01NUM:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01NUM} \section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu} \subsection{Zákony zachování} Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jak...) |
(Žádný rozdíl)
|
Verze z 1. 8. 2010, 01:49
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM | Johndavi | 3. 6. 2019 | 16:06 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:49 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Johndavi | 1. 6. 2019 | 18:30 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Numerické řešení okrajových úloh pro ODE | Kunzmart | 2. 9. 2021 | 00:00 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Numerické řešení okrajových úloh pro PDE eliptického typu | Kunzmart | 1. 9. 2021 | 23:28 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Numerické řešení okrajových úloh pro PDE parabolického typu | Admin | 1. 8. 2010 | 01:49 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu | Johndavi | 3. 6. 2019 | 19:59 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Numerické řešení počátečních úloh pro ODE | Johndavi | 30. 4. 2019 | 00:47 | kapitola5.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM} \section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu} \subsection{Zákony zachování} Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán \[ \frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2) \] (předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$ dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru} \[ \int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_2)\,\text dt. \] Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál: \[ \int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx. \] Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit \[ \frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0 \] pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním tvaru}. Obecně se budeme zabývat následující úlohou: \begin{equation} \label{zakonyzachovani} \frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0, \end{equation} popř. v integrálním tvaru \[ \int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt. \] Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. \begin{example} Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu rovnici} \[ \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0. \] \end{example} Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme (\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme \begin{equation} \label{slabyzakonzachovani} \int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0. \end{equation} Je \[ \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt \] a podobně \[ \int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx. \] Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako \[ \left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0. \] Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že $\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme \[ -\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0. \] {\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi. \subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení} V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok; $U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$. \subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma} \[ U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \] kde \[ \tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \] je tzv. {\em numerický tok}. \subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma} \[ U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right], \] \[ U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right]. \] \subsubsection{MacCormackovo schéma} \[ U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right], \] kde \[ U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right]. \] \subsubsection{Podmínka stability} Podmínka stability všech tří schémat je \[ \frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))}, \] kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.