Verze z 22. 9. 2013, 13:09

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Spojitost}
 
\index{spojitost}
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení. Řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité
v~$x_0$}, právě když vzor každého okolí bodu $f(x_0)$
$f^{-1}(\H_{f(x_0)})$ je okolí bodu $x_0$. Řekneme, že $f$ je spojité,
je-li spojité v~každém bodě.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ zobrazení topologického prostoru $X$ do $Y$. Potom následující
tři tvrzení jsou ekvivalentní.
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ je spojité.
\item pro každé $B=\vn{B}^Y$ je $f^{-1}(B)$ otevřená v~$X$, tj,
$f^{-1}(B)=\vn{f^{-1}(B)}^X$.
\item pro každé $B=\uz{B}^Y$ je $f^{-1}(B)$ uzavřená v~$X$, tj,
$f^{-1}(B)=\uz{f^{-1}(B)}^X$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item (ii) $\iff$ (iii):
 Pro libovolnou množinu $B \subset Y$ platí $f^{-1}(Y \sm B)= X \sm f^{-1}(B).$ 
Ukážeme nyní implikaci (ii) $\implies$ (iii), obrácená implikace se dokazuje analogicky.\\
Nechť $B=\uz{B}^Y$. Potom
$Y \sm B = \vn{(Y \sm B)}^Y.$ Podle předpokladu je vzor této množiny otevřený v X, tj.
$\vn{(f^{-1}(Y \sm B))}^X = f^{-1}(Y \sm B)= X \sm f^{-1}(B) = \vn{( X \sm f^{-1}(B))}^X$. Odtud dostáváme $f^{-1}(B)=\uz{f^{-1}(B)}^X$.\\
\item (i) $\implies$ (ii):
Buď $B=\vn{B}^Y$, $x\in f^{-1}(B)$. Pak $f(x)\in B$ a ze spojitosti
$f$ vyplývá $f^{-1}(B)=\H_x$, tedy $f^{-1}(B)$ je okolím všech svých
bodů, tedy je otevřená.
\bigskip\item (ii) $\implies$ (i):
Buď $\H_{f(x_0)}$ okolí bodu $f(x_0)$. Pak existuje $B=\vn{B}$ tak, že
platí $f(x_0)\subset B\subset\H_{f(x_0)}$, tedy $x_0\in
f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\H_{f(x_0)})$, tedy $f^{-1}(\H_{f(x_0)})$ je
okolím $x_0$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{homeomorfismus}
\begin{define}
Buď $f$ zobrazení topologického prostoru $X$ do $Y$ tak, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $f$ je bijekcí,
\item $f$ a $f^{-1}$ jsou spojité.
\end{enumerate}
Potom $f$ nazýváme {\bf homeomorfismem} $X$ na $Y$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Předpoklad spojitosti $f^{-1}$ není nadbytečný --- například identické
zobrazení $(\R,d)\mapsto(\R,\abs{\ })$ spojité je, zatímco inverzní ne.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ bijekce $X$ na $Y$. Potom následující výroky jsou
ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ je homeomorfismus.\bigskip
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $A=\vn{A}^X\iff f(A)=\vn{(f(A))}^Y$.\bigskip
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $A=\uz{A}^X\iff f(A)=\uz{f(A)}^Y$.\bigskip
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $f(\vn{A}^X)=\vn{(f(A))}^Y$.\bigskip
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $f(\uz{A}^X)=\uz{f(A)}^Y$.\bigskip
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zřejmé :-)
\index{zřejmý důkaz}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{ekvivalence metrik}
\begin{define}
Řekneme, že dvě metriky $\rho$ a $\sigma$ na množině $X$ jsou
{\bf ekvivalentní}, právě když indukují tutéž topologii. Jinými slovy:
identita $(X,\rho)\mapsto(X,\sigma)$ je homeomorfismus.
\end{define}
 
\begin{remark}
$\tau = \tau'$ pokud $\forall A \in \tau$ existuje $A'\in \tau'$, že $A'\subset A$ a 
zároveň pokud $\forall B' \in \tau'$ existuje $B\in \tau$, že $B\subset B'$
\end{remark}
 
\index{ekvivalence norem}
\begin{define}
Řekneme, že dvě normy jsou {\bf ekvivalentní}, právě když indukují ekvivalentní metriky.
\end{define}
 
 
 
\begin{theorem}
\label{hom_lin}
Buď $\VEC X$ lineární prostor. Potom dvě normy $\norm{\ }_1$, $\norm{\ }_2$
jsou ekvivalentní, právě když platí:
\[k\norm{\vec x}_1\le\norm{\vec x}_2\le K\norm{\vec x}_1\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(\Rightarrow)$: {\bf V~lineárním prostoru} platí, že uzávěr
$\uz{B(x,r)}$ otevřené koule $B(x,r)$ je uzavřená koule $S(x,r)$.
 
Otevřená koule $B_2(0,1)$ v~prostoru s~normou $\norm{\ }_2$ je
otevřená množina. V~prostoru s~normou $\norm{\ }_1$ proto existuje
koule $B_1(0,r)$ tak že platí: $B_1(0,r)\subset
B_2(0,1)$. Z~vlastnosti uzávěru a výše uvedené poznámky pak platí, že
$S_1(0,r) \subset S_2(0,1)$, tedy $\norm{\vec x}_1\le
r\implies \norm{\vec x}_2\le 1$.
 
Pro {\bf libovolný} vektor $\vec y$ pak  platí:
\[\norm{r\frac{\vec y}{\norm{\vec y}_1}}_1\le r,\]
z~čehož vyplývá:
\[\norm{r\frac{\vec y}{\norm{\vec y}_1}}_2\le 1\implies
\frac{r}{\norm{\vec y}_1}\norm{\vec y}_2\le 1\implies
\norm{\vec y}_2\le\frac1r\norm{\vec y}_1,
\]\bigskip
kde $\frac1r$ je konstanta $K$ z~tvrzení věty. Druhá nerovnost se
dokáže analogicky.\bigskip
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A=\vn{A}$ otevřená množina z~$(\VEC X, \norm{\
}_1$), $x\in A$. Pak existuje koule $B_1(x,r_1)\subset
A$. Z~předpokladu věty a z~definice koule pak ale vyplývá, že koule
$B_2(x,kr_1)$ z~$(\VEC X, \norm{\ }_2$) je podmnožinou koule $B_1$, tudíž
$B_2\subset A$. Tedy v~$(\VEC X, \norm{\ }_2$) pro každý bod $x\in A$
existuje koule $B_2(x,r_2)\subset A$, tedy $A$ je v~$(\VEC X, \norm{\ }_2$)
otevřená.
 
Opačná inkluze se dokáže analogicky
($B_1(x,r_1)\subset B_2(x,K r_2)$).
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{konvergence posloupnosti}
\index{limita}
\begin{define}
Buď $\posl{x_n}$ posloupnost bodů z~topologického prostoru $X$. Potom
posloupnost konverguje k~bodu $x$ ($x_n\to x$), právě když leží
v~každém jeho okolí až na konečně mnoho bodů. Bod $x$ se nazývá {\bf
limita}.
\end{define}
\bigskip
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Je-li $f$ bijekce $\N\biject\N$, pak 
$x_n\to x\iff x_{f_n}\to x$.\bigskip
\item Posloupnost má nejvýše jednu limitu (důsledek Hausdorffova
axiomu).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Řekneme, že topologický prostor $(X,\tau)$ je {\bf metrizovatelný},
právě když na $X$ existuje metrika $\rho$ taková, že indukuje $\tau$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $X$ metrizovatelný topologický prostor, $A\subset X$. Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $x\in\uz{A}$, právě když $(\exists \posl{x_n}\subset A)(x_n\to x)$.\bigskip
\item $x\in\hr{A}$, právě když $(\exists \posl{x_n}\subset A)(x_n\to x)\bigskip
  \wedge(\exists y_n\in X\sm A)(y_n\to x)$.
\item $x\in A'$, právě když $(\exists \posl{x_n}\subset A\sm\{x\})(x_n\to x)$.\bigskip
\item $x\in\vn{A}$, právě když $(\forall \posl{x_n})
(x_n\to x\implies \posl{x_n}\subset A\text{ až na konečný počet výjimek})$.\bigskip
\item $x\in\iz{A}$, právě když $(\forall \posl{x_n}\subset A)(x_n\to x\implies
x_n=x\text{ až na konečný počet výjimek})$.\bigskip
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zřejmé :-)
\index{zřejmý důkaz}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
 V topologickém prostoru platí pouze implikace, pro první tři $\Leftarrow$ a pro ostatní $\Rightarrow$, 
protože tam nemůžeme zajistit konvergenci těch posloupností. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Heine]
Buď $X$ metrizovatelný topologický prostor, $f:X\mapsto Y$ zobrazení,
$A\subset X$. Potom $\lim_{x\to x_0,x\in A}f(x)=l$, právě když pro
každou posloupnost $\posl{x_n}$ takovou, že $\posl{x_n} \subset A,x_n\not=x_0,x_n\to x_0$, platí $f(x_n)\to l$.
\end{theorem}
\bigskip