Matematika1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 12: | Řádka 12: | ||
\textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$. | \textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | % \begin{remark} | ||
+ | % Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$. | ||
+ | % \end{remark} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 22: | Řádka 26: | ||
\begin{define}[Polynom] | \begin{define}[Polynom] | ||
\textbf{Polynom} $p$ je funkce definovaná jako | \textbf{Polynom} $p$ je funkce definovaná jako | ||
− | $$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n} | + | $$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^k,$$ |
− | Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\ | + | kde $a_k$ jsou komplexní čísla pro všechny indexy $k= 0,1,\dots,n$. |
+ | Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\C$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | My budeme uvažovat výhradně polynomy reálné, tj. $a_k\in\R$ pro $\forall k=0,1,\dots,n$, a s $D_p = \R$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{remark}~ | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item Nulový polynom: $p(x)=0$. | ||
+ | \item Polynom 0. stupně: $p(x)=K$, kde $K\neq 0$. | ||
+ | \item Polynom 1. stupně se nazývá \textit{lineární} polynom. | ||
+ | \item Polynom 2. stupně se nazývá \textit{kvadratický} polynom. | ||
+ | \item Polynom 3. stupně se nazývá \textit{kubický} polynom. | ||
+ | \item Polynom 4. stupně se nazývá \textit{bikvadratický} polynom. | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Kořen polynomu] | ||
+ | Bod $x_0\in\R$ takový, že $p(x_0)=0$, nazýváme kořenem (též nulovým bodem) polynomu $p$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Základní věta algebry] | ||
+ | Každý polynom stupně alespoň prvního má v $\C$ alespoň jeden kořen. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Každý polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ kořenů. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
Aktuální verze z 6. 8. 2014, 10:45
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 11:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 08:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 11:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 10:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 16:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 19:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 23:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 13:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 06:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 12:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 10:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Funkce]{\fbox{Funkce}} \subsection{Definice} \begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce} \textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis, který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$. Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$. \end{define} \begin{define}[Graf funkce] \textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$. \end{define} % \begin{remark} % Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$. % \end{remark} \begin{theorem} Množina $\mathcal{F}$ je funkcí ve smyslu definice \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí: $$ \big( (x,y) \in \mathcal{F} \wedge (x,z) \in \mathcal{F} \big) \Rightarrow y=z. $$ \end{theorem} \subsection{Základní funkce} \begin{define}[Polynom] \textbf{Polynom} $p$ je funkce definovaná jako $$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^k,$$ kde $a_k$ jsou komplexní čísla pro všechny indexy $k= 0,1,\dots,n$. Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\C$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$. \end{define} \begin{remark} My budeme uvažovat výhradně polynomy reálné, tj. $a_k\in\R$ pro $\forall k=0,1,\dots,n$, a s $D_p = \R$. \end{remark} \begin{remark}~ \begin{itemize} \item Nulový polynom: $p(x)=0$. \item Polynom 0. stupně: $p(x)=K$, kde $K\neq 0$. \item Polynom 1. stupně se nazývá \textit{lineární} polynom. \item Polynom 2. stupně se nazývá \textit{kvadratický} polynom. \item Polynom 3. stupně se nazývá \textit{kubický} polynom. \item Polynom 4. stupně se nazývá \textit{bikvadratický} polynom. \end{itemize} \end{remark} \begin{define}[Kořen polynomu] Bod $x_0\in\R$ takový, že $p(x_0)=0$, nazýváme kořenem (též nulovým bodem) polynomu $p$. \end{define} \begin{theorem}[Základní věta algebry] Každý polynom stupně alespoň prvního má v $\C$ alespoň jeden kořen. \end{theorem} \begin{theorem} Každý polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ kořenů. \end{theorem} \begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou: \begin{itemize} \item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $, $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $ \item Racionální funkce $ \frac{1}{x}$, $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $, $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $ \item Absolutní hodnota $|x|$, $ D_{|x|}= \R $, $H_{|x|}= \R_0^+ $ \item Funkce signum $\ds \sign{x} = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \hbox{pro~} x > 0 \\ 0 & \hbox{pro~}x = 0 \\ -1 & \hbox{pro~}x <0 \end{array} \right.$ \end{itemize} \end{remark} \subsection{Algebraické kombinace funkcí} \begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~ Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť $D_{f}= D_{g} $. Pak lze definovat následující nové funkce: \begin{itemize} \item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$ \item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$ \item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ \item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ \end{itemize} \end{define} \begin{define}[Skládání funkcí]~ Nechť $(\forall x\in D_g)(g(x)\in D_f)$, pak $(f\circ g)(x) = f(g(x))$. \end{define} \begin{remark} Skládání funkcí není komutativní, tj. obecně $f\circ g \neq g\circ f$. \end{remark} \subsection{Prostá a inverzní funkce} \begin{define}[Prostá funkce] Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$. \end{define} \begin{theorem}[O existenci a jednoznačnosti inverzní funkce]\label{thm:inverze} Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem $D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$. \end{theorem} \begin{proof} Pro dané $y\in H_f$ existuje díky prostotě $f$ právě jedno $x \in D_f$ tak, že $y=f(x)$. Toto $x$ označíme $g(y):=x$ a dostaneme jednoznačný předpis $g: y \mapsto x$, který vyhovuje definici funkce. \end{proof} \begin{define}[Inverzní funkce] Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$. \end{define} \begin{theorem}\label{thm:inverze_id} Funkce $f^{-1}$ je inverzní k $f$ právě tehdy, když $f^{-1}\circ f=\id$ a $f\circ f^{-1}=\id$. \end{theorem} \begin{theorem}[Inverze složené funkce]\oprava $$(f\circ g)^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1}.$$ \begin{proof} $f(g(x))=y$, odkud $g(x) = f^{-1}(y)$ odkud $x = g^{-1}(f^{-1}(y))$. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Parita} \begin{define}[Parita funkce] Nechť funkce $f$ má definiční obor symetrický dle $0$. Pak říkáme, že funkce $f$ je \begin{itemize} \item \textbf{sudá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = f(x))$. \item \textbf{lichá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = -f(x))$. \end{itemize} \end{define} \subsection{Obraz, vzor} \begin{define}[Obraz množiny] Obraz množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina $$f(M) = \{y : (\exists x\in M)(f(x)=y) \}.$$ \end{define} \begin{define}[Vzor množiny] Vzor množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina $$f^{-1}(M) = \{x : (\exists y\in M)(f(x)=y) \}.$$ \end{define}