02KVAN2:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Eliminováno množství chyb při lokálním překladu)
(Nový výklad a obrázky)
Řádka 5: Řádka 5:
 
\subsection{Propagátor poruchově}
 
\subsection{Propagátor poruchově}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
V této kapitole se budeme soustředit na poruchový rozvoj propagátoru, který nám hned přijde vhod v teorii rozptylu. V případě, že
+
Poruchový rozvoj propagátoru je klíčovým objektem pro kvantovou teorii rozptylu. Budeme uvažovat nejjednodušší případ klasického hamiltoniánu
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{x}),
+
H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + \varepsilon V(\vec{x}, t).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
lze $V$ nahradit $\epsilon V$ a rozvinout v $\epsilon$
+
 
 +
Rozvoj $\prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}$ lze odvodit přímo z formulky pro operátor časového vývoje \eqref{PM:NPTUDrozvoj} se členy \eqref{PM:NPTUDaprox}, získanými prostředky nestacionární poruchové teorie. Postačí převést zpět z Diracova do Schrödingerova obrazu:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\prop{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} + \epsilon \propU{1}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} + \epsilon^2 \propU{2}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} + \ldots,
+
  \begin{aligned}
 +
    \hat{U}(t_f, t_i) &= \hat{U}_0(t_f, t_i) \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon^n U^{D^{(n)}}(t_f, t_i) = \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon^n U^{(n)}(t_f, t_i), \\
 +
    \hat{U}^{(n)}(t_f, t_i) &= \hat{U}_0(t_f, t_i) U^{D^{(n)}}(t_f, t_i) =\\
 +
    &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \hat{U}_0(t_f, t_i) \hat{V}^D (t_n) \ldots \hat{V}^D (t_2) \hat{V}^D (t_1).
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $K_0$ je skutečně propagátor volné částice jak jsme jej označili dříve. Nechť
+
 
 +
Využitím
 +
\begin{equation*}
 +
  \hat{V}^D(t) = \hat{U}_0(t, t_0)^{-1} \hat{V}(t) \hat{U}_0(t, t_0)
 +
\end{equation*}
 +
a vztahů \eqref{ZQM:EvolOpVlastnosti} platných pro $\hat{U}_0$ dostáváme po troše úsilí zápis ve Schrödingerově obraze
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\eta = \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^\frac{3}{2},
+
  \begin{aligned}
 +
    \hat{U}^{(n)}(t_f, t_i) &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \\
 +
    &\qquad \hat{U}_0(t_f, t_n) \hat{V}(t_n) \hat{U}_0(t_n, t_{n-1}) \ldots \hat{U}_{t_2, t_1} \hat{V}(t_1) \hat{U}_0(t_1, t_0).
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a rozviňme $\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \sum_k V(\vec{x}_k) \Delta t \right)$ do Taylorovy řady
+
 
 +
Vzpomeneme si, že propagátor je jednoduše maticovým elementem $\hat{U}(t_f, t_i)$, tedy platí
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \sum_k V(\vec{x}_k) \Delta t \right) = 1 - \frac{i}{\hbar} \sum_k V(\vec{x}_k) \Delta t - \frac{1}{2 \hbar^2} \sum_{j, k} V(\vec{x}_j) V(\vec{x}_k) (\Delta t)^2 + \ldots.
+
\begin{aligned}
 +
  \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon^n \propU{}{(n)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}, \\
 +
  \propU{}{(n)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \\
 +
  &\qquad \brapigket{\vec{x}_f}{\hat{U}_0(t_f, t_n) \hat{V}(t_n) \hat{U}_0(t_n, t_{n-1}) \ldots \hat{U}_{t_2, t_1} \hat{V}(t_1) \hat{U}_0(t_1, t_0)}{\vec{x}_i}.
 +
\end{aligned}
 +
\label{}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Přímým dosazením do dráhového integrálu tak dostaneme
+
Mezi každou dvojici operátorů vložme rozklad jednotky. Mezipoloh postačí uvažovat $n$, protože maticový element $\hat{V}(t)$ v $x$-reprezentaci je úměrný $\delta$-funkci. Tím přepíšeme všechny evoluční operátory v posledním vztahu na propagátory:
\begin{eqnarray}
+
K_1 & = & - \frac{i}{\hbar} \lim_{N \rightarrow \infty} \eta^{N+1} \sum_{k=1}^N \Delta t \int \exp \left( \frac{i m}{2 \hbar \Delta t} \sum_{j=1}^{N+1} (\vec{x}_j - \vec{x}_{j-1})^2 \right) V(\vec{x}_k, t_k) \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N = \notag \\
+
& = &  - \frac{i}{\hbar} \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N \Delta t \int \dif^3 x_k \underbrace{\left( \eta^{N-k+1} \int e^{\frac{im}{2 \hbar \Delta t} \sum_{j=k+1}^{N+1} (\vec{x}_j - \vec{x}_{j-1})^2} \dif^3 x_{k+1} \ldots \dif^3 x_N \right)}_{\propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_k}{t_k}} \notag \\
+
& & V(\vec{x}_k, t_k) \underbrace{\left( \eta^{k} \int e^{\frac{im}{2 \hbar \Delta t} \sum_{j=1}^{k} (\vec{x}_j - \vec{x}_{j-1})^2} \dif^3 x_{1} \ldots \dif^3 x_{k-1} \right)}_{\propU{0}{}{\vec{x}_k}{t_k}{\vec{x}_0}{t_0}}.
+
\end{eqnarray}
+
Po provedení $\sum_{k=1}^N \Delta t \int \dif^3 x_k \rightarrow \int_{t_0}^{t_f} \dif t \int \dif^3 x_k$ tak dostaneme (s menším přeznačím $\vec{x}_k \rightarrow \vec{x}_1$)
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\propU{1}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = - \frac{i}{\hbar} \int \dif^3 x_1 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0},
+
\begin{aligned}
 +
  \propU{}{(n)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \int d^3\vec{x}_1 \int d^3\vec{x}_2 \cdots \int d^3\vec{x}_n \\
 +
  &\qquad \propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_n}{t_n} V(\vec{x}_n, t_n) \propU{0}{}{\vec{x}_n}{t_n}{\vec{x}_{n-1}}{t_{n-1}} V(\vec{x}_{n-1},t_{n-1}) \times \\
 +
  &\qquad \ldots \times \propU{0}{}{\vec{x}_2}{t_2}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0}.
 +
\end{aligned}
 +
\label{}
 +
\end{equation}
 +
Závislost mezí integrálu jsme v kapitole \ref{sec:nestac} vyřešili zavedením operátoru časového uspořádání $\hat{T}$. Formalizmus propagátoru nám umožňuje nové elegantní řešení použitím retardovaného propagátoru, který si „ohlídá“ správné uspořádání mezí sám a jinak se redukuje na nulu. Můžeme tedy rozdělit všechny integrály a dospět k finální podobě poruchového členu (úvaha funguje pouze, pokud jsme měli správně uspořádané $t_i < t_f$ na začátku, proto $K^{(+)}$ i na levé straně):
 +
\begin{equation}
 +
\begin{aligned}
 +
  \propU{}{(+)^{(n)}}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \prod_{k=1}^n \left( \int d^3\vec{x}_k \int_{t_i}^{t_f} dt_k \right) \\
 +
  &\qquad \propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_n}{t_n} V(\vec{x}_n, t_n) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_n}{t_n}{\vec{x}_{n-1}}{t_{n-1}} \times \\
 +
  &\qquad \ldots \times \propU{0}{(+)}{\vec{x}_2}{t_2}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0}.
 +
\end{aligned}
 +
\label{eq:Krozvoj}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
obdobně bychom dostali
 
\begin{eqnarray}
 
\propU{2}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} & = & - \frac{1}{2\hbar^2} \int \dif^3 x_1 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \int \dif^3 x_2 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_2 \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_2}{t_2} V(\vec{x}_2, t_2) \notag\\
 
& & \propU{0}{}{\vec{x}_2}{t_2}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0},
 
\end{eqnarray}
 
a indukcí bychom ukázali úplně stejně, že
 
\begin{eqnarray}
 
\propU{N}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} & = & \frac{(-i)^N}{N! \hbar^N} \left( \prod_{k=1}^N \int \dif^3 x_k \int_{t_0}^{t_f} \dif t_k \right) \propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x_N}}{t_N} V(\vec{x}_N, t_N) \notag \\
 
& &  \propU{0}{}{\vec{x}_N}{t_N}{\vec{x_{N-1}}}{t_{N-1}} V(\vec{x}_{N-1}, t_{N-1}) \ldots V(\vec{x}_1, t_1) \notag\\
 
& & \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x_0}}{t_0}.
 
\end{eqnarray}
 
Faktor $\frac{1}{N!}$ lze odstranit použitím retardovaných propagátorů díky tomu, že např. pro $K_2$ umím jedničku rozepsat jako $\theta(t_1 - t_2) + \theta(t_2 - t_1)$ uvnitř integrálu, což pro retardované propagátory dává zadarmo časové uspořádání $t_0 \leq t_1 \leq \ldots \leq t_N \leq t_f$.
 
\begin{eqnarray}
 
\propU{N}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} & = & \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^N \left( \prod_{k=1}^N \int \dif^3 x_k \int_{t_0}^{t_f} \dif t_k \right) \propU{0}{(+)}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x_N}}{t_N} V(\vec{x}_N, t_N) \notag \\
 
& &  \propU{0}{(+)}{\vec{x}_N}{t_N}{\vec{x_{N-1}}}{t_{N-1}} V(\vec{x}_{N-1}, t_{N-1}) \ldots V(\vec{x}_1, t_1) \notag\\
 
& & \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x_0}}{t_0}. \label{eq:Krozvoj}
 
\end{eqnarray}
 
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsubsection{Feynmanovy diagramy}
 
\subsubsection{Feynmanovy diagramy}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Existuje velmi jednoduchý a slavný způsob jak si $N$-tý člen rozvoje zapamatovat, poprvé se zde setkáváme s Feynmanovými diagramy, těmi nejjednoduššími. Náš Feynmanův diagram bude pouze lomená čára a body na ní. Každá úsečka spojující místo $\vec{a}$ v čase $t_a$ s $\vec{b}$ v čase $t_b$ odpovídá v integrálu \eqref{eq:Krozvoj} propagátoru volné částice mezi těmito místy a časy (Obr. \ref{fig:usecka}).
+
Existuje velmi jednoduchý a slavný způsob, jak si $n$-tý člen rozvoje zapamatovat: poprvé se zde setkáváme s Feynmanovými diagramy, těmi nejzákladnějšími. Náš Feynmanův diagram bude pouze lomená čára a body na ní. Každá úsečka spojující místo $\vec{x}_a$ v čase $t_a$ s $\vec{x_b}$ v čase $t_b$ odpovídá v integrálu \eqref{eq:Krozvoj} propagátoru volné částice mezi těmito místy a časy. Každý bod zlomu odpovídá potenciálu v místě $\vec{x}$ a čase $t$ (obrázek~\ref{fig:UseckaVrchol}).
\begin{figure}
+
\centering
+
\includegraphics[width=8cm]{feynman1}
+
\caption{úsečka na lomené čáře}
+
\label{fig:usecka}
+
\end{figure}
+
  
Každý bod zlomu odpovídá potenciálu v místě $\vec{a}$ a čase $t_a$ (Obr. \ref{fig:bod}).
 
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\centering
 
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman2}
+
\includegraphics{feynman-1}
\caption{bod na lomené čáře}
+
\caption{Úsečka a vrchol ve Feynmanově diagramu}
\label{fig:bod}
+
\label{fig:UseckaVrchol}
 
\end{figure}
 
\end{figure}
  
Integruje se vždy přes souřadnice zlomů na čáře. $N$-tý člen tak odpovídá lomené čáře s $N$ zlomy, počátku a konci lomené čáry se připíší $\vec{x}_0, t_0$ a $\vec{x}_f, t_f$ a $k$-tému zlomu $\vec{x}_k, t_k$. Např. Feynmanův diagram druhého členu by byl jako na Obr. \ref{fig:K2}.
+
Všechny takto získané členy se vynásobí a výraz se integruje přes souřadnice zlomů na čáře, které smějí být kdekoli v prostoru. $n$-tý člen tak odpovídá lomené čáře s $n$ zlomy, počátku a konci lomené čáry se připíší $\vec{x}_i, t_i$ a $\vec{x}_f, t_f$ a $k$-tému zlomu $\vec{x}_k, t_k$. Např. Feynmanův diagram druhého členu \eqref{eq:Krozvoj} by byl jako na obrázku~\ref{fig:K2}.
  
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\centering
 
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman3}
+
\includegraphics[width=8cm]{feynman-2}
\caption{$K_2$}
+
\caption{Feynmanův diagram popisující člen $\propU{}{(+)^{(2)}}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}$}
 
\label{fig:K2}
 
\label{fig:K2}
 
\end{figure}
 
\end{figure}
  
V QFT (Quantum Field Theory) se pak Feynmanovy diagramy hodí mnohem víc, protože \textit{čáry} mohou být různé (vlnovka, ...) a reprezentovat tak různé druhy částic a body mohou spojovat i víc než jednu částici a popisovat tak různé interakce více druhů částic. Pro $N$-tý řád výpočtu potom diagramy slouží jako jednoduchá pomůcka pro nalezení všech příspěvků do propagátoru (každé interakci bude odpovídat jiný diagram a najít všechny diagramy je relativně snadné).
+
V QFT se pak Feynmanovy diagramy hodí mnohem víc, protože spojnice mohou být různé (vlnovka, ...) a reprezentovat tak různé druhy částic a body mohou spojovat i víc než jednu částici a popisovat tak různé interakce více druhů částic. Pro $n$-tý řád výpočtu potom diagramy slouží jako jednoduchá pomůcka pro nalezení všech příspěvků do propagátoru (každé interakci bude odpovídat jiný diagram a najít všechny diagramy je relativně snadné).
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsection{Použití dráhového integrálu pro popis rozptylu}
 
\subsection{Použití dráhového integrálu pro popis rozptylu}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Předpokládáme, že počáteční podmínkou pro popis rozptylu je stav s přesně určenou hybností ($\vec{p}_{0}$) a energií, rovinná vlna \cite{hlav:QM}
+
Předpokládáme, že počáteční podmínkou pro popis rozptylu je stav s přesně určenou hybností ($\vec{p}_{i}$) a energií, rovinná vlna \cite{hlav:QM}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\psi_{in} (\vec{x}, t_0) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_{0} \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_{0}^2}{2m} t_0},
+
\psi_{in} (\vec{x}, t) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_{i} \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_{i}^2}{2m} t},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
očekáváme, že částice je v počátečním stavu dostatečně daleko od oblasti interakce, takže vliv potenciálu na ni lze zanedbat. Rovinná vlna je však zcela delokalizovaná, proto abychom se nedostali do sporu, předpokládáme \textit{adiabatickou hypotézu}\footnote{Tento i další předpoklady plynou z idealizace stavů, kdybychom použili vlnový balík, problémy by zmizely, ale konkrétní předpovědi by byly mnohem těžší na výpočet.}
+
očekáváme, že částice je v počátečním stavu dostatečně daleko od oblasti interakce, takže vliv potenciálu na ni lze zanedbat. Rovinná vlna je však zcela delokalizovaná, proto abychom se nedostali do sporu, předpokládáme \textbf{adiabatickou hypotézu}\footnote{Tento i další předpoklady plynou z idealizace stavů; kdybychom použili vlnový balík, problémy by zmizely, ale konkrétní předpovědi by byly mnohem těžší na výpočet.}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
V(\vec{x}, t) \underset{t \rightarrow \pm \infty} {\longrightarrow} 0.
 
V(\vec{x}, t) \underset{t \rightarrow \pm \infty} {\longrightarrow} 0.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Nyní použijeme rozvoj \eqref{eq:Krozvoj}, abychom našli časový vývoj našeho vstupního stavu
 
\begin{eqnarray}
 
\psi^{(+)}(\vec{x}_f, t_f) & = & \int \propU{}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in}(\vec{x}_0, t_0) \dif^3 x_0 \notag \\
 
& = & \int \propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in}(\vec{x}_0, t_0) \dif^3 x_0 \notag\\
 
& & - \frac{i}{\hbar} \int \dif^3 x_0 \int \dif^3 x_1 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} \notag\\
 
& & V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in}(\vec{x}_0, t_0) + \ldots,
 
\end{eqnarray}
 
tento rozvoj se nazývá \textit{Bornova řada}/\textit{Bornova aproximace}.
 
  
Obvykle nás zajímá pravděpodobnost nalezení částice s danou hodnotou hybnosti $\vec{p}_f$ v čase $t_f \rightarrow +\infty$
+
Tento stav se vyvíjí podle rovnice
 +
\begin{equation*}
 +
  \ket{\psi^{(+)}(t)} = \hat{U}(t, t_i) \ket{\psi_{in}(t_i)},
 +
\end{equation*}
 +
kde, aby interakce měla čas se plně projevit, uvažujeme limitu $t_i \to -\infty$.
 +
 
 +
Obvykle nás zajímá pravděpodobnost nalezení částice v čase $t_f \rightarrow +\infty$ s danou hodnotou hybnosti $\vec{p}_f$, tj. asymptoticky ve stacionárním stavu
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\psi_{out} (\vec{x}, t_f) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_f \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_f}.
+
\psi_{out} (\vec{x}, t) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_f \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} t}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Všimneme si, že oba stavy lze zapsat pomocí časového vývoje volné částice ($U_0$) jako
+
Všimneme si, že oba limitní stavy lze zapsat pomocí časového vývoje volné částice ($\hat{U}_0$) jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\psi_{in/out}(\vec{x}, t_{0/f}) = \underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_{0/f}^2}{2m} t_{0/f}}}_{U_0(t_{0/f}, 0)} \underbrace{\frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p}_{0/f} \vec{x}}}_{\psi_{in/out}(\vec{x}, 0) \equiv \psi_{in/out} (\vec{x})},\label{eq:faktorizaceRozptyl}
+
\psi_{in/out}(\vec{x}, t) = \hat{U}_0(t, 0) \ket{\vec{p}_{i/f}}.
 +
  \label{eq:faktorizaceRozptyl}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a vidíme, že k výpočtu kýžené pravděpodobnosti budeme potřebovat objekt, který označíme
+
Uvažujme výraz
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} = \lim_{t\rightarrow\infty} \braket{\psi_{out}(t)}{\psi_{in}(t)}.
+
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} = \lim_{t_f\to+\infty} \braket{\psi_{out}(t_f)}{\psi^{(+)}(t_f)} = \lim_{t_f\to+\infty} \lim_{t_i\to-\infty} \brapigket{\psi_{out}(t_f)}{\hat{U}(t_f, t_i)}{\psi_{in}(t_i)},
 +
  \label{TR:SelementInOut}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Za pomoci \eqref{eq:faktorizaceRozptyl} tento maticový element přepíšeme na
+
ve kterém převedeme bra i ket pravé strany pomocí \eqref{eq:faktorizaceRozptyl} a přepíšeme jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} = \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \brapigket{\psi_{out}}{U_0(0, t_f) U(t_f, t_0) U_0(t_0, 0)}{\psi_{in}}.
+
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} = \lim_{t_f \to +\infty} \lim_{t_i \to -\infty} \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{U}_0(0, t_f) \hat{U}(t_f, t_i) \hat{U}_0(t_i, 0)}{\vec{p}_i}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Toto jsou maticové elementy operátoru, který se nazývá \textit{S-matice} nebo \textit{matice/operátor rozptylu}:
+
Toto jsou maticové elementy operátoru, který se nazývá \textbf{\boldmath $S$-matice} nebo \textbf{matice/operátor rozptylu}:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{S} = \lim_{t \rightarrow \infty} \hat{U}_0 (0,t) \hat{U} (t, -t) \hat{U}_0 (-t, 0),
+
\hat{S} = \lim_{t_f \to +\infty} \lim_{t_i \to -\infty} \hat{U}_0 (0,t_f) \hat{U} (t_f, t_i) \hat{U}_0 (t_i, 0),
 
\end{equation}
 
\end{equation}
který se běžně píše pomocí \textit{Møllerových operátorů}
+
a často se rozkládá na součin \textbf{Møllerových operátorů}
\begin{align}
+
\begin{equation*}
\hat{\Omega}^{(+)} &= \lim_{t \rightarrow - \infty} \hat{U} (0, t) \hat{U}_0 (t, 0),\\
+
\hat{\Omega}^{(\pm)} = \lim_{t \rightarrow \mp\infty} \hat{U} (0, t) \hat{U}_0 (t, 0)
\hat{\Omega}^{(-)} &= \lim_{t \rightarrow \infty} \hat{U} (0, t) \hat{U}_0 (t, 0),
+
\end{equation*}
\end{align}
+
 
jako
 
jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
Řádka 129: Řádka 133:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Pokud nyní dáme tohle všechno dohromady, budeme umět počítat různé řády rozvoje S-matice
+
Operátor časového vývoje v \eqref{TR:SelementInOut} vyjádříme pomocí propagátoru,
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation*}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} &=& \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\vec{p}_0} \notag \\
+
  S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} = \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 x_i \dif^3 x_f \overline{\psi_{out}} (\vec{x}_f, t_f) \propR{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} \psi_{in} (\vec{x_i}, t_i),
&=& \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \overline{\psi_{out}} (\vec{x}, t_f) \propR{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in} (\vec{x_0}, t_0) \dif^3 x \dif^3 x_0 \notag \\
+
\end{equation*}
&=& \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \overline{\psi_{out}}(\vec{x}, t_f) \propU{0}{(+)}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in} (\vec{x_0}, t_0) \dif^3 x \dif^3 x_0 \notag \\
+
a ten rozepíšeme pomocí \eqref{eq:Krozvoj}:
& & - \frac{i}{\hbar} \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \overline{\psi_{out}} (\vec{x}, t_f)\propU{0}{(+)}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in} (\vec{x_0}, t_0) \notag \\
+
\begin{equation}
& & \dif^3 x \dif^3 x_0 \dif^3 x_1 \dif t_1 + \ldots
+
  \begin{aligned}
\end{eqnarray}
+
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 x_i \dif^3 x_f \overline{\psi_{out}}(\vec{x}_f, t_f) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} \psi_{in} (\vec{x}_i, t_i) +{}\\
 +
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 x_i \dif^3 x_f \dif^3 x_1 \int_{t_i}^{t_f} \dif t_1 \\
 +
    &\qquad\qquad \overline{\psi_{out}} (\vec{x}_f, t_f)\propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_i}{t_i} \psi_{in} (\vec{x}_i, t_i) +{}\\
 +
    &\qquad + \ldots
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{TR:SrozvojX}
 +
\end{equation}
  
Ukazuje se, že pro explicitní výpočet jednotlivých elementů je výhodné přejít do hybnostní reprezentace, kde
+
Ukazuje se, že pro explicitní výpočet jednotlivých elementů je výhodné přejít do hybnostní reprezentace, kde%
\begin{align}
+
\footnote{Rozdíl hybností v argumentu $\tilde{V}$ reprezentuje stejnou závislost maticových elementů $\brapigket{\vec{p}_2}{\hat{V}(t)}{\vec{p}_1}$.}
\psi_{\vec{p}_{0/f}} (\vec{p}, t)&= \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_{0/f}) e^{- \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} t_{0/f}},\\
+
\begin{equation*}
\propU{0}{(+)}{\vec{p}_f}{t_f}{\vec{p}_0}{t_0} &= \theta(t_f-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} (t_f - t_0)},\\
+
  \begin{aligned}
\widetilde{V}(\vec{p}, t) &\equiv \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}} V(\vec{x}, t).
+
    \tilde{\psi}_{in/out} (\vec{p}, t)&= \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_{i/f}) e^{- \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} t},\\
\end{align}
+
    \tpropU{0}{(+)}{\vec{p}_2}{t_2}{\vec{p}_1}{t_1} &= \theta(t_2-t_1) \delta^{(3)} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_2^2}{2m} (t_2 - t_1)},\\
V této reprezentaci za pomoci Bornova rozvoje maticové elementy vyčíslíme jako
+
    \tilde{V}(\vec{p}_2-\vec{p}_1, t) &= \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{-\frac{i}{\hbar} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \vec{x}} V(\vec{x}, t)
\begin{eqnarray}
+
  \end{aligned}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} & = & \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 p \dif^3 \widetilde{p} \: \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_f) \exp \left( \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} t_{f} \right) \notag\\
+
\end{equation*}
& &\underbrace{\propR{\vec{p}}{t_f}{\vec{\widetilde{p}}}{t_0}}_{\mathrm{rozvinout}}  \delta^{(3)} (\vec{\widetilde{p}} - \vec{p}_0) \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{\widetilde{p}}^2}{2m} t_{0} \right) \label{eq:hybnostniS}\\
+
a rozvoj \eqref{TR:SrozvojX} přechází na tvar
K^{(+)}(\ldots) & = & \theta(t_f-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} (t_f - t_0)} \notag \\
+
\begin{equation}
& & - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \int \dif^3 p_1 \dif^3 p_2 \theta(t_f-t_1) \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_1) \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t_f - t_1)\right)\notag\\
+
  \begin{aligned}
& & \widetilde{V}(\vec{p}_1 - \vec{p}_2, t_1) \theta(t_1-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_2 - \vec{\widetilde{p}}) \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{\widetilde{p}}^2}{2m} (t_1 - t_0)\right) + \ldots \label{eq:rozvojS}
+
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 p_1 \overline{\tilde{\psi}_{out}}(\vec{p}_1, t_f) \theta(t_f-t_i) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_1^2}{2m} (t_f - t_i)} \tilde{\psi}_{in} (\vec{p}_i, t_i) +{}\\
\end{eqnarray}
+
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 p_1 \dif^3 p_2 \int_{t_i}^{t_f} \dif t_1 \\
Pokud necháme působit delta funkce přeintegrováním přes $\dif^3 p, \dif^3 \widetilde{p}$ v \eqref{eq:hybnostniS}, odstraníme Heavisideovy funkce díky mezím a nakonec přeintegrujeme v druhém členu \eqref{eq:rozvojS} přes $\dif^3 p_1, \dif^3 p_2$ a zbavíme se tím dalších delta funkcí, dostaneme (bez zapisování limity):
+
    &\qquad\qquad \overline{\tilde{\psi}_{out}} (\vec{p}_2, t_f) \theta(t_f-t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_2^2}{2m} (t_f - t_1)\tilde{V}(\vec{p}_2 - \vec{p}_1, t_1) \theta(t_1-t_i) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_1^2}{2m} (t_1 - t_i)} \tilde{\psi}_{in} (\vec{p}_i, t_i) +{}\\
\begin{eqnarray}
+
    &\qquad + \ldots
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} &=& \theta(t_f-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) \label{eq:rozptyl}\\
+
  \end{aligned}
& & - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \exp \left( \frac{i}{\hbar} t_1 \left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_0^2}{2m} \right)\right) \widetilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_0, t_1) \notag \\
+
  \label{TR:SrozvojP}
+ \ldots \notag
+
\end{equation}
\end{eqnarray}
+
a po dosazení explicitního tvaru $\tilde{\psi}$
tečky odpovídají členům, u kterých už nejde bez znalosti $V$ přeintegrovat přes všechny hybnosti a některé integrace zůstanou.
+
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \theta(t_f-t_i) \delta^3(\vec{p}_f - \vec{p}_i) +{}\\
 +
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int_{t_i}^{t_f} \dif t_1 \theta(t_f-t_1) e^{\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_1} \tilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_i, t_1) \theta(t_1-t_i) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_i^2}{2m} t_1} +{}\\
 +
    &\qquad + \ldots
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
V posledním výrazu je snadné vyhodnotit limity počátečního a koncového času interakce. Z časových integrálů od $t_i$ do $t_f$ se stanou integrály od $-\infty$ do $+\infty$ a $\theta$-funkce zahrnující jeden z krajních časů vymizí (nahradí se $1$). Vnitřní $\theta$-funkce zůstanou, jak ukazuje další člen rozvoje:
 +
\begin{equation}
 +
  \begin{aligned}
 +
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \delta^3(\vec{p}_f - \vec{p}_i) +{}\\
 +
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \int \dif t_1 e^{\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_1} \tilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_i, t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_i^2}{2m} t_1} +{}\\
 +
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right)^2 \int \dif t_1 \dif t_2 \dif^3 p_1 \\
 +
    &\qquad\qquad e^{\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_2} \tilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_1, t_2) \theta(t_2 - t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_1^2}{2m} (t_2 - t_1)} \tilde{V}(\vec{p}_1 - \vec{p}_i, t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_i^2}{2m} t_1} +{}\\
 +
    &\qquad + \ldots
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{TR:VysledekP}
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Tento rozvoj se interpretuje tak, že první člen odpovídá situaci, kdy k žádné interakci nedojde a částice pouze proletí beze změny hybnosti, a pro účely rozptylu se ignoruje. Druhý člen odpovídá jednomu zapůsobení poruchy dané operátorem $\hat{V}(t)$, které může proběhnout v jakýkoli okamžik $t_1 \in (-\infty, +\infty)$ a může změnit hybnost dle maticového elementu $\hat{V}(t)$ v hybnostní reprezentaci. Další členy obsahují časově uspořádaný součin (díky přítomnosti funkcí $\theta$) více takových událostí a jsou úměrné vyšším mocninám poruchového parametru $\varepsilon$. Tuto interpretaci ukazuje obrázek~\ref{fig:RozptylRozvoj}.
 +
 
 +
\begin{figure}[t]
 +
\centering
 +
\includegraphics{rozptyl-1}
 +
\caption{Možné dráhy částice odpovídající poruchovým členům 0., 1. a 2. řádu při průchodu interakční oblastí}
 +
\label{fig:RozptylRozvoj}
 +
\end{figure}
 +
 
 +
Feynmanovy diagramy pro zapamatování výsledku je potřeba trochu upravit vzhledem k faktu, že v důsledku přechodu od $x$- k $p$-reprezentaci přestal být operátor potenciální energie $\hat{V}(t)$ multiplikativní (nebo v jazyce maticových elementů diagonální). Zato propagátor hybnost zachovává. Proto příspěvek k integrandu za každý vrchol bude potřeba určit ze vstupní a výstupní hybnosti a času $t$, zatímco člen odpovídající úsečce obsahuje počáteční a koncový čas a hybnost podél pohybu. Obrázek~\ref{fig:UseckaVrchol} se tedy změní tak, že místo indexů $\vec{x}$ u \textsl{vrcholů} budou indexy $\vec{p}$ u \textsl{spojnic}, viz obrázek~\ref{fig:UseckaVrcholP}.
 +
 
 +
\begin{figure}[t]
 +
\centering
 +
\includegraphics{feynman-3}
 +
\caption{Úsečky a vrcholy v budování členů rozvoje propagátoru v $p$-reprezentaci}
 +
\label{fig:UseckaVrcholP}
 +
\end{figure}
  
Tento rozvoj se interpretuje tak, že první člen odpovídá situaci, kdy k žádné interakci nedojde a částice pouze proletí beze změny hybnosti. První člen se tak většinou zapomene a počítá se první netriviální změna - druhý člen rozvoje.
 
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsubsection{Od času k energii}
 
\subsubsection{Od času k energii}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Dále je možné, ale v QM ne nutné, provést Fourierovu transformaci v čase. Tento postup je běžný hlavně v QFT a je to tedy příprava na další rok.
 
  
Nejprve si potřebujeme připravit vzoreček
+
Je také možné, i když pro naše účely poněkud zbytné, provést Fourierovu transformaci v čase. Tento postup je běžný hlavně v QFT a je to tedy příprava na další rok.
\begin{eqnarray}
+
\int_\mathbb{R} e^{\frac{i}{\hbar} (\omega + i\epsilon)t}\theta(t) \dif t & = & \int_0^\infty e^{\frac{i}{\hbar} (\omega + i\epsilon)t} \dif t = \notag \\
+
\frac{\hbar}{i (\omega + i\epsilon)} \left[ e^{i(\omega + i\epsilon)t} \right]_0^\infty & = & \frac{-\hbar}{i (\omega + i \epsilon)} = \frac{i}{\omega +i\epsilon}.
+
\end{eqnarray}
+
  
 +
Nejprve si potřebujeme připravit vzoreček pro regularizovanou Fourierovu transformaci $\theta(t)$,%
 +
\footnote{Limita lze provést pouze ve smyslu zobecněných funkcí, nahrazení $\varepsilon \to 0$ by dalo nesprávný výsledek.}
 +
\begin{equation*}
 +
\int_\mathbb{R} e^{i(\omega + i\varepsilon)t}\theta(t) \dif t = \int_0^\infty e^{i(\omega + i\varepsilon)t} \dif t = \frac{1}{i (\omega + i\varepsilon)} \left[ e^{i(\omega + i\varepsilon)t} \right]_0^\infty = \frac{-1}{i (\omega + i \varepsilon)} = \frac{i}{\omega +i\varepsilon}.
 +
\end{equation*}
 
Pokud nyní označíme
 
Pokud nyní označíme
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation}
\widetilde{\widetilde{V}} & = & \int \frac{\dif^3 x \dif t}{(2 \pi \hbar)^4} e^{\frac{i}{\hbar} (Et - \vec{p}\vec{x})} V(\vec{x}, t), \\
+
  \begin{aligned}
\propR{\vec{p}_f}{E_1}{\vec{p}_0}{E_0} &=& \int \dif t_f \dif t_0 e^{\frac{i}{\hbar} E_1 t_f} \propR{\vec{p}_f}{t_f}{\vec{p}_0}{t_0} e^{- \frac{i}{\hbar} E_0 t_0},
+
    \tilde{\tilde{V}}(\vec{p}_2 - \vec{p}_1, E_2 - E_1) &= \frac{1}{(2\pi\hbar)^4} \int \dif^3 x \dif t e^{\frac{i}{\hbar} ((E_2 - E_1) t - (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \vec{x})} V(\vec{x}, t), \\
\end{eqnarray}
+
    \ttpropU{}{(+)}{\vec{p}_2}{E_2}{\vec{p}_1}{E_1} &= \frac{1}{2\pi\hbar} \int \dif t_1 \dif t_2 e^{\frac{i}{\hbar} E_2 t_2} \tpropU{}{(+)}{\vec{p}_2}{t_2}{\vec{p}_1}{t_1} e^{- \frac{i}{\hbar} E_1 t_1},
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{TR:PrevodPE}
 +
\end{equation}
 
už máme skoro všechno připravené na rozvoj v energii, ještě vyčíslíme explicitně $K_0$ propagátor volné částice. Krátký výpočet s regularizací a použitím odvozeného vzorečku dá
 
už máme skoro všechno připravené na rozvoj v energii, ještě vyčíslíme explicitně $K_0$ propagátor volné částice. Krátký výpočet s regularizací a použitím odvozeného vzorečku dá
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\propU{0}{(+)}{\vec{p}_f}{E_1}{\vec{p}_0}{E_0} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}} 2 \pi \hbar \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) \delta(E_1-E_0) \frac{i \hbar}{E_0 - \frac{\vec{p}_0^2}{2m} + i\epsilon},
+
\ttpropU{0}{(+)}{\vec{p}_2}{E_2}{\vec{p}_1}{E_1} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \delta^{(3)} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \delta(E_2-E_1) \frac{i \hbar}{E_1 - \frac{\vec{p}_1^2}{2m} + i\varepsilon},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
kde limitu z regularizace nemůžeme hned odstranit, protože kdybychom za $E_0$ dosadili, měli bychom problém s divergencí.
 
kde limitu z regularizace nemůžeme hned odstranit, protože kdybychom za $E_0$ dosadili, měli bychom problém s divergencí.
  
$N$-tý člen rozvoje propagátoru nyní dostaneme z upravených Feynmanových diagramů viz. Obr. \ref{fig:energie}.
+
$n$-tý člen rozvoje propagátoru opět dostaneme z upravených Feynmanových diagramů, kde každé úsečce je přiřazena hybnost a energie a člen se získá poskládáním členů dle obrázku~\ref{fig:energie}. Krajním úsečkám diagramu přiřadíme $E_i, \vec{p}_i$ a $E_f, \vec{p}_f$, vnitřním oindexované dvojice. Za $E_i$ a $E_f$ se do integrálu dosadí $\vec{p}_i^2/2m$ a $\vec{p}_f^2/2m$ a přes vnitřní energie a hybnosti se integruje. Výsledek vyjde opět v energetické reprezentaci a je možné jej převést do hybnostní pomocí inverzního vztahu k~\eqref{TR:PrevodPE}. Jako poslední krok se provede limita $\varepsilon \to 0_+$. Typicky k výpočtu budete potřebovat reziduální větu z analýzy.
 +
 
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\centering
 
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman4}
+
\includegraphics{feynman-4}
\caption{Feynmanovy diagramy v energii}
+
\caption{Feynmanovy diagramy v energii a hybnosti}
 
\label{fig:energie}
 
\label{fig:energie}
 
\end{figure}
 
\end{figure}
Tentokrát každé \textit{pacce} přiřazujeme dvojici $\vec{p}, E$ a rozvoj propagátoru se získá následovně: za každou úsečku s $\vec{p}, E$ se do integrálu dosadí propagátor
+
 
\begin{equation}
+
\frac{i \hbar}{E - \frac{\vec{p}^2}{2m} + i\epsilon},
+
\end{equation}
+
a za každý vrchol se dosadí
+
\begin{equation}
+
-\frac{i}{\hbar} \widetilde{\widetilde{V}}(\vec{p}, E),
+
\end{equation}
+
kde $\vec{p}$ a $E$ jsou rozdíly hybností a energií sousedních úseček (pacek). Krajním packám diagramu přiřadíme $E_0, \vec{p}_0$ a $E_f, \vec{p}_f$, vnitřním oindexované dvojice. Za $E_0$ a $E_f$ se do integrálu dosadí $\frac{\vec{p}_0^2}{2m}$ a $\frac{\vec{p}_f^2}{2m}$ a přes vnitřní energie a hybnosti se integruje. Po výpočtu integrálu vymizí $\epsilon$, které je k jejich výpočtu potřeba. Typicky k výpočtu budete potřebovat reziduální větu z analýzy.
+
 
%================================================================================
 
%================================================================================
\subsubsection{Rozměrová kontrola}
+
\subsubsection{Coulombův rozptyl}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Je dobré provést kontrolu jednotek v rozvoji \eqref{eq:Krozvoj}, protože jejich správnost není postupem zaručena. Na to je třeba si uvědomit rozměry dvou základních elementů, přímo z jejich definice
+
Odvozený vztah \eqref{TR:VysledekP} lze vyzkoušet na Coulombově rozptylu, který nás v prvním řádu dovede k Rutherfordově formuli, známé z Teoretické fyziky. Jako první krok bude potřeba si připravit Fourierovu transformaci Coulombova potenciálu
\begin{align}
+
\left[ \psi_p (\vec{x}) \right] &= \left[ \hbar \right]^\frac{-3}{2} = (J s)^\frac{-3}{2}, \\
+
\left[ \prop{\vec{x}}{t}{\vec{y}}{\tau} \right] &= m^{-3}.
+
\end{align}
+
Díky tomu nerozvinutý maticový element má rozměr
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\left[ S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} \right] = \frac{\left[ \vec{x} \right]^3}{\left[ \hbar \right]^{\frac{3}{2}2}} = \frac{m^3}{(JS)^3}.
+
V = \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Nyní už stačí rozepsat rozměry jednotlivých elementů v \eqref{eq:Krozvoj}, abychom viděli
+
tedy bude třeba spočítat
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\left[ K_N^{(+)}(\ldots) \dif^3 x_0 \dif^3 x_f \bar{\psi} \psi \right] = \frac{1}{(JS)^N} m^{3N} s^N (m^{-3})^{N+1} J^N m^6 (JS)^{-3} = \frac{m^3}{(JS)^3},
+
\tilde{V} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1, t) = \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \vec{x} \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x =: v(\vec{p}_2 - \vec{p}_1).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
že každý člen rozvoje maticových elementů S-matice má stejný, správný rozměr.
+
To je divergentní integrál a opět ho musíme regularizovat, to provedeme přenásobením vniřku integrálu $e^{-ar}$, $a>0$, a nakonec položíme $a \rightarrow 0$. Integraci provedeme ve sférických souřadnicích s osou $z$ natočenou ve směru $\vec{p}$
 
+
\begin{equation*}
%================================================================================
+
  \begin{aligned}
\subsubsection{Coulombův rozptyl}
+
    v (\vec{p}) &= \left. \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \vec{p}\vec{x} -ar \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x \right|_{a=0} \\
%================================================================================
+
    &= \left. \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int e^{- \frac{i}{\hbar} p r \cos \theta - ar} r \sin \theta \dif \theta \dif r \dif \varphi \right|_{a=0} \\
Odvozený vztah \eqref{eq:rozptyl} lze přímo nasadit na Coulombův rozptyl, který nás dovede k Rutherfordově formuli využívané v tzv. \textit{HEIS} metodách (high energy ion scattering) ve spektroskopii.
+
    &= \left. \frac{1}{2} \frac{Z e^2}{\varepsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int_0^\pi \underbrace{[\ldots]}_{0} + \frac{1}{a + \frac{i}{h} p \cos \theta} \int_0^\infty e^{-(\frac{i}{\hbar} p \cos \theta + a)r}\dif r \sin \theta \dif \theta \right|_{a=0} \notag \\
 +
    &\hskip 6pt\vdots \\
 +
    &= \frac{Z e^2}{(2 \pi)^3 \varepsilon_0 \hbar p^2},
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
kde $p = |\vec{p}|$. Tento mezivýsledek dosadíme \eqref{TR:VysledekP} s volbou $\varepsilon = 1$ (malost opravy předpokládáme již vyjádřenou malou hodnotou konstanty $e$). Podíváme se pouze na opravu prvního řádu: nultý řád odpovídá minutí rozptylového jádra a vyšší řády zanedbáme.%
 +
\footnote{Poctivější výpočet by ukázal, že zanedbáváme nekonečno, ale vyřešení takové drobné nepříjemnosti přenecháme částicovým fyzikům.}
 +
V integraci přes čas najdeme Fourierovu transformaci jedničky, která dá jako výsledek $\delta$-funkci
 +
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= - \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2}{(2 \pi)^3 \varepsilon_0 \hbar (\vec{p}_f - \vec{p}_i)^2} \int \dif t_1 \exp \left( \frac{i t_1 }{\hbar} \left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_i^2}{2m} \right)\right) \\
 +
    &= - \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2}{(2 \pi)^2 \varepsilon_0 (\vec{p}_f - \vec{p}_i)^2} \delta\left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_i^2}{2m} \right).
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
  
Již první pohled na \eqref{eq:rozptyl} ukáže, že je potřeba si připravit Fourierovu transformaci Coulombova potenciálu
+
Náš konečný cíl je určit závislost účinného průřezu rozptylu na prostorovém úhlu, to jest
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
V = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r},
+
  \frac{\dif\sigma}{\dif\Omega} = A \frac{\dif P}{\dif\Omega},
 +
  \label{TR:UPdef}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
bude třeba spočítat
+
kde $A$ představuje plošný průřez svazku dopadajících částic. Nastává rozpor s dříve položeným předpokladem rovinné dopadající vlny, protože ta má nekonečný průřez. Předvedeme si tedy (protentokrát) úplný výpočet, ve kterém uvažujeme superpozici rovinných vln s hybnostmi blízkými $\vec{p}_0$,
 +
\begin{equation*}
 +
  \ket{\psi_{in}} = \int \dif^3 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4}} e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}} \ket{\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}},
 +
\end{equation*}
 +
kde $\sigma_p$ určuje rozptyl hybností $\ll |p_0|$. To je minimalizující vlnový balík, který v čase $t=0$ prochází počátkem souřadnic se střední hybností $\vec{p}_0$. Potom amplituda pravděpodobnosti naměření výsledné hybnosti $\vec{p}_f$ je
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\widetilde{V} (\vec{p}, t) = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \vec{p}\vec{x} \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x.
+
  \begin{aligned}
 +
    \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\psi_{in}} &= \int \dif^3 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4}} e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}} S_{\vec{p}_f,\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}} \\
 +
    &= -\frac{i\alpha}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi} \int \dif^3 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(\vec{p}_f - \vec{p}_0 - \vec{\Delta p})^2} \delta\left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{(\vec{p}_0 + \vec{\Delta p})^2}{2m} \right) e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}},
 +
  \end{aligned}
 +
  \label{TR:CoulombStart}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
To je divergentní integrál a opět ho musíme regularizovat, to provedeme přenásobením vniřku integrálu $e^{-ar}$, $a>0$ a nakonec položíme $a \rightarrow 0$, integraci provedeme ve sférických souřadnicích ve směru $\vec{p}$
+
kde
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation*}
\widetilde{V} (\vec{p}, t) &=& \left. \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \vec{p}\vec{x} -ar \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x \right|_{a=0} \notag \\
+
  \alpha = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}.
& = &\left. \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int e^{- \frac{i}{\hbar} p r \cos \theta - ar} r \sin \theta \dif \theta \dif r \dif \varphi \right|_{a=0} \notag \\
+
\end{equation*}
& = &\left. \frac{1}{2} \frac{Z e^2}{\epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int_0^\pi \underbrace{[\ldots]}_{0} + \frac{1}{a + \frac{i}{h} p \cos \theta} \int_0^\infty e^{-(\frac{i}{\hbar} p \cos \theta + a)r}\dif r \sin \theta \dif \theta \right|_{a=0} \notag \\
+
& &\vdots \notag \\
+
& = & \frac{Z e^2 \hbar^2}{\epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3 \vec{p}^2}.
+
\end{eqnarray}
+
  
Tento mezivýsledek dosadíme do \eqref{eq:rozptyl} a v integraci přes čas najdeme Fourierovu transformaci jedničky, která dá jako výsledek delta funkci
+
\begin{figure}[t]
\begin{eqnarray}
+
\centering
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} & = & - \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2 \hbar^2}{\epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3 (\vec{p}_f - \vec{p}_0)^2} \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \exp \left( \frac{i t_1 }{\hbar} \left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_0^2}{2m} \right)\right) \notag \\
+
\includegraphics{rozptyl-2}
& = & \underbrace{- \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2}{\epsilon_0 (2 \pi)^2 (\vec{p}_f - \vec{p}_0)^2}}_{F(\vec{p}_f, \vec{p}_0)} \delta(E_f - E_0).
+
\caption{Parametry dopadající vlny}
\end{eqnarray}
+
\label{fig:RozptylBalik}
 +
\end{figure}
  
Abychom nyní mohli pokračovat, musíme provést další regularizaci tím, že systém uzavřeme do krychle o hraně $L$. Díky tomu můžeme hustotu pravděpodobnosti, že se částice rozptýlí do $\vec{p}_f$ psát jako
+
Argument $\delta$-funkce rozepíšeme jako
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
w_{\vec{p}_f} = \frac{\abs{S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0}}^2}{\braket{\vec{p}_0}{\vec{p}_0}} = \frac{L^3}{(2 \pi \hbar)^3}.
+
  \frac{\vec{p}_f}{2m} - \frac{\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}}{2m} = \frac{\vec{p}_f^2 - \vec{p}_0^2 - 2\vec{p}_0\cdot\vec{\Delta p}}{2m} + O\bigl(|\vec{\Delta p}|^2\bigr)
\end{equation}
+
\end{equation*}
 +
a uvažujeme $\vec{p}_0 = (0, 0, p_0)$, tedy
 +
\begin{equation*}
 +
  \delta\left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{(\vec{p}_0 + \vec{\Delta p})^2}{2m} \right) \approx \delta\left( \frac{p_0}{m} \left( \Delta p_z - \frac{\vec{p}_f^2 - p_0^2}{2p_0} \right) \right)
 +
\end{equation*}
  
Náš konečný cíl je závislost účinného průřezu srážky na úhlu měřeném od směru dopadající částice. Z definice účinného průřezu
+
Protože dále je integrand nezanedbatelný pouze pro $|\vec{\Delta p}| \lesssim \sigma_p \ll p_0$ (díky exponenciále) a pro $|\vec{p}_f| \approx |\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}| \approx p_0$ (díky $\delta$-funkci), můžeme v argumentu nahradit
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
\dif \sigma = \frac{\dif N}{I},\label{eq:prurez}
+
  \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{(\vec{p}_0 + \vec{\Delta p})^2}{2m} \approx \frac{p_0}{m} \left( \Delta p_z - \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)(|\vec{p}_f| + p_0)}{2p_0} \right) \approx \frac{p_0}{m} \left( \Delta p_z - (|\vec{p}_f| - p_0) \right).
\end{equation}
+
\end{equation*}
kde $\dif N$ je počet částic rozptýlených na jednom jádře a $I$ je intenzita dopadajícího svazku. Celkový počet částic v $\dif N$ a $I$ nebudeme psát, protože se v \eqref{eq:prurez} hned pokrátí. Pokud naší krychli natočíme do správného směru, je intuitivní psát, že na $L^2$ její plochy dopadne za 1 sekundu $\frac{v_0}{L}$ z objemu dopadajících částic, kde $v_0 = \frac{\abs{\vec{p}_0}}{m}$. Tudíž jednotkovou plochou projde za 1 sekundu
+
To nám umožní částečně zintegrovat \eqref{TR:CoulombStart} přes $\Delta p_z$:
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
\frac{\frac{v_0}{L}}{L^2} = \frac{v_0}{L^3},
+
  \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\psi_{in}} \approx -\frac{i\alpha m}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi p_0} \int \dif^2 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(\vec{p}_f - \vec{p}_0 - \vec{\Delta p})^2} e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2} - \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}}.
\end{equation}
+
\end{equation*}
částic. Proto $I = T \frac{v_0}{L^3}$ a můžeme dosadit do \eqref{eq:prurez}
+
\begin{eqnarray}
+
\dif \sigma & = & \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\int_0^\infty \abs{S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0}}^2 p_f^2 \dif p_f \dif \Omega \frac{(2 \pi \hbar)^3}{L^3}}{T \frac{v_0}{L^3}} \notag\\
+
& = & \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{(2 \pi \hbar)^3}{T v_0} \int_0^\infty \abs{F(\vec{p}_f, \vec{p}_o)}^2 \delta^2(E_f - E_0) p_f^2 \dif p_f \dif \Omega,
+
\end{eqnarray}
+
kde integrujeme ve sférických souřadnicích ve směru $\vec{p}_f$. Narazili jsme na problém, vyskočil na nás kvadrát delta funkce a to není nijak definovaný objekt a musíme si s ním nějak poradit. Uděláme to velmi nekorektně, ale za to heroicky, jednu z delta funkcí nahradíme jejím integrálním vyjádřením \[\delta(E_f - E_0) = \int_\mathbb{R} \frac{e^\frac{i(E_f - E_0)t}{\hbar}}{2 \pi \hbar} \dif t,\] takže dostaneme
+
\begin{equation}
+
\delta^2 (E_f - E_0) = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{e^\frac{i(E_f - E_0)t}{\hbar}}{2 \pi \hbar} \dif t \delta(E_f - E_0),
+
\end{equation}
+
a nyní přijde nekorektní krok, necháme druhou delta funkci působit, aniž bychom ji \textit{přestali psát}
+
\begin{eqnarray}
+
\delta^2 (E_f - E_0) & = & \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{e^0}{2 \pi \hbar} \dif t \delta(E_f - E_0) \notag \\
+
& = & \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{T}{2 \pi \hbar} \delta(E_f - E_0). \label{eq:podvod}
+
\end{eqnarray}
+
  
Radikálnost našeho počínání (snad) ospravedlní výsledek, který bude souhlasit s experimentem. Pokud využijeme našeho podvodu \eqref{eq:podvod}, $\dif \sigma$ můžeme přepsat
+
Dále v integrandu díky stejnému pozorování o velikosti $\vec{p}_f$ aproximujeme
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{(2 \pi \hbar)^2}{v_0} \int \abs{F(\vec{p_f}, \vec{p}_0)}^2 \delta(E_f - E_0) p_f^2 \dif p_f \dif \Omega,
+
  (\vec{p}_f - \vec{p}_0 - \vec{\Delta p})^2 = \vec{p}_f^2 + \vec{p}_0^2 - 2\vec{p}_f\cdot\vec{p}_0 + O\bigr(|\vec{\Delta p}|\bigr) \approx 2p_0^2(1 - \cos\vartheta) = 4p_0^2\sin^2\frac{\vartheta}{2},
 +
  \label{TR:sin2}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
které dál upravíme dosazením za $F$ na
+
kde $\vartheta$ je úhel rozptýlené vlny $\vec{p}_f$ od směru dopadající vlny $\vec{p}_0$ (osy $z$). Zanedbali jsme $\vec{\Delta p}$ v jakékoli mocnině, aby se snáze integrovalo ve zbytku, což je již jen dvourozměrný Gaussův integrál
 +
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\psi_{in}} &\approx -\frac{i\alpha m}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi p_0} \frac{1}{4p_0^2\sin^2\frac{\vartheta}{2}} e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}} \int \dif^2 \Delta p e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}} \\
 +
    &= -\frac{i\alpha m}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi p_0} \frac{1}{4p_0^2\sin^2\frac{\vartheta}{2}} e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}} 4\pi\sigma_p^2 \\
 +
    &= -\frac{i\alpha m\sqrt{\sigma_p}}{(2\pi)^{3/4} \hbar p_0^3\sin^2\frac{\vartheta}{2}} e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}}
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
 
 +
Tento výsledek odpovídá hustotě pravděpodobnosti naměření $\vec{p}_f$
 +
\begin{equation*}
 +
  w(\vec{p}_f) = \frac{\sigma_p}{(2\pi)^{3/2}} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^3 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2 e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{2\sigma_p^2}}
 +
\end{equation*}
 +
a celkové pravděpodobnosti (integrované ve sférických souřadnicích použitím prostorového úhlu $\dif\Omega = \sin\vartheta\dif\vartheta\dif\varphi$)
 +
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    P &= \int p_f^2 \dif p_f \dif\Omega w(\vec{p}_f) = \int \dif\Omega \frac{\sigma_p}{(2\pi)^{3/2}} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^3 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2 \int \dif p_f p_f^2 e^{-\frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{2\sigma_p^2}} \\
 +
    &\approx \int \dif\Omega \underbrace{\frac{\sigma_p^2}{2\pi} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^2 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2}_{dP/d\Omega}
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
 
 +
Nakonec si vzpomeneme, že neurčitost hybnosti v $x$ a v $y$ velikosti $\sigma_p$ odpovídají díky Heisenbergovým relacím neurčitosti v poloze (viz obrázek~\ref{fig:RozptylBalik})
 +
\begin{equation*}
 +
  \sigma_x = \sigma_y = \frac{\hbar}{2\sigma_p}
 +
\end{equation*}
 +
a tedy ploše svazku $A \propto \pi \bigl(\hbar/(2\sigma_p)\bigr)^2$, a dosadíme do \eqref{TR:UPdef}%
 +
\footnote{Gaussovský svazek o rozptylu $\sigma_x$ nemá jasnou hranici, ale blízko středu má hustotu pravděpodobnosti blízkou konstantě $1/(2\pi\sigma_x^2)$. Dosadíme tedy plošný obsah $A = 2\pi \sigma_x^2$, odpovídající rovnoměrnému rozdělení po celé ploše.}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{(2 \pi \hbar)^2}{v_0} \frac{1}{\hbar^2} \frac{Z^2 e^4}{\epsilon_0^2 (2 \pi)^4} \int_0^\infty \frac{\delta(E_f - E_0)}{(\vec{p}_f - \vec{p}_0)^4} p_f^2 \dif p_f \dif \Omega.
+
  \frac{d\sigma}{d\Omega} = 2\pi \left( \frac{\hbar}{2\sigma_p} \right)^2 \frac{\sigma_p^2}{2\pi} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^2 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2 = \left( \frac{\alpha m}{2p_0^2\sin^2 \frac{\vartheta}{2}} \right)^2 = \left( \frac{Z e^2}{8 \pi \varepsilon_0 m v_0^2} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 \frac{\vartheta}{2}}.
 +
  \label{TR:vysledek}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Tento integrál už skoro umíme vyčíslit, stačí si jen vzpomenout, že jsme sférické souřadnice zavedli ve směru $\vec{p}_f$, takže
 
\begin{equation}
 
\left( \vec{p}_f - \vec{p}_0 \right)^2  = p_f^2 + p_0^2 - 2 p_f p_0 \cos \theta \underset{p_f = p_0}{=} 4 p_f^4 \sin^2 \frac{\theta}{2},
 
\end{equation}
 
kde poslední rovnost je příprava na působení delta funkce v integrálu.
 
  
Ještě si všimneme, že $E_f = \frac{p_f^2}{2m} \rightarrow p_f^2 \dif p_f = m (2 m E_f)^\frac{1}{2} \dif E_f$ a už můžeme integrál přepsat do tvaru, který umíme spočíst
+
To je slavná \textbf{Rutherfordova formule}. Svůj název nese po autorovi experimentu, který ukázal rozložení náboje v látce a prosadil planetární model atomu nad pudingovým. Experimenty probíhaly v letech 1909--1914 a první vysvětlení jejich výsledku podal E. Rutherford v roce 1911. Jednalo se o bombardování zlaté folie $\alpha$ částicemi, podle pudingového modelu by se při srážení částice neměly rozptylovat do prostoru (i zpětně), ale pouze mírně vychylovat z původního směru. Zatímco kdyby náboj byl soustředěn v protonovém \textsl{jádře}, docházelo by ke zpětným odrazům a i odrazům do různých směrů. Při pohledu na vzoreček, který později dostal jméno Rutherfordův, vidíme, že se Rutherford nespletl se svojí, ryze kinematickou, předpovědí (nezapomínejte, že jsme napsali pouze derivaci účinného průřezu, ne přímo vztah pro průřez samotný). Nutno poznamenat, že sami objevitelé nejprve chtěli pozorovat rozptylování částic na pudingovém modelu, ale detektory za folií ne a ne dávat správné hodnoty (dokonce je kvůli tomu podezřívali, že nefungují), vše se ale napravilo, když detektor umístili před folii i do dalších míst kolem a našli chybějící částice, které se rozptylovaly i zpětně.
\begin{equation}
+
\dif \sigma = \frac{Z^2 e^4}{(2 \pi)^2 \epsilon_0^2 v_0} \int_0^\infty \frac{\delta(E_f - E_0) m (2 m E_f)^\frac{1}{2} \dif E_f \dif \Omega}{\left( p_f^2 + p_0^2 - 2 p_f p_0 \cos \theta \right) ^2},
+
\end{equation}
+
kde, pokud to není jasné, jsme použili zkrácenou notaci $\abs{\vec{p}_f} \equiv p_f \: \ldots$. Integrál nyní představuje působení delta funkce, přičemž $E_f = E_0 \Rightarrow p_f = p_0$. Dostáváme tak výsledek (po zkrácení $p_0 = m v_0$)
+
\begin{equation}
+
\dif \sigma = \frac{Z^2 e^4 \dif \Omega}{64 \pi^2 \epsilon_0^2 m^2 v_0^4 \sin^4 \frac{\theta}{2}},
+
\end{equation}
+
který implikuje
+
\begin{equation}
+
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega} = \frac{Z^2 e^4}{64 \pi^2 \epsilon_0^2 m^2 v_0^4 \sin^4 \frac{\theta}{2}}.
+
\end{equation}
+
Připomínáme, že $\Omega$ je prostorový úhel, kde $\theta$ je úhel mezi $\vec{p}_f$ a $\vec{p}_0$ z toho jak jsme sférické souřadnice zavedli.
+
  
To je slavná \textit{Rutherfordova} formule. Svůj název nese po autorovi experimentu, který ukázal rozložení náboje v látce a prosadil planetární model atomu nad pudingovým. Experimenty probíhaly v letech 1909-1914 a první vysvětlení jejich výsledku podal E. Rutherford v roce 1911. Jednalo se o bombardování zlaté folie $\alpha$ částicemi, podle pudingového modelu by se při srážení částice neměly rozptylovat do prostoru (i zpětně), ale pouze mírně vychylovat z původního směru. Zatímco kdyby náboj byl soustředěn v protonovém \textit{jádře}, docházelo by ke zpětným odrazům a i odrazům do různých směrů. Při pohledu na vzoreček, který později dostal jméno Rutherfordův, vidíme, že se Rutherford nespletl se svojí, ryze kinematickou, předpovědí (nezapomínejte, že jsme napsali pouze derivaci účinného průřezu, ne přímo vztah pro průřez samotný). Nutno poznamenat, že sami objevitelé nejprve chtěli pozorovat rozptylování částic na pudingovém modelu, ale detektory za folií ne a ne dávat správné hodnoty (dokonce je kvůli tomu podezřívali, že nefungují), vše se ale napravilo, když detektor umístili před folii i do dalších míst kolem a našli chybějící částice, které se rozptylovaly i zpětně.
+
V současnosti Rutherfordova formule hraje nezastupitelnou roli v \textsl{HEIS} (High-energy ion scattering) metodách ve spektroskopii. Měřením účinného průřezu srážek v různých prostorových úhlech lze totiž určit protonové číslo látky, kterou bombardujeme, a tím i určit její prvkové složení. Při započítání rozptylování na elektronech lze určit hloubku, do které záření v materiálu pronikne v závislosti na energii dopadajícího záření (\textsl{stopping power}). Dohromady je tak možné zjistit řadu informací o zkoumaném materiálu.
  
V současnosti Rutherfordova formule hraje nezastupitelnou roli ve zmiňovaných \textit{HEIS} spektroskopických metodách. Měřením účinného průřezu srážek v různých prostorových úhlech lze totiž určit protonové číslo látky, kterou bombardujeme a tím i určit její prvkové složení. Při započítání rozptylování na elektronech, lze určit hloubku do které záření v materiálu pronikne v závislosti na energii dopadajícího záření. Tato veličina se nazývá \textit{stopping power} a pro většinu známých materiálů je změřena s přesností na 2\%. Dohromady je tak možné zjistit řadu informací o zkoumaném materiálu.
+
Při pohledu na výsledek \eqref{TR:vysledek} a aproximaci \eqref{TR:sin2} vidíme, že všechny fyzikálně podstatné členy lze získat použitím $S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i}$ jako amplitudy pravděpodobnosti a umocněním na druhou. To samozřejmě není možné kvůli přítomnosti $\delta$-funkce. Nicméně po jejím \textsl{škrtnutí} a umocnění na druhou zbyde rozdíl již jen v přítomnosti několik konstant ($2\pi\hbar$ a hmotnosti). Proto takto kompletní postup stačí obvykle provést jednou a zapamatovat si tyto rozdíly jako „opravu“ pro ostatní instance.

Verze z 12. 6. 2017, 11:15

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Teorie rozptylu}
 
%================================================================================
\subsection{Propagátor poruchově}
%================================================================================
Poruchový rozvoj propagátoru je klíčovým objektem pro kvantovou teorii rozptylu. Budeme uvažovat nejjednodušší případ klasického hamiltoniánu
\begin{equation}
	H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + \varepsilon V(\vec{x}, t).
\end{equation}
 
Rozvoj $\prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}$ lze odvodit přímo z formulky pro operátor časového vývoje \eqref{PM:NPTUDrozvoj} se členy \eqref{PM:NPTUDaprox}, získanými prostředky nestacionární poruchové teorie. Postačí převést zpět z Diracova do Schrödingerova obrazu:
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \hat{U}(t_f, t_i) &= \hat{U}_0(t_f, t_i) \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon^n U^{D^{(n)}}(t_f, t_i) = \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon^n U^{(n)}(t_f, t_i), \\
    \hat{U}^{(n)}(t_f, t_i) &= \hat{U}_0(t_f, t_i) U^{D^{(n)}}(t_f, t_i) =\\
    &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \hat{U}_0(t_f, t_i) \hat{V}^D (t_n) \ldots \hat{V}^D (t_2) \hat{V}^D (t_1).
  \end{aligned}
  \label{}
\end{equation}
 
Využitím
\begin{equation*}
  \hat{V}^D(t) = \hat{U}_0(t, t_0)^{-1} \hat{V}(t) \hat{U}_0(t, t_0)
\end{equation*}
a vztahů \eqref{ZQM:EvolOpVlastnosti} platných pro $\hat{U}_0$ dostáváme po troše úsilí zápis ve Schrödingerově obraze
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \hat{U}^{(n)}(t_f, t_i) &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \\
    &\qquad \hat{U}_0(t_f, t_n) \hat{V}(t_n) \hat{U}_0(t_n, t_{n-1}) \ldots \hat{U}_{t_2, t_1} \hat{V}(t_1) \hat{U}_0(t_1, t_0).
  \end{aligned}
  \label{}
\end{equation}
 
Vzpomeneme si, že propagátor je jednoduše maticovým elementem $\hat{U}(t_f, t_i)$, tedy platí
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon^n \propU{}{(n)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}, \\
  \propU{}{(n)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \\
  &\qquad \brapigket{\vec{x}_f}{\hat{U}_0(t_f, t_n) \hat{V}(t_n) \hat{U}_0(t_n, t_{n-1}) \ldots \hat{U}_{t_2, t_1} \hat{V}(t_1) \hat{U}_0(t_1, t_0)}{\vec{x}_i}.
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
Mezi každou dvojici operátorů vložme rozklad jednotky. Mezipoloh postačí uvažovat $n$, protože maticový element $\hat{V}(t)$ v $x$-reprezentaci je úměrný $\delta$-funkci. Tím přepíšeme všechny evoluční operátory v posledním vztahu na propagátory:
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \propU{}{(n)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \mathop{\int\int\cdots\int}_{t_f < t_n < \ldots < t_2 < t_1 < t_0} dt_1 dt_2 \ldots dt_n \int d^3\vec{x}_1 \int d^3\vec{x}_2 \cdots \int d^3\vec{x}_n \\
  &\qquad \propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_n}{t_n} V(\vec{x}_n, t_n) \propU{0}{}{\vec{x}_n}{t_n}{\vec{x}_{n-1}}{t_{n-1}} V(\vec{x}_{n-1},t_{n-1}) \times \\
  &\qquad \ldots \times \propU{0}{}{\vec{x}_2}{t_2}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0}.
\end{aligned}
\label{}
\end{equation}
Závislost mezí integrálu jsme v kapitole \ref{sec:nestac} vyřešili zavedením operátoru časového uspořádání $\hat{T}$. Formalizmus propagátoru nám umožňuje nové elegantní řešení použitím retardovaného propagátoru, který si „ohlídá“ správné uspořádání mezí sám a jinak se redukuje na nulu. Můžeme tedy rozdělit všechny integrály a dospět k finální podobě poruchového členu (úvaha funguje pouze, pokud jsme měli správně uspořádané $t_i < t_f$ na začátku, proto $K^{(+)}$ i na levé straně):
\begin{equation}
\begin{aligned}
  \propU{}{(+)^{(n)}}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} &= \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \prod_{k=1}^n \left( \int d^3\vec{x}_k \int_{t_i}^{t_f} dt_k \right) \\
  &\qquad \propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_n}{t_n} V(\vec{x}_n, t_n) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_n}{t_n}{\vec{x}_{n-1}}{t_{n-1}} \times \\
  &\qquad \ldots \times \propU{0}{(+)}{\vec{x}_2}{t_2}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0}.
\end{aligned}
\label{eq:Krozvoj}
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsubsection{Feynmanovy diagramy}
%================================================================================
Existuje velmi jednoduchý a slavný způsob, jak si $n$-tý člen rozvoje zapamatovat: poprvé se zde setkáváme s Feynmanovými diagramy, těmi nejzákladnějšími. Náš Feynmanův diagram bude pouze lomená čára a body na ní. Každá úsečka spojující místo $\vec{x}_a$ v čase $t_a$ s $\vec{x_b}$ v čase $t_b$ odpovídá v integrálu \eqref{eq:Krozvoj} propagátoru volné částice mezi těmito místy a časy. Každý bod zlomu odpovídá potenciálu v místě $\vec{x}$ a čase $t$ (obrázek~\ref{fig:UseckaVrchol}).
 
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{feynman-1}
\caption{Úsečka a vrchol ve Feynmanově diagramu}
\label{fig:UseckaVrchol}
\end{figure}
 
Všechny takto získané členy se vynásobí a výraz se integruje přes souřadnice zlomů na čáře, které smějí být kdekoli v prostoru. $n$-tý člen tak odpovídá lomené čáře s $n$ zlomy, počátku a konci lomené čáry se připíší $\vec{x}_i, t_i$ a $\vec{x}_f, t_f$ a $k$-tému zlomu $\vec{x}_k, t_k$. Např. Feynmanův diagram druhého členu \eqref{eq:Krozvoj} by byl jako na obrázku~\ref{fig:K2}.
 
\begin{figure}
\centering
	\includegraphics[width=8cm]{feynman-2}
\caption{Feynmanův diagram popisující člen $\propU{}{(+)^{(2)}}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}$}
\label{fig:K2}
\end{figure}
 
V QFT se pak Feynmanovy diagramy hodí mnohem víc, protože spojnice mohou být různé (vlnovka, ...) a reprezentovat tak různé druhy částic a body mohou spojovat i víc než jednu částici a popisovat tak různé interakce více druhů částic. Pro $n$-tý řád výpočtu potom diagramy slouží jako jednoduchá pomůcka pro nalezení všech příspěvků do propagátoru (každé interakci bude odpovídat jiný diagram a najít všechny diagramy je relativně snadné).
 
%================================================================================
\subsection{Použití dráhového integrálu pro popis rozptylu}
%================================================================================
Předpokládáme, že počáteční podmínkou pro popis rozptylu je stav s přesně určenou hybností ($\vec{p}_{i}$) a energií, rovinná vlna \cite{hlav:QM}
\begin{equation}
	\psi_{in} (\vec{x}, t) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_{i} \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_{i}^2}{2m} t},
\end{equation}
očekáváme, že částice je v počátečním stavu dostatečně daleko od oblasti interakce, takže vliv potenciálu na ni lze zanedbat. Rovinná vlna je však zcela delokalizovaná, proto abychom se nedostali do sporu, předpokládáme \textbf{adiabatickou hypotézu}\footnote{Tento i další předpoklady plynou z idealizace stavů; kdybychom použili vlnový balík, problémy by zmizely, ale konkrétní předpovědi by byly mnohem těžší na výpočet.}
\begin{equation}
	V(\vec{x}, t) \underset{t \rightarrow \pm \infty} {\longrightarrow} 0.
\end{equation}
 
Tento stav se vyvíjí podle rovnice
\begin{equation*}
  \ket{\psi^{(+)}(t)} = \hat{U}(t, t_i) \ket{\psi_{in}(t_i)},
\end{equation*}
kde, aby interakce měla čas se plně projevit, uvažujeme limitu $t_i \to -\infty$.
 
Obvykle nás zajímá pravděpodobnost nalezení částice v čase $t_f \rightarrow +\infty$ s danou hodnotou hybnosti $\vec{p}_f$, tj. asymptoticky ve stacionárním stavu
\begin{equation}
	\psi_{out} (\vec{x}, t) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_f \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} t}.
\end{equation}
Všimneme si, že oba limitní stavy lze zapsat pomocí časového vývoje volné částice ($\hat{U}_0$) jako
\begin{equation}
	\psi_{in/out}(\vec{x}, t) = \hat{U}_0(t, 0) \ket{\vec{p}_{i/f}}.
  \label{eq:faktorizaceRozptyl}
\end{equation}
Uvažujme výraz
\begin{equation}
	S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} = \lim_{t_f\to+\infty} \braket{\psi_{out}(t_f)}{\psi^{(+)}(t_f)} = \lim_{t_f\to+\infty} \lim_{t_i\to-\infty} \brapigket{\psi_{out}(t_f)}{\hat{U}(t_f, t_i)}{\psi_{in}(t_i)},
  \label{TR:SelementInOut}
\end{equation}
ve kterém převedeme bra i ket pravé strany pomocí \eqref{eq:faktorizaceRozptyl} a přepíšeme jako
\begin{equation}
	S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} = \lim_{t_f \to +\infty} \lim_{t_i \to -\infty} \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{U}_0(0, t_f) \hat{U}(t_f, t_i) \hat{U}_0(t_i, 0)}{\vec{p}_i}.
\end{equation}
Toto jsou maticové elementy operátoru, který se nazývá \textbf{\boldmath $S$-matice} nebo \textbf{matice/operátor rozptylu}:
\begin{equation}
	\hat{S} = \lim_{t_f \to +\infty} \lim_{t_i \to -\infty} \hat{U}_0 (0,t_f) \hat{U} (t_f, t_i) \hat{U}_0 (t_i, 0),
\end{equation}
a často se rozkládá na součin \textbf{Møllerových operátorů}
\begin{equation*}
	\hat{\Omega}^{(\pm)} = \lim_{t \rightarrow \mp\infty} \hat{U} (0, t) \hat{U}_0 (t, 0)
\end{equation*}
jako
\begin{equation}
	\hat{S} = \left( \hat{\Omega}^{(-)} \right)^\dagger \left( \hat{\Omega}^{(+)} \right).
\end{equation}
 
Operátor časového vývoje v \eqref{TR:SelementInOut} vyjádříme pomocí propagátoru,
\begin{equation*}
  S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} = \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 x_i \dif^3 x_f \overline{\psi_{out}} (\vec{x}_f, t_f) \propR{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} \psi_{in} (\vec{x_i}, t_i),
\end{equation*}
a ten rozepíšeme pomocí \eqref{eq:Krozvoj}:
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 x_i \dif^3 x_f \overline{\psi_{out}}(\vec{x}_f, t_f) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} \psi_{in} (\vec{x}_i, t_i) +{}\\
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 x_i \dif^3 x_f \dif^3 x_1 \int_{t_i}^{t_f} \dif t_1 \\
    &\qquad\qquad \overline{\psi_{out}} (\vec{x}_f, t_f)\propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_i}{t_i} \psi_{in} (\vec{x}_i, t_i) +{}\\
    &\qquad + \ldots
  \end{aligned}
  \label{TR:SrozvojX}
\end{equation}
 
Ukazuje se, že pro explicitní výpočet jednotlivých elementů je výhodné přejít do hybnostní reprezentace, kde%
\footnote{Rozdíl hybností v argumentu $\tilde{V}$ reprezentuje stejnou závislost maticových elementů $\brapigket{\vec{p}_2}{\hat{V}(t)}{\vec{p}_1}$.}
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \tilde{\psi}_{in/out} (\vec{p}, t)&= \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_{i/f}) e^{- \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} t},\\
    \tpropU{0}{(+)}{\vec{p}_2}{t_2}{\vec{p}_1}{t_1} &= \theta(t_2-t_1) \delta^{(3)} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_2^2}{2m} (t_2 - t_1)},\\
    \tilde{V}(\vec{p}_2-\vec{p}_1, t) &= \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{-\frac{i}{\hbar} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \vec{x}} V(\vec{x}, t)
  \end{aligned}
\end{equation*}
a rozvoj \eqref{TR:SrozvojX} přechází na tvar
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 p_1 \overline{\tilde{\psi}_{out}}(\vec{p}_1, t_f) \theta(t_f-t_i) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_1^2}{2m} (t_f - t_i)} \tilde{\psi}_{in} (\vec{p}_i, t_i) +{}\\
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 p_1 \dif^3 p_2 \int_{t_i}^{t_f} \dif t_1 \\
    &\qquad\qquad \overline{\tilde{\psi}_{out}} (\vec{p}_2, t_f) \theta(t_f-t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_2^2}{2m} (t_f - t_1)}  \tilde{V}(\vec{p}_2 - \vec{p}_1, t_1) \theta(t_1-t_i) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_1^2}{2m} (t_1 - t_i)} \tilde{\psi}_{in} (\vec{p}_i, t_i) +{}\\
    &\qquad + \ldots
  \end{aligned}
  \label{TR:SrozvojP}
\end{equation}
a po dosazení explicitního tvaru $\tilde{\psi}$
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \theta(t_f-t_i) \delta^3(\vec{p}_f - \vec{p}_i) +{}\\
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \lim_{t_{i/f}\rightarrow \mp \infty} \int_{t_i}^{t_f} \dif t_1 \theta(t_f-t_1) e^{\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_1} \tilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_i, t_1) \theta(t_1-t_i) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_i^2}{2m} t_1} +{}\\
    &\qquad + \ldots
  \end{aligned}
\end{equation*}
V posledním výrazu je snadné vyhodnotit limity počátečního a koncového času interakce. Z časových integrálů od $t_i$ do $t_f$ se stanou integrály od $-\infty$ do $+\infty$ a $\theta$-funkce zahrnující jeden z krajních časů vymizí (nahradí se $1$). Vnitřní $\theta$-funkce zůstanou, jak ukazuje další člen rozvoje:
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= \delta^3(\vec{p}_f - \vec{p}_i) +{}\\
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right) \int \dif t_1 e^{\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_1} \tilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_i, t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_i^2}{2m} t_1} +{}\\
    &\qquad + \left( \frac{-i\varepsilon}{\hbar} \right)^2 \int \dif t_1 \dif t_2 \dif^3 p_1 \\ 
    &\qquad\qquad e^{\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_2} \tilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_1, t_2) \theta(t_2 - t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_1^2}{2m} (t_2 - t_1)} \tilde{V}(\vec{p}_1 - \vec{p}_i, t_1) e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\vec{p}_i^2}{2m} t_1} +{}\\
    &\qquad + \ldots
  \end{aligned}
  \label{TR:VysledekP}
\end{equation}
 
Tento rozvoj se interpretuje tak, že první člen odpovídá situaci, kdy k žádné interakci nedojde a částice pouze proletí beze změny hybnosti, a pro účely rozptylu se ignoruje. Druhý člen odpovídá jednomu zapůsobení poruchy dané operátorem $\hat{V}(t)$, které může proběhnout v jakýkoli okamžik $t_1 \in (-\infty, +\infty)$ a může změnit hybnost dle maticového elementu $\hat{V}(t)$ v hybnostní reprezentaci. Další členy obsahují časově uspořádaný součin (díky přítomnosti funkcí $\theta$) více takových událostí a jsou úměrné vyšším mocninám poruchového parametru $\varepsilon$. Tuto interpretaci ukazuje obrázek~\ref{fig:RozptylRozvoj}.
 
\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics{rozptyl-1}
\caption{Možné dráhy částice odpovídající poruchovým členům 0., 1. a 2. řádu při průchodu interakční oblastí}
\label{fig:RozptylRozvoj}
\end{figure}
 
Feynmanovy diagramy pro zapamatování výsledku je potřeba trochu upravit vzhledem k faktu, že v důsledku přechodu od $x$- k $p$-reprezentaci přestal být operátor potenciální energie $\hat{V}(t)$ multiplikativní (nebo v jazyce maticových elementů diagonální). Zato propagátor hybnost zachovává. Proto příspěvek k integrandu za každý vrchol bude potřeba určit ze vstupní a výstupní hybnosti a času $t$, zatímco člen odpovídající úsečce obsahuje počáteční a koncový čas a hybnost podél pohybu. Obrázek~\ref{fig:UseckaVrchol} se tedy změní tak, že místo indexů $\vec{x}$ u \textsl{vrcholů} budou indexy $\vec{p}$ u \textsl{spojnic}, viz obrázek~\ref{fig:UseckaVrcholP}.
 
\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics{feynman-3}
\caption{Úsečky a vrcholy v budování členů rozvoje propagátoru v $p$-reprezentaci}
\label{fig:UseckaVrcholP}
\end{figure}
 
%================================================================================
\subsubsection{Od času k energii}
%================================================================================
 
Je také možné, i když pro naše účely poněkud zbytné, provést Fourierovu transformaci v čase. Tento postup je běžný hlavně v QFT a je to tedy příprava na další rok.
 
Nejprve si potřebujeme připravit vzoreček pro regularizovanou Fourierovu transformaci $\theta(t)$,%
\footnote{Limita lze provést pouze ve smyslu zobecněných funkcí, nahrazení $\varepsilon \to 0$ by dalo nesprávný výsledek.}
\begin{equation*}
	\int_\mathbb{R} e^{i(\omega + i\varepsilon)t}\theta(t) \dif t = \int_0^\infty e^{i(\omega + i\varepsilon)t} \dif t = \frac{1}{i (\omega + i\varepsilon)} \left[ e^{i(\omega + i\varepsilon)t} \right]_0^\infty = \frac{-1}{i (\omega + i \varepsilon)} = \frac{i}{\omega +i\varepsilon}.
\end{equation*}
Pokud nyní označíme
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \tilde{\tilde{V}}(\vec{p}_2 - \vec{p}_1, E_2 - E_1) &= \frac{1}{(2\pi\hbar)^4} \int \dif^3 x \dif t e^{\frac{i}{\hbar} ((E_2 - E_1) t - (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \vec{x})} V(\vec{x}, t), \\
    \ttpropU{}{(+)}{\vec{p}_2}{E_2}{\vec{p}_1}{E_1} &= \frac{1}{2\pi\hbar} \int \dif t_1 \dif t_2 e^{\frac{i}{\hbar} E_2 t_2} \tpropU{}{(+)}{\vec{p}_2}{t_2}{\vec{p}_1}{t_1} e^{- \frac{i}{\hbar} E_1 t_1},
  \end{aligned}
  \label{TR:PrevodPE}
\end{equation}
už máme skoro všechno připravené na rozvoj v energii, ještě vyčíslíme explicitně $K_0$ propagátor volné částice. Krátký výpočet s regularizací a použitím odvozeného vzorečku dá
\begin{equation}
	\ttpropU{0}{(+)}{\vec{p}_2}{E_2}{\vec{p}_1}{E_1} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \delta^{(3)} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \delta(E_2-E_1) \frac{i \hbar}{E_1 - \frac{\vec{p}_1^2}{2m} + i\varepsilon},
\end{equation}
kde limitu z regularizace nemůžeme hned odstranit, protože kdybychom za $E_0$ dosadili, měli bychom problém s divergencí.
 
$n$-tý člen rozvoje propagátoru opět dostaneme z upravených Feynmanových diagramů, kde každé úsečce je přiřazena hybnost a energie a člen se získá poskládáním členů dle obrázku~\ref{fig:energie}. Krajním úsečkám diagramu přiřadíme $E_i, \vec{p}_i$ a $E_f, \vec{p}_f$, vnitřním oindexované dvojice. Za $E_i$ a $E_f$ se do integrálu dosadí $\vec{p}_i^2/2m$ a $\vec{p}_f^2/2m$ a přes vnitřní energie a hybnosti se integruje. Výsledek vyjde opět v energetické reprezentaci a je možné jej převést do hybnostní pomocí inverzního vztahu k~\eqref{TR:PrevodPE}. Jako poslední krok se provede limita $\varepsilon \to 0_+$. Typicky k výpočtu budete potřebovat reziduální větu z analýzy.
 
\begin{figure}
\centering
	\includegraphics{feynman-4}
\caption{Feynmanovy diagramy v energii a hybnosti}
\label{fig:energie}
\end{figure}
 
%================================================================================
\subsubsection{Coulombův rozptyl}
%================================================================================
Odvozený vztah \eqref{TR:VysledekP} lze vyzkoušet na Coulombově rozptylu, který nás v prvním řádu dovede k Rutherfordově formuli, známé z Teoretické fyziky. Jako první krok bude potřeba si připravit Fourierovu transformaci Coulombova potenciálu
\begin{equation}
	V = \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r},
\end{equation}
tedy bude třeba spočítat
\begin{equation}
	\tilde{V} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1, t) = \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} (\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \vec{x} \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x =: v(\vec{p}_2 - \vec{p}_1).
\end{equation}
To je divergentní integrál a opět ho musíme regularizovat, to provedeme přenásobením vniřku integrálu $e^{-ar}$, $a>0$, a nakonec položíme $a \rightarrow 0$. Integraci provedeme ve sférických souřadnicích s osou $z$ natočenou ve směru $\vec{p}$
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    v (\vec{p}) &= \left. \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \vec{p}\vec{x} -ar \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x \right|_{a=0} \\
    &= \left. \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int e^{- \frac{i}{\hbar} p r \cos \theta - ar} r \sin \theta \dif \theta \dif r \dif \varphi \right|_{a=0} \\
    &= \left. \frac{1}{2} \frac{Z e^2}{\varepsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int_0^\pi \underbrace{[\ldots]}_{0} + \frac{1}{a + \frac{i}{h} p \cos \theta} \int_0^\infty e^{-(\frac{i}{\hbar} p \cos \theta + a)r}\dif r \sin \theta \dif \theta \right|_{a=0} \notag \\
    &\hskip 6pt\vdots \\
    &= \frac{Z e^2}{(2 \pi)^3 \varepsilon_0 \hbar p^2},
  \end{aligned}
\end{equation*}
kde $p = |\vec{p}|$. Tento mezivýsledek dosadíme \eqref{TR:VysledekP} s volbou $\varepsilon = 1$ (malost opravy předpokládáme již vyjádřenou malou hodnotou konstanty $e$). Podíváme se pouze na opravu prvního řádu: nultý řád odpovídá minutí rozptylového jádra a vyšší řády zanedbáme.%
\footnote{Poctivější výpočet by ukázal, že zanedbáváme nekonečno, ale vyřešení takové drobné nepříjemnosti přenecháme částicovým fyzikům.}
V integraci přes čas najdeme Fourierovu transformaci jedničky, která dá jako výsledek $\delta$-funkci
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i} &= - \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2}{(2 \pi)^3 \varepsilon_0 \hbar (\vec{p}_f - \vec{p}_i)^2} \int \dif t_1 \exp \left( \frac{i t_1 }{\hbar} \left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_i^2}{2m} \right)\right) \\
    &= - \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2}{(2 \pi)^2 \varepsilon_0 (\vec{p}_f - \vec{p}_i)^2} \delta\left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_i^2}{2m} \right).
  \end{aligned}
\end{equation*}
 
Náš konečný cíl je určit závislost účinného průřezu rozptylu na prostorovém úhlu, to jest
\begin{equation}
  \frac{\dif\sigma}{\dif\Omega} = A \frac{\dif P}{\dif\Omega},
  \label{TR:UPdef}
\end{equation}
kde $A$ představuje plošný průřez svazku dopadajících částic. Nastává rozpor s dříve položeným předpokladem rovinné dopadající vlny, protože ta má nekonečný průřez. Předvedeme si tedy (protentokrát) úplný výpočet, ve kterém uvažujeme superpozici rovinných vln s hybnostmi blízkými $\vec{p}_0$,
\begin{equation*}
  \ket{\psi_{in}} = \int \dif^3 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4}} e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}} \ket{\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}},
\end{equation*}
kde $\sigma_p$ určuje rozptyl hybností $\ll |p_0|$. To je minimalizující vlnový balík, který v čase $t=0$ prochází počátkem souřadnic se střední hybností $\vec{p}_0$. Potom amplituda pravděpodobnosti naměření výsledné hybnosti $\vec{p}_f$ je
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\psi_{in}} &= \int \dif^3 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4}} e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}} S_{\vec{p}_f,\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}} \\
    &= -\frac{i\alpha}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi} \int \dif^3 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(\vec{p}_f - \vec{p}_0 - \vec{\Delta p})^2} \delta\left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{(\vec{p}_0 + \vec{\Delta p})^2}{2m} \right) e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}},
  \end{aligned}
  \label{TR:CoulombStart}
\end{equation}
kde
\begin{equation*}
  \alpha = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}.
\end{equation*}
 
\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics{rozptyl-2}
\caption{Parametry dopadající vlny}
\label{fig:RozptylBalik}
\end{figure}
 
Argument $\delta$-funkce rozepíšeme jako
\begin{equation*}
  \frac{\vec{p}_f}{2m} - \frac{\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}}{2m} = \frac{\vec{p}_f^2 - \vec{p}_0^2 - 2\vec{p}_0\cdot\vec{\Delta p}}{2m} + O\bigl(|\vec{\Delta p}|^2\bigr)
\end{equation*}
a uvažujeme $\vec{p}_0 = (0, 0, p_0)$, tedy
\begin{equation*}
  \delta\left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{(\vec{p}_0 + \vec{\Delta p})^2}{2m} \right) \approx \delta\left( \frac{p_0}{m} \left( \Delta p_z - \frac{\vec{p}_f^2 - p_0^2}{2p_0} \right) \right)
\end{equation*}
 
Protože dále je integrand nezanedbatelný pouze pro $|\vec{\Delta p}| \lesssim \sigma_p \ll p_0$ (díky exponenciále) a pro $|\vec{p}_f| \approx |\vec{p}_0 + \vec{\Delta p}| \approx p_0$ (díky $\delta$-funkci), můžeme v argumentu nahradit
\begin{equation*}
  \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{(\vec{p}_0 + \vec{\Delta p})^2}{2m} \approx \frac{p_0}{m} \left( \Delta p_z - \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)(|\vec{p}_f| + p_0)}{2p_0} \right) \approx \frac{p_0}{m} \left( \Delta p_z - (|\vec{p}_f| - p_0) \right).
\end{equation*}
To nám umožní částečně zintegrovat \eqref{TR:CoulombStart} přes $\Delta p_z$:
\begin{equation*}
  \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\psi_{in}} \approx -\frac{i\alpha m}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi p_0} \int \dif^2 \mathord{\Delta p} \frac{1}{(\vec{p}_f - \vec{p}_0 - \vec{\Delta p})^2}  e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2} - \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}}.
\end{equation*}
 
Dále v integrandu díky stejnému pozorování o velikosti $\vec{p}_f$ aproximujeme
\begin{equation}
  (\vec{p}_f - \vec{p}_0 - \vec{\Delta p})^2 = \vec{p}_f^2 + \vec{p}_0^2 - 2\vec{p}_f\cdot\vec{p}_0 + O\bigr(|\vec{\Delta p}|\bigr) \approx 2p_0^2(1 - \cos\vartheta) = 4p_0^2\sin^2\frac{\vartheta}{2},
  \label{TR:sin2}
\end{equation}
kde $\vartheta$ je úhel rozptýlené vlny $\vec{p}_f$ od směru dopadající vlny $\vec{p}_0$ (osy $z$). Zanedbali jsme $\vec{\Delta p}$ v jakékoli mocnině, aby se snáze integrovalo ve zbytku, což je již jen dvourozměrný Gaussův integrál
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\psi_{in}} &\approx -\frac{i\alpha m}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi p_0} \frac{1}{4p_0^2\sin^2\frac{\vartheta}{2}} e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}} \int \dif^2 \Delta p e^{-\frac{(\vec{\Delta p})^2}{4\sigma_p^2}} \\
    &= -\frac{i\alpha m}{(2\pi\sigma_p^2)^{3/4} \hbar \pi p_0} \frac{1}{4p_0^2\sin^2\frac{\vartheta}{2}} e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}} 4\pi\sigma_p^2 \\
    &= -\frac{i\alpha m\sqrt{\sigma_p}}{(2\pi)^{3/4} \hbar p_0^3\sin^2\frac{\vartheta}{2}} e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{4\sigma_p^2}}
  \end{aligned}
\end{equation*}
 
Tento výsledek odpovídá hustotě pravděpodobnosti naměření $\vec{p}_f$
\begin{equation*}
  w(\vec{p}_f) = \frac{\sigma_p}{(2\pi)^{3/2}} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^3 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2 e^{- \frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{2\sigma_p^2}}
\end{equation*}
a celkové pravděpodobnosti (integrované ve sférických souřadnicích použitím prostorového úhlu $\dif\Omega = \sin\vartheta\dif\vartheta\dif\varphi$)
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    P &= \int p_f^2 \dif p_f \dif\Omega w(\vec{p}_f) = \int \dif\Omega \frac{\sigma_p}{(2\pi)^{3/2}} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^3 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2 \int \dif p_f p_f^2 e^{-\frac{(|\vec{p}_f| - p_0)^2}{2\sigma_p^2}} \\
    &\approx \int \dif\Omega \underbrace{\frac{\sigma_p^2}{2\pi} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^2 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2}_{dP/d\Omega}
  \end{aligned}
\end{equation*}
 
Nakonec si vzpomeneme, že neurčitost hybnosti v $x$ a v $y$ velikosti $\sigma_p$ odpovídají díky Heisenbergovým relacím neurčitosti v poloze (viz obrázek~\ref{fig:RozptylBalik})
\begin{equation*}
  \sigma_x = \sigma_y = \frac{\hbar}{2\sigma_p}
\end{equation*}
a tedy ploše svazku $A \propto \pi \bigl(\hbar/(2\sigma_p)\bigr)^2$, a dosadíme do \eqref{TR:UPdef}%
\footnote{Gaussovský svazek o rozptylu $\sigma_x$ nemá jasnou hranici, ale blízko středu má hustotu pravděpodobnosti blízkou konstantě $1/(2\pi\sigma_x^2)$. Dosadíme tedy plošný obsah $A = 2\pi \sigma_x^2$, odpovídající rovnoměrnému rozdělení po celé ploše.}
\begin{equation}
  \frac{d\sigma}{d\Omega} = 2\pi \left( \frac{\hbar}{2\sigma_p} \right)^2 \frac{\sigma_p^2}{2\pi} \left( \frac{\alpha m}{\hbar p_0^2 \sin^2\frac{\vartheta}{2}} \right)^2 = \left( \frac{\alpha m}{2p_0^2\sin^2 \frac{\vartheta}{2}} \right)^2 = \left( \frac{Z e^2}{8 \pi \varepsilon_0 m v_0^2} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 \frac{\vartheta}{2}}.
  \label{TR:vysledek}
\end{equation}
 
To je slavná \textbf{Rutherfordova formule}. Svůj název nese po autorovi experimentu, který ukázal rozložení náboje v látce a prosadil planetární model atomu nad pudingovým. Experimenty probíhaly v letech 1909--1914 a první vysvětlení jejich výsledku podal E. Rutherford v roce 1911. Jednalo se o bombardování zlaté folie $\alpha$ částicemi, podle pudingového modelu by se při srážení částice neměly rozptylovat do prostoru (i zpětně), ale pouze mírně vychylovat z původního směru. Zatímco kdyby náboj byl soustředěn v protonovém \textsl{jádře}, docházelo by ke zpětným odrazům a i odrazům do různých směrů. Při pohledu na vzoreček, který později dostal jméno Rutherfordův, vidíme, že se Rutherford nespletl se svojí, ryze kinematickou, předpovědí (nezapomínejte, že jsme napsali pouze derivaci účinného průřezu, ne přímo vztah pro průřez samotný). Nutno poznamenat, že sami objevitelé nejprve chtěli pozorovat rozptylování částic na pudingovém modelu, ale detektory za folií ne a ne dávat správné hodnoty (dokonce je kvůli tomu podezřívali, že nefungují), vše se ale napravilo, když detektor umístili před folii i do dalších míst kolem a našli chybějící částice, které se rozptylovaly i zpětně.
 
V současnosti Rutherfordova formule hraje nezastupitelnou roli v \textsl{HEIS} (High-energy ion scattering) metodách ve spektroskopii. Měřením účinného průřezu srážek v různých prostorových úhlech lze totiž určit protonové číslo látky, kterou bombardujeme, a tím i určit její prvkové složení. Při započítání rozptylování na elektronech lze určit hloubku, do které záření v materiálu pronikne v závislosti na energii dopadajícího záření (\textsl{stopping power}). Dohromady je tak možné zjistit řadu informací o zkoumaném materiálu.
 
Při pohledu na výsledek \eqref{TR:vysledek} a aproximaci \eqref{TR:sin2} vidíme, že všechny fyzikálně podstatné členy lze získat použitím $S_{\vec{p}_f, \vec{p}_i}$ jako amplitudy pravděpodobnosti a umocněním na druhou. To samozřejmě není možné kvůli přítomnosti $\delta$-funkce. Nicméně po jejím \textsl{škrtnutí} a umocnění na druhou zbyde rozdíl již jen v přítomnosti několik konstant ($2\pi\hbar$ a hmotnosti). Proto takto kompletní postup stačí obvykle provést jednou a zapamatovat si tyto rozdíly jako „opravu“ pro ostatní instance.