01MAA4:Kapitola16: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Doplnění drobností.) |
m |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA4} | %\wikiskriptum{01MAA4} | ||
− | \section{ | + | \section{Variety} |
− | + | ||
+ | \begin{define}\label{DVarieta} | ||
+ | Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu | ||
+ | $M\subset\R^n$ nazveme $r$-rozměrnou varietou třídy $\c{q}$, platí-li: | ||
+ | \begin{enumerate}[(I)] | ||
+ | \item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\ | ||
+ | \Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$, | ||
+ | \item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}$, | ||
+ | \item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Varieta $\equiv$ varieta třídy $\c{q}$. | ||
+ | \item Bod jde dodefinovat zvlášť jako 0-rozměrnou varietu. | ||
+ | \item $r$-varieta $\equiv$ $r$-rozměrná varieta. | ||
+ | \item $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha. | ||
+ | \item $r$-varieta je {\bf lokálně difeomorfní} s~množinami, které jsou | ||
+ | izometrické s~otevřenými podmnožinami $\R^m$.\ | ||
+ | \item Variety nemají kraj. | ||
+ | \item Kompaktní variety jsou (geometricky) uzavřené. | ||
+ | \item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta. | ||
+ | \item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\mapsto\R^m$. Definujme | ||
\[ | \[ | ||
− | \ | + | M=\{x\in\df\Phi|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}. |
− | \Phi | + | |
− | + | ||
− | \Phi | + | |
− | \ | + | |
\] | \] | ||
− | + | Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$. | |
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď $x\in M$, $(\forall y\in\H_x)(\h(\Phi'(y))=m)$ | ||
+ | \[M\cap\H=\{x\in H|\Phi(x)=0\}\] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item $M=\{x\in\R^n|\abs{x}=1\}= | ||
+ | \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}= | ||
+ | \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\Theta\}$, | ||
+ | např. $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$. | ||
+ | $\h(\Phi'(x))=1$, právě když $x\not=0$. | ||
+ | \item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje | ||
+ | $L:\V^n\mapsto\V^m$ takové, že $Z(W)=L^{-1}(\Theta)$, $\h(L)=m$. | ||
\[ | \[ | ||
− | \begin{ | + | \begin{split} |
− | + | M&=\{x\in\R^n|L(x-x_0)=\Theta\}= | |
− | &\ | + | \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\\ |
− | + | &=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\} | |
− | \end{ | + | \end{split} |
\] | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item Pouze variety uzavřené a omezené, tj. kompaktní, jsou uzavřené geometricky. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $\ | + | Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in\V^n$ nazveme {\bf |
− | $ | + | tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení |
− | $\ | + | $\psi:\R\mapsto M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$. | |
+ | \[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}= | ||
+ | \lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\] | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | \begin{ | + | \begin{define} |
− | + | {\bf Tečným prostorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ budeme rozumět | |
− | + | množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_M(x_0)$. | |
− | + | \end{define} | |
− | \ | + | |
− | \ | + | \begin{theorem} |
− | \ | + | Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf |
− | + | jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$ neboli: | |
− | + | $T_M(x_0)=(\Phi'(x_0))^{-1}(\theta)$. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item $(\Rightarrow)$ |
− | \ | + | $\vec h\in T_M(x_0)\implies (\exists\psi:\R\mapsto |
− | \ | + | M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové, |
− | \ | + | že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno |
− | \ | + | $\Phi$. Definuji $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že |
− | \ | + | $(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$. |
− | \ | + | \[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\] |
− | + | tedy $\vec h$ je z~jádra. | |
− | \ | + | \item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$. |
− | \ | + | Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem |
+ | \[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\] | ||
+ | kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$: | ||
+ | \[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\] | ||
+ | \[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec | ||
+ | h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff | ||
+ | f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'}) | ||
\] | \] | ||
− | + | Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$; | |
− | $ | + | $f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$; |
− | + | \[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\] | |
− | + | \[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0 | |
− | \ | + | \iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\] |
− | + | Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je | |
− | + | tečný vektor. | |
− | + | ||
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta. | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | \begin{ | + | \begin{define} |
− | + | {\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu | |
− | + | $x_0+T_M(x_0)$. | |
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item Bod $x$ je z~tečny, právě když |
− | \ | + | \[x-x_0\in T_M(x_0)\iff\Phi'(x_0)(x-x_0)=0.\] |
− | \ | + | \item Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď |
− | + | \[M=\left\{x\in\R^n\left| | |
− | + | \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0 | |
− | + | \right.\right\}.\] | |
− | + | Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$, | |
− | + | protože matici $a_{ij}$ lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část | |
− | \[ | + | \[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji}) |
− | + | ||
− | + | ||
− | \frac{ | + | |
− | + | ||
− | \frac{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
\] | \] | ||
− | + | Navíc je-li reálná matice $B$ | |
+ | antisymetrická, platí | ||
\[ | \[ | ||
− | + | x^TBx = (Bx,x) = -(x,Bx)\Rightarrow x^TBx = 0 | |
− | + | \] | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \] | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | + | Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\[ | \[ | ||
− | \ | + | \Delta=\left| |
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | + | a_{ij} & b_i \\ | |
− | + | b_j & c | |
− | + | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
− | \right| | + | \right|. |
\] | \] | ||
− | + | Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované | |
− | + | kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta. | |
− | \ | + | \begin{proof} |
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
− | \{x\in\ | + | M&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\ |
− | \ | + | &=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \Theta \}, |
− | &=\{x\in\ | + | |
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | + | takže pokud $\Phi'(x)\neq \Theta$ tak $M$ je nadplocha. | |
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | + | Derivací podle $x_k$ se získá | |
− | \ | + | \[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\] |
− | + | Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to OK, | |
− | $ | + | pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že |
− | $\ | + | $\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě. |
− | $ | + | \[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\] |
+ | \[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0 \forall k\in\hat n)\] | ||
+ | Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde | ||
+ | \[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\] | ||
+ | Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vylezl by spor, protože | ||
− | + | Derivace v~$x_0\in M$: $\Phi'(x_0)(x-x_0)=0$ | |
− | \[ | + | \[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\] |
− | \ | + | s~využitím $x_0\in M$ |
− | \] | + | \[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\] %pokud to chápete, podlňte to |
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
− | \ | + | \begin{define} |
− | + | {\bf Normálovým prostorem} $N_M(x_0)$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru. | |
− | \ | + | \end{define} |
− | + | ||
− | + | \begin{define} | |
− | \ | + | {\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_M(x_0)$. |
− | \ | + | \end{define} |
− | \ | + | |
− | + | \begin{remark} | |
− | + | \begin{enumerate} | |
− | \ | + | \item $\vec n\in N_M(x_0)$, právě když $(\forall\vec h\in |
− | + | T_M(x_0))(\left\langle \vec n\vec h\right\rangle =0)$. | |
− | \ | + | \item $\vec h\in T_M(x_0)\iff \Phi'(x_0)\vec |
− | + | h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h= | |
− | \ | + | {\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$. |
− | + | \item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_M(x_0))$. Gradienty | |
− | + | tvoří bázi normálového prostoru. | |
− | \] | + | \item Buď $f'(x_0)\not=\Theta$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$. |
− | + | Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí | |
− | + | \[M=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\wedge | |
+ | f'(x_0)\not=0\}.\] | ||
+ | $\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} |
Verze z 26. 8. 2013, 14:58
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Variety} \begin{define}\label{DVarieta} Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu $M\subset\R^n$ nazveme $r$-rozměrnou varietou třídy $\c{q}$, platí-li: \begin{enumerate}[(I)] \item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\ \Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$, \item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}$, \item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Varieta $\equiv$ varieta třídy $\c{q}$. \item Bod jde dodefinovat zvlášť jako 0-rozměrnou varietu. \item $r$-varieta $\equiv$ $r$-rozměrná varieta. \item $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha. \item $r$-varieta je {\bf lokálně difeomorfní} s~množinami, které jsou izometrické s~otevřenými podmnožinami $\R^m$.\ \item Variety nemají kraj. \item Kompaktní variety jsou (geometricky) uzavřené. \item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta. \item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\mapsto\R^m$. Definujme \[ M=\{x\in\df\Phi|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}. \] Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$. \begin{proof} Buď $x\in M$, $(\forall y\in\H_x)(\h(\Phi'(y))=m)$ \[M\cap\H=\{x\in H|\Phi(x)=0\}\] \end{proof} \item $M=\{x\in\R^n|\abs{x}=1\}= \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}= \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\Theta\}$, např. $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$. $\h(\Phi'(x))=1$, právě když $x\not=0$. \item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou. \begin{proof} Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje $L:\V^n\mapsto\V^m$ takové, že $Z(W)=L^{-1}(\Theta)$, $\h(L)=m$. \[ \begin{split} M&=\{x\in\R^n|L(x-x_0)=\Theta\}= \{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\\ &=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\} \end{split} \] \end{proof} \item Pouze variety uzavřené a omezené, tj. kompaktní, jsou uzavřené geometricky. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in\V^n$ nazveme {\bf tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení $\psi:\R\mapsto M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. \end{define} \begin{remark} Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$. \[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}= \lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\] \end{remark} \begin{define} {\bf Tečným prostorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ budeme rozumět množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_M(x_0)$. \end{define} \begin{theorem} Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$ neboli: $T_M(x_0)=(\Phi'(x_0))^{-1}(\theta)$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item $(\Rightarrow)$ $\vec h\in T_M(x_0)\implies (\exists\psi:\R\mapsto M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové, že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno $\Phi$. Definuji $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že $(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$. \[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\] tedy $\vec h$ je z~jádra. \item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$. Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem \[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\] kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$: \[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\] \[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'}) \] Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$; $f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$; \[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\] \[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0 \iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\] Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je tečný vektor. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta. \end{remark} \begin{define} {\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu $x_0+T_M(x_0)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Bod $x$ je z~tečny, právě když \[x-x_0\in T_M(x_0)\iff\Phi'(x_0)(x-x_0)=0.\] \item Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď \[M=\left\{x\in\R^n\left| \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0 \right.\right\}.\] Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$, protože matici $a_{ij}$ lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část \[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji}) \] Navíc je-li reálná matice $B$ antisymetrická, platí \[ x^TBx = (Bx,x) = -(x,Bx)\Rightarrow x^TBx = 0 \] Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant \[ \Delta=\left| \begin{matrix} a_{ij} & b_i \\ b_j & c \end{matrix} \right|. \] Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta. \begin{proof} \[ \begin{split} M&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\ &=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \Theta \}, \end{split} \] takže pokud $\Phi'(x)\neq \Theta$ tak $M$ je nadplocha. \end{proof} Derivací podle $x_k$ se získá \[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\] Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to OK, pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že $\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě. \[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\] \[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0 \forall k\in\hat n)\] Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde \[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\] Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vylezl by spor, protože Derivace v~$x_0\in M$: $\Phi'(x_0)(x-x_0)=0$ \[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\] s~využitím $x_0\in M$ \[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\] %pokud to chápete, podlňte to \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} {\bf Normálovým prostorem} $N_M(x_0)$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru. \end{define} \begin{define} {\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_M(x_0)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $\vec n\in N_M(x_0)$, právě když $(\forall\vec h\in T_M(x_0))(\left\langle \vec n\vec h\right\rangle =0)$. \item $\vec h\in T_M(x_0)\iff \Phi'(x_0)\vec h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h= {\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$. \item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_M(x_0))$. Gradienty tvoří bázi normálového prostoru. \item Buď $f'(x_0)\not=\Theta$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$. Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí \[M=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\wedge f'(x_0)\not=0\}.\] $\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$. \end{enumerate} \end{remark}