Verze z 9. 9. 2015, 10:38

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Kompaktní prostory}
 
\index{pokrytí}
\index{podpokrytí}
\begin{define}
Buď $X$ topologický prostor, $\S \subset \P(X)$ systém množin
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$, právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.
 
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\S_1\subset\S$,
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li  $\S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $\S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4).
\end{remark}
 
\index{kompaktní prostor}
\begin{define}
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
topologický podprostor $X$ je kompaktní.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\index{kompaktní množina}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Každá konečná množina je kompaktní.
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.
\item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je.
\item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice).
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.
\begin{proof}
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
platí, pomocí de Morganových zákonů:
\[
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
\iff
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
\]
a existuje konečné podpokrytí.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
\item \emph{(o existenci)} Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
platit:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
\item \emph{(o jednoznačnosti)} Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
takové, že platí
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Každý omezený uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.
% dodělat důkaz
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
\[(\forall y\in A)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
Dále platí:
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$
platí:
\[
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
\]
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x \in \vn{(X \sm A)}$.
Bod $x \in X \sm A$ jsme volili libovolně, proto je doplněk množiny $A$ otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
\begin{proof}
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$.
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat  $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i \mid i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní,
právě když je uzavřená a omezená.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
\begin{enumerate}[1)]
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$ (maximová norma, $\forall \vec x \in \VEC X \; \norm{x} = \max_{i\in\n}\abs{x_i}$).
 
$A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$.
$\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní.
$A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní.
 
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$.
 
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bazických vektorů:
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
Buď $f: \vec x \mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n \to \R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.
 
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}$ libovolná.
 
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=
K\norm{\vec x}_\infty,\]
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
vztahu vyplývá spojitost identity
$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty) \to (\VEC X,\norm{\cdot})$.
 
Libovolná koule $\uz{B}(\vec 0,R)\subset (\VEC X,\norm{\cdot})$ je uzavřená, díky
spojitosti je uzavřená i~v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
$A=\{\vec x\in \VEC X \mid \norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
 
Dále platí:
\[
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(\vec 0,R)\cap A\right)=\emptyset,
\]
neboť v~průniku koulí leží pouze $\vec 0$, ten ale neleží v~$A$ a platí tedy
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(\vec 0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
 
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.
 
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak
\[
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,
\]
ale
\[
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,
\]
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
 
Pro všechny $\vec x\not=\vec 0$ pak platí:
\[
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
\]
tedy
\[
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,
\]
z~čehož vyplývá
\[
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
\]
Pro $\vec x=\vec 0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
část nerovnosti.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{hromadná hodnota}
\begin{define}
Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho
členů posloupnosti.
\end{define}
\begin{remark}
Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
hromadnou hodnotu.
\begin{proof}
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru).
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním Hausdorffově prostoru posloupnost konverguje, právě když má
právě jednu hromadnou hodnotu.
\begin{proof}
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle \ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{lemma}[Lebesgue]
\label{lebesgue}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu, $\S = \{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
\begin{proof}
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\S$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z pokrývajících množin z $\S$.
 
Vezměme tedy takové pokrytí $\S = \{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)}$, které nejsou podmnožinou žádné z pokrývajících množin $V \in \S$.
 
Dle předpokladu věty existuje pro posloupnost středů $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V \in \S$ tak, aby $a \in \vn{V}$; potom určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
 
Z definice limity najděme $n_1$ tak, aby $(\forall n > n_1)(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_2$ tak, aby $(\forall n > n_2)(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
 
Po volbě $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$ platí $(\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}[Borel]
\label{borel}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná
\index{$\epsilon$ síť}
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).
\begin{proof}
 
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť.
Vezměme si pro takové $\epsilon$ libovolný systém koulí $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrývající prostor $X$ a splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$.
 
Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}[Weierstrass]
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá
posloupnost má konvergentní podposloupnost.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí
$B(x_i,\epsilon)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Kompaktnost a spojitost}
 
\begin{theorem}
Buďte $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $f: X \to Y$ spojité zobrazení. Potom
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
\begin{proof}
Buď $\S$ otevřené pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je otevřené pokrytí $X$, neboť
otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže $f^{-1}(\S)$ má
konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{max-kompakt}
Buď $f:A\to\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$
nabývá na $A$ svého infima a suprema.
\begin{proof}
$f(A)$ je kompaktní, tudíž uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.
\end{remark}
 
\index{stejnoměrná spojitost}
\begin{define}
Buďte $(X,\rho)$, $(Y,\sigma)$ metrické prostory. Řekneme, že
zobrazení $f: X \to Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Uvědomme si, že na metrických prostorech je definice \ref{def_spojitost} ekvivalentní s naší \uv{starou} definicí spojitosti:
zobrazení $f: (X,\rho) \to (Y,\sigma)$ je spojité, právě když
\[
(\forall x \in X)(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in X)(\rho(x,y) < \delta \implies \sigma(f(x),f(y)) < \epsilon).
\]
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Cantor]
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
\begin{proof}
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]
Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x),\]
tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže
\[
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,
\]
z~čehož vyplývá
\[
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<
\epsilon,
\]
což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}