01PRA1:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1} \chapter{Absolutně spojitá rozdělení} \begin{definition}[ASR, SASR] Buďte $ (X_1,\dots,X_n) $ náhodné veličiny. Říkáme že mají (pro $ ...) |
m (Opravy drobných překlepů a přepisů) |
||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od jednoho dalšího uživatele.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01PRA1} | %\wikiskriptum{01PRA1} | ||
− | \ | + | \section{Absolutně spojitá rozdělení} |
\begin{definition}[ASR, SASR] | \begin{definition}[ASR, SASR] | ||
Řádka 83: | Řádka 83: | ||
\begin{theorem}[Radon-Nikodymova] | \begin{theorem}[Radon-Nikodymova] | ||
− | \label{ | + | \label{radon-nikodym} |
Nechť jsou $ \nu $ a $ \lambda $ míry na $ (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n) $ takové, že míra $ \lambda $ je | Nechť jsou $ \nu $ a $ \lambda $ míry na $ (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n) $ takové, že míra $ \lambda $ je | ||
$ \sigma $-konečná, a přitom $ \nu << \lambda $. Potom existuje $ f \geq 0 $ borelovsky | $ \sigma $-konečná, a přitom $ \nu << \lambda $. Potom existuje $ f \geq 0 $ borelovsky | ||
Řádka 92: | Řádka 92: | ||
\Rightarrow f = g $. | \Rightarrow f = g $. | ||
− | Funkce $ f $ se nazývá | + | Funkce $ f $ se nazývá Radon-Nikodymova derivace míry $ \nu $ vzhledem k míře $ \lambda $, a značíme |
ji | ji | ||
$$ f = \frac{d\nu}{d\lambda} $$ | $$ f = \frac{d\nu}{d\lambda} $$ | ||
Řádka 206: | Řádka 206: | ||
\right) $$ | \right) $$ | ||
$ \mathrm{P}^{\mathbf{X}}\left(B\right) $ je opět pravděpodobnostní míra, takže na ni můžeme použít | $ \mathrm{P}^{\mathbf{X}}\left(B\right) $ je opět pravděpodobnostní míra, takže na ni můžeme použít | ||
− | R.-N. větu (\ref{ | + | R.-N. větu (\ref{radon-nikodym}) s volbou $ \nu = \mathrm{P}^{\mathbf{X}} $. Potom dle R.-N. věty |
existuje funkce $ f_{\mathbf{X}} $ taková, že $$\left(\forall B \in \mathcal{B}_n \right) \left( | existuje funkce $ f_{\mathbf{X}} $ taková, že $$\left(\forall B \in \mathcal{B}_n \right) \left( | ||
\mathrm{P}_{\mathbb{X}}\left( B \right) = \int_{B} f_{\mathbb{X}} \right) $$ } | \mathrm{P}_{\mathbb{X}}\left( B \right) = \int_{B} f_{\mathbb{X}} \right) $$ } | ||
Řádka 270: | Řádka 270: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \begin{theorem} | + | \begin{theorem}[Transformace náhodné veličiny] |
Nechť $ \mathbf{X} $ má SASR, a $ g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ buď borelovsky měřitelná, přičemž $ m \leq n $. Potom $ \mathbf{Y} = g(\mathbf{X}) $ má také SASR a platí | Nechť $ \mathbf{X} $ má SASR, a $ g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ buď borelovsky měřitelná, přičemž $ m \leq n $. Potom $ \mathbf{Y} = g(\mathbf{X}) $ má také SASR a platí | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Řádka 319: | Řádka 319: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \ | + | \subsection{Příklady SASR rozdělení} |
− | \ | + | \subsubsection{Gamma rozdělení $\ \ \ Gamma(\alpha,\beta) $} |
$$ X \sim f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta^{\alpha}} x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\ \ \textrm{\ pro\ } \alpha,\beta,x > 0 $$ | $$ X \sim f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta^{\alpha}} x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\ \ \textrm{\ pro\ } \alpha,\beta,x > 0 $$ | ||
$$ \mathrm{F}_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta^{\alpha}} t^{\alpha-1}e^{-\frac{t}{\beta}} dt \ \ \ \textrm{(tzv. neúplná } \Gamma \textrm{\ funkce)} $$ | $$ \mathrm{F}_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta^{\alpha}} t^{\alpha-1}e^{-\frac{t}{\beta}} dt \ \ \ \textrm{(tzv. neúplná } \Gamma \textrm{\ funkce)} $$ | ||
− | \ | + | \subsubsection{Beta rozdělení $\ \ \ Beta(p,q) $} |
$$ X \sim f_X(x) = \frac{1}{B(p,q)}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\ \ \textrm{\ pro\ } p,q > 0, x \in (0,1) $$ | $$ X \sim f_X(x) = \frac{1}{B(p,q)}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\ \ \textrm{\ pro\ } p,q > 0, x \in (0,1) $$ | ||
$$ \mathrm{F}_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{B(p,q)}t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt \ \ \ \textrm{(tzv. neúplná\ } B \textrm{ funkce)} $$ | $$ \mathrm{F}_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{B(p,q)}t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt \ \ \ \textrm{(tzv. neúplná\ } B \textrm{ funkce)} $$ | ||
− | \ | + | \subsubsection{Rovnoměrné rozdělení $\ \ \ U(G) $ } |
Nechť $ G \subset \mathbb{R}^n $ je oblast, potom | Nechť $ G \subset \mathbb{R}^n $ je oblast, potom | ||
$$ X \sim f_{X}(x) = \left\{ \matrix{\frac{1}{\mu\left(G\right)} & \textrm{\ pro\ } x \in G \cr 0 & \textrm{jinak}} \right. $$ | $$ X \sim f_{X}(x) = \left\{ \matrix{\frac{1}{\mu\left(G\right)} & \textrm{\ pro\ } x \in G \cr 0 & \textrm{jinak}} \right. $$ | ||
Specielně pro interval $ (a,b) $ můžeme například definovat $ \mu(G) = b - a $ | Specielně pro interval $ (a,b) $ můžeme například definovat $ \mu(G) = b - a $ | ||
− | \ | + | \subsubsection{Exponenciální rozdělení $ \ \ \ Exp(\theta,\mu) $} |
(Jedná se vlastně o specielní případ rozdělení Gaussova). | (Jedná se vlastně o specielní případ rozdělení Gaussova). | ||
$$ X \sim f_{X}(x) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x - \mu}{\theta}}\ \ \ \textrm{pro\ } x > \mu, \mu \in \mathbb{R}, \theta > 0 $$ | $$ X \sim f_{X}(x) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x - \mu}{\theta}}\ \ \ \textrm{pro\ } x > \mu, \mu \in \mathbb{R}, \theta > 0 $$ | ||
Řádka 388: | Řádka 388: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \ | + | \subsubsection{Normální (Gaussovo) rozdělení $\ \ N(\mu,\sigma^{2}) $} |
$$ X \sim f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\ \ \textrm{\ pro\ } x,\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0 $$ | $$ X \sim f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\ \ \textrm{\ pro\ } x,\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0 $$ | ||
Nechť $ \sigma = 0, \mu = 1 $, potom rozdělení $ N(0,1) $ označujeme jako standardní normální rozdělení, jeho hustotu pravděpodobnosti označujeme $ \varphi(x) $, distribuční funkci označujeme $ \Phi(x) $, tj. | Nechť $ \sigma = 0, \mu = 1 $, potom rozdělení $ N(0,1) $ označujeme jako standardní normální rozdělení, jeho hustotu pravděpodobnosti označujeme $ \varphi(x) $, distribuční funkci označujeme $ \Phi(x) $, tj. | ||
Řádka 481: | Řádka 481: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \ | + | \subsubsection{Studentovo rozdělení} |
\begin{theorem}[Studentovo rozdělení] | \begin{theorem}[Studentovo rozdělení] | ||
Buďte $ X,Y $ takové náhodné veličiny, že $ X \sim N(0,1) $, $ Y \sim \chi^2(n) $. Potom náhodná veličina | Buďte $ X,Y $ takové náhodné veličiny, že $ X \sim N(0,1) $, $ Y \sim \chi^2(n) $. Potom náhodná veličina | ||
Řádka 503: | Řádka 503: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \ | + | \subsubsection{Fischerovo rozdělení} |
\begin{theorem}[Fischerovo rozdělení] | \begin{theorem}[Fischerovo rozdělení] | ||
Buďte $ X,Y $ nezávislé náhodné veličiny, takové že $ X \sim \chi^2(m) $, $ \chi^2(n) $. Potom náhodná veličina | Buďte $ X,Y $ nezávislé náhodné veličiny, takové že $ X \sim \chi^2(m) $, $ \chi^2(n) $. Potom náhodná veličina |
Aktuální verze z 18. 2. 2012, 02:06
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1 | Karel.brinda | 4. 10. 2010 | 23:39 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:49 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 8. 3. 2011 | 19:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Admin | 4. 8. 2010 | 10:45 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 20:43 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Axiomatická definice pravděpodobnosti | Pitrazby | 18. 2. 2012 | 01:46 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Snilard | 8. 3. 2011 | 01:55 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Pitrazby | 18. 2. 2012 | 02:06 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Jakub.flaska | 1. 8. 2010 | 17:49 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Pitrazby | 18. 2. 2012 | 02:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Statistika | Jakub.flaska | 1. 8. 2010 | 18:22 | kapitola7.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:01PRA1_kap1_Uloha_na_nedeli.pdf | 01PRA1_kap1_Uloha_na_nedeli.pdf |
Soubor:01PRA1_kap1_Buffonuv_problem.pdf | 01PRA1_kap1_Buffonuv_problem.pdf |
Soubor:01_PRA1_kap1_Bertranduv_paradox.pdf | 01PRA1_kap1_Bertranduv_paradox.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1} \section{Absolutně spojitá rozdělení} \begin{definition}[ASR, SASR] Buďte $ (X_1,\dots,X_n) $ náhodné veličiny. Říkáme že mají (pro $ n \geq 2 $ sdružené) rozdělení absolutně spojitého typu (absolutně spojité rozdělení) - ASR/SASR - pokud na prostoru existuje borelovsky měřitelná funkce \begin{equation} f_{\mathbf{X}} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{equation} taková, že \begin{equation} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} \dots \int_{-\infty}^{x_n} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) d\mathbf{t}\ \ \ \ \ \ \ \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \end{equation} Funkci $ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) $ nazýváme (sdruženou) hustotou pravděpodobnosti (vzhledem k Lebesgueově míře) náhodné veličiny $ \mathbf{X} $. \end{definition} \begin{definition}[Absolutní spojitost] Říkáme, že funkce $ F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ je absolutně spojitá na intervalu $ (a,b) $, pokud $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall n)\left(\forall\left( a_j,b_j\right) \subset \left(a,b\right)\right)$ \begin{equation} \sum_{j=1}^{n}|a_j - b_j| < \delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{n} |F(a_j) - F(b_j)| < \varepsilon \end{equation} \end{definition} \begin{theorem} Funkce $ \mathrm{F} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ je absolutně spojitá, pokud existuje funkce $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ borelovsky měřitelná na $ \left(\Omega,\mathcal{B} \right) $ taková, že \begin{equation} \mathrm{F}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\mathrm{d}t\ \ \ \ \ \forall \mathbf{t} \in \mathbb{R} \end{equation} V bodech spojistosti funkce $ f $ navíc platí $ \mathrm{F}'(x) = f(x) $ \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{description} \item[$ \Leftarrow $] { Důkaz pojmeme poněkud obecněji, a půjdeme na to přes borelovské množiny (jak jinak...). Buď funkce $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ borelovsky měřitelná z $ L\left(\mathbb{R}^n\right) $. Potom $ \left(\forall \varepsilon > 0\right) \left(\exists \delta > 0 \right)\left(\forall M \in \mathcal{B}_n \right) $ platí $$\lambda\left(M\right)<\delta \Rightarrow \left| \int_{M} f(t) \mathrm{d}t \right| \leq \varepsilon $$ tj. pro všechny borelovské množiny $ M $, které jsou podmnožinami $ \mathbb{R}^{n} $, platí jisté tvrzení. Potom je ale integrál z funkce $ f $ funkcí absolutně spojitou. Funkce $ \nu(M) $, daná předpisem $$ \nu (M) = \int_{M}f $$ je tedy absolutně spojitá. Současně se však jedná o neurčitý integrál, a platí dokonce, že pokud $ f \geq 0 $, potom je $ \nu $ dokonce mírou na $ (\mathcal{R}^n,\mathcal{B}_n) $. } \item[$ \Rightarrow $] { Uvažujme $ \Omega, \mathcal{A}, X, \mathrm{P} \to \mathrm{F}_X \to f_x $, a nechť $ n \geq 1 $. Potom $$ \mathrm{F}_x(x) = \int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n} f_x(t)\mathrm{d}t = \int_{B = \times_{j=1}^{n} (-\infty,x_j]} f_x(t) \mathrm{d}t = $$ $$ = \nu_{\mathrm{F}_X} \left( \times_{j=1}^{n} ( -\infty,x_j ] \right) $$ $$ \tau_n = \left\{ \times_{j=1}^{n} (-\infty,x_j]\ |\ x_j \in \mathcal{R} \right\} \subset 2^{\mathcal{R}^n} \Rightarrow \sigma(\tau_n) = \mathcal{B}_n $$ Potom ale můžeme $ \nu_{\mathrm{F}} $ jednoznačně rozšířit z $ \tau_n $ na $ \mathcal{B}_n $, a navíc pokud $ f_{X} \geq 0 $, potom je $ \nu_{\mathrm{F}_X} $ míra na $ \left( \mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n \right) $.} \end{description} \end{proof} \begin{definition}[Absolutní spojitost míry vzhledem k míře] Nechť $ \nu $ a $ \lambda $ jsou míry na $ (\left( \mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n \right) $. Říkáme, že míra $ \nu $ je absoulutně spojitá vzhledem k míře $ \lambda $ (značíme $ \nu << \lambda $), pokud $$ \lambda(B) = 0 \Rightarrow \nu(B) = 0\ \ \ \ \forall B \in \mathcal{B}_n $$ \end{definition} \begin{definition}[$ \sigma $-konečná míra] Míra $ \lambda $ se nazývá $ \sigma $-konečná, pokud existuje posloupnost $ \left( B_j \right)_{1}^{\infty} \in \mathcal{B}_{n} $ taková, že $$ \cup_{j=1}^{\infty}B_j = \mathbb{R}^n $$ $$ \lambda(B_j) < \infty $$ \end{definition} \begin{note} Lebesgueova míra $ \lambda $ je $ \sigma $-konečná. Stačí vzít například $$ \mathbb{R} = \bigcup_{j=1}^{\infty} (-j,j) $$ přičemž zřejmě $ \lambda(B_j) = 2j < \infty $. \end{note} \begin{theorem}[Radon-Nikodymova] \label{radon-nikodym} Nechť jsou $ \nu $ a $ \lambda $ míry na $ (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n) $ takové, že míra $ \lambda $ je $ \sigma $-konečná, a přitom $ \nu << \lambda $. Potom existuje $ f \geq 0 $ borelovsky měřitelná na $ (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n) $, taková že $$ \nu(B) = \int_{B} f \mathrm{d}\lambda \ \ \ \ \forall B \in \mathcal{B}_n $$ Funkce $ f $ je navíc dána jednoznačně (až na množinu míry nula vzhledem k míře $ \lambda $). To znamená že pokud $ \nu(B) = \int_{B} g \mathrm{d} \lambda $, potom $ \forall B \in \mathcal{B} \Rightarrow f = g $. Funkce $ f $ se nazývá Radon-Nikodymova derivace míry $ \nu $ vzhledem k míře $ \lambda $, a značíme ji $$ f = \frac{d\nu}{d\lambda} $$ \end{theorem} \begin{note} Pokud položíme $ \nu = \mathrm{P} $, potom $$ f = \frac{d\mathrm{P}}{d\lambda} $$ je hustota pravděpodobnosti $ \mathrm{P} $ vzhledem k míře $ \lambda $. \end{note} \begin{note}[Lebesgueův rozklad distribuční funkce] Pro libovolnou distribuční funkci $ \mathrm{F}_x $ platí $$ \mathrm{F}_X(x) = A(x) + K(x) + S(x) $$ kde \begin{description} \item[$ A(x) $] { je absolutně spojitá funkce } \item[$ K(x) $] { je skokovitá s nejvýše spočetně mnoha skoky } \item[$ S(x) $] { je singulární spojitá část (roste jen na množině míry nula - růst musí, protože se jedná o distribuční funkci)} \end{description} \end{note} \begin{theorem} Mějme náhodnou veličinu $ \mathbf{X} = (X_1,\dots,X_n) $ s SASR a hustotou pravděpodobnosti $ f_{\mathbf{X}} $. Potom $ \mathbf{X}' = (X_1,\dots,X_{j-1},X_{j+1},\dots,X_n) $ má také SASR, a platí \begin{equation} f_{\mathbf{X}'}(\mathbf{x}') = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})dx_j\ \ \ \ \forall \mathbf{x}' \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}'}(\mathbf{x}') = \lim_{x_j \to +\infty} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \lim_{x_j \to \infty} \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f_{\mathbf{X}}(t)d\mathbf{t} = \{ Fubini \} = $$ $$ = \int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_{j-1}} \int_{-\infty}^{x_{j+1}} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} \underbrace{\left( \int_{-\infty}^{+\infty}f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) d\mathbf{t}_j \right)}_{f_{\mathbf{X}'}(\mathbf{t}')} d\mathbf{t}' $$ $ f_{\mathbf{X}'}(\mathbf{x}') $ nazýváme marginální hustotou pravděpodobnosti náhodné veličiny $ \mathbf{X}' $. \end{proof} \begin{theorem} Platí \begin{equation} f_{X_{i_1},X_{i_2},\dots,X_{i_k}}(x_{i_1},x_{i_2},\dots,x_{i_k}) = \int_{-\infty}^{+\infty}dx_{i_{k+1}} \dots \int_{-\infty}^{+\infty}dx_{i_n} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t})d\mathbf{t} \end{equation} kde $ (i_1,\dots,i_n) $ je permutace $ \widehat{n} $. \end{theorem} \begin{example} Nechť $ (X,Y) $ mají SASR, přičemž $$ f_{(X,Y)}(x,y) = \left\{ \matrix{\exp\left(-(x+y)\right) &\ \ & (x,y) \in \mathbb{R}_{+}^{2} \cr 0 & & \textrm{jinde}} \right. $$ Nalezněte $ f_Y(y) $. \end{example} $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{(x,Y)}(x,y) \mathrm{d}x $$ $$ f_Y(y) = \left\{ \matrix{0 &\ \ & y < 0 \cr \int_{0}^{+\infty} \exp(-(x+y))\mathrm{d}x = \exp(-y)& & \textrm{jinak}} \right. $$ \begin{theorem} Nechť $ \mathbf{X} = (X_1,\dots,X_n) $ mají SASR. Potom jsou $ X_1,\dots,X_n $ nezávislé, právě když platí \begin{equation} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \prod_{j=1}^{n} f_{X_j}(x_j)\ \ \ \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ Na začátku si uvědomme, že platí $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t})d\mathbf{t} = \prod_{j=1}^{n} \int_{-\infty}^{x_j} f_{x_j}(t_j)dt_j = \prod_{j=1}^{n}\mathrm{F}_{X_j}(x_j) $$ a odtud již snadno dokážeme oba směry implikace \begin{description} \item[$ \Leftarrow $] { Tento směr je zřejmý z předchozího tvrzení. } \item[$ \Rightarrow $] { Protože jsou $ X_1,\dots,X_n $ nezávislé, platí $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{X}) = \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{x_j}(x_j) $$ přičemž každá marginální složka má SASR, takže $$ \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{x_j}(x_j) = \prod_{j=1}^{n} \int_{-\infty}^{x_j} f_{X_j}(t_j) \mathrm{d}t_j = \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} \left( \prod_{j=1}^{n} f_{X_j}(t_j)\right) d\mathbf{t} $$ } \end{description} \end{proof} \begin{theorem}[Vlastnosti $ f_{\mathbf{X}} $] Buď $ \mathbf{X} $ $ n- $rozměrná náhodná veličina $ (n \geq 1) $. Potom platí \begin{enumerate} \item $ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) \geq 0 $ skoro všude na $ \mathbb{R}^n $ \item $ \int_{\mathbb{R}^n} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t})d\mathbf{t} $ \item $ \left( \forall B \in \mathcal{B}_n \right)\left( \mathrm{P}\left(X \in B \right)\right) = \int_{B} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) d\mathbf{t} $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item { OK, protože $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_2} f_{\mathbb{X}} $$ Distribuční funkce musí růst v každé složce, a tak musí být $ f_{\mathbf{X}} $ nezáporná (až na množinu míry nula). } \item { OK, protože (i díky předchozímu bodu) víme, že $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(+\infty,\dots,+\infty) = 1 $$ } \item { \begin{enumerate} \item{ Platí $$ \mathrm{P}\left(\mathbf{X} \in B \right) = \mathrm{P}\left( \mathbf{X}^{-1}\left(B\right) \right) = \left(\mathrm{P} \circ \mathbf{X}\right)^{-1}\left( B \right) = \mathrm{P}^{\mathbf{X}} \left( B \right) = \nu_{\mathrm{F}_{\mathbf{X}}} \left( B \right) $$ $ \mathrm{P}^{\mathbf{X}}\left(B\right) $ je opět pravděpodobnostní míra, takže na ni můžeme použít R.-N. větu (\ref{radon-nikodym}) s volbou $ \nu = \mathrm{P}^{\mathbf{X}} $. Potom dle R.-N. věty existuje funkce $ f_{\mathbf{X}} $ taková, že $$\left(\forall B \in \mathcal{B}_n \right) \left( \mathrm{P}_{\mathbb{X}}\left( B \right) = \int_{B} f_{\mathbb{X}} \right) $$ } \item{ $$ \mathrm{P}\left( a < X \leq b \right) = \left( \int_{a}^{b} f_{X}(t)\mathrm{d}t \right) $$ $$ \mathrm{P}\left( \cap_{j=1}^{+\infty} \left\{ a_j < X_j \leq b_j \right\} \right) = \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_j}^{b_j} \cdots \int_{a_n}^{b_n} f_{\mathbb{X}}(\mathbf{t}) \mathrm{d}\mathbf{t} $$ $$ a_j \in \mathcal{R} \cup \{+\infty\} $$ $$ b_j \in \mathcal{R} \cup \{-\infty\} $$ } \end{enumerate} } \end{enumerate} \end{proof} \begin{definition}[Podmíněná distribuční funkce] Nechť jsou $ X $, $ Y $ náhodné veličiny. Potom podmíněnou distribuční funkcí náhodné veličiny $ X $ při dané hodnotě $ Y = y \in R_{Y} $ definujeme jako $$ \mathrm{F}_{X|Y} = \lim_{\varepsilon \to 0+} \mathrm{P}\left( X \leq x\ |\ y - \varepsilon < Y \leq y + \varepsilon \right) $$ za předpokladu, že limita existuje. Pokud navíc existuje funkce $ f_{X|Y}(x|y) \geq 0 $ taková, že $$ \mathrm{F}_{X|Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{x} f_{X|Y}(t|y)\mathrm{d}t\ \ \ \ \forall t \in \mathcal{R} $$ potom ji nazýváme hustotou náhodné veličiny $ X $ podmíněnou $ Y = y $. \end{definition} \begin{lemma} Nechť je náhodná veličina $ X $ absolutně spojitá (má ASR), tj. existují $ \left( \mathrm{F}_{X}, f_{X} \right) $. Nechť je dále $ f_{X} $ spojitá v $ x_0 $. Potom $$ \lim_{\varepsilon \to 0+} \frac{1}{2\varepsilon} \int_{x_0 - \varepsilon}^{x_0 + \varepsilon} f_{X}(t)\mathrm{d}t = f_{x}(x_0) $$ \end{lemma} \begin{proof} \ $$ \frac{1}{2\varepsilon} \int_{x_0 - \varepsilon}^{x_0 + \varepsilon} f_{X} = \frac{1}{2\varepsilon} \mathrm{P}\left(x_0 - \varepsilon < X \leq x_0 + \varepsilon \right) = \frac{1}{2\varepsilon} \left[ \mathrm{F}_X(x_0 + \varepsilon) - \mathrm{F}_X(x_0 - \varepsilon) \right] $$ a to již konverguje k $ {\mathrm{F}'}_X(x_0) = f_X(x_0) $. \end{proof} \begin{theorem} Nechť veličiny $ X $ a $ Y $ mají SASR a nechť $ y_0 \in \mathcal{R}_Y $. Nechť dále platí \begin{enumerate} \item { $ f_{X,Y}(x,y) $ je spojitá v $ y_0 $ pro skoro všechna $ x $ } \item { $ f_Y(y) $ je spojitá v $ y_0 $ a přitom $ f_y(y_0) > 0 $ } \end{enumerate} Potom $$ \exists f_{X|Y}(x,y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)} $$ pro skoro všechna $ X $. \end{theorem} \begin{proof} \ $$ \mathrm{F}_{X|Y} = \lim_{\varepsilon \to 0+} \frac{\mathrm{P}\left( X \leq x, y_0 - \varepsilon < Y \leq y_0 + \varepsilon \right)}{\mathrm{P}\left( y_0 - \varepsilon < Y \leq y_0 + \varepsilon \right)} = $$ $$ = \lim_{\varepsilon \to 0+} \frac{\frac{1}{2\varepsilon}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{d}u \int_{y_0 - \varepsilon}^{y_0 + \varepsilon} \mathrm{d}v f_{X,Y}(u,v) }{\frac{1}{2\varepsilon} \int_{y_0 - \varepsilon}^{y_0 + \varepsilon}f_Y(y)\mathrm{d}y } = $$ $$ = {\int_{-\infty}^{x}\left( \lim_{\varepsilon \to +\infty} \frac{1}{2\varepsilon} \int_{y_0 - \varepsilon}^{y_0 + \varepsilon} f_{X,Y}\mathrm{d}v \right)\mathrm{d}u }^{} \stackrel{lemma}{=} \int_{-\infty}^{x} \underbrace{\frac{f_{X,Y}(u,y_0)}{f_Y(y_0) }}_{f_{X|Y}(u|y_0) } \mathrm{d}u $$ \end{proof} \begin{theorem}[Transformace náhodné veličiny] Nechť $ \mathbf{X} $ má SASR, a $ g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ buď borelovsky měřitelná, přičemž $ m \leq n $. Potom $ \mathbf{Y} = g(\mathbf{X}) $ má také SASR a platí \begin{equation} f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \frac{\partial^m}{\partial y_1 \dots \partial y_m} \left(\int_{B_{\mathbf{y}}} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \right) \end{equation} kde $ B_{\mathbf{y}} = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\ |\ g(\mathbf{x}) \leq \mathbf{y} \right\} $ za předpokladu, že derivace existuje skoro všude vzhledem k $ \lambda $. Pokud $ m = n $ a $ g $ je navíc regulární a prosté zobrazení na otevřené množině $ G $, pro kterou platí $ \int_{G} f_{\mathbf{X}} = 1 $, potom \begin{equation} f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{\matrix{f_{\mathbf{X}}\left(g^{-1}\left(\mathbf{y}\right)\right)\left|\mathbb{J}_{g^{-1}}\left(\mathbf{y}\right)\right| & \textrm{\ pro\ } \mathbf{y} \in g(G) \cr 0 & \textrm{\ jinak}}\right. \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ $$ F_{\mathbf{Y}}\left( \mathbf{y} \right) = \mathrm{P}\big( \underbrace{\mathbf{Y} \leq \mathbf{y}}_{\mathrm{po\ složkách}} \big) = \mathrm{P}\left( g\left(\mathbf{X}\right) \leq \mathbf{y} \right) = \mathrm{P}\left( \omega\ |\ \mathbf{X} \in B_{\mathbf{y}} \right) = \int_{B_{\mathbf{y}}} f_{\mathbf{X}} $$ takže platí $$ f_{\mathbf{Y}}\left(\mathbf{y}\right) = \frac{\partial}{\partial y_1 \dots \partial y_m} \left(F_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) \right) $$ Buď nyní $ \varphi : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} $ regulární a prosté zobrazení, $ K $ buď otevřená množina. Potom $$ \int_{\varphi^{-1}(K)} f\left(\mathbf{X}\right)d\mathbf{x} = \int_{K}f\left(\varphi(\mathbf{t})\right)\left| \mathbb{J}_{\varphi(\mathbf{t})}\right|d\mathbf{t} $$ a nyní položme $ \varphi^{-1} = g $. Potom triviálně platí $$ \int_{B_{\mathbf{y}}} f_{\mathbf{X}} d\mathbf{x} \stackrel{\mathrm{v.\ o\ subst.}}{=} \int_{-\infty}^{y_1}\dots\int_{-\infty}^{y_m} \underbrace{f_{\mathbf{X}}\left(g^{-1}(\mathbf{y}\right)\left|\mathbb{J}_{g^{-1}}(\mathbf{y}) \right|}_{f_{\mathbf{Y}}\left(\mathbf{y}\right)}d\mathbf{y} $$ \end{proof} Specielním případem předchozí věty je $ m = n = 1,\ g \in C^{(1)},\ g'(x) \neq 0,\ g$ ryze monotonní. Potom platí $$ f_{Y}\left(y\right) = f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|g^{-1}(y)\right| $$ \begin{theorem} Buď $ g \in C^{(1)},\ g' \neq 0 $ po částech ryze monotonní, a nechť $ Y = g(X) $. Pokud $ g^{-1}\left(y\right) \neq \emptyset $, potom ve všech bodech $ t \in g^{-1}(y) $ platí \begin{equation} f_{Y}(y) = \sum_{t \in g^{-1}(y)} \frac{f_{X}(t)}{\left|g'(t)\right|} \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ $$ \mathrm{F}_{Y}(y) = \mathrm{P}\left(Y \leq y\right) = \mathrm{P}\left( g(X) \leq y \right) = \mathrm{P}\left( X \in \cup_{i=1}^{m}I_{k}(y)\right) = \sum_{k=1}^{m} \mathrm{P} \left( X \in I_{k}(y) \right) = $$ $$ = \sum_{k=1}^{m}\mathrm{P}\left( a_k(y) < x \leq b_k(y) \right) = \sum_{k=1}^{m}\left[\mathrm{F}_{X}\left(b_k(y)\right) - \mathrm{F}_{X}\left(a_k(y)\right) \right]$$ $$ f_{Y}(y) = \sum_{k=1}^{m} \left( f_X\left(b_k(y)\right){b'}_k(y) - f_{X}\left(a_k(y)\right){a'}_k(y) \right) = \sum_{t \in g^{-1}(y)} \frac{f_{X}(t)}{\left|g'(t)\right|}$$ kde $ a_k $ je klesající a $ b_k $ je rostoucí. \end{proof} \begin{theorem} Buď $ \mathbf{X} = \left(X_1,\dots,X_n \right) $ nezávislé náhodné veličiny, z nich každá má ASR. Potom $ X_1 + \cdots + X_r = Y_1 $ a $ X_{r+1} + \cdots + X_{n} = Y_2 $ jsou nezávislé náhodné veličiny (předopkládáme $ 1 < r < n $). \end{theorem} \begin{proof} \ $$ f_{\mathbf{X}} = \Pi_{j=1}^{n} f_{X_{j}}\ \ \Rightarrow\ \ f_{Y_{1},Y_{2}} = f_{Y_1}\cdot f_{Y_2} $$ \end{proof} \subsection{Příklady SASR rozdělení} \subsubsection{Gamma rozdělení $\ \ \ Gamma(\alpha,\beta) $} $$ X \sim f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta^{\alpha}} x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\ \ \textrm{\ pro\ } \alpha,\beta,x > 0 $$ $$ \mathrm{F}_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta^{\alpha}} t^{\alpha-1}e^{-\frac{t}{\beta}} dt \ \ \ \textrm{(tzv. neúplná } \Gamma \textrm{\ funkce)} $$ \subsubsection{Beta rozdělení $\ \ \ Beta(p,q) $} $$ X \sim f_X(x) = \frac{1}{B(p,q)}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\ \ \textrm{\ pro\ } p,q > 0, x \in (0,1) $$ $$ \mathrm{F}_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{B(p,q)}t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt \ \ \ \textrm{(tzv. neúplná\ } B \textrm{ funkce)} $$ \subsubsection{Rovnoměrné rozdělení $\ \ \ U(G) $ } Nechť $ G \subset \mathbb{R}^n $ je oblast, potom $$ X \sim f_{X}(x) = \left\{ \matrix{\frac{1}{\mu\left(G\right)} & \textrm{\ pro\ } x \in G \cr 0 & \textrm{jinak}} \right. $$ Specielně pro interval $ (a,b) $ můžeme například definovat $ \mu(G) = b - a $ \subsubsection{Exponenciální rozdělení $ \ \ \ Exp(\theta,\mu) $} (Jedná se vlastně o specielní případ rozdělení Gaussova). $$ X \sim f_{X}(x) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x - \mu}{\theta}}\ \ \ \textrm{pro\ } x > \mu, \mu \in \mathbb{R}, \theta > 0 $$ $$ Exp(\theta,0) = Exp(\theta) = Gamma(1,\theta) $$ $$ \mathrm{F}_{X}(x) = 1 - e^{-\frac{x - \mu}{\theta}} $$ Používá se v Poissonově procesu, řídkých jevech ($ X_t $ - počet událostí, které nastaly v časovém intervalu $ [0,t] $). \begin{theorem} \label{exp-sum} Buďte $ X_1,\dots,X_n $ i.i.d. (identically and independently distributed - nezávisle a stejně rozdělené) dle $ Exp(\theta) $. Potom $ X_1 + \cdots + X_n \sim Gamma(n,\theta) $. \end{theorem} \begin{proof} \leftskip = 0.25 in\ \\ Nechť $ Y_1 = \sum_{j=1}^{n} X_j $, potom tedy $$ f_Y = f_{\mathbf{X}}\left( g^{-1}(\mathbf{y}) \right)\left| \mathbf{J}_{g^{-1}(\mathbf{y})}\right| $$ přičemž ale $$ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \prod_{j=1}^{n} f_{X_j}(x_j) = \frac{1}{{\theta}^n}e^{-\frac{\sum_{j=1}^{n}x_j}{\theta}} $$ Definujme nyní $ n- $rozměrnou prostorovou transformaci $ g $, kterou poté využijeme při přechodu k hustotě $ f_Y $ $$ \begin{array}{ccl} Y_1 & = & X_1 + X_2 + \cdots + X_n \\ Y_2 & = & X_2 \\ \vdots & & \vdots \\ Y_n & = & X_n \end{array} $$ Inverzi nám stačí spočítat pouze pro složku $ X_1 $, inverze pro ostatní složky jsou dány primitivně. Transformace $ g^{-1} $ je tedy dána předpisem $$ \begin{array}{ccl} X_1 & = & Y_1 - Y_2 + \cdots + Y_n \\ X_2 & = & Y_2 \\ \vdots & & \vdots \\ X_n & = & Y_n \end{array} $$ a tedy $$ \mathbf{J}_{g^{-1}} = \left|\matrix{ \ \ 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \cr 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 0 & \ddots & & \vdots \cr 0 & \vdots & & 1 & 0 \cr 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 } \right| = 1 $$ a platí tedy $$ f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \matrix{\frac{1}{{\theta}^{n}}e^{-\frac{y_1}{\theta}} & \textrm{\ pro\ } y_1,y_2,\dots,y_n > 0 \cr 0 & \textrm{\ jinak}} \right. $$ $$ f_{Y_1}(y_1) = \underbrace{\int \cdots \int}_{G} \frac{1}{{\theta}^{n}} e^{-\frac{y_1}{\theta}}dy_2 dy_3 \dots dy_n = $$ $$ \textrm{\ kde\ } G = \left\{\mathbf{y}\ \left|\matrix{y_1 - y_2 - \cdots - y_n > 0 \cr y_j > 0 \textrm{\ pro\ } j \in \widehat{n}}\right. \right\} $$ $$ = \frac{1}{{\theta}^{n}} e^{-\frac{y_1}{\theta}} \underbrace{\int \cdots \int}_{G} dy_3 dy_3 \dots dy_n = \frac{1}{{\theta}^{n}}e^{-\frac{y_1}{\theta}}\frac{y_1^{n-1}}{(n-1)!} $$ \end{proof} \begin{theorem}[Reprodukční vlastnost Gamma rozdělení] Buďte $ X_1,\dots,X_n $ i.i.d. náhodné veličiny, takové že $ X_j \sim Gamma(\alpha_j,\beta) $. Potom platí $$ \sum_{j=1}^{n}X_j \sim Gamma\left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_j,\beta\right) $$ \end{theorem} \begin{proof} Pro $ \alpha_j = 1 $ je důsledkem věty \ref{exp-sum}, jinak vyplývá z momentové vytvářející funkce. \end{proof} \subsubsection{Normální (Gaussovo) rozdělení $\ \ N(\mu,\sigma^{2}) $} $$ X \sim f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\ \ \textrm{\ pro\ } x,\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0 $$ Nechť $ \sigma = 0, \mu = 1 $, potom rozdělení $ N(0,1) $ označujeme jako standardní normální rozdělení, jeho hustotu pravděpodobnosti označujeme $ \varphi(x) $, distribuční funkci označujeme $ \Phi(x) $, tj. \begin{equation} \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{equation} \begin{equation} \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{equation} \begin{theorem}[Vlastnosti standardního normálního rozdělení] \ \begin{enumerate} \item $ \Phi(x) = 1 - \Phi(-x) $ \item $ X \sim N(\mu,\sigma^2)\ \ \Rightarrow\ \ \mathrm{F}_{X}(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma} \right) $ \item $ \mathrm{P}\left(a < X \leq b \right) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right) = \int_{\frac{a - \mu}{sigma}}^{\frac{b - \mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $ \item $ X \sim N(\mu,\sigma^2)\ \ \Rightarrow\ \ aX + b \sim N(a\mu + b,a^2\sigma^2) $ \item $ X \sim N(\mu,\sigma^2)\ \ \Rightarrow\ \ \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) $ \item Nechť $ \forall j \in \widehat{n}\ \ X_j \sim N(\mu_j,\sigma_j^2) $, nezávislé náhodné veličiny, nechť $ a_j \in \mathbb{R},j \in \widehat{n} $ a navíc nechť $ \exists k \in \widehat{n}$ tak, že $ a_k \neq 0 $. Potom $$ \sum_{j=1}^{n}a_j X_j \sim N\left(\sum_{j=1}^{n}a_j \mu_j, \sum_{j=1}^{n}a_j^2\sigma_j^2 \right) $$ \item Buďte $ X_j,\ j\in \widehat{n} $ i.i.d. nezávislé náhodné veličiny s rozdělením $ N(\mu,\sigma^2) $. Potom $$ \overline{X_n} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$ $$ \sqrt{n}\frac{\left( \overline{X_n} - \mu \right)}{\sigma} \sim N(0,1) $$ \item $ X \sim N(0,1)\ \ \Rightarrow\ \ X^2 \sim Gamma\left(\frac{1}{2},2\right) = \chi^{2}_{(1)}$ \item $ X \sim N(0,1)\ \ \Rightarrow\ \ Y = e^x $ má tzv. lognormální rozdělení $ LN(\mu,\sigma^2) $ hustotou $$ f_Y(y) = \left\{\matrix{\frac{1}{y}f_X(\ln y) = \frac{1}{\sigma y} \varphi\left( \frac{\ln y - \mu}{\sigma}\right) & \textrm{\ pro\ } y > 0 \cr 0 & \textrm{\ pro\ } y \leq 0} \right. $$ \item Buďte $ X,Y \sim N(0,1) $ a nezávislé (tj. i.i.d.). Potom $ U = \frac{X}{Y} $ má Cauchyovo rozdělení s hustotou $$ f_U(u) = \frac{1}{\pi(1+u)^2}\ \ \ \textrm{\ pro každé\ } u \in \mathbb{R} $$ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item Triviální. Stačí provést substituci $ x \to (-x) $. \item $$ \mathrm{F}_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^2}}dt = \left| \textrm{\ substituce\ }\frac{t - \mu}{\sigma} = z \right| = $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\frac{(x-\mu)^2}{\sigma}}e^{\left( \frac{-z^2}{2} \right)} dz = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right) $$ \item Vyplývá z (2), protože $$ \mathrm{P}\left( a < X \leq b \right) = \mathrm{F}_{X}(b) - \mathrm{F}_{X}(a - 0) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma} \right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right) = \cdots $$ \item Buď $ X \sim N\left(\mu,\sigma^2\right) $, a nechť $ Y = aX + b,\ a \neq 0 $. Potom $$ f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left( \frac{y - b}{a} \right) = \frac{1}{|a|\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\left( \frac{y-b}{a} - \mu \right)^{2}} = $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}|a|\sigma}e^{-\frac{1}{2a^2\sigma^2}\left(y - \left(a\mu + b\right)\right)^2} \sim N\left(\mu',\sigma'^2\right) $$ \item Je přímým důsledkem (4), protože pro $ a = \frac{1}{\sigma},\ b=-\frac{\mu}{\sigma} $ platí $$ \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) $$ \item Důkaz provedeme indukcí. \begin{description} \item [$ n = 2 $] { tj. chceme dokázat, že $ X_1 + X_2 \sim N\left(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \right) $ $$ Y = X_1 + X_2\ \ \Rightarrow\ \ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X_1}(v)f_{X_2}(y-v)dv = \ \ \ \textrm{tzv. konvoluce} $$ $$ = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^2 \sigma_1 \sigma_2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{(v - \mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} e^{-\frac{(y - v - \mu_2)^2}{2 \sigma^2_2}}dv $$ přitom obecně platí $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{(-av^2 + bv + c)}dv = e^{\left(c + \frac{b^2}{4a^2}\right)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a \left( v - \frac{b}{2a}\right)^2 }dv = \left| \textrm{\ substituce\ }\right| = $$ $$ = e^{\left(c + \frac{b^2}{4a^2}\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\left( c + \frac{b^2}{4a^2} \right)} $$ polože nyní $$ a = \frac{1}{2\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_2^2} $$ $$ b = \frac{\mu_1}{\sigma_1^2} + \frac{y - \mu_2}{\sigma_2^{2}} $$ $$ c = \frac{-\mu_1^2}{2\sigma^2_1} - \frac{(y - \mu_2)^2}{2\sigma_2^2} $$ potom zřejmě $$ \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\left( c + \frac{b^{2}}{4a^2} \right)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}e^{-\frac{(y - \mu_1 - \mu_2)^2}{2(\mu_1^2 + \mu_2^2)}} $$ } \item [$ n \to n+1 $] { $$ \sum_{j=1}^{n+1} X_j = \sum_{j=1}^{n} X_j + X_{n+1} \sim N\left( \sum_{j=1}^{n+1}\mu_j,\sum_{j=1}^{n+1}\sigma_j^2 \right) $$ } \end{description} \item Plyne z (6), stačí volit $ a = \frac{1}{n},\ \mu_j = \mu,\ \sigma_j^2 = \sigma^2 $. Potom $$ \underbrace{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} X_j}_{\overline{X_n}} \stackrel{(6)}{\sim} N\left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n} \mu, \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n^2} \sigma^{2} \right) = N \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$ To znamená, že pokud uděláme aritmetický průměr ($ \overline{X_n} $) z i.i.d. náhodných veličin, přiblížíme se střední hodnotě (tj. zmenší se odchylka). Druhá část tvrzení vyplývá přímo z vlastnosti (5). \end{enumerate} \end{proof} \begin{example} Nechť $ X \sim f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $, $ \sigma > 0 $, tj. $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $. Potom $$ \int_{a}^{b}f_X(t)dt = \mathrm{F}_X(b) - \mathrm{F}_X(a) = \mathrm{P}\left(a < X \leq b\right) $$ $$ \mathrm{P}\left(\mu - \sigma < X \leq \mu + \sigma \right) = \mathrm{P}\left(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma \right)\ \ \textrm{(díky spojitosti)} $$ takže $$ \mathrm{P}\left(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma \right) = \Phi\left(1\right) - \underbrace{\Phi\left(-1\right)}_{1 - \Phi(1)} \doteq 0.6826 $$ $$ \mathrm{P}\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma \right) = \Phi(2) - \Phi(-2) \doteq 0.9545 $$ $$ \mathrm{P}\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma \right) = \Phi(3) - \Phi(-3) \doteq 0.9973 $$ \end{example} \begin{theorem}[Pearsonovo rozdělení $ \chi^2 $] Nechť $ X_1,\dots,X_n $ jsou i.i.d. veličiny s rozdělením $ N(0,1) $. Pak $ X^2 = \sum_{j=1}^{n}X_j^2 $ má rozdělení $ \chi^2 $ s $ n $ stupni volnosti (značíme $ \chi^2(n) $) s hustotou \begin{equation} f_{\chi^2}(y) = \left\{ \matrix{\frac{1}{2\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{y}{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}} & \textrm{\ pro\ } y > 0 \cr 0 & \textrm{\ jinak}} \right. \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ \\ V zásadě máme dvě možnosti. Buď se můžeme mořit s transformací hustot $ \chi^2 = g(\mathbf{X}) $, nebo na to můžeme jít fikaně přes reprodukční vlastnost Gamma rozdělení. A my fikaní jsme, a navíc víme, že $$ X_j \sim N(0,1)\ \ \Rightarrow\ \ X_j^2 \sim Gamma\left(\frac{1}{2},2\right) $$ takže snadno z reprodukční vlastnosti Gamma rozdělení ukážeme, že platí $$ \sum_{j=1}^{n}X_j^2 \sim Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) $$ \end{proof} \subsubsection{Studentovo rozdělení} \begin{theorem}[Studentovo rozdělení] Buďte $ X,Y $ takové náhodné veličiny, že $ X \sim N(0,1) $, $ Y \sim \chi^2(n) $. Potom náhodná veličina \begin{equation} T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \end{equation} má \textbf{Studentovo rozdělení} $ t(n) $ s $ n $ stupni volnosti a s hustotou \begin{equation} f_T(t) = \frac{1}{B\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)}n^{\frac{n}{2}}(n+t^2)^{-\frac{n+1}{2}}\ \ \ \textrm{pro každé\ } t \in \mathbb{R} \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ \\ Nechť $ Z = \sqrt{\frac{Y}{n}} $, potom $ g^{-1} : y = uz^2 $, a tedy $$ f_Z(z) = 2nz f_Y(uz^2)\ \ \ \textrm{pro každé\ } z > 0 $$ $$ T = \frac{X}{Z} = \left| \matrix{\textrm{dle vztahu} \cr \textrm{pro podíl}} \right| = f_T(t) = \int_{0}^{\infty} z f_X(zt)f_Z(z)dz = $$ $$ = \int_{0}^{\infty} z \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2t^2}{2}} (2nz) \frac{1}{2\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{nz^2}{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{nz^2}{2}} dz = $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}} \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \int_{0}^{\infty}z^n e^{-\frac{z^2(t^2+n)}{2}}dz = \left| \textrm{\ substituce\ } \matrix{\frac{z^2(t^2 + n)}{2} = x \cr dz = \frac{1}{\sqrt{t^2 + n}}x^{-\frac{1}{2}}dx } \right| = $$ $$ = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{n}{2}\right) $$ \end{proof} \subsubsection{Fischerovo rozdělení} \begin{theorem}[Fischerovo rozdělení] Buďte $ X,Y $ nezávislé náhodné veličiny, takové že $ X \sim \chi^2(m) $, $ \chi^2(n) $. Potom náhodná veličina \begin{equation} \frac{X/m}{Y/n} \end{equation} má tzv. \textbf{Fischerovo rozdělení} $ F(m,n) $ se dvěma stupni volnosti $ (m,n) $, a s hustotou \begin{equation} f_F(u) = \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}}u^{\frac{m}{2}-1}\left( 1 +\frac{m}{n}u \right)^{-\frac{m+n}{2}}\ \ \ \textrm{\ pro každé\ } u > 0 \end{equation} \end{theorem}