Verze z 25. 8. 2013, 17:03

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Funkční řady}
 
\index{funkční řada}
\index{součtová funkce}
\begin{define}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$, $F_n(z)=\sum_{k=0}^n f_k(z)$ pro všechna $z\in A$ a
všechna $n\in\N_0$. Potom uspořádanou dvojici
$(\poslo{f_n},\poslo{F_n})$ nazveme {\bf funkční řadou} a značíme
$\rada{f_n}$.
 
Pokud funkční posloupnost $\poslo{F_n}$ má na množině $A$ limitní
funkci $F$, nazveme ji {\bf součtovou funkcí} řady $\rada f_n$ a
píšeme $\rada f_n=F$.
\end{define}
 
\index{částečný součet $n$-tý}
\begin{remark}
$F_n$ --- {$n$-tý částečný součet}; $\poslo{F_n}$ --- posloupnost
částečných součtů.
\end{remark}
 
\index{stejnoměrná konvergence řady}
\begin{define}
Řekneme, že řada $\rada f_n(z)=(\poslo{f_n(z)},\poslo{F_n(z)})$
stejnoměrně konverguje na množině $A$, jestliže na množině $A$
stejnoměrně konverguje posloupnost $\poslo{F_n(z)}$.
\end{define}
 
\begin{theorem}[Bolzano, Cauchy]
\label{bcfr}
Řada $\rada f_n(z)$ konverguje stejnoměrně na množině $A$ právě tehdy,
jestliže pro všechna kladná čísla $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ tak,
že pro všechna přirozená čísla $n>n_0$, pro všechna přirozená čísla
$p$ a všechna $z\in A$ platí:
\[\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)}<\epsilon.\]
\begin{proof}
Vzhledem k~tomu, že $\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)=F_{n+p}(z)-F_n(z)$,
stačí aplikovat větu \ref{bcfp} na posloupnost $\poslo{F_n}$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Weierstrass]
\label{weierstrass}
Buďte $\poslo{f_n}$ a $\poslo{g_n}$ dvě posloupnosti funkcí
definovaných na množině $A$. Nechť dále pro všechna $z\in A$ a všechna
$n\in\No$ platí: $\abs{f_n(z)}\le g_n(z)$. Potom, konverguje-li řada
$\rada g_n(z)$ stejnoměrně na množině $A$, konverguje stejnoměrně na
množině $A$ také řada $\rada f_n(z)$.
\begin{proof}
Plyne z~nerovnosti
\[\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)}\le\sum_{k=n+1}^{n+p}g_k(z)\]
a z~věty \ref{bcfr}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{ad}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A$, $\poslo{g_n}$ monotoní posloupnost reálných funkcí
definovaných na $A$. Označme $F_n=\sum_{k=0}^n f_k$. Nechť dále je
splněno některé z~následujících kritérií:
\begin{enumerate}[(i)]
\item (Dirichlet) $\poslo{F_n}$ stejně omezená na $A$ a $g_n(z)\sk{A}0$.
\item (Abel) $F_n(z)\sk{A}$ \, a $\poslo{g_n}$ stejně omezená na $A$.
\end{enumerate}
Potom řada $\sum_{n=0}^\infty f_n(z) g_n(z)$ konverguje stejnoměrně na
množině $A$.
\begin{proof}
Důkaz je založen na Abelově parciální sumaci: Pro libovolné $n\in\No$
a $p\in\N$ platí:
\begin{equation}
\label{abelpars}
\sum_{k=n+1}^{n+p}f_kg_k=\sum_{k=n+1}^{n+p}(F_{n,k-n}-F_{n,k-1-n})g_k=
\sum_{k=n+1}^{n+p-1}F_{n,k-n}(g_k-g_{k+1})+F_{n,p}g_{n+p},
\end{equation}
kde $F_{n,k}=\sum_{j=n+1}^{n+k}f_j=F_{n+k}-F_n$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Nechť je splněna podmínka (i); potom existuje kladné číslo $K$
tak, že pro všechna $n\in\No$ a všechna $z\in A$ je
$\abs{F_n(z)}<K$. Zvolme nyní $\epsilon>0$. Existuje $n_0$ tak, že pro
všechna $z\in A$ a všechna $n>n_0$ bude
$\abs{g_n(z)}<\frac\epsilon{6K}$. Podle (\ref{abelpars}) potom pro všechna
$n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna $z\in A$ platí:
\[
\begin{split}
\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)g_k(z)} & =
\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p-1}F_{n,k-n}(z)(g_k(z)-g_{k+1}(z))+
F_{n,p}(z)g_{n+p}(z)} \le \\
& \le\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{F_{n,k-n}(z)}\,\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}
+\abs{F_{n,p}(z)}\,\abs{g_{n+p}(z)}\le \\
& \le 2K\left(\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}
+\abs{g_{n+p}(z)}\right)= \\
& = 2K(\abs{g_{n+1}(z)-g_{n+p}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)}) \le \\
& \le 2K(\abs{g_{n+1}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)}) < \epsilon
\end{split}
\]
\item Je-li splněna podmínka (ii), pak existuje kladné číslo $M$ tak,
že pro všechna $n\in\No$ a všechna $z\in A$ je $\abs{g_n(z)}<M$. Zvolme
opět $\epsilon>0$. Nyní existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna
přirozená $n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna $z\in A$ bude
$\abs{F_{n,p}(z)}<\frac\epsilon {3M}$. Potom ovšem podle (\ref{abelpars})
pro všechna $n>n_0$ a všechna $z\in A$ platí:
\[
\begin{split}
\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)g_k(z)} & \le
\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{F_{n,k-n}(z)}\,\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}+
\abs{F_{n,p}(z)}\,\abs{g_{n+p}(z)}\le \\
& \le \frac\epsilon{3M}\left(\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}+
\abs{g_{n+p}(z)}\right) = \\
& = \frac\epsilon{3M}(\abs{g_{n+1}(z)-g_{n+p}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)})<\epsilon
\end{split}
\]
\end{enumerate}
Odtud potom jak v~bodě a), tak v~bodě b) dostáváme podle věty
\ref{bcfr} stejnoměrnou konvergenci řady $\rada f_n(z)g_n(z)$ na
množině $A$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{skmr}
Buď $\rada a_n(z-z_0)^n$ mocninná řada s~kladným poloměrem konvergence
$R$. Potom řada $\rada a_n(z-z_0)^n$ konverguje stejnoměrně na každém
kruhu $B(z_0,r)$, kde $r<R$.
\begin{proof}
Buď $r\in(0,R)$, potom pro všechna $z\in B(z_0,r)$ a všechna $n\in\No$
platí $\abs{a_n(z-z_0)^n}\le\abs{a_n}r^n$. Odtud a z~věty
\ref{weierstrass} vyplývá stejnoměrná konvergence řady 
$\rada a_n(z-z_0)^n$ na množině $B(z_0,r)$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{skmr2}
Nechť mocninná řada $\rada a_n(x-x_0)^n$ má kladný poloměr konvergence
$R$. Potom, konverguje-li řada $\rada a_n(x-x_0)^n$ v~bodě $x_0+R$
resp. $x_0-R$, konverguje stejnoměrně na intervalu $[x_0,x_0+R]$
resp. $[x_0-R,x_0]$.
\begin{proof}
Nechť např. řada $\rada a_n(x-x_0)^n$ konverguje v~bodě $x_0+R$. Potom
\[\rada a_n(x-x_0)^n=\rada a_nR^n\left(\frac{x-x_0}{R}\right)^n.\]
Protože pro všechna $x\in[x_0,x_0+R]$ a všechna $n\in\No$ je
$\abs{\frac{x-x_0}{R}}\le 1$ a řada $\rada a_nR^n$ stejnoměrně konverguje
na intervalu $[x_0,x_0+R]$, je tvrzení věty důsledkem Abelova kritéria
\ref{ad} (ii).
\end{proof}
\end{theorem}