02KVAN:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
− | \section{Výsledky měření}\ll{Vysledkymereni} | + | \section{Výsledky měření} |
+ | \ll{Vysledkymereni} | ||
− | Otázka, na kterou | + | Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném |
− | odpovíme v této kapitole, zní: | + | funkcí $g$?} |
− | veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném funkcí $g$ ? } | + | |
− | \ | + | Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží |
+ | ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou | ||
+ | otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď. | ||
− | + | V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit | |
− | + | hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím | |
− | + | ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem | |
− | + | nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další | |
− | + | fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás | |
− | + | informuje Bornův postulát. | |
− | \ | + | Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}: |
+ | \be | ||
+ | \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vec x)d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}. | ||
+ | \ll{xbar} | ||
+ | \ee | ||
− | + | \bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, | + | \subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu} |
− | že čitatel výrazu pro \rf{xbar} | + | |
− | \be \int_{\ | + | Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen |
− | \int_{\ | + | okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu |
− | X_j\psi), \ll{psixpsi}\ee | + | libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení. |
+ | |||
+ | Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem | ||
+ | \be | ||
+ | \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x = (\psi,\hat X_j\psi), | ||
+ | \ll{psixpsi} | ||
+ | \ee | ||
takže | takže | ||
− | \be | + | \be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee |
− | \ll{xavr}\ee | + | Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené |
− | Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice | + | očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně |
− | privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a | + | potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření |
− | je proto přirozené očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou | + | pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je} |
− | se její střední | + | \be |
− | hodnota bude počítat podle stejného předpisu. | + | \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ . |
− | + | \ll{aavr} | |
− | Experimenty tuto hypotézu plně potvrzují a skutečně platí že | + | \ee |
− | { | + | Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$. |
− | funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření | + | |
− | $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je} | + | \bc |
− | \ | + | Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální |
− | + | vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$. | |
− | $}}\ . \ll{aavr}\ee | + | \ec |
− | Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na | + | \bc |
− | $ | + | Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti |
− | \bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice | + | (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s). |
− | popsané vlnovou \fc í \rf{mvb} | + | |
− | popisující minimální vlnový balík se střední hodnotou hybnosti | + | |
− | $\vec p_0$, který má v čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$. | + | |
\ec | \ec | ||
− | \bc | + | \bc |
− | v | + | Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}. |
− | + | ||
\ec | \ec | ||
− | |||
− | |||
− | Všimněme si, že předpis \rf{aavr} | + | Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních |
− | postulátem, ale i s popisem stavu pomocí vlastních \fc í | + | pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í |
− | kompatibilních pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z | + | $\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$. |
− | pozorovatelných, jež byly použity k určení stavu a | + | |
− | vlnová \fc e $\alpha$ | + | |
− | je vlastní \fc í $\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak | + | |
− | + | ||
− | $ | + | |
− | \ | + | Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu |
+ | jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní | ||
+ | pozorovatelné. | ||
− | + | Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření | |
− | + | provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné | |
− | + | $A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, |
+ | kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í | ||
+ | $\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika | ||
+ | postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna | ||
+ | \be | ||
+ | \fbox{{\LARGE $W_{\psi\rightarrow\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ . | ||
+ | \ll{pstprech} | ||
+ | \ee | ||
+ | Veličina $A_{\psi\lim\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\lim\alpha$}. | ||
− | + | \bc | |
− | + | Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í | |
− | je | + | \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee |
− | + | S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$? | |
− | + | \ec | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud |
+ | množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve | ||
+ | stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů | ||
+ | $\alpha_k$}, tj. | ||
+ | \be | ||
+ | \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ . | ||
+ | \ll{pstnamer} | ||
+ | \ee | ||
+ | Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že | ||
+ | vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav. | ||
− | + | \bc | |
− | + | Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í | |
− | + | \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee | |
− | + | Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu? | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | $ | + | |
\ec | \ec | ||
− | + | \bc | |
− | + | Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í | |
− | + | \be \psi(x) = C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee | |
− | + | S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$? | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \bc | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou | + | |
− | \fc í | + | |
− | \be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee | + | |
− | S jakou | + | |
− | $\frac{5}{2}\hbar\omega$? | + | |
\ec | \ec | ||
− | \ | + | Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření |
+ | alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. | ||
+ | Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot. | ||
− | + | Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává | |
− | rozlišit | + | zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu |
− | naměření | + | $(x,y)$ |
− | + | \be | |
− | + | \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}}\ , | |
− | + | \ll{pstnamersp} | |
− | + | \ee | |
− | \ | + | kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť |
+ | v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit | ||
+ | $\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti | ||
+ | \be \phi_{\vec p}(\vec x) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x \right\}. \ee | ||
+ | Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e. | ||
− | + | \bc | |
− | + | Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete | |
− | + | hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | vlnovou \fc í \rf{cvic3} | + | |
− | $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete hustotu \pst i | + | |
− | nalezení hybnosti v okolí hodnoty $\vec p_0$. | + | |
\ec | \ec | ||
− | + | Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či | |
− | + | $\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} | |
− | Vzorec \rf{pstnamersp} | + | naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů |
− | existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k | + | |
− | jedničce či $\delta$ | + | |
− | zatím řešit nebudeme (vede na tzv. spektrální míru operátoru | + | |
− | $\hat A$). Uveďme pouze, že například | + | |
− | naměření hodnoty energie částice v Coulombově poli v intervalu | + | |
− | $(E_1,E_2)\subset\ | + | |
\be | \be | ||
− | W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l | + | W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} |
− | \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk | + | = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}} |
− | \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2} | + | + \int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi})\right], |
− | {(\psi,\psi)}% | + | |
− | +\int_{k_1}^{k_2}dk | + | |
− | \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2} | + | |
− | {(\psi,\psi) | + | |
\ee | \ee | ||
− | kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, | + | kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, |
− | $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou | + | resp.~k~$\delta$-funkci. |
− | \fc e \rf{ylm}, \ | + | |
− | normalizované k jedničce, resp. k $\delta$ | + | |
− | |||
− | \subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}\ll{relneu} | + | |
− | Důležitá | + | |
− | je | + | \subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti} |
− | na stavu $\psi$}. | + | \ll{relneu} |
− | V \qv é \mi ce je definována způsobem | + | Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. |
− | \be \Delta_{\psi}(A):=\sqrt{ | + | V~\qv é \mi ce je definována způsobem |
− | A | + | \be \Delta_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee |
− | \ll{deltaapsi}\ee | + | |
Je snadné ukázat, že | Je snadné ukázat, že | ||
− | \be [\Delta_{\psi}(A)]^2= | + | \be [\Delta_{\psi}(A)]^2 = \mean{(\widehat{\Delta_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee |
− | - | + | |
kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor | kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor | ||
− | \be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi}=(\hat A | + | \be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee |
− | - | + | a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$. |
− | a odtud okamžitě plyne, že | + | |
− | pokud $\psi$ je vlastním stavem | + | \bc |
− | pozorovatelné A, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$. | + | Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$. |
− | \bc Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, | + | |
− | pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} | + | |
\ec | \ec | ||
− | \bc \ll{dpx}Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a | + | \bc |
− | hybnosti kvantové částice při měření na stavu | + | \ll{dpx} |
− | popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb} | + | Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. |
− | \be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k})=\hbar/2. | + | Ukažte, že pro tento stav platí |
− | \ll{dxdp}\ee | + | \be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee |
\ec | \ec | ||
− | Vztah \rf{dxdp} | + | |
− | obvykle, říká | + | Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}. |
+ | |||
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$ | \bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$ | ||
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí | a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí | ||
− | \be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half| | + | \be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}| |
\ll{dadb}\ee | \ll{dadb}\ee | ||
− | + | Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které | |
− | + | ||
− | Rovnost ve vztahu \rf{dadb} | + | |
platí | platí | ||
− | \be [\hat A - | + | \be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee |
− | B | + | kde $\kappa\in\R$. |
− | kde $\kappa\in\ | + | |
\et | \et | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí |
+ | \be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee | ||
+ | takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti | ||
+ | \be | ||
+ | \fbox{{\LARGE$\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ . | ||
+ | \ll{dxdp2} | ||
+ | \ee | ||
− | + | \bc | |
− | + | Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními | |
− | + | jsou funkce %(\rf{mvb}) | |
− | + | \[ g(\vec x) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\vec x \right\}, \qquad A>0, \] | |
− | + | které jsme nazvali minimální vlnové balíky. | |
− | + | \ec | |
− | + | ||
− | \[ \ | + | |
− | \ | + | |
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou | |
− | + | přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou | |
− | + | částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu | |
− | + | \[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z \geq \hbar^3/8. \] | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, | |
+ | jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou | ||
+ | menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost. | ||
− | V mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. | + | V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než |
− | Hmota elektronu je cca $10^{-27}$g a je-li nepřesnost měření | + | lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné |
− | polohy menší než lineární rozměr atomu, což je řádově | + | s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku. |
− | $10^{-8}$cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než | + | |
− | $10^{8}$cm/s, což je srovnatelné s klasickou rychlostí elektronu v atomu. | + | |
− | Není tedy divu, že pro popis elektronů v atomovém obalu | + | |
− | nelze použít klasickou \mi ku. | + |
Verze z 31. 8. 2011, 08:26
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Výsledky měření} \ll{Vysledkymereni} Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném funkcí $g$?} Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď. V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás informuje Bornův postulát. Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}: \be \mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vec x)d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}. \ll{xbar} \ee \bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec \subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu} Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení. Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem \be \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x = (\psi,\hat X_j\psi), \ll{psixpsi} \ee takže \be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je} \be \fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ . \ll{aavr} \ee Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$. \bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$. \ec \bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti (elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s). \ec \bc Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}. \ec Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í $\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$. Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní pozorovatelné. Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné $A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.} Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í $\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna \be \fbox{{\LARGE $W_{\psi\rightarrow\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ . \ll{pstprech} \ee Veličina $A_{\psi\lim\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\lim\alpha$}. \bc Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í \be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$? \ec Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů $\alpha_k$}, tj. \be \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ . \ll{pstnamer} \ee Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav. \bc Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í \be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu? \ec \bc Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í \be \psi(x) = C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$? \ec Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot. Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu $(x,y)$ \be \fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}}\ , \ll{pstnamersp} \ee kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit $\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti \be \phi_{\vec p}(\vec x) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x \right\}. \ee Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e. \bc Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$. \ec Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či $\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů \be W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}} + \int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi})\right], \ee kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, resp.~k~$\delta$-funkci. \subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti} \ll{relneu} Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. V~\qv é \mi ce je definována způsobem \be \Delta_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee Je snadné ukázat, že \be [\Delta_{\psi}(A)]^2 = \mean{(\widehat{\Delta_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor \be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$. \bc Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$. \ec \bc \ll{dpx} Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. Ukažte, že pro tento stav platí \be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee \ec Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}. \bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$ a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí \be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}| \ll{dadb}\ee Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které platí \be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee kde $\kappa\in\R$. \et Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí \be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti \be \fbox{{\LARGE$\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ . \ll{dxdp2} \ee \bc Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními jsou funkce %(\rf{mvb}) \[ g(\vec x) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\vec x \right\}, \qquad A>0, \] které jsme nazvali minimální vlnové balíky. \ec Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu \[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z \geq \hbar^3/8. \] Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost. V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.