Matematika1:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201511:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201108:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201410:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201410:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 4. 10. 201908:49 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201619:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 5. 11. 201814:21 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivacePitrazby 6. 12. 201614:53 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201715:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceAdmin 6. 8. 201410:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 27. 8. 201112:33 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Transcendentní funkce]{\fbox{Transcendentní funkce}}
\subsection{Algebraické a transcendentní funkce}
	\begin{define}[Algebraické číslo]
	Algebraické číslo je číslo, které je kořenem polynomu s racionálními koeficienty.
	\end{define}
	\begin{define}[Transcendentní číslo]
	Transcendentní číslo je číslo, které není algebraické.
	\end{define}
 
 
	\begin{define}[Algebraická funkce]
	Algebraická funkce splňuje polynomiální rovnici s polynomiálními koeficienty.
	\end{define}
	\begin{define}[Transcendentní funkce]
	Transcendentní funkce je funkce, která není algebraická.
	\end{define}
 
 
\subsection{Logaritmická funkce}
\begin{define}[Logaritmická funkce]\label{def:logf}
	Logaritmická funkce je nekonstantní diferencovatelná funkce $f$ definovaná na $\R^+$, která pro všechny $x>0$ a $y>0$ splňuje
	$$
	f(xy) = f(x)+f(y).
	$$
	\end{define}
	\begin{theorem}[Vlastnosti logaritmické funkce]\label{thm:logf}
	Buď $f$ logaritmická funkce. Potom
	\begin{enumerate}
		\item $f(1)=0$
		\item $f\left(\frac1x\right)=-f(x)$
		\item $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$
		\item $f^\prime(x)=\frac{1}{x}f^\prime(1)$, kde $f^\prime(1)$ odpovídá bázi logaritmu.
	\end{enumerate}
	\end{theorem}
	\begin{proof}~
	\begin{enumerate}
		\item $f(1) = f(1\cdot1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ odkud $f(1)=0$.
		\item $0 = f(1) = f(x\cdot\frac1x) = f(x) + f(\frac1x)$ odkud $f(x) = -f(\frac1x)$.
		\item viz 2.
		\item $f^\prime(x) = \lim\limits_{h\to0}\frac1h\left(f(x+h)-f(x)\right)
				=\lim\limits_{h\to0}\frac{x}{x}\frac1hf\left(\frac{x+h}{x}\right) 
				\overset{u=\frac{h}{x}}{=}
				\frac1x\lim\limits_{u\to0}\frac1u(f(1+u)-\underbrace{f(1)}_0) = \frac{1}{x}f^\prime(1)
				$
	\end{enumerate}
	\end{proof}
 
 
\subsection{Přirozený logaritmus}
	\begin{define}[Přirozený logaritmus]\label{def:ln}
	Funkce 
	\be\label{dln}
		\ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t},
	\ee
	pro $x>0$ se nazývá \textbf{přirozený logaritmus}.
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}
	Funkce $\ln$ je logaritmická funkce.
	\begin{proof}
	Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že $0<x<y$. \\
	Podle definice~\ref{def:logf} musíme ukázat, že $\ln(x\cdot y) = \ln{x}+\ln{y}$:
	$$
		\ln(xy) = \int\limits_1^{xy} \frac{\ud t}{t} = 
		\int\limits_1^x \frac{\ud t}{t} + \int\limits_x^{xy} \frac{\ud t}{t}
		\overset{u=\frac{t}{x}}{=}
		\int\limits_1^x \frac{\ud t}{t} + \int\limits_1^{y} \frac{\ud u}{u} =
		\ln{x}+\ln{y}.	
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti $\ln x$]
	Funkce $\ln x$ definovaná vztahem (\ref{dln}) má následující vlastnosti:
	\begin{enumerate}
		\item $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$
		\item $\ln$ je ostře rostoucí na $D_{\ln}$.
		\item $\ln{x^\alpha} = \alpha \ln{x}$ pro $\alpha\in\R$.
	\end{enumerate}
	\end{theorem}
	\begin{proof}~
	\begin{enumerate}
		\item Derivací integrálu jakožto funkce horní meze v definici \ref{def:ln} dostáváme tvrzení věty, což zároveň odpovídá \uv{přirozené} volbě $f^\prime(1)=1$ ve větě~\ref{thm:logf}(4.).
		\item Pro všechna $x\in D_{\ln}=\R^+$ je $\frac1x>0$ a tudíž podle věty~\ref{thm:monotonie} ostře roste.
		\item	Pro $\alpha=0$ tvrzení zjevně platí. Pro $\alpha\neq0$ máme
		$$
			\ln x^\alpha = \int\limits_1^{x^\alpha}\frac{\ud t}{t} 
			\overset{t=u^\alpha}{=} 
			\alpha \int\limits_1^x \frac{u^{\alpha-1}}{u^\alpha}\ud u = \alpha\ln{x}.
		$$
	\end{enumerate}
	\end{proof}
 
 
	\begin{define}[Eulerovo číslo]
	Eulerovo číslo $\e$ je jediné číslo, které splňuje $\ln{\e}=1$.
	\end{define}
 
 
 
\subsection{Exponenciální funkce}
	\begin{define}[Exponenciální funkce]
	Inverzní funkci k funkci $\ln$ nazýváme exponenciální funkcí při základu $\e$ a značíme $\e^x$ nebo $\exp(x)$.
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti exponenciální funkce]\oprava
	\begin{enumerate}
		\item $(\e^x)^\prime = \e^x$ pro $x\in\R$.
		\item $\e^{x+y} = \e^x\e^y$ pro $x,y\in\R$.
		\item $\e^{-x} = \frac{1}{\e^x}$ pro $x\in\R$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}~
	\begin{enumerate}
		\item Podle věty~\ref{thm:dinverze} o derivaci inverzní funkce platí 
		$$
			(\e^x)^\prime = \frac{1}{\left(\frac{1}{\e^x}\right)} = \e^x.
		$$
		\item $\ln\e^{x+y} = (x+y)\ln\e = x+y = x\ln\e + y\ln\e = \ln\e^{x}\e^{y}$.
		\item viz 2.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Obecná mocnina}
	\begin{define}[Obecná mocnina]\label{def:obecna_mocnina}
	Pro $\beta>0$ a $\alpha\in\R$ definujeme \textbf{obecnou mocninu} jako 
	$$
		\beta^\alpha = e^{\alpha \ln \beta},
	$$
	kde $\beta$ je báze (základ) a $\alpha$ exponent (mocnina).
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti obecné mocniny]
	Nechť $x>0$ a $a,b\in\R$. Pak
	\begin{enumerate}
		\item $x^{a+b} = x^ax^b$.
		\item $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$.
		\item $(x^{a})^\prime = ax^{a-1}$.
		\item $(a^x)^\prime = (\ln{a})\cdot a^x$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
	Všechny body věty plynou z definice~\ref{def:obecna_mocnina} a vlastností logaritmu.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Obecná báze logaritmu}
	\begin{define}[Obecná báze logaritmu]\label{def:obecny_logaritmus}
	Pro $p>0$, $p\neq 1$ definujeme \textbf{logaritmus při základu p} jako
	$$
	\log_p x = \frac{\ln x}{\ln p},
	$$
	kde $p$ je báze (základ). Pro $p=10$ definujeme dekadický logaritmus a značíme zkráceně symbolem $\log$. 
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti logaritmu]\oprava
	\begin{enumerate}
		\item $\log_p{x}$ je inverzní funkce k $p^x$.
		\item $(\log_p{x})^\prime = \frac{1}{\ln{p}}\frac{1}{x}$.
		\item $\log_p{x}$ je logaritmická funkce.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}~
		\begin{enumerate}
		\item Podle definice~\ref{def:obecny_logaritmus} je funkce $\log_p$ stejně jako $\ln$ prostá na $\R^+$. Stačí ověřit obě vlastnosti inverzní funkce $f\circ f^{-1} = \id$ a $f^{-1}\circ f = \id$ (viz věta~\ref{thm:inverze_id}):
		$$ \log_p{p^x} = \frac{\ln{p^x}}{\ln{p}} = \frac{x\ln{p}}{\ln{p}} = x,$$
		$$ p^{\log_p{x}} = \e^{\log_p(x)\cdot\ln{p}} = \e^{\frac{\ln{x}}{\ln{p}}\ln{p}} = \e^{\ln{x}}=x$$
		\item Tvrzení plyne přímou derivací definice~\ref{def:obecny_logaritmus} podle $x$.
		\item Ověření vlastnosti logaritmické funkce (viz definice~\ref{def:logf}):
		$$
			\log_p(x\cdot y) = \frac{\ln(x\cdot y)}{\ln{p}} = \frac{\ln{x}+\ln{y}}{\ln{p}} = \frac{\ln{x}}{\ln{p}} + \frac{\ln{y}}{\ln{p}} = \log_p{x} + \log_p{y}
		$$
		\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
 
\subsection{Hyperbolické funkce}
	\begin{define}[Hyperbolické funkce]\label{def:hyperbolicke}\oprava
	\begin{align*}
	\sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \\
	\cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \\
	\tgh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, \\
	\ctgh x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} 
	\end{align*}
	\end{define}
 
	\begin{figure}[ht]
	\centering
	\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sinh}}
	\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cosh}}
	\\
	\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{tgh}}
	\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cotgh}}
	\label{fig:hyperbolicke}
	\caption{Grafy hyperbolických funkcí.}
	\end{figure}
 
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti hyperbolických funkcí $\sinh$ a $\cosh$]\oprava
	\begin{enumerate}
		\item $\cosh{x} > \frac12\e^x > \sinh{x}$
		\item $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
		\item $\sinh(x+y) = \sinh{x}\cosh{y} + \sinh{y}\cosh{x}$
		\item $\cosh(x+y) = \cosh{x}\cosh{y} + \sinh{x}\sinh{y}$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Tvrzení se dokáží dosazením vzorců z definice~\ref{def:hyperbolicke}.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
	\begin{theorem}[Derivace hyperbolických funkcí]\oprava
	\begin{align}
	(\sinh x)^\prime &= \cosh x, \\
	(\cosh x)^\prime &= \sinh x, \\
	(\tgh x)^\prime &= \frac{1}{\cosh^2 x},  \\
	(\ctgh x)^\prime &= -\frac{1}{\sinh^2 x}  
	\end{align}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Inverzní hyperbolické funkce}
	\begin{define}[Inverzní hyperbolické funkce]\oprava
	\begin{align*}
	&\argsinh x = \sinh^{-1} x \quad &&\hbox{argument hyperbolického sinu}, \\
	&\argcosh x = \cosh^{-1} x \quad &&\hbox{argument hyperbolického cosinu}, \\
	&\argtgh x = \tgh^{-1} x, \quad &&\hbox{argument hyperbolické tangenty}, \\
	&\argctgh x = \ctgh^{-1} x, \quad &&\hbox{argument hyperbolické kotangenty}. 
	\end{align*}
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Explicitní vyjádření inverzních hyperbolických funkcí]\label{thm:invhyperb}\oprava
	\begin{align}
	&\argsinh x = \ln (x+\sqrt{x^2+1}), &&\hbox{pro~~} x \in\R  \\
	&\argcosh x = \ln (x+\sqrt{x^2-1}), &&\hbox{pro~~} x \geq 1 \\
	&\argtgh x  = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}, &&\hbox{pro~~} x \in (-1, 1)  \\
	&\argctgh x = \frac12 \ln\frac{x+1}{x-1} &&\hbox{pro~~} x \in (-\infty, -1)\cup(1, +\infty).
	\end{align}
	\begin{proof}
	Pro jednotlivé funkce je potřeba odvodit inverzní funkci pomocí techniky explicitního vyjádření $x=f^{-1}(y)$ ze vztahu $y = f(x)$.
	\begin{enumerate}
	\item $y = \sinh{x} = \frac12(\e^x - \e^{-x})$, kde vynásobením rovnice $\e^x$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}:
	$$
		(\e^{x})^2-2y\e^x -1=0,
	$$
	kterou řeší 
	$$
		\e^x = y\pm\sqrt{y^2+1}.
	$$
	Z těchto řešení vyhovuje pouze $\e^x = y+\sqrt{y^2+1}$, protože $H_{\e^x}=\R^+$. Odtud již plyne tvrzení věty.
	\item Funkce $\cosh$ není na $\R$ prostá a proto nejprve zúžíme definiční obor např. na $\R_0^+$ tak, abychom dostali prostou funkci. 
	$y=\cosh{x}=\frac12(\e^x + \e^{-x}$, kde vynásobením rovnice $\e^x$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}:
	$$
		(\e^{x})^2+2y\e^x -1=0,
	$$
	kterou řeší 
	$$
		\e^x = y\pm\sqrt{y^2-1}.
	$$
	Z těchto řešení vyhovuje pouze $\e^x = y+\sqrt{y^2-1}$, protože pro daný definiční obor funkce $\cosh$ ($x\geq0$) je funkce $\e^x\geq1$. Odtud již plyne tvrzení věty. 
	\item $y=\tgh{x}=\frac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}$, kde vynásobením rovnice $\e^x(\e^x+\e^{-x})$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}:
	$$
		(y-1)(\e^{x})^2 + y + 1=0,
	$$
	kterou řeší
	$$
		\e^x = \pm\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}.
	$$
	Z těchto řešení vyhovuje pouze to kladné, neb $H_{\e^x}=\R^+$. Odtud již plyne tvrzení věty.
	\item Inverzní funkce k $\ctgh$ -- viz 3.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Derivace inverzních hyperbolických funkcí]\oprava
	\begin{align}
	(\argsinh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},  \\
	(\argcosh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},  \\
	(\argtgh x)^\prime &= (\argctgh x)^\prime = \frac{1}{1-x^2} \quad \hbox{\textit{(pozor na různé definiční obory!)}}.
	\end{align}
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Větu snadno dokážeme derivací explicitního vyjádření inverzních funkcí ve větě~\ref{thm:invhyperb}.
	\end{proof}
 
 
\subsection{Pokročilé techniky integrace goniometrických funkcí}
	\begin{remark}
	Dle lemma~\ref{lemma:sincos} lze snížit druhou mocninu funkcí $\sin$ a $\cos$:
 	\begin{align*}
 	\cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2}, \\
 	\sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2},
 	\end{align*}
	čehož je možné využít při integraci výrazů tvaru $\int\sin^m{x}\cos^n{x}\ud x$, kde $m,n\in\N_0$:
	\begin{enumerate}
		\item Jsou-li $m$ i $n$ sudé: \\
		Použijeme lemma~\ref{lemma:sincos} na $\int(\sin^2{x})^{\frac{m}2}(\cos^2{x})^{\frac{n}2}\ud x$
		\item Jsou-li ($m$ sudé a $n$ liché) nebo ($m$ liché a $n$ sudé):\\
		Substituujeme funkci se sudou mocninou (z funkce s lichou mocninou dostaneme diferenciál), např. pro $m$-sudé, $n$-liché:
		$$
			\int\sin^m{x}(\cos^2{x})^{\frac{n-1}2}\cos{x}\ud x = \Big|u=\sin{x} \Big| = \int u^m (1-u^2)^{\frac{n-1}{2}}\ud u
		$$
		\item Jsou-li $m$ i $n$ liché:\\
		Převedeme integrand pomocí součtových vzorců $\sin{x}\cos{x}=2\sin(2x)$ a lemma~\ref{lemma:sincos} na výraz předchozích typů, např. pro $m<n$:
		$$
			\int\sin^m{x}\cos^n{x}\ud x = \int(\sin{x}\cos{x})^m(\cos^2{x})^{\frac{n-m}{2}}\ud x = \int\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^m\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{\frac{n-m}{2}}\ud x,
		$$
		kde poznamenejme, že $m-n$ je sudé číslo.
	\end{enumerate}
	\end{remark}
 
	\begin{lemma}[Vzorce pro součin goniometrických funkcí]\label{lemma:soucinsincos}\oprava
	\begin{align*}
		&\cos(mx)\cos(nx) = \frac12\Big( \cos[(n+m)x] + \cos[(n-m)x] \Big) \\
		&\sin(mx)\sin(nx) = \frac12\Big( \cos[(n-m)x] - \cos[(n+m)x] \Big) \\
		&\sin(mx)\cos(nx) = \frac12\Big( \sin[(m-n)x] + \sin[(n+m)x] \Big) 
	\end{align*}
	\begin{proof}
	Větu dokážeme pomocí součtových vzorců pro funkce $\cos$ a $\sin$.
	\end{proof}
	\end{lemma}
 
 
	\begin{remark}
	Pomocí lemma~\ref{lemma:soucinsincos} se integrály typu
	 $\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$,  $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$ a $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, 
	pro $\alpha, \beta \in \R$ převedou na známé integrály.
	\end{remark}
 
	\subsection{Shrnutí integračních vzorců}
	\begin{remark}~\vskip 1em
 
	\begin{tabular}{|l|l|l|}
	\hline	
	Typ integrálu & Výsledný typ funkce & Substituce \\
	\hline
	$\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}}$ & $\arcsin$  nebo $-\arccos$ & $x+b = a\sin{u}$ nebo $x+b=a\cos{u}$ \\
	$\displaystyle\int\frac{\ud x}{a^2+(x+b)^2}$ & $\arctg$ nebo $-\arcctg$ & $x+b = a\tg{u}$ nebo $x+b= a\cotg{u}$ \\
	$\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2+a^2}}$ & $\argsinh$ & $x+b = a\sinh{u}$ \\
	$\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2-a^2}}$ & $\argcosh$ & $x+b = a\cosh{u}$ \\
	$\displaystyle\int\frac{\ud x}{(x+b)^2-a^2}$ & $\argtgh$ nebo $\argctgh$ & $x+b = a\tgh{u}$ nebo $x+b = a\ctgh{u}$\\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{remark}