Verze z 8. 2. 2014, 18:04

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Trigonometrické řady}
 
\index{trigonometrická řada}
\begin{define}
Buďte $\poslo{a_n}$ a $\posl{b_n}$ dvě posloupnosti reálných
čísel. Potom řadu
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]
nazýváme {\bf trigonometrickou řadou}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Díky Moivreově větě je trigonometrická řada vlastně \textit{komplexní} mocninnou řadou. Komplexním mocninným řadám se věnuje poslední kapitola v MAA4.
\item Existuje-li $a\in\R$ tak, že trigonometrická řada konverguje na
 $\left[a,a+2\pi\right)$ resp. $\left( a,a+2\pi \right] $, pak řada konverguje na celém $\R$ a její součtová funkce je periodická s~periodou $2\pi$.
\item Díky této periodicitě se můžeme omezit na zkoumání intervalu délky $2\pi$. Obvykle volíme symetrický interval $\left[-\pi,\pi\right]$ (na něm je integrál z liché funkce nulový). Ve fyzice se však můžeme setkat s~volbou intervalu $\left[0,2\pi\right]$.
\item Členy trigonometrické řady jsou funkce s~periodou
$2\pi$. Lineární transformací však můžeme docílit libovolné
periody. Např. řada
\[
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),
\]
kde $\lambda>0$, má za členy funkce periodické s~periodou
$2\lambda$. Při jejím studiu se tedy můžeme omezit pouze na interval
$\left[-\lambda,\lambda\right]$. Takovou řadu budeme někdy stručně označovat
jako trigonometrickou řadu s~periodou $2\lambda$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Eulerovy vzorce]
\label{euler}
Nechť trigonometrická řada 
$\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
konverguje stejnoměrně na $\R$ a buď $F$ její součtová funkce. Potom
pro všechna $n\in\No$ platí:
\[
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx\qquad\text{a}\qquad
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx.
\]
\begin{proof}
Řada $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ konverguje
stejnoměrně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a tudíž podle věty
\ref{ointegraci-r} je
\[
\int_{-\pi}^\pi F(x)\dx=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi\dx+
\sum_{n=1}^\infty\left(
a_n\int_{-\pi}^\pi \cos nx\dx+
b_n\int_{-\pi}^\pi \sin nx\dx
\right)=a_0\pi.
\]
Podobně pro $n\in\N$ podle věty \ref{veta69} dostáváme
\[
\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx=\frac{a_0}2
\int_{-\pi}^\pi\cos nx\dx+
\sum_{k=1}^\infty\left(
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cos nx\dx+
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cos nx\dx
\right)=a_n\pi.
\]
a
\[
\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx=\frac{a_0}2
\int_{-\pi}^\pi\sin nx\dx+
\sum_{k=1}^\infty\left(
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\sin nx\dx+
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\sin nx\dx
\right)=b_n\pi,
\]
neboť $\forall k\not=n$ platí tzv. relace ortogonality
\[
\int_{-\pi}^\pi\cos kx\cos nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin kx\cos nx\dx=
\int_{-\pi}^\pi\sin kx\sin nx\dx=0
\]
a $\forall k,n \in \No$ platí tzv. normovací podmínky
\[
\int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin^2 nx\dx=\pi.
\] 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Analogicky potom ze stejnoměrné konvergence řady
\[
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),
\]
na $\R$ k~součtové funkci $F$ plyne pro všechna $n\in\No$:
\[
a_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx\text{ a }
b_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx.
\]
\item Vyjádření koeficientů trigonometrické řady pomocí
své součtové funkce připomíná vyjádření koeficientů Taylorovy řady pomocí rozvíjené (součtové) funkce --- zde však v koeficientech vystupují integrály, nikoli derivace. Do trigonometrické řady lze však rozvinout daleko více funkcí než do mocninné řady.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{Fourierova řada}
\begin{define}
\label{deffour}
Nechť funkce $f$ má absolutně konvergentní zobecněný integrál (v Riemannově smyslu) na
intervalu $(a,b)$, kde $b-a=2\pi$. Položme
\[
a_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad
b_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\sin nx\dx  \quad \forall n\in\N.
\]
Potom trigonometrickou řadu
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]
nazýváme {\bf Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$} a čísla $a_n$, $b_n$ nazýváme {\bf Fourierovými koeficienty}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Obecně --- pro případ pouze omezeného intervalu $(a,b)$ ---
klademe
\[
a_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx \quad\text {a} \quad
b_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx,
\]
kde $2\lambda=b-a$. Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$
potom rozumíme trigonometrickou řadu
\[
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right).
\]
 
\item Má-li periodická funkce s~periodou $\omega$ absolutně
konvergentní zobecněný integrál na některém z~intervalů délky
$\omega$, má absolutně konvergentní integrál na každém omezeném
intervalu.
 
\item Buď $g$ periodická funkce s~periodou $\omega$ a nechť existuje
$a\in\R$ tak, že integrál $\int_a^{a+\omega}g(x)\dx$ absolutně
konverguje. Potom pro libovolné $b\in\R$ je 
\[\int_b^{b+\omega}g(x)\dx=\int_0^\omega g(x)\dx.\]
 
\item Z~předchozích poznámek plyne, že Eulerovy vzorce v~definici
\ref{deffour} lze pro funkci s~periodou $2\pi$ psát také ve tvaru
\[
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\dx  \quad \forall n\in\N.
\]
\item Existence členu $\frac{a_0}{2}$ má své hluboké opodstatnění. Fourierova řada totiž připomíná vyjádření funkce jakožto lineární kombinaci bázových funkcí.Prostor funkcí je však nekonečné dimenze a pro tyto prostory nejsou zavedeny pojmy báze ani lineární kombinace.
\item Z LAA2: Je-li $(\vec e_1,\dots\vec e_n)$ ON báze prostoru $V$, pak $\forall\vec y\in V$ platí rozvoj \[\vec y=\sum_{n=1}^n\la \vec e_i,\vec y\ra \vec e_i,
\]
kde čísla $\la \vec e_i,\vec x\ra$ nazýváme Fourierovými koeficienty vektoru $\vec{x}$ vzhledem k ON bázi $\posloupnost{1}{n}{\vec{e_i}}$.
\item \label{onbaze} Zaveďme skalární součin dvou spojitých funkcí $f,g$ jako $\la f,g\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) \dx$.
\footnote{Tento vzorec pro skalární součin je však čistě formální záležitost (vzniklá zespojitěním skalárního součinu posloupností) a je třeba jej korektně zavést později.} 
Definujeme pojem ortonormální báze (který je nedělitelný a odlišný od pojmu algebraické báze z LNA). Ve funkcionální analýze se ukazuje, že ortonormální bázi prostoru funkcí je spočetná množina 
\[
 \left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\pi}},\dots 
 \right\rbrace. 
\]
Z důkazu věty \ref{euler} (poslední dva řádky důkazu) plyne, že tyto funkce jsou
\begin{itemize}
\item vzájemně kolmé (relace ortogonality --- $\la\sin(kx),\cos(nx)\ra=0$),
\item normované na jedničku (normovací podmínka --- $\norm{\sin(nx)}^2=\norm{\cos(nx)}^2=\pi$).
\end{itemize}
\vspace{4pt}
Vzhledem k tomu, že můžeme bázové funkce (mimo první člen) rozdělit na sudé a liché, vznikají nám i dvě sady Fourierových koeficientů:
\[ 
\tilde a_n=\la f(x),\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx
,\quad
\tilde b_n=\la f(x),\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx
\]
Porovnáním s definicí Eulerových vzorců \ref{deffour} vidíme, že se $\tilde a_n$ a $\tilde b_n$ liší od  $a_n$ a $b_n$ o násobek $1/\sqrt{\pi}$. To je však normovací konstanta pro funkce $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. Norma těchto funkcí je tedy zahrnuta již v členech $a_n$ a  $b_n$, resp. $\tilde a_n=a_n\norm{\cos(nx)}$ a $\tilde b_n=b_n\norm{\sin(nx)}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{example}
\[\norm{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}^2=\int_{-\pi}^\pi \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right) ^2\dx=\left[\frac{x}{2\pi}\right]_{-\pi}^\pi=1\]
\end{example}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{7}
\setlength{\itemsep}{3pt}
 
\item V předchozí poznámce jsme však nevyšetřili první člen, tedy Fourierův koeficient $a_0$. Z příkladu výše vidíme, že funkce $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ je již normovaná. Pak platí
\[ 
\tilde a_0=\la f(x),\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dx
\]
První člen Fourierovy řady je tedy 
\[
\tilde a_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\underbrace{\cos(0x)}_{=1}\dx=\frac{a_0}{2}.
\]
Poslední rovnost plyne z vyjádření $a_n$ pro $n=0$. Tímto je uzavřena otázka, proč nelze první člen Fourierovy řady zahrnout do sumy. Z výše uvedeného je též zřejmé, že není možné zaměnit role členů $a_n$ a $b_n$, neboť by mj. neseděla definice prvního členu (tj. $n=0$).
\item Na uzavření analogie mezi mocninnými a Fourierovými řadami poznamenejme, že prvky ortonormální báze \ref{deffour}.\ref{onbaze} jsou vlastně reálné a imaginární složky prvků komplexní ortonormální báze tvaru $\poslo{(2\pi)^{-1/2}e^{\im nx}}$. Proto se lze setkat s definicí Fourierovy řady obsahující $e^{\im nx}$ namísto $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. 
\item V kvantové mechanice se vzorci \ref{deffour} říká relace úplnosti. Souvisí to s výše uvedeným rozvojem funkcí do báze (tedy do nekonečné řady). Viz \ref{uplnost}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Dirichletův integrální vzorec]
\label{dirichlet}
Buď $f$ funkce periodická s~periodou $2\pi$ mající absolutně
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom pro $n$-tý
částečný součet její Fourierovy řady platí:
\[
F_n(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)=
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac t2}\dt
\qquad \forall x\in\R.
\]
\begin{proof}
Buď $x\in\R$ a $n\in\N$. Potom podle poznámek \ref{deffour} je:
\[
\begin{split}
F_n(x) & =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\dt +
\frac1\pi\sum_{k=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)(\cos kt\cos kx+
\sin kt\sin kx)\dt= \\
& = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left(
\frac12+\sum_{k=1}^n\cos k(x-t)
\right)\dt =
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)
\frac{\sin\left((n+\frac12)(x-t)\right)}{2\sin\frac{x-t}{2}}\dt =
\\
& = \frac1\pi\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\tau)
\frac{\sin(n+\frac12)\tau}{2\sin\frac{\tau}{2}}\,\d \tau =
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac{t}{2}}\dt.
\end{split}
\]
Přitom jsme použili vyjádření
\[
\sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\cos\frac n2x\cdot\sin\frac{n+1}2x}
{\sin\frac x2}=
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}=
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]}{2\sin\frac x2}-\frac12
\]
platné $\forall x\in\R$, $x\not=2\pi m$, kde $m\in\Z$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item \label{dir1}Díky aditivitě integrálu lze nalézt ještě následující
integrální vyjádření $n$-tého součtu Fourierovy řady:
\[F_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi(f(x+t)+f(x-t))
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{2\sin\frac t2}\dt.\]
 
\item \label{dir2} Zvolme ($\forall x\in\R$) ($f(x)=1$), pak jsou ($\forall k\in\N$) ($a_0=2$, $a_k=b_k=0$). Dosazením do předchozí poznámky získáme vyjádření jedničky pomocí integrálu z periodických funkcí:
\[1=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\left[\sin(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt \quad \forall n\in\N.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Dirichlet]
\label{dirichlet2}
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$ mající absolutně
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom její Fourierova
řada (s~periodou $2\pi$) konverguje v~bodě $x$ právě tehdy,
existuje-li číslo $s$ tak, že platí:
\[
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s
\right)
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt=0.
\]
\begin{proof}
Z~poznámek \ref{dirichlet}.\ref{dir1}, \ref{dirichlet}.\ref{dir2} a z linearity integrálu plyne
$\forall x,s\in\R$, $\forall n\in\N$:
\[
F_n(x)-s=\frac1\pi\int_0^\pi\left(\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s\right)\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt.
\]
Odtud již plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Besselova nerovnost]
\label{bessel}
Buď $f$ funkce zobecněně integrabilní na intervalu $(-\pi,\pi)$, jejíž zobecněný integrál $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx$
konverguje. Potom koeficienty její Fourierovy řady vyhovují nerovnosti
\[
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)\le
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.
\]
\begin{proof}
Díky kovergenci $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2$ platí, že $\int\limits_{-\pi}^\pi f$ konverguje absolutně (Hölderova nerovnost - viz FA1). 
 
Má tedy smysl mluvit o Fourierově řadě.
Označíme-li opět $F_n$ $n$-tý částečný součet Fourierovy řady funkce
$f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$, platí:
\[
\begin{split}
0 & \le \int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))^2\dx=
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - 2\int_{-\pi}^\pi f(x)F_n(x)\dx + 
\int_{-\pi}^\pi F_n^2(x)\dx= \\
& = \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(
\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx +
\sum_{k=1}^n\left(
a_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\dx +
b_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\dx
\right)
\right) + \\
& \quad + \frac{a_0^2}2\pi + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\pi =
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - \left(
\frac{a_0^2}2 + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)
\right)\pi.
\end{split}
\]
Tato nerovnost platí $\forall n\in\N$. Odečtením závorky v posledním kroku na levou stranu a vydělením $\pi$ získáme tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Předchozí věta představuje zobecnění Pythagorovy věty a z jejího tvrzení, resp. důkazu vyplývá několik důležitých poznatků, které uvádíme v následujících poznámkách a~větách. \item (kritérium konvergence)
\[
\int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dx <+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)<+\infty.
\]
\item \label{riemann-lemma} Z nutné podmínky konvergence řady na levé straně Besselovy nerovnosti dostáváme, že pro každou $f\in
\mathcal{R}^2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí:
\[
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.
\]
\item Dle poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} známe tvar skalárního součinu funkcí, tedy $\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx=\la f,f\ra$. Pokud by skalární součin indukoval normu, pravá strana až na prefaktor $\pi^{-1}$ odpovídá pravé straně Besselovy nerovnosti z LAA2. Existenci normy je třeba vyšetřit.
\item Mějme množinu všech funkcí $f$, pro něž zobecněné integrály 
$\int_a^b f^2(x)\dx$ a tedy i $\int_a^b f(x)\dx$ konvergují,
 a označme ji $\mathcal{R}^2(a,b)$. Tato množina tvoří lineární prostor. Je tento prostor normovaný?
Z předchozí poznámky se vhodným kandidátem na normu zdá být zobrazení
\[f\mapsto\sqrt{\la f,f\ra}=\sqrt{\int_a^b f^2(x)\dx}.\]
Splňuje-li naše zobrazení všechny axiomy normy \ref{defnorm}, jedná se skutečně o normu.
 
Třetí axiom normy však není splněn, neboť rovnost $\norm{f}=0$ platí i~pro nějakou nenulovou funkci $f$. Zobrazení je tedy pozitivně semidefinitní (nikoli pozitivně definitní) a nazveme jej {\bf seminormou}. 
\item Konvergenci posloupnosti funkcí definovaných na intervalu
$(a,b)$ můžeme brát jako konvergenci v~prostoru $\mathcal{R}^2(a,b)$ s~výše
definovanou seminormou. Nazývá se {\bf konvergence podle normy}, někdy též konvergence dle středu. Limitu v normovaném prostoru pak značíme l.i.m. z~latinského \textit{limes in medio}. \item \index{konvergence podle normy}
Jsou-li $f_n\in \mathcal{R}^2(a,b)$ pro $n\in\N$ a $f\in
\mathcal{R}^2(a,b)$, říkáme, že posloupnost $\posl{f_n}$ {\bf konverguje dle normy}
k~funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ právě tehdy, když $\norm{f_n-f}\to 0$, tj.
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b(f_n(x)-f(x))^2\dx=0.\]
Řada $\rada f_n$ konverguje na intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci
$F$, jestliže posloupnost částečných součtů této řady konverguje na
intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci $F$.
\item Z konvergence podle normy \emph{neplyne} bodová konvergence a naopak.
\item V důkazu věty jsme tedy operovali s výrazem $\norm{f-F_n}^2$. Proto jsme si mohli dovolit odhadnout integrál zdola nulou, neboť naše seminorma je pozitivně semidefinitní.
\item Číslo $\norm{f-g}$ má význam {\bf střední
kvadratické odchylky} funkcí $f$ a $g$ na intervalu, na němž je definovaný skalární součin, v našem případě ($-\pi,\pi$).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}(trigonometrický polynom) Buďte $\posloupnost{0}{n}{c_k}$, $\posloupnost{1}{n}{d_k}$ dvě
posloupnosti reálných čísel, $n\in\N$. Položme 
\[
T_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx) \quad \forall x\in\R.
\]
Potom funkci $T_n$ nazýváme {\bf trigonometrický
polynom stupně nejvýše $n$-tého}
\index{trigonometrický polynom}
resp. {\bf trigonometrický polynom
stupně $n$-tého}, je-li alespoň jedno z~čísel $c_n$, $d_n$ nenulové.
\end{define}
 
\begin{remark}
Zopakujme si nyní důkaz věty \ref{bessel} s~tím, že nahradíme
součet $F_n$ trigonometrickým polynomem $T_n$. Obdržíme:
\[
\begin{split}
& \norm{f-T_n}^2=\int_{-\pi}^\pi(f(x)-T_n(x))^2\dx = \\
&=
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(
\frac{c_0a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k a_k+d_k b_k)
\right) \pi+
\left(
\frac{c_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k^2+d_k^2)
\right)\pi=\\
&=\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx +
\left[
\frac12(a_0-c_0)^2+\sum_{k=1}^n(a_k-c_k)^2+\sum_{k=1}^n(b_k-d_k)^2
\right]\pi\,-\\
& \quad-
\left(
\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)
\right)\pi\ge
\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx=\norm{f-F_n}^2\ge 0,
\end{split}
\]
přičemž rovnost nastane pro ($\forall k\in\hat{n_0}$)($a_k=c_k$) 
a ($\forall k\in\hat{n}$)($b_k=d_k$). Tedy
\[
\norm{f-T_n}^2\ge\norm{f-F_n}^2\ge 0.
\]
Nejlepší možná aproximace funkce $f$ pomocí $T_n$ je právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~nejlepší aproximaci]
Nechť $f\in \mathcal{R}^2(a,b)$. Pak jediná trigonometrická řada, která může na
intervalu $(-\pi,\pi)$ konvergovat podle normy k~funkci $f$ je právě Fourierova řada funkce $f$.
 
\begin{proof} 
Označme 
\[F_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx)\]
a nechť posloupnost $\posl{F_n}$ konverguje normy na intervalu 
$(-\pi,\pi)$ k~funkci $f$. Potom platí:
\[
\begin{split}
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin mx\dx & =
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F_n(x)\sin mx\dx=\\
&= \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+d_m
\end{split}
\]
pro všechna $n,m\in\N$, $n\ge m$. Nyní stačí užít Besselovy nerovnosti
\[
\abs{\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))\sin mx\dx}\le
\sqrt{\pi\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx}
\]
a provést limitní přechod pro $n\to\infty$.
\end{proof}
\end{theorem} 
 
\begin{theorem}[Parsevalova rovnost]
\label{parseval}
Buď $f\in \mathcal{R}^2(-\pi,\pi)$. Potom Fourierova řada
funkce $f$ konverguje na intervalu $(-\pi,\pi)$ podle normy k~funkci
$f$ právě tehdy, platí-li
\[
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.
\]
\begin{proof}
Rovnost v Besselově nerovnosti nastane právě tehdy, když $\norm{f-F_n}^2\longrightarrow 0$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Riemann]
\label{riemann}
Nechť existují $a,b\in\RR$ tak, že zobecněný integrál
$\int\limits_a^bf(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom platí:
\[
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx= 0.
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Nechť je nejdříve funkce $f$ na \textit{uzavřeném} intervalu
$\left[a,b\right]$ riemannovsky integrabilní. Buď
\[m=\left\lfloor\frac{b-a}{2\pi}\right\rfloor
\quad
\text{a}
\quad
f^*(x)=
\begin{cases}
f(x) & \text{pro }x\in\left[a,b\right]\\
0 & \text{pro } x\in\left( b,a+2(m+1)\pi\right] 
\end{cases}
\]
Funkce $f^*$ je riemannovsky integrabilní na intervalu
$\left[a,a+2(m+1)\pi\right]$ a platí:
\[
\int_a^b f(x)\cos nx\dx=\int_a^{a+2(m+1)\pi}f^*(x)\cos nx\dx=
\sum_{k=1}^{m+1}\int_{a+2(k-1)\pi}^{a+2k\pi}f^*(x)\cos nx\dx.
\]
Nyní již stačí provést limitní přechod pro $n\to\infty$ a užít poznámky \ref{bessel}.\ref{riemann-lemma}.
\item Nechť $\int\limits_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje jako
nevlastní Riemannův integrál a nechť např. $b$ je jediný kritický bod
tohoto integrálu. Zvolme $\epsilon>0$. Potom existuje $c\in (a,b)$
tak, že 
\[\int\limits_c^b \abs{f(x)}\dx<\frac\epsilon2.\] 
Protože podle bodu a) je
\[\lim_{n \to \infty}\int_a^c f(x)\cos nx\dx=0,\]
existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ platí
\[\int_a^c f(x)\cos nx\dx<\frac\epsilon2.\]
Odtud již dostáváme, že pro všechna $n>n_0$ je:
\[
\int_a^b f(x)\cos nx\dx\le
\abs{\int_a^c f(x)\cos nx\dx}
+
\abs{\int_c^b f(x)\cos nx\dx}<\epsilon.
\]
Analogicky dokážeme, že také
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Důsledkem této věty je tvrzení: Je-li $f$ integrabilní funkce na intervalu, její Fourierovy koeficienty jdou k nule pro rostoucí $n$ a tím se součet Fourierovy řady blíží nule. Analogické tvrzení (Riemannovo-Lebesgueovo lemma) platí i pro případ, kdy máme místo řady integrál a používá se v teorii Fourierovy transformace a zobecněných funkcí.
\item Aplikujme nyní větu \ref{riemann} na limitu ve větě
\ref{dirichlet2}. Předpokládejme v~následujících poznámkách, že funkce
$f$ je periodická s~periodou $2\pi$ a že má absolutně konvergentní
zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Protože podle věty
\ref{riemann} pro libovolné $s\in\R$ je
\[
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s
\right)
\cos nt\dt=0,
\]
dostáváme:
\item \label{p773} Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$
právě tehdy, platí-li
\[
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s
\right)
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.
\]
\item \label{p774} Buď $c\in(0,\pi)$. Potom pro libovolné $s\in\R$ je podle věty
\ref{riemann}
\[
\lim_{n\to\infty}\int_c^\pi\left(
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s
\right)
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0
\]
a tudíž Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$
právě tehdy, platí-li
\[
\lim_{n\to\infty}\int_0^c\left(
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s
\right)
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.
\]
\item (Dini) Pro konvergenci Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x$
k~číslu $s$ stačí konvergence integrálu
\[
\int_0^c\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{t}\dt
\]
pro některé $c\in(0,\pi)$. Skutečně --- z~konvergence výše uvedeného
integrálu plyne konvergence integrálu 
\[
\int_0^c\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{2}\cotg\frac t2 \dt
\]
a ostatní je již důsledek věty \ref{riemann} a poznámky
\ref{riemann}.\ref{p773}.
 
\item \label{p776} (Lipschitz) Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$
k~číslu $s$, existují-li $L>0,\alpha\in\left(0,1\right]$ a pravé okolí
$\H_0$ bodu $0$ tak, že pro všechna $t\in\H_0$ platí:
\[\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}\le Lt^\alpha.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Riemannova o lokalizaci]
\label{vlokaliz}
Konvergence Fourierovy řady funkce $f$ i~hodnota jejího
součtu v~bodě $x$ závisí pouze na průběhu funkce $f$ v~bezprostředním okolí tohoto bodu.
\begin{proof}
Plyne z poznámky \ref{riemann}.\ref{p774}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[o bodové konvergenci] 
\label{souc1}
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$, která má absolutně
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. buď dále
$x_0\in\R$ a nechť platí jeden z~následujících výroků:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Funkce $f$ má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné derivace.
\item Funkce $f$ je v~prstencovém okolí bodu $x_0$ diferencovatelná a
její derivace má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné limity.
\end{enumerate}
Potom Fourierova řada (s~periodou $2\pi$) funkce $f$ konverguje v~bodě
$x_0$ a její součet je:
\[
\lim_{n\to\infty}F_n(x_0) = 
\begin{cases}
f(x_0) & \text{v~případě (I)} \\
\displaystyle\frac12\left(\lim_{x\to x_0+}f(x)+
\lim_{x\to x_0-}f(x)\right) &
\text{v~případě (II)}
\end{cases}
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Nechť platí (I). Položme $L=2\max(\abs{f'_+(x_0)},\abs{f'_-(x_0)}) + 1$.
 
Potom existuje pravé okolí $\H$ bodu $0$ tak, že pro všechna
$t\in\H$ platí:
\[\abs{f(x_0+t)-f(x_0)}\le\frac12Lt\quad\wedge\quad\abs{f(x_0-t)-f(x_0)}\le\frac12Lt,\]
a tedy
\[\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2f(x_0)}\le Lt.\]
To je ovšem Lipschitzova podmínka pro konvergenci (poznámka \ref{riemann}.\ref{p776})
Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x_0$ k~součtu $f(x_0)$.
 
\item Nechť platí (II). Označme $f'(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)$,
$f'(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)$ a položme
$L=2\max(\abs{f'(x_0+)},\abs{f'(x_0-)}) + 1$.
 
Potom existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $x\in(x_0,x_0+\delta)$
je $\abs{f'(x)}\le\frac12L$. Zvolíme-li nyní libovolně dva body
$x_1,x_2\in(x_0,x_0+\delta)$, existuje podle věty o~přírůstku funkce
$\xi\in(x_1,x_2)$ takové, že platí:
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)}=\abs{f'(\xi)}\,\abs{x_2-x_1}\le\frac12L\abs{x_2-x_1}.\]
Odtud dle Bolzanova-Cauchyova kritéria plyne existence vlastní limity
funkce $f$ v~bodě $x_0$ zprava.
 
Položme opět $f(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f(x)$ a definujme funkci $g$
takto:
\[
g(t)=
\begin{cases}
f(x_0+t) & \text{pro $t\in(0,\delta)$} \\
f(x_0+) & \text{pro $t=0$}
\end{cases}
\]
Funkce $g$ je spojitá zprava v~bodě $0$, diferencovatelná na intervalu
$(0,\delta)$ a platí
\[\lim_{t\to 0+}g'(t)=\lim_{t\to 0+}f'(x_0+t)=f'(x_0+).\]
Potom funkce $g$ má v~bodě $0$ derivaci zprava a platí
$g'_+(0)=f'(x_0+)$, tj.
\[\lim_{t\to 0+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+)}{t}=f'(x_0+).\]
Podobně dokážeme, že
\[\lim_{t\to 0-}\frac{f(x_0+t)-f(x_0-)}{t}=f'(x_0-).\]
Odtud již plyne, že existuje takové pravé okolí $\H$ bodu $0$, že pro
všechna $t\in\H$ platí:
\[
\abs{f(x_0+t)-f(x_0+)}\le\frac12Lt,\ \abs{f(x_0-t)-f(x_0-)}\le\frac12Lt
\]
a tedy
\[
\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-(f(x_0+)+f(x_0-))}\le Lt.
\]
Podle poznámky \ref{riemann}.\ref{p776} odtud plyne, že Fourierova řada funkce $f$
konverguje v~bodě $x_0$ k~číslu \[\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)).\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Předpoklady (I) a (II) ve větě \ref{souc1} jsou vzájemně
nezávislé. Z~(I) evidentně neplyne (II) a na druhé straně z~platnosti
(II) neplyne (právě když funkce $f$ není spojitá v~bodě $x_0$)
platnost předpokladu (I).  Pro funkci spojitě diferencovatelnou v~bodě
$x_0$ jsou ovšem oba předpoklady (I) a (II) ekvivalentní. 
\item Poznámkami \ref{riemann}.\ref{p773}--\ref{riemann}.\ref{p776} a větami \ref{souc1} a \ref{vlokaliz}
je v~podstatě vyřešena otázka bodové konvergence Fourierovy řady
funkce $f$. 
\item Poněkud omezující (i~když pro rozvoj v~trigonometrickou
řadu zcela logickou) se již vzhledem k~definici \ref{deffour} zdá
skutečnost, že všechna tato tvrzení byla vyslovena pro periodickou
funkci. Abychom všechna tato tvrzení mohli užít i~pro funkci
definovanou na omezeném intervalu, pomůžeme si tzv. periodickým
prodloužením.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
\label{periodprodl}Buďte $a,b\in\R$ a nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu
$\left[a,b\right)$. Potom {\bf periodickým prodloužením funkce $f$} na intervalu
$\left[a,b\right)$ rozumíme funkci $f^*$ definovanou na množině $\R$
\[
f^*(x)=f\left(x-\left\lfloor\frac{x-a}{b-a}\right\rfloor(b-a)\right) \qquad \forall x \in \R.
\]
\end{define} 
 
 
\begin{example}
\begin{itemize}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item Periodickým prodloužením funkce
$x\mapsto\sin x$ na intervalu $\left[0,\pi\right)$ je $\abs{\sin x}$.
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto\sin x$ na intervalu
délky $2\pi$ je funkce $\sin x$. 
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto x$ na intervalu $\left[ 
0,1\right)$ je funkce $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$.
\end{itemize}
\end{example}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item  \label{period1}  Buď nyní $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right)$,
$b-a=2\pi$ a nechť zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně
konverguje. Potom, užijeme-li větu \ref{souc1} na periodické
prodloužení $f^*$ funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right)$, dostáváme:
 
Buď $x_0\in(a,b)$ a nechť je splněn alespoň jeden z~předpokladů (I) a
(II) věty \ref{souc1}. Potom platí:
\[
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)=
\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),
\]
kde
\[a_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx,\quad
b_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\sin nx\dx\]
pro všechna $n\in\No$ a symboly $f(x_0+)$ resp. $f(x_0-)$ chápeme ve
smyslu užitém v~důkazu věty \ref{souc1}.
 
\item  \label{period2} Buďte $a,b$ libovolná různá reálná čísla, $x_0$ vnitřní bod
intervalu o~krajních bodech $a,b$. Nechť dále zobecněný integrál
$\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom, je-li splněn alespoň
jeden z~předpokladů (I), (II) věty \ref{souc1}, platí:
\[
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(
a_n\cos\frac{2\pi n}{b-a}x_0+b_n\sin\frac{2\pi n}{b-a}x_0
\right)=\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),
\]
kde
\[
a_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\cos\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad
b_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\sin\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad
\]
pro všechna $n\in\No$.
 
\item Nevyřešena v~předchozích dvou poznámkách ještě zůstává otázka
konvergence Fourierovy řady funkce $f$ v~krajních bodech intervalu
$(a,b)$. Předpokládáme opět, že zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$
absolutně konverguje a nechť je splněn jeden z~následujících
předpokladů:
\begin{enumerate}[(I$^*$)]
\item $f(a)=f(b)$ a existují jednostranné derivace $f_+'(a)$ a $f_-'(b)$.
\item Funkce $f$ je diferencovatelná v~jistém pravém okolí bodu $a$ a
levém okolí bodu $b$, přičemž existují vlastní limity
$\lim_{x\to a+}f'(x)$ a $\lim_{x\to b-}f'(x)$. 
\end{enumerate}
Aplikací věty \ref{souc1} na periodické prodloužení funkce
$f$ na intervalu $\left[a,b\right)$ získáme:
 
Fourierova řada funkce $f$ z~poznámky \ref{periodprodl}.\ref{period1}
resp. \ref{periodprodl}.\ref{period2} konverguje v~bodě $a$ (a~tím i~v~bodě $b$) a její
součet je $\frac12(f(a+)+f(b-))$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Má-li funkce $f$ \textit{konečně} mnoho bodů nespojitosti, z nichž žádný není druhého druhu, říkáme, že $f$ je {\bf po částech spojitá}.
\end{define}
 
\begin{theorem}[\uv {pro život}]
\label{soucet}
Nechť funkce $f$ je po částech spojitá a má po částech spojitou
derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$. Potom Fourierova řada funkce $f$ na
intervalu $(a,b)$ konverguje na celé množině $\R$ a označíme-li $F$
její součtovou funkci, platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Funkce $F$ je periodická s~periodou $b-a$.
\item $F(x)=\frac12(f(x+)+f(x-))$ pro všechna $x\in(a,b)$.
\item $F(a)=F(b)=\frac12(f(a+)+f(b-))$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Plyne z~předchozích poznámek, nebo přímo z~věty \ref{souc1}, jestliže ji
aplikujeme na periodické prodloužení funkce $f$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
 
\item Druhý bod (ii) věty \ref{soucet} můžeme vyslovit také
v~následující podrobnější formě:
\begin{enumerate}[(ii)]
\item Pro všechna $x\in(a,b)$ platí:
\[
F(x)=
\begin{cases}
f(x) & \text{je-li funkce $f$ v~bodě $x$ spojitá}\\
\displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)} & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$
  odstranitelnou nespojitost}\\
\frac12(f(x+)+f(x-)) & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$ nespojitost
  I. druhu}
\end{cases}
\]
\end{enumerate}
 
\item Nechť integrál $\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx$ absolutně konverguje a
buď
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]
Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Potom platí:
Je-li funkce $f$ lichá, jsou
\[a_n=0,\ b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\dx\text{ pro }n\in\No;\]
je-li funkce $f$ sudá, jsou
\[b_n=0,\ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx\dx\text{ pro }n\in\No.\]
 
\item Buď $\alpha\in\R$ a položme $f(x)=\cos\alpha x$ pro všechna
$x\in\left[-\pi,\pi\right]$. Je-li $\alpha\in\Z$, je triviálně funkce $f$
součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$. Buď
dále $\alpha\in\R-\Z$; potom podle předchozí poznámky platí:
\[
a_n=\frac2\pi\int_0^\pi \cos\alpha x\cos nx\dx=\frac1\pi\left(
\frac{\sin(\alpha+n)\pi}{\alpha+n} +
\frac{\sin(\alpha-n)\pi}{\alpha-n}
\right)=
\frac1\pi\frac{2\alpha(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\sin\alpha\pi
\]
a $b_n=0$ pro všechna $n\in\No$.
Z~věty \ref{soucet} potom plyne:
\[
\cos\alpha x=\frac{\sin\alpha\pi}{\alpha\pi}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n
\frac{2\alpha\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\cos nx
\]
pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$.
Analogicky obdržíme
\[
\sin\alpha
x=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\sin nx
\]
pro všechna $x\in(-\pi,\pi)$.
 
\item Položme ve vyjádření pro $\cos\alpha x$ v~předchozí poznámce
$x=0$ a $\alpha\pi=z$ resp. $x=\pi$ a $\alpha\pi=z$. Potom dostáváme:
\[
\frac1{\sin z}=\frac1z+
\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^nz}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}
\right)
\]
resp.
\[
\cotg z=\frac1z+
\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+
\sum_{n=1}^\infty\left(
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}
\right)
\]
pro všechna $z\in\R-\pi\Z$ (tj. všechna reálná $z$, která nejsou celým
násobkem $\pi$). Našli jsme tak vlastně rozklad dvou neracionálních
funkcí na parciální zlomky. Položíme-li v~rozkladech
$z=\frac{-\pi}2-y$, obdržíme také rozklad funkcí $\frac1{\cos z}$ a
$\tg z$ na parciální zlomky.
 
\item Buď $x\in(0,\pi)$. Potom podle předcházející poznámky pro
všechna $y\in\left(0,x\right] $ je
\[
\cotg y-\frac1y=\sum_{n=1}^\infty\frac{2y}{y^2-(n\pi)^2}.
\]
Protože řada na pravé straně rovnosti podle Weierstrassova kritéria
konverguje stejnoměrně na $\left[0,x\right]$, platí podle věty \ref{ointegraci-r}
\[
\int_0^x\left(\cotg y-\frac1y\right)\dy=
\sum_{n=1}^\infty\int_0^x\frac{2y\dy}{y^2-(n\pi)^2},
\]
tj.
\[
\left[\ln\frac{\sin y}{y}\right]_x^0=
\sum_{n=1}^\infty\left[\ln\abs{y^2-(n\pi)^2}\right]_0^x
\]
a
\[
\ln\frac{\sin x}{x}=\sum_{n=1}^\infty\ln
\left(
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}
\right).
\]
Ze spojitosti funkce $\ln$ (můžeme tedy \uv{odlogaritmovat}) potom plyne
\[
\sin x=x\prod_{n=1}^\infty
\left(
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}
\right).
\]
Poslední rovnost platí evidentně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a
užijeme-li periodičnost obou stran, dokážeme její platnost na celé
množině $\R$. Speciálně pro $z=\frac\pi 2$ obdržíme vyjádření jedničky jako nekonečný součin (tzv. Wallisovu formuli)
\[
1=\frac\pi 2\prod\frac{(2k+1)(2k-1)}{(2k)^2}.
\]
Ze vztahu $\sin2z=2\sin z\cos z$ ještě plyne, že
\[
\cos z=\prod_{n=1}^\infty\left(
1-\frac{4z^2}{(2n-1)^2\pi^2}
\right)
\]
pro všechna $z\in\R$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Jordan]
Buď $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right]$ s~následujícími
vlastnostmi:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f(a)=f(b)$.
\item $f$ je spojitá na intervalu $\left[a,b\right]$.
\item Funkce $f$ má po částech spojitou derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$.
\end{enumerate}
Potom Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$ konverguje
stejnoměrně na množině $\R$.
\begin{proof}
Větu stačí zřejmě dokázat pro případ $b-a=2\pi$.
 
Buďte $c_1<c_2<\dots<c_{n-1}$ všechny body nespojitosti derivace
funkce $f$. Označíme-li $c_0=a$, $c_n=b$, platí pro všechna $n\in\N$
\[
\begin{split}
a_n & =\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx=
\frac1\pi\sum_{i=1}^n\int_{c_{i-1}}^{c_i} f(x)\cos nx\dx= \\
& = \frac1{n\pi}\sum_{i=1}^n
\left(
[f(x)\sin nx]_{c_{i-1}}^{c_i}-
\int_{c_{i-1}}^{c_i}f'(x)\sin nx\dx
\right)= \\
& = \frac1{n\pi}(f(b)\sin nb-f(a)\sin na)-
\frac1{n\pi}\int_a^b f'(x)\sin nx\dx = -\frac1n b_n',
\end{split}
\]
kde jsme písmenem $b_n'$ označili příslušný Fourierův koeficient
funkce $f'$. Analogicky dokážeme, že pro všechna $n\in\N$ platí
\[b_n=\frac1n a_n'.\]
Pro všechna $n\in\N$ a pro všechna $x\in\R$ tedy platí:
\[
\abs{a_n\cos nx+b_n\sin nx}\le \abs{a_n}+\abs{b_n}=
\frac{\abs{a_n'}}{n}+\frac{\abs{b_n'}}{n}\le
\frac12\left(
\abs{a_n'}^2+\frac1{n^2}+\abs{b_n'}^2+\frac1{n^2}
\right).
\]
Poslední krok platí z tzv. Youngovy nerovnosti:
\[
 0\leq(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \Longrightarrow 2ab\leq a^2+b^2
\]
 
Z~Besselovy nerovnosti (věta \ref{bessel}) vyplývá, že výraz na pravé
straně nerovnosti je $n$-tý člen konvergentní číselné řady. Tvrzení
věty nyní plyne z~Weierstrassova kritéria.
\end{proof}
\end{theorem}