02LIAG:Kapitola11

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 8. 2016, 17:39, kterou vytvořil Hazalmat (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Dynkinovy diagramy}
\Def{
	\textbf{Dinkinův diagram} je graf sestrojen následovně:
	\begin{itemize}
		\item vrcholy\dots kořeny $\Delta^p = \{ \alpha_j \}_{j=1}^l$, kde $l = \dim_\C \g_0$,
		\item hrany\dots $\alpha_j,\alpha_k$ jsou spojeny $a_{jk}a_{kj}$ hranami (maximálně $3$ hrany). Pokud je hran více, zakreslíme šipku směrem k~většímu kořenu (ve smyslu normy indukované $\braket{\cdot , \cdot}$).
		\end{itemize}	
	}	
\Pzn{
	Pokud $a_{jk}a_{kj} > 1 \rimpl$BÚNO $a_{jk} = -1,\ a_{kj} < -1$: 
	\begin{align*}
		1\geq \frac{a_{kj}}{a_{jk}} = \frac{\braket{\alpha_k,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = \frac{\norm{\alpha_k}^2}{\norm{\alpha_j}^2} \rimpl \norm{\alpha_k}=\sqrt{-a_{kj}}\norm{\alpha_j} \rimpl \norm{\alpha_k}=\sqrt{2}\norm{\alpha_j} \lor \norm{\alpha_k}=\sqrt{3}\norm{\alpha_j}
	\end{align*}
	}	
\Pzn{
	Z Dinkinova diagramu je možné zrekonstruovat Cartanovu matici.
	}
\Vet{
	Mějme $\g,\ \g_0,\ \Delta$. Pokud $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2,\ \Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset,\ \braket{ \alpha , \beta}=0,\ \forall \alpha \in \Delta_1,\ \forall \beta \in \Delta_2$, pak $\g_0 = \g_{1,0} \oplus \g_{2,0},\ \g = \g_1 \oplus \g_2$, kde $\g_1 = \g_{1,0} \dotplus \dot{\bigplus}_{\alpha\in\Delta_1}\g_\alpha,\ \g_2 = \g_{2,0} \dotplus \dot{\bigplus}_{\beta\in\Delta_2} \g_\beta$. \\
	$\left(\g_{1,0} = \mrm{span} \{ H_\alpha \}_{\alpha\in\Delta_1},\ \g_{2,0} = \mrm{span} \{ H_\beta \}_{\beta\in\Delta_2},\ [\g_{1,0},\g_{2,0}]=0,\ K(\g_{1,0},\g_{2,0})=0 \right)$ \\
	 Tj. souvislé komponenty Dynkinova diagramu odpovídají prostým algebrám.
	}
\begin{proof}
	\begin{align*}
		K(H_\alpha,H_\beta) = \braket{\alpha,\beta} = \alpha(T_\beta)\frac{K(H_\beta,H_\beta)}{2} = 0,\qquad \forall \alpha \in \Delta_1,\ \beta \in \Delta_2
		\end{align*}
	$\Rightarrow\quad \g_0 = \g_{1,0} \oplus \g_{2,0}$ a platí $\alpha(T_\beta) = a_{\alpha\beta} = 0,\ [H_\alpha,E_\beta] = \beta(H_\alpha)E_\beta = 0$. 	Zároveň $\forall \alpha \in \Delta_1,\ \forall \beta \in \Delta_2,\ [E_\alpha,E_\beta] = N_{\alpha\beta}E_{\alpha+\beta}$ pokud $\alpha + \beta \in \Delta$. BÚNO, nechť $\alpha + \beta \in \Delta_1 \rimpl \braket{ \alpha + \beta, \beta } = \braket{ \beta,\beta } \neq 0$, spor. Tj. $\forall \alpha \in \Delta_1,\ \beta \in \Delta_2,\ \alpha + \beta \notin \Delta \rimpl [E_\alpha,E_\beta] = 0$. \\
 
	$\g_1$ je podalgebra: Nechť $\alpha,\beta \in \Delta_1,\ \alpha+\beta \in \Delta$. Kdyby $\alpha + \beta \in \Delta_2$, pak $\braket{ \alpha+\beta,\beta } = \braket{ \beta,\beta } \neq 0$, spor.$\rimpl \alpha+\beta \in \Delta_1$. Analogicky, $g_2$ je podalgebra.
	\end{proof}	
\Dsl{
	Nesouvislé Dinkinovy diagrami odpovídají poloprostým neprostým algebrám.
	}	
\Pzn{	
	Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají.
	}
\lemma{
	Nechť $\alpha_j,\alpha_k \in \Delta^p,\ j \neq k,\ \norm{\alpha_j} \leq \norm{\alpha_k}$. Potom počet hran spojujících $\alpha_j$ a $\alpha_k$ je $\# \{n \in \Z | \alpha_k+n \alpha_j \in \Delta \}-1$.
	}
\begin{proof}
	Počet hran mezi $\alpha_j,\alpha_k$ je $q =\frac{4|\braket{\alpha_j,\alpha_k}|^2}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}\braket{\alpha_k,\alpha_k}} \in \{ 0,1,2,3 \}$. Pokud $q = 0 \rimpl \braket{\alpha_j,\alpha_k} = 0 \rimpl \alpha_k + n \alpha_j \notin \Delta, \forall n \neq 0$. Pokud $q \in \{ 1,2,3 \} \rimpl \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_k,\alpha_k}} = -1,\ \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}} = -q = a_{kj} \rimpl  \alpha_k + \alpha_j,\dots,\alpha_k - \frac{2\braket{\alpha_j,\alpha_k}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}\alpha_j = \alpha_k + q \alpha_j$ protože $\{ \alpha_k + n\alpha_j\}_{n=p}^q \subset \Delta$, kde $p=0$ díky $\alpha_j,\alpha_k \in \Delta^p$. Takže $q = \# \{n \in \Z | \alpha_k+n \alpha_j \in \Delta \}-1$.
	\end{proof}	 
\Pzn{
Definujeme $e_j:=\frac{\alpha_j}{\norm{\alpha_j}},\ \forall \alpha_j \in \Delta^p$, tj. $\{ e_j \} = \Delta^p_{(N)}$ normovaná báze $\h^\#$. Označíme $n_{jk} = a_{jk}a_{kj}$ počet hran spojujících $\alpha_j$ a $\alpha_k$. Pak platí $\braket{e_j, e_k}=-\frac{1}{2}\sqrt{n_{jk}}$. Pro libovolný $x=\sum_j x_je_j$, tedy máme
	\begin{align}
		\norm{x}^2 = \braket{x,x} = \sum_j x_j^2+2 \sum_{j < k} x_j x_k \braket{e_j,e_k} = \sum_j x_j^2 -  \sum_{j < k} x_j x_k \sqrt{n_{jk}} >0 \,.
	\end{align}
%	Tuto podmínku použijeme pro zjištění přípustných grafů, výsledky shrnuje následující lemma.
	}
\Def{
	Graf nazýváme přípustný, pokud jim určené konstanty $n_{jk}$ definují pozitivně definitní skalární součin
	\begin{align*}
	 	\braket{x,x} = \sum_j x_j^2 -  \sum_{j < k} x_j x_k \sqrt{n_{jk}}
		\end{align*}
	}		
\lemma{
	Přípustné grafy splňují:
	\begin{enumerate}
		\item neobsahují uzavřené smyčky,
		\item v~každém vrcholu se setkávají nejvýše tři hrany,
		\item nahradíme-li dvojici vrcholů spojených jednou hranou jediným vrcholem dostaneme opět přípustný graf.		
	\end{enumerate}	
	Tj., nejsou přípustné: 
	\begin{align*}
		\text{\begin{LARGE}$ \equiv \! \cdot  - $\end{LARGE}}\ ,\qquad \text{\begin{LARGE}$ > \! \cdot \! - \! \cdot \! < $\end{LARGE}}\ ,\qquad \text{\begin{LARGE}$ =\! \cdot \! - \! \cdot \! = $\end{LARGE}}\ ,\qquad \text{\begin{LARGE}$= \! \cdot \! - \! \cdot \! <$\end{LARGE}}\ .
		\end{align*}
	}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}
	\item Nechť $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ odpovídají zmyčce bez podsmyčky. Vezmeme $x = \sum_{j=1}^k e_j$, tj. $\braket{e_j,e_{j+1}} \neq 0,\ \braket{e_k,e_1} \neq 0,\ \braket{e_i,e_j} = 0,\ \forall i < j-1$.
	\begin{align*}
		\braket{x,x} = \sum_{j=1}^k 1 - \sum_{\substack{j=1 \\ k+1 \equiv 1}}^k \sqrt{n_{j,j+1}} \leq k - k = 0
		\end{align*}
	$\Rightarrow \quad$ nepřípustný graf, spor.
	\item Nechť $e \in \Delta^p_{(N)}$ vrchol spojený hranami s $\{ e_j \}_{j=1}^k$, tj. $x = e - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}e_j \neq 0,\ \braket{e_i,e_j} = 0,\ \forall i \neq j \in \{1,\dots,k\}$.
	\begin{gather*}
		\braket{x,x} = 1 + \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 - 2\sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}\braket{e,e_j} = 1 - \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2 > 0 \\
		1 > \sum_{j=1}^k \braket{e,e_j}^2  = \sum_{j=1}^k \underbrace{\frac{\braket{\alpha,\alpha_j}^2}{\braket{\alpha,\alpha}\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}_{\frac{1}{4}\#\{\text{hrany spoj. }\alpha\text{ a }\alpha_j\}}
		\end{gather*}
	$\Rightarrow\quad 4 > $ počet hran na vrcholu $\alpha$, resp. $e$.
	\item Nechť $\alpha_1,\alpha_2$ jsou spojené hranou. Pro libovolné $x = \sum_{j=1}^l x^j e_j$ platí:
	\begin{align*}
		\braket{x,x} = \left(x^1\right)^2 + \left(x^2\right)^2 - x^1x^2 + p_1\left(x^3,\dots,x^l\right)x^1 + p_2\left(x^3,\dots,x^l\right)x^2 + p_3\left(x^3,\dots,x^l\right).
		\end{align*}
	Vrcholy $e_1,e_2$ nahradíme jediným vrcholem $e_{12}$, tj dostaneme $y := x^{12}e_{12} + \sum_{j=3}^l x^j e_j$ a do $\braket{x,x}$ dosadíme $x^1=x^2=x^{12}$:
	\begin{align*}
		\braket{y,y} = \left( x^{12} \right)^2 + \left( p_1\left(x^3,\dots,x^l\right) + p_2\left(x^3,\dots,x^l\right)\right) x^{12} + p_3\left(x^3,\dots,x^l\right)
		\end{align*}
	$\rimpl$máme pozitivně definitní skalární součin odpovídající sloučenému grafu.
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\lmma{
	Graf\begin{LARGE}$\  \underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! = \! \underset{\text{\normalsize $3$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $4$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $5$}}{\cdot}\ $\end{LARGE}není přípustný.
	}
\begin{proof}
	$x = \sum_{j=1}^5 x^je_j$
	\begin{align*}
		Q(x)= \braket{x,x} = \sum_{j=1}^5 \left( x^j \right)^2 - x^1x^2 - \sqrt{2}x^2x^3 - x^3x^4 - x^4x^5
		\end{align*}	
	Extrém je určen rovnicemi $\pd{Q}{x^j} = 0$:
	\begin{align*}
		&1:\qquad 2x^1 - x^2 = 0 \\
		&2:\qquad 2x^2 - x^1 -\sqrt{2}x^3 = 0 \\
		&3:\qquad 2x^3 - \sqrt{2}x^2 - \x^4 = 0 \\
		&4:\qquad 2x^4 - x^3 - x^5 = 0 \\
		&5:\qquad 2x^5 - x^4 = 0
		\end{align*}	
	$\Rightarrow\quad x = \left( \sqrt{2},2\sqrt{2},3,2,1 \right) \neq 0$ a zároveň $\braket{x,x} = 0 \rimpl$diagram není přípustný.	
	\end{proof}		
\lmma{
	Uvažujme diagram tvaru: \begin{align*} \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $e_1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $e_2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $e_{p-2}$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $e_{p-1}$}}{\cdot} \!\!\! - \!
	\overset{ \substack{ \text{\LARGE $\cdot$} \\ | \\ \overset{\vdots}{\ } \\ \overset{\ }{|} \\ \text{\LARGE$\cdot$} \\ |}}{\underset{\text{\normalsize $\psi$}}{\cdot}} \! 
	\overset{\substack{\text{\normalsize$\!\!\!\! g_1$} \\ \vspace{42pt} \\ \text{\normalsize $g_{r-1}$} \\ \vspace{3pt} }}{-} \!\!\!\!
	 \underset{\text{\normalsize $f_{q-1}$}}{\cdot} \!\!\! - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $f_{q-2}$}}{\cdot} \!\!\! - \cdots - \! \underset{\text{\normalsize $f_2$}}{\cdot} \! - \underset{\text{\normalsize $f_1$}}{\cdot} $ }
	\end{align*}
	kde $\norm{\psi} = \norm{e_j} = \norm{f_j} = \norm{g_j} = 1,\ p \geq q \geq r \geq 2$. Pak platí:
	\begin{enumerate}
		\item Definujeme-li $x = \sum_{j=1}^{p-1}je_j,\ y = \sum_{j=1}^{q-1}jf_j,\ z = \sum_{j=1}^{r-1}jg_j$, pak $\braket{x,y} = \braket{x,z} = \braket{y,z} = 0,\ \braket{x,x} = \frac{p(p-1)}{2},\ \braket{y,y} = \frac{q(q-1)}{2},\ \braket{z,z} = \frac{r(r-1)}{2}$.
		\begin{proof}
			\begin{align*}
				\braket{x,x}	= \sum_{j=1}^{p-1}j^2 - \sum_{j=1}^{p-2}j(j+1) = (p-1)^2 - \sum_{j=1}^{p-2}j = (p-1)^2 - \frac{(p-1)(p-2)}{2} =\frac{p(p-1)}{2}
				\end{align*}
			\end{proof}
		\item $\theta_x.\theta_y,\theta_z$	úhly mezi $x,y,z$ a $\psi \rimpl \cos^2\theta_x + \cos^2\theta_y + \cos^2\theta_z < 1$.
		\begin{proof}
			\begin{gather*}
				\psi - \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{\braket{\psi,u}}{\norm{u}}u \neq 0 \rimpl 1 > \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{|\braket{\psi,u}|^2}{\braket{u,u}} = \sum_{u \in \{x,y,z\}}cos^2\sphericalangle(\psi,u)
				\end{gather*}
			\end{proof}
		\item Platí $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$.
		\begin{proof}
			\begin{gather*}
				\frac{|\braket{\psi,x}|^2}{\braket{x,x}} = \frac{|\braket{\psi,(p-1)e_{p-1}}|^2}{\braket{x,x}} = \frac{(p-1)^2}{\frac{p(p-1)}{2}}\underbrace{|\braket{\psi,e_{p-1}}|^2}_{=\frac{1}{4}} = \frac{(p-1)}{2p}\\
				1 > \sum_{u \in \{x,y,z\}}\frac{|\braket{\psi,u}|^2}{\braket{u,u}} = \frac{p-1}{2p} + \frac{q-1}{2q} + \frac{r-1}{2r} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} \right)
				\end{gather*}
			$\Rightarrow\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$		
			\end{proof}	
		\item Přípustné možnosti jsou: 
			\begin{align*}
				r = 2 \quad \left\{ \begin{array}{l}
					q = 2 \ \dots \ p \geq 2 \\
					q = 3 \ \dots \ p = 3,4,5 
					\end{array}\right.
				\end{align*}
		\end{enumerate}
	}
\Pzn{
	Je dobré si uvědomit, že kořenové vektory pozitivních kořenů společně s $\g_0$ tvoří řešitelnou podalgebru $\g$.
	}
\Vet{
	Buď $\g$ komplexní prostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ systém kořenů, $\Delta^p \subset \Delta$. Pak její Dinkinův diagram má jednu z následujícíh podob:
	\begin{align*}
		\text{klasické série algeber}&\left\{\begin{array}{lllll}
		A_l: &&\ \  \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! -  \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} && \mfrk{sl}(l+1,\C),\ l\ge 1 \vspace{5pt} \\
		B_l: &&\ \  \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! -  \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! \Leftarrow \! \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} &&\mfrk{so}(2l+1,\C),\ l\ge 2 \vspace{5pt} \\
		C_l: &&\ \  \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! -  \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-1$}}{\cdot} \!\!\! \Rightarrow \! \underset{\text{\normalsize $l$}}{\cdot} $} &&\mfrk{sp}(2l,\C),\ l\ge 3 \vspace{5pt} \\
		D_l: &&\ \  \text{\LARGE $\underset{\text{\normalsize $1$}}{\cdot} \! - \! \underset{\text{\normalsize $2$}}{\cdot} \! - \cdots - \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-3$}}{\cdot} \!\!\! -  \!\!\! \underset{\text{\normalsize $l-2$}}{\cdot} \!\!\! < \!\!\! \text{\small $ \begin{array}{ll}
			\text{\LARGE $\cdot$} & \text{\normalsize $\!\!\! l-1$}\\
			\text{\LARGE $\cdot$} & \text{\normalsize $\!\!\! l$}
			\end{array}$} $} &&\mfrk{so}(2l,\C),\ l\ge 4 	
			\end{array}\right. \\ 
		\text{výjimečné algebry}&\left\{\begin{array}{lllll}
			E_6: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\
			E_7: &&  \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\
			E_8: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \!  \cdot \! - \! \cdot \! - \! \cdot \! - \! \overset{\substack{\text{\LARGE $\cdot$} \\ |}}{\cdot} \! - \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\
			F_4: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! - \! \cdot \! \Rightarrow \! \cdot \! - \! \cdot $}\end{array} && \\
			G_2: && \begin{array}{l}\text{\LARGE $ \cdot \! \Rrightarrow \! \cdot $}\end{array} && \\			
			\end{array}\right.
		\end{align*}
	}	
\begin{proof}
	Výše jsme ukázali, že toto jsou všechny možné diagramy, existence příslušných algeber byla dokázána jejich zkonstruovaním, jednoznačnost plyne z Weyl-Chevalleyho normální formy.
	\end{proof}	
\Pzn{	
	Přehled Cartanových matic klasických sérií (kořeny uspořádány standardně, 0 vynechány):
%	\begin{small}
	\begin{align*}
	a^{A_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1  \\
	 &  &  & -1 & 2 & -1 \\
	 &  &  &  & -1 & 2 \\
	\end{pmatrix} , &&
	a^{B_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1 &  \\
	 &  &  & -1 & 2 & -2 \\
	 &  &  &  & -1 & 2 \\
	\end{pmatrix}\,, \\
	a^{C_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1 &  \\
	 &  &  & -1 & 2 & -1 \\
	 &  &  &  & -2 & 2 \\
	\end{pmatrix} , &&
	a^{D_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1 & -1 \\
	 &  &  & -1 & 2 &  \\
	 &  &  & -1 &  & 2 \\
	\end{pmatrix} \,.
	\end{align*}
%	\end{small}
	}
\Pzn{
	Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah
	\begin{align}
	\frac{\norm{\alpha_i}}{\norm{\alpha_j}}=\sqrt{\frac{\braket{\alpha_i,\alpha_i}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_ji}} && \Rightarrow && \norm{\alpha_i}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_{ji}}} \norm{\alpha_j}\,.
	\end{align}
	}
\Pzn{
	Přehled vztahů mezi souřadnicovými funkcionály v~definující reprezentaci klasických sérií $\varphi \in \g_0^*$ (zavedeny na cvikách) a fundamentálními kořeny (viz další kapitola).
	}
	\begin{itemize}
		\item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\
		nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd.
 
		\item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\
			reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}.
 
		\item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\
			nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd.
 
		\item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\,
					   \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2,
					   \dots ,\,
					   \lambda_{l-2}=\sum_{i=1}^{l-2}\varphi_i ,\,
					   \lambda_{l-1}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i -\varphi_l \right),\,
					   \lambda_{l}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\
			takže máme 2 spinorové reprezentace.
	\end{itemize}
% JEŠTĚ SEM PŘIJDE ČÁST O DYNKINOVÝCH DIAGRAMECH, KTERÁ NENÍ SLOŽITÁ A PAK KLASIFIKACE