Verze z 25. 8. 2013, 17:09

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Derivace vyšších řádů}
 
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~každém bodě definičního
oboru. Nechť $f'$ je diferencovatelné v~$x_0$. Potom řekneme, že
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci
2. řádu).
\end{define}
 
\index{druhá derivace}
\begin{define}
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací $f''(x_0)$ rozumíme prvek
$\L_2(\vec X,\vec X;\vec Y)$, tedy $f''(x_0)(\vec h,\vec
k)=\left((f')(x_0)\vec h\right)'\vec k=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu
v~libovolných dvou směrech a platí
\[f_{\vec v\vec w}(x_0)=\frac{\pd^2}{\pd w\pd v}f(x_0)=
f''(x_0)(\vec w,\vec v)=
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení (kvadratická forma).
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f:X \mapsto \R$] Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h),  (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$  leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in<\theta,\vec h>$ lze definovat
\[
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)
\]
\[
\begin{split}
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=
g(\vec h)-g(\theta)=g'(\vec \xi)\vec h=\\
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.
\end{split}
\]
Protože
\[
f'(x)=f'(x_0)+(f')'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0},
\]
platí
\[
F(t)=t\left((f')'(x_0)t\vec k+\omega(x_0+t(\vec\xi+\vec k))
\norm{t(\vec\xi+\vec k)}-\omega(x_0+t\vec\xi)\norm{t\vec\xi}\right)\vec h.
\]
(členy $f'(x_0)$ a $f'(t\vec\xi)$ se odečtou)
\[
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h+\nu(t),
\]
kde
\[
\lim_{t\to 0}\nu(t)=0.
\]
Protože $F(t)$ je symetrické v~$\vec k$ a $\vec h$, analogickými
úpravami lze dospět ke vztahu
\[
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k+\eta(t),
\]
takže 2. derivace je symetrická.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Jestliže v~bodě $x_0$ má zobrazení $f$ spojitou derivaci $f_{\vec
v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Derivace m-tého řádu je kovariantní tenzor m-tého řádu, tj.:
\[
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}
\]
\end{remark}
% skripta str. 75. opravit
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení, nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom
existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega:\H_{x_0}\mapsto Y$
takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+
\omega(x)\norm{\vec h}^m,
\]
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a
\[L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.\]
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Řekněme, že $m=1$ a to věta  platí neboť platí klasická věta o "přírůstku". Předpokládejme tedy platnost pro $m$ a nyní je naše zobrazení $m+1$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$. 
Zavedeme pomocnou funkci
\[
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i
\]
a budeme chtít ukázat, že platí existuje zbytek $\mu$ tak že platí $\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0$ a
\[
g(\vec h)=\mu(x)\norm{\vec h}^{m+1}
\]
neboť potom bude platné tvrzení věty.
Uvědomíme-li si, že $g$ má derivaci rovnou 
\[
g'(\vec\xi)=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}f^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i-1}=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}
\]
na nějakém okolí. Podle indukčního předpokladu nyní existuje zbytek $\omega(x)$
\[
f'(x_0+\vec\xi)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}+\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m
\]
Tedy že platí 
\[
g'(\vec\xi)=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m
\]
Pak tedy platí (druhé rovnítko umíme zatím ukázat jen v případě, že~$Y \subset \R$)
\[
g(\vec h)=g(\vec h)-g(\theta)=g'(\vec\xi)\vec h=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m\vec h \leq \mu(x)\norm{\vec h}^{m+1},
\]
kde
\[\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0\]
což nám dostačuje.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Taylor]
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na úsečce $\left[ x_0,x\right] $ a diferencovatelná do řádu m+1
na $(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+
\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x_0)^{m+1}.
\]
\begin{proof}
Definujme funkci
\[
\phi(t)=f(x_0+t(x-x_0)).
\]
Pak
\[
\phi'(t)=f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0),\quad
\phi'(0)=f'(x_0)(x-x_0),
\]
\[
\phi''(0)=f''(x_0)(x-x_0)^2,\quad
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.
\]
$\phi(t)$ je zobrazení $\R\mapsto\R$, lze tedy uplatnit klasickou
verzi Taylorovy věty:
\[
\phi(1)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\phi^{(i)}(0)+\frac{\phi^{(m+1)}(\vartheta)}{(m+1)!}.
\]
\end{proof}
\end{theorem}