equation*}
takže ve všech situacích
\begin{equation}
	\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}.
\end{equation}
 
Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují!%
\footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.}
\begin{equation}
	\antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{j}} = \bkreak{i} \bkreak{j} + \bkreak{j} \bkreak{i} = 0.
\end{equation}
Podobně by se ukázalo
\[
  \begin{aligned}
    \antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &= 0, \\
    \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &= \delta_{ij} \opone,
  \end{aligned}
\]
a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako
\begin{equation}
	\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \bkreak{1}^{n_1} \ldots \bkreak{i}^{n_i} \ldots \ket{0}.
\end{equation}
(V tomto případě, na rozdíl od bosonů, na pořadí operátorů záleží!)
Z antikomutačních relací je také hned vidět
\begin{equation}
	\bkreak{i}^2 = \frac{1}{2} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{i}} = 0,
\end{equation}
což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip.
 
%================================================================================
\subsubsection{Operátory počtu částic}
%================================================================================
Obdobně jako v případě bosonů lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu stejným vztahem i pro fermiony,
\begin{equation*}
	\hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation*}
Ty navíc mají zajímavou vlastnost
\begin{equation*}
	\hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j,
\end{equation*}
která dává opět jinak zapsaný Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$, a tedy mohou být ve spektru $\hat{N}_j$, jsou jednička a nula.
 
V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic
\begin{equation}
	\hat{N} = \sum_{j\in\mathscr{I}} \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsubsection{Hamiltonián}
%================================================================================
Pro neinteragující částice můžeme opět zapsat hamiltonián soustavy fermionů
\begin{equation*}
	\hat{H} = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \bkreak{j} \banihilak{j},
\end{equation*}
pokud $(\ket{j})_{j\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů jednočásticového hamiltoniánu.
 
Užitečná identita pro práci s fermiony je
\begin{equation*}
	\komut{AB}{C} = ABC + (ACB - ACB) - CAB = A \antikomut{B}{C} - \antikomut{A}{C}B,
\end{equation*}
kterou využijeme například v situacích
\begin{gather*}
	\komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = E_j \komut{\bkreak{j} \banihilak{j}}{\bkreak{i}} = E_j \Bigl( \bkreak{j} \underbrace{\antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{i}}}_{\delta_{ij}} - \underbrace{\antikomut{\bkreak{j}}{\bkreak{i}}}_0 \banihilak{j} \Bigr) = E_i \bkreak{i}, \\
	\komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - E_i \banihilak{i}
\end{gather*}
pro neinteragující část hamiltoniánů.
 
%================================================================================
\subsubsection{Více druhů částic}
%================================================================================
Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic
\begin{equation}
	\fock = \fock_B(\hilbert^1) \otimes \ldots \otimes \fock_B(\hilbert^{\Lambda}) \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^1) \otimes \ldots \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^{\Sigma}),
\end{equation}
kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit $\kreak{\lambda, \vec{p}, \xi}$ bosonový kreační operátor $\lambda$-té částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, -s_\lambda+1, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony $\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}$. Dále je obvyklé platnost komutačních relací uvedených výše rozšířit i na různé druhy částic,
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\
    \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\
    \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'),
  \end{aligned}
\end{equation*}
a nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat,%
\footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.}
\begin{equation}
	\komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0.
\end{equation}
Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.