02GMF1:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Abstraktnější pohled na vektorová pole} \begin{defi} Buď $M$ neprázdná množina, $\Omega$ neprázdná množina $n$-árních zobr...) |
|||
Řádka 4: | Řádka 4: | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | Buď $M$ neprázdná množina, $\Omega$ neprázdná množina $n$-árních | + | Buď $M$ neprázdná množina, $\Omega$ neprázdná množina $n$-árních zobrazení $M \times \cdots \times M \rightarrow M$. Potom dvojici $(M, \Omega)$ nazýváme \textbf{algebra}. Množinu $M$ nazýváme \textbf{nosič algebry} $(M, \Omega)$. |
− | + | ||
− | zobrazení $M \times \cdots \times M \rightarrow M$. Potom dvojici $(M, | + | |
− | + | ||
− | \Omega)$ nazýváme \textbf{algebra}. Množinu $M$ nazýváme \textbf{nosič | + | |
− | + | ||
− | algebry} $(M, \Omega)$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | Pro účely GMF budeme uvažovat pouze algebry, jejichž nosič je vektorový | + | Pro účely GMF budeme uvažovat pouze algebry, jejichž nosič je vektorový prostor $V$ (ten má sám o sobě binární operaci sčítání a modulární operaci násobení číslem z tělesa). Množina $\Omega$ bude nadále tvořena pouze jedinou bilineární operací $m$. |
− | + | ||
− | prostor $V$ (ten má sám o sobě binární operaci sčítání a modulární | + | |
− | + | ||
− | operaci násobení číslem z tělesa). Množina $\Omega$ bude nadále tvořena | + | |
− | + | ||
− | pouze jedinou bilineární operací $m$. | + | |
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
Řádka 26: | Řádka 14: | ||
Algebra $(V, m)$ je: | Algebra $(V, m)$ je: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item \textbf{asociativní} $\Leftrightarrow (\forall u, v, w \in V)( | + | \item \textbf{asociativní} $\Leftrightarrow (\forall u, v, w \in V)( m(u, m(v,w)) = m(m(u,v),w))$ |
− | + | \item \textbf{komutativní} neboli \textbf{abelovská} $\Leftrightarrow (\forall u, v \in V)(m(u,v) = m(v,u))$ | |
− | m(u, m(v,w)) = m(m(u,v),w))$ | + | \item \textbf{Lieova} $\Leftrightarrow \forall u, v, w \in V$ platí následující dvě podmínky: |
− | \item \textbf{komutativní} neboli \textbf{abelovská} $\Leftrightarrow | + | |
− | + | ||
− | (\forall u, v \in V)(m(u,v) = m(v,u))$ | + | |
− | \item \textbf{Lieova} $\Leftrightarrow \forall u, v, w \in V$ platí | + | |
− | + | ||
− | následující dvě podmínky: | + | |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item $m(u,v)=-m(v,u)$, tj. antikomutativita | \item $m(u,v)=-m(v,u)$, tj. antikomutativita | ||
− | \item $m(u, m(v,w))+ m(v,m(w,u)) + m(w,m(u,v)) = 0$, tj. Jacobiho | + | \item $m(u, m(v,w))+ m(v,m(w,u)) + m(w,m(u,v)) = 0$, tj. Jacobiho identita |
− | + | ||
− | identita | + | |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | Binární operaci v algebře $(M, \Omega)$ nazýváme obvykle \emph | + | Binární operaci v algebře $(M, \Omega)$ nazýváme obvykle \emph{násobení} a pro $x, z \in M$, $\omega \in \Omega$ místo značení $\omega(x,y)$ používáme krátce $x.y$. Další možností značení je např. sčítání $x+y$. Vhodné značení vybíráme podle vlastností operace -- asociativní násobení značíme jako součin, násobení v Lieově algebře nazýváme \textbf{Lieova závorka} a značíme $[\cdot, \cdot]$. |
− | + | ||
− | {násobení} a pro $x, z \in M$, $\omega \in \Omega$ místo značení $ | + | |
− | + | ||
− | \omega(x,y)$ používáme krátce $x.y$. Další možností značení je např. | + | |
− | + | ||
− | sčítání $x+y$. Vhodné značení vybíráme podle vlastností operace -- | + | |
− | + | ||
− | asociativní násobení značíme jako součin, násobení v Lieově algebře | + | |
− | + | ||
− | nazýváme \textbf{Lieova závorka} a značíme $[\cdot, \cdot]$. | + | |
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
Řádka 58: | Řádka 28: | ||
Algebry lze zavést například následujícími způsoby: | Algebry lze zavést například následujícími způsoby: | ||
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
− | \item $(\mathcal{L} (V), m)$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))(m | + | \item $(\mathcal{L} (V), m)$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))(m(A,B)=A \circ B)$, je asociativní algebra |
− | + | \item $(\mathcal{L} (V), [\cdot, \cdot])$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))([A,B] = A \circ B - B \circ A)$, je Lieova algebra | |
− | (A,B)=A \circ B)$, je asociativní algebra | + | \item $(\Cnek,[\cdot, \cdot])$, kde $[f,g] = \{ f,g\}$ a $\{ \cdot, \cdot \}$ je Poissonova závorka, je Lieova algebra |
− | \item $(\mathcal{L} (V), [\cdot, \cdot])$, kde $(\forall A,B \in | + | \item $(C^\infty (M), \cdot)$, kde $(\forall f,g \in \Cnek)(\forall p \in M)((f \cdot g) (p) = f(p) \cdot g(p))$, je komutativní asociativní algebra |
− | + | ||
− | \mathcal{L} (V))([A,B] = A \circ B - B \circ A)$, je Lieova algebra | + | |
− | \item $(\Cnek,[\cdot, \cdot])$, kde $[f,g] = \{ f,g\}$ a $\{ \cdot, | + | |
− | + | ||
− | \cdot \}$ je Poissonova závorka, je Lieova algebra | + | |
− | \item $(C^\infty (M), \cdot)$, kde $(\forall f,g \in \Cnek)(\forall p | + | |
− | + | ||
− | \in M)((f \cdot g) (p) = f(p) \cdot g(p))$, je komutativní asociativní | + | |
− | + | ||
− | algebra | + | |
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
Řádka 77: | Řádka 37: | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | \textbf{Derivace algebry} $(V,m)$ je libovolné lineární zobrazení $D: | + | \textbf{Derivace algebry} $(V,m)$ je libovolné lineární zobrazení $D: V\rightarrow V$ vyhovující podmínce $ (\forall x, y \in V)(D(m(x,y)) = m(D(x),y) + m(x,D(y)))$. |
− | + | ||
− | V\rightarrow V$ vyhovující podmínce $ (\forall x, y \in V)(D(m(x,y)) = | + | |
− | + | ||
− | m(D(x),y) + m(x,D(y)))$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
− | Nechť $V$ je vektorový prostor, ukážeme, že na $(\mathcal{L}(V), | + | Nechť $V$ je vektorový prostor, ukážeme, že na $(\mathcal{L}(V), \circ)$ je operace $D_C(\cdot) = [C, \cdot]$ derivací: |
− | + | $\ D_C(AB) = CAB - ABC=CAB - ACB + ACB - ABC = (CA - AC) B + A (CB - BC)= (D_C(A)) \circ B + A \circ (D_C(B))$. | |
− | \circ)$ je operace $D_C(\cdot) = [C, \cdot]$ derivací: | + | |
− | $\ D_C(AB) = CAB - ABC=CAB - ACB + ACB - ABC = (CA - AC) B + A (CB - | + | |
− | + | ||
− | BC)= (D_C(A)) \circ B + A \circ (D_C(B))$. | + | |
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
Řádka 98: | Řádka 50: | ||
\begin{veta} | \begin{veta} | ||
− | Uvažujme $M$ hladkou varietu a $\Cnek$ jako asociativní komutativní | + | Uvažujme $M$ hladkou varietu a $\Cnek$ jako asociativní komutativní algebru s násobením $(f \cdot g)(p) = f(p) \cdot g(p)$. Označme $\cX$ vektorový prostor všech derivací algebry $\Cnek$, tj. všech zobrazení $X: \Cnek \rightarrow \Cnek$ s vlastnostmi $X(a f + g) = a Xf + Xg,\ X(fg) = (Xf)g + f(Xg)$. Pak lze vzájemně jednoznačně zobrazit $\cX$ na množinu všech vektorových polí $\Gamma(TM)$ předpisem $X(p)(f) = (Xf)(p)$, $X \in \cX$, $\forall p \in M$. Tj. $\cX \simeq \Gamma(TM)$. |
− | + | ||
− | algebru s násobením $(f \cdot g)(p) = f(p) \cdot g(p)$. Označme $\cX$ | + | |
− | + | ||
− | vektorový prostor všech derivací algebry $\Cnek$, tj. všech zobrazení | + | |
− | + | ||
− | $X: \Cnek \rightarrow \Cnek$ s vlastnostmi $X(a f + g) = a Xf + Xg,\ X | + | |
− | + | ||
− | (fg) = (Xf)g + f(Xg)$. Pak lze vzájemně jednoznačně zobrazit $\cX$ na | + | |
− | + | ||
− | množinu všech vektorových polí $\Gamma(TM)$ předpisem $X(p)(f) = (Xf) | + | |
− | + | ||
− | (p)$, $X \in \cX$, $\forall p \in M$. Tj. $\cX \simeq \Gamma(TM)$. | + | |
\end{veta} | \end{veta} | ||
\begin{dukaz} | \begin{dukaz} | ||
− | $X \in \Gamma(TM)$, tj. $X: M \rightarrow TM, \ X(p) \in \tecn$ hladké | + | $X \in \Gamma(TM)$, tj. $X: M \rightarrow TM, \ X(p) \in \tecn$ hladké zobrazení $\Rightarrow$ definujme $\widetilde{X}: \Cnek \rightarrow \Cnek$ předpisem $(\widetilde{X} f)(p) = X(p)f$. Z hladkosti $X$ vyplývá, že $\widetilde{X} f$ je v každých lokálních souřadnicích hladké zobrazení, tj. je hladké i na celém $M$. Z vlastností tečných vektorů pak vyplývá linearita a podmínka na derivaci $\widetilde{X}(fg)(p) = (\widetilde{X} f)(p) g(p) + f(p) (\widetilde{X}g)(p)$. |
− | + | Naopak, buď $\widetilde{X} \in \cX$. Definujme $X(p): \Cnek \rightarrow \R, \ X(p)f = (\widetilde{X}f)(p)$. Evidentně platí $X(p)(a f + g) = a X(p)f + X(p)g$, $X(p)(f \cdot g) = X(p)f \cdot g(p) + f(p) \cdot X(p)g$. Dále ověříme podmínku lokality, tj. $(\forall f, g \in \Cnek)((\exists U = U^\circ, p \in U)(\forall q\in U)(f(q) = g(q)) \Rightarrow X f = X g)$. Ekvivalentně ji uvažujeme ve tvaru: | |
− | + | \[ (\forall f \in \Cnek)((\exists U = U^\circ \subset M, \ p \in U)(\forall q \in U)(f(q) = 0) \Rightarrow X(p)f = 0). | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | Naopak, buď $\widetilde{X} \in \cX$. Definujme $X(p): \Cnek \rightarrow | + | |
− | + | ||
− | \R, \ X(p)f = (\widetilde{X}f)(p)$. Evidentně platí $X(p)(a f + g) = a | + | |
− | + | ||
− | X(p)f + X(p)g$, $X(p)(f \cdot g) = X(p)f \cdot g(p) + f(p) \cdot X(p)g | + | |
− | + | ||
− | $. Dále ověříme podmínku lokality, tj. $(\forall f, g \in \Cnek) | + | |
− | + | ||
− | ((\exists U = U^\circ, p \in U)(\forall q\in U)(f(q) = g(q)) | + | |
− | + | ||
− | \Rightarrow X f = X g)$. Ekvivalentně ji uvažujeme ve tvaru: | + | |
− | \[ (\forall f \in \Cnek)((\exists U = U^\circ \subset M, \ p \in U) | + | |
− | + | ||
− | (\forall q \in U)(f(q) = 0) \Rightarrow X(p)f = 0). | + | |
\] | \] | ||
− | Uvažujme tedy funkci $f$, která je nulová na $U$, okolí bodu $p$. V | + | Uvažujme tedy funkci $f$, která je nulová na $U$, okolí bodu $p$. V lokálních souřadnicích lze do $U$ vnořit otevřenou krychli se středem v bodě $p$. Dále zkonstruujeme pomocnou funkci $g \in \Cnek$ takovou, že $(\forall q \notin U)(g(q) = 0)$ a $g(p) = 1$, sestavenou vhodným přeškálováním intervalu a kartézským součinem funkcí tvaru $g_0: \R \rightarrow \R$: |
− | + | ||
− | lokálních souřadnicích lze do $U$ vnořit otevřenou krychli se středem v | + | |
− | + | ||
− | bodě $p$. Dále zkonstruujeme pomocnou funkci $g \in \Cnek$ takovou, že | + | |
− | + | ||
− | $(\forall q \notin U)(g(q) = 0)$ a $g(p) = 1$, sestavenou vhodným | + | |
− | + | ||
− | přeškálováním intervalu a kartézským součinem funkcí tvaru $g_0: \R | + | |
− | + | ||
− | \rightarrow \R$: | + | |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
g_0(x) = | g_0(x) = | ||
Řádka 161: | Řádka 67: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
− | Lze snadno ověřit, že $(\forall n \in \mathbb{N}_0)(\lim_{x \rightarrow | + | Lze snadno ověřit, že $(\forall n \in \mathbb{N}_0)(\lim_{x \rightarrow 1^-} g_0^{(n)} (x) = 0)$. Tudíž $(\forall q \in M)((gf) (q) = 0) \Rightarrow \widetilde{X} (fg) = 0$, $0 = X(p)(gf) = X(p)g \cdot f(p) + g(p) \cdot X(p)f$, kde $f(p) = 0$ a $g(p) = 1$ $\Rightarrow X(p)f = 0$, tj. $X(p)$ vyhovuje i lokalitě. Už tedy víme, že $X(p) \in \tecn$. Zbývá dokázat hladkost vzniklého vektorového pole, tj. $X \in \Gamma(TM)$. Ta vyplývá z toho, že $\widetilde{X}: \Cnek \rightarrow \Cnek$, a tudíž složky vektorového pole v souřadnicovém vyjádření, které se dají určit způsobem $X^i(p) = \widetilde{X}(x^i)(p)$, jsou hladké funkce. |
− | + | (Je vhodné si uvědomit, že díky již dokázané lokalitě $\widetilde{X} \in \cX$, tj. nezávislosti $(\widetilde{X}f)(p)$ na chování $f$ mimo okolí bodu $p$, lze k $\widetilde{X} \in \cX$ definovat jeho zúžení $\restr{\widetilde{X}}{U} \in \cXA{U}$ tak, že $(\forall q \in U)$$(\forall f \in \Cnek)$ $((\restr{\widetilde{X}}{U} f)(q) = (\widetilde{X} f)(q))$. Poté můžeme $\restr{\widetilde{X}}{U}$ aplikovat na souřadnicové funkce $x^i: U \rightarrow \R$ a definovat $X = \widetilde{X}(x^i) \pder{x^i}$, kde $\widetilde{X}(x^i) \in \CnekA{U}$.) | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | (Je vhodné si uvědomit, že díky již dokázané lokalitě $\widetilde{X} | + | |
− | + | ||
− | \in \cX$, tj. nezávislosti $(\widetilde{X}f)(p)$ na chování $f$ mimo | + | |
− | + | ||
− | okolí bodu $p$, lze k $\widetilde{X} \in \cX$ definovat jeho zúžení $ | + | |
− | + | ||
− | \restr{\widetilde{X}}{U} \in \cXA{U}$ tak, že $(\forall q \in U)$ | + | |
− | + | ||
− | $(\forall f \in \Cnek)$ $((\restr{\widetilde{X}}{U} f)(q) = | + | |
− | + | ||
− | (\widetilde{X} f)(q))$. Poté můžeme $\restr{\widetilde{X}}{U}$ | + | |
− | + | ||
− | aplikovat na souřadnicové funkce $x^i: U \rightarrow \R$ a definovat $X | + | |
− | + | ||
− | = \widetilde{X}(x^i) \pder{x^i}$, kde $\widetilde{X}(x^i) \in \CnekA | + | |
− | + | ||
− | {U}$.) | + | |
\end{dukaz} | \end{dukaz} | ||
\begin{dusledek} | \begin{dusledek} | ||
− | Nadále budeme ztotožňovat $\cX$ a $\Gamma(TM)$ a využívat definici | + | Nadále budeme ztotožňovat $\cX$ a $\Gamma(TM)$ a využívat definici vektorového pole vhodnější pro právě řešenou úlohu. \label{cXoznaceni} |
− | + | ||
− | vektorového pole vhodnější pro právě řešenou úlohu. \label{cXoznaceni} | + | |
\end{dusledek} | \end{dusledek} | ||
\begin{veta} | \begin{veta} | ||
− | Množina všech derivací $\Der (A)$ dané algebry $A$ tvoří Lieovu | + | Množina všech derivací $\Der (A)$ dané algebry $A$ tvoří Lieovu algebru. |
− | + | ||
− | algebru. | + | |
\end{veta} | \end{veta} | ||
\begin{dukaz} | \begin{dukaz} | ||
− | To, že $\Der(A)$ je vektorový prostor, je zřejmé. Lieova závorka na $ | + | To, že $\Der(A)$ je vektorový prostor, je zřejmé. Lieova závorka na $\Der(A)$ se definuje $[D_1, D_2] = D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1$. Ověření: |
− | + | ||
− | \Der(A)$ se definuje $[D_1, D_2] = D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1$. | + | |
− | + | ||
− | Ověření: | + | |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
[D_1, D_2] \ m(u, v) & = ( D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1) m(u, v) | [D_1, D_2] \ m(u, v) & = ( D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1) m(u, v) | ||
\\& = D_1 (m(D_2 u, v) + m(u, D_2 v)) - D_2 (m(D_1 u, v) + m(u, D_1 v)) | \\& = D_1 (m(D_2 u, v) + m(u, D_2 v)) - D_2 (m(D_1 u, v) + m(u, D_1 v)) | ||
− | \\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(D_2 u, D_1 v) + m(D_1 u, D_2 v) + m(u, D_1 | + | \\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(D_2 u, D_1 v) + m(D_1 u, D_2 v) + m(u, D_1 D_2 v) |
− | + | \\& \quad - m(D_2 D_1 u, v) - m(D_1 u, D_2 v) - m(D_2 u, D_1 v) - m(u, D_2 D_1 v) | |
− | D_2 v) | + | \\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(u, D_1 D_2 v) - m(D_2 D_1 u, v) - m(u, D_2 D_1 v) |
− | \\& \quad - m(D_2 D_1 u, v) - m(D_1 u, D_2 v) - m(D_2 u, D_1 v) - m(u, | + | |
− | + | ||
− | D_2 D_1 v) | + | |
− | \\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(u, D_1 D_2 v) - m(D_2 D_1 u, v) - m(u, D_2 | + | |
− | + | ||
− | D_1 v) | + | |
\\& = m([D_1, D_2] u, v) +m(u, [D_1, D_2] v). | \\& = m([D_1, D_2] u, v) +m(u, [D_1, D_2] v). | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
− | Antisymetrie $[\cdot , \cdot]$ a Jacobiho identita vyplývá ze způsobu | + | Antisymetrie $[\cdot , \cdot]$ a Jacobiho identita vyplývá ze způsobu definice $[\cdot , \cdot]$. |
− | + | ||
− | definice $[\cdot , \cdot]$. | + | |
\end{dukaz} | \end{dukaz} | ||
\begin{dusledek} | \begin{dusledek} | ||
− | $(\cX,[\cdot, \cdot])$ je nekonečněrozměrná \emph{Lieova algebra | + | $(\cX,[\cdot, \cdot])$ je nekonečněrozměrná \emph{Lieova algebra vektorových polí} na varietě $M$ s Lieovou závorkou definovanou způsobem $(\forall X, Y \in \cX)([X,Y] = X \circ Y - Y \circ X)$. |
− | + | ||
− | vektorových polí} na varietě $M$ s Lieovou závorkou definovanou | + | |
− | + | ||
− | způsobem $(\forall X, Y \in \cX)([X,Y] = X \circ Y - Y \circ X)$. | + | |
\end{dusledek} | \end{dusledek} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | Často uvažujeme i vektorová pole definovaná na podmnožině $U \subset M$ | + | Často uvažujeme i vektorová pole definovaná na podmnožině $U \subset M$ jako $X: U \rightarrow TM$, $\pi \circ X = \restr{id}{U}$. Pokud $U = U^\circ$, pak lze všechny vlastnosti $\cX$ přepsat jako vlastnosti $\cXA{U}$. Jinak některé pojmy, např. $[\cdot, \cdot]$, mohou ztratit význam. |
− | + | ||
− | jako $X: U \rightarrow TM$, $\pi \circ X = \restr{id}{U}$. Pokud $U = | + | |
− | + | ||
− | U^\circ$, pak lze všechny vlastnosti $\cX$ přepsat jako vlastnosti $ | + | |
− | + | ||
− | \cXA{U}$. Jinak některé pojmy, např. $[\cdot, \cdot]$, mohou ztratit | + | |
− | + | ||
− | význam. | + | |
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | Nechť $(x^i)$ jsou souřadnice na $U = U^\circ$, $X = X^i \pder{x^i}$, | + | Nechť $(x^i)$ jsou souřadnice na $U = U^\circ$, $X = X^i \pder{x^i}$, $Y= Y^i \pder{x^i}$, $f \in \CnekA{U}$. Pak |
− | + | ||
− | $Y= Y^i \pder{x^i}$, $f \in \CnekA{U}$. Pak | + | |
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl} | \begin{IEEEeqnarray*}{rCl} | ||
− | [X,Y]f & = & X^i \pder{x^i} \left( Y^j \pder{x^j} f \right) - Y^i | + | [X,Y]f & = & X^i \pder{x^i} \left( Y^j \pder{x^j} f \right) - Y^i \pder{x^i} \left( X^j \pder{x^j} f \right) \\ |
− | + | & = & X^i \pderA{Y^j}{x^i} \pder{x^j} f - Y^i \pderA{X^j}{x^i} \pder{x^j} f = \left( X^i \pderA{Y^j}{x^i} - Y^i \pderA{X^j}{x^i}\right) \pder{x^j} f | |
− | \pder{x^i} \left( X^j \pder{x^j} f \right) \\ | + | |
− | & = & X^i \pderA{Y^j}{x^i} \pder{x^j} f - Y^i \pderA{X^j}{x^i} \pder | + | |
− | + | ||
− | {x^j} f = \left( X^i \pderA{Y^j}{x^i} - Y^i \pderA{X^j}{x^i}\right) | + | |
− | + | ||
− | \pder{x^j} f | + | |
\end{IEEEeqnarray*} | \end{IEEEeqnarray*} | ||
a tedy | a tedy |
Verze z 21. 3. 2013, 21:36
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GMF1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GMF1 | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:31 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Diferencovatelné variety | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 13:32 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tečné vektory k varietě | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 17:12 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 18:38 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Abstraktnější pohled na vektorová pole | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Diferenciální formy | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 20:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Operace s diferenciálními formami | Kyseljar | 30. 10. 2013 | 01:05 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety | Kyseljar | 31. 10. 2013 | 12:24 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Lieova derivace | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 15:44 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 17:26 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Integrace forem | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 18:15 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 21:00 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Variety s dodatečnou strukturou | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:19 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Literatura a poznámka na konec | Kyseljar | 30. 3. 2013 | 01:08 | literatura.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Abstraktnější pohled na vektorová pole} \begin{defi} Buď $M$ neprázdná množina, $\Omega$ neprázdná množina $n$-árních zobrazení $M \times \cdots \times M \rightarrow M$. Potom dvojici $(M, \Omega)$ nazýváme \textbf{algebra}. Množinu $M$ nazýváme \textbf{nosič algebry} $(M, \Omega)$. \end{defi} \begin{pozn} Pro účely GMF budeme uvažovat pouze algebry, jejichž nosič je vektorový prostor $V$ (ten má sám o sobě binární operaci sčítání a modulární operaci násobení číslem z tělesa). Množina $\Omega$ bude nadále tvořena pouze jedinou bilineární operací $m$. \end{pozn} \begin{pozn} Algebra $(V, m)$ je: \begin{enumerate} \item \textbf{asociativní} $\Leftrightarrow (\forall u, v, w \in V)( m(u, m(v,w)) = m(m(u,v),w))$ \item \textbf{komutativní} neboli \textbf{abelovská} $\Leftrightarrow (\forall u, v \in V)(m(u,v) = m(v,u))$ \item \textbf{Lieova} $\Leftrightarrow \forall u, v, w \in V$ platí následující dvě podmínky: \begin{enumerate} \item $m(u,v)=-m(v,u)$, tj. antikomutativita \item $m(u, m(v,w))+ m(v,m(w,u)) + m(w,m(u,v)) = 0$, tj. Jacobiho identita \end{enumerate} \end{enumerate} Binární operaci v algebře $(M, \Omega)$ nazýváme obvykle \emph{násobení} a pro $x, z \in M$, $\omega \in \Omega$ místo značení $\omega(x,y)$ používáme krátce $x.y$. Další možností značení je např. sčítání $x+y$. Vhodné značení vybíráme podle vlastností operace -- asociativní násobení značíme jako součin, násobení v Lieově algebře nazýváme \textbf{Lieova závorka} a značíme $[\cdot, \cdot]$. \end{pozn} \begin{priklad} Algebry lze zavést například následujícími způsoby: \begin{itemize} \item $(\mathcal{L} (V), m)$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))(m(A,B)=A \circ B)$, je asociativní algebra \item $(\mathcal{L} (V), [\cdot, \cdot])$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))([A,B] = A \circ B - B \circ A)$, je Lieova algebra \item $(\Cnek,[\cdot, \cdot])$, kde $[f,g] = \{ f,g\}$ a $\{ \cdot, \cdot \}$ je Poissonova závorka, je Lieova algebra \item $(C^\infty (M), \cdot)$, kde $(\forall f,g \in \Cnek)(\forall p \in M)((f \cdot g) (p) = f(p) \cdot g(p))$, je komutativní asociativní algebra \end{itemize} \end{priklad} \begin{defi} \textbf{Derivace algebry} $(V,m)$ je libovolné lineární zobrazení $D: V\rightarrow V$ vyhovující podmínce $ (\forall x, y \in V)(D(m(x,y)) = m(D(x),y) + m(x,D(y)))$. \end{defi} \begin{priklad} Nechť $V$ je vektorový prostor, ukážeme, že na $(\mathcal{L}(V), \circ)$ je operace $D_C(\cdot) = [C, \cdot]$ derivací: $\ D_C(AB) = CAB - ABC=CAB - ACB + ACB - ABC = (CA - AC) B + A (CB - BC)= (D_C(A)) \circ B + A \circ (D_C(B))$. \end{priklad} \begin{priklad} $(\Cnek, \{ \cdot , \cdot \}), \ f \in \Cnek, \ D_f(g)= \{ f, g\}$ \end{priklad} \begin{veta} Uvažujme $M$ hladkou varietu a $\Cnek$ jako asociativní komutativní algebru s násobením $(f \cdot g)(p) = f(p) \cdot g(p)$. Označme $\cX$ vektorový prostor všech derivací algebry $\Cnek$, tj. všech zobrazení $X: \Cnek \rightarrow \Cnek$ s vlastnostmi $X(a f + g) = a Xf + Xg,\ X(fg) = (Xf)g + f(Xg)$. Pak lze vzájemně jednoznačně zobrazit $\cX$ na množinu všech vektorových polí $\Gamma(TM)$ předpisem $X(p)(f) = (Xf)(p)$, $X \in \cX$, $\forall p \in M$. Tj. $\cX \simeq \Gamma(TM)$. \end{veta} \begin{dukaz} $X \in \Gamma(TM)$, tj. $X: M \rightarrow TM, \ X(p) \in \tecn$ hladké zobrazení $\Rightarrow$ definujme $\widetilde{X}: \Cnek \rightarrow \Cnek$ předpisem $(\widetilde{X} f)(p) = X(p)f$. Z hladkosti $X$ vyplývá, že $\widetilde{X} f$ je v každých lokálních souřadnicích hladké zobrazení, tj. je hladké i na celém $M$. Z vlastností tečných vektorů pak vyplývá linearita a podmínka na derivaci $\widetilde{X}(fg)(p) = (\widetilde{X} f)(p) g(p) + f(p) (\widetilde{X}g)(p)$. Naopak, buď $\widetilde{X} \in \cX$. Definujme $X(p): \Cnek \rightarrow \R, \ X(p)f = (\widetilde{X}f)(p)$. Evidentně platí $X(p)(a f + g) = a X(p)f + X(p)g$, $X(p)(f \cdot g) = X(p)f \cdot g(p) + f(p) \cdot X(p)g$. Dále ověříme podmínku lokality, tj. $(\forall f, g \in \Cnek)((\exists U = U^\circ, p \in U)(\forall q\in U)(f(q) = g(q)) \Rightarrow X f = X g)$. Ekvivalentně ji uvažujeme ve tvaru: \[ (\forall f \in \Cnek)((\exists U = U^\circ \subset M, \ p \in U)(\forall q \in U)(f(q) = 0) \Rightarrow X(p)f = 0). \] Uvažujme tedy funkci $f$, která je nulová na $U$, okolí bodu $p$. V lokálních souřadnicích lze do $U$ vnořit otevřenou krychli se středem v bodě $p$. Dále zkonstruujeme pomocnou funkci $g \in \Cnek$ takovou, že $(\forall q \notin U)(g(q) = 0)$ a $g(p) = 1$, sestavenou vhodným přeškálováním intervalu a kartézským součinem funkcí tvaru $g_0: \R \rightarrow \R$: \begin{equation*} g_0(x) = \begin{cases} e \cdot e^{\frac{1}{x^2 - 1}} & |x| < 1 \\ 0 & |x| \ge 1 \end{cases} \end{equation*} Lze snadno ověřit, že $(\forall n \in \mathbb{N}_0)(\lim_{x \rightarrow 1^-} g_0^{(n)} (x) = 0)$. Tudíž $(\forall q \in M)((gf) (q) = 0) \Rightarrow \widetilde{X} (fg) = 0$, $0 = X(p)(gf) = X(p)g \cdot f(p) + g(p) \cdot X(p)f$, kde $f(p) = 0$ a $g(p) = 1$ $\Rightarrow X(p)f = 0$, tj. $X(p)$ vyhovuje i lokalitě. Už tedy víme, že $X(p) \in \tecn$. Zbývá dokázat hladkost vzniklého vektorového pole, tj. $X \in \Gamma(TM)$. Ta vyplývá z toho, že $\widetilde{X}: \Cnek \rightarrow \Cnek$, a tudíž složky vektorového pole v souřadnicovém vyjádření, které se dají určit způsobem $X^i(p) = \widetilde{X}(x^i)(p)$, jsou hladké funkce. (Je vhodné si uvědomit, že díky již dokázané lokalitě $\widetilde{X} \in \cX$, tj. nezávislosti $(\widetilde{X}f)(p)$ na chování $f$ mimo okolí bodu $p$, lze k $\widetilde{X} \in \cX$ definovat jeho zúžení $\restr{\widetilde{X}}{U} \in \cXA{U}$ tak, že $(\forall q \in U)$$(\forall f \in \Cnek)$ $((\restr{\widetilde{X}}{U} f)(q) = (\widetilde{X} f)(q))$. Poté můžeme $\restr{\widetilde{X}}{U}$ aplikovat na souřadnicové funkce $x^i: U \rightarrow \R$ a definovat $X = \widetilde{X}(x^i) \pder{x^i}$, kde $\widetilde{X}(x^i) \in \CnekA{U}$.) \end{dukaz} \begin{dusledek} Nadále budeme ztotožňovat $\cX$ a $\Gamma(TM)$ a využívat definici vektorového pole vhodnější pro právě řešenou úlohu. \label{cXoznaceni} \end{dusledek} \begin{veta} Množina všech derivací $\Der (A)$ dané algebry $A$ tvoří Lieovu algebru. \end{veta} \begin{dukaz} To, že $\Der(A)$ je vektorový prostor, je zřejmé. Lieova závorka na $\Der(A)$ se definuje $[D_1, D_2] = D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1$. Ověření: \begin{align*} [D_1, D_2] \ m(u, v) & = ( D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1) m(u, v) \\& = D_1 (m(D_2 u, v) + m(u, D_2 v)) - D_2 (m(D_1 u, v) + m(u, D_1 v)) \\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(D_2 u, D_1 v) + m(D_1 u, D_2 v) + m(u, D_1 D_2 v) \\& \quad - m(D_2 D_1 u, v) - m(D_1 u, D_2 v) - m(D_2 u, D_1 v) - m(u, D_2 D_1 v) \\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(u, D_1 D_2 v) - m(D_2 D_1 u, v) - m(u, D_2 D_1 v) \\& = m([D_1, D_2] u, v) +m(u, [D_1, D_2] v). \end{align*} Antisymetrie $[\cdot , \cdot]$ a Jacobiho identita vyplývá ze způsobu definice $[\cdot , \cdot]$. \end{dukaz} \begin{dusledek} $(\cX,[\cdot, \cdot])$ je nekonečněrozměrná \emph{Lieova algebra vektorových polí} na varietě $M$ s Lieovou závorkou definovanou způsobem $(\forall X, Y \in \cX)([X,Y] = X \circ Y - Y \circ X)$. \end{dusledek} \begin{pozn} Často uvažujeme i vektorová pole definovaná na podmnožině $U \subset M$ jako $X: U \rightarrow TM$, $\pi \circ X = \restr{id}{U}$. Pokud $U = U^\circ$, pak lze všechny vlastnosti $\cX$ přepsat jako vlastnosti $\cXA{U}$. Jinak některé pojmy, např. $[\cdot, \cdot]$, mohou ztratit význam. \end{pozn} \begin{pozn} Nechť $(x^i)$ jsou souřadnice na $U = U^\circ$, $X = X^i \pder{x^i}$, $Y= Y^i \pder{x^i}$, $f \in \CnekA{U}$. Pak \begin{IEEEeqnarray*}{rCl} [X,Y]f & = & X^i \pder{x^i} \left( Y^j \pder{x^j} f \right) - Y^i \pder{x^i} \left( X^j \pder{x^j} f \right) \\ & = & X^i \pderA{Y^j}{x^i} \pder{x^j} f - Y^i \pderA{X^j}{x^i} \pder{x^j} f = \left( X^i \pderA{Y^j}{x^i} - Y^i \pderA{X^j}{x^i}\right) \pder{x^j} f \end{IEEEeqnarray*} a tedy \[ \fbox{$[X, Y] = \left( X(Y^j) - Y(X^j) \right) \pder{x^j}$} \] \end{pozn}