01MAA4:Kapitola34

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 19. 9. 2015, 00:48, kterou vytvořil Krasejak (diskuse | příspěvky) (drobné opravy, doplnění labelu k Jordanově větě)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Newtonova formule v $\R^2$}
 
\begin{define}
Buďte $f,g\in \c{1}\left[ \alpha,\beta\right] $, množinu
$D=\{(x,y)\in\R^2~|~x\in(\alpha,\beta),\ g(x)<y<f(x)\}$
nazýváme {\bf elementární oblastí typu $x(y)$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Definujeme $\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$,
kde
\[
\begin{array}{l}
\phi_g(t)=(t,g(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\
\phi_\beta(t)=(\beta,g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)))\quad t\in\left[  0,1\right]\\
\phi_f(t)=(t,f(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\
\phi_\alpha(t)=(\alpha,g(\alpha)+t(f(\alpha)-g(\alpha)))\quad t\in\left[  0,1\right].
\end{array}
\]
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $P:\uz{D}\mapsto\R$ reálná funkce spojitá na $\uz{D}$ a třídy
$\c{1}$ na $D$. Pak
\[\int_\phi P\,\d x=-\iint_D\frac{\pd P}{\pd y}\,\d x\d y.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Z~Fubiniho věty a věty o~derivaci podle parametru
\[
\begin{split}
\int_\phi P\,\d x + 0\d y &=\int_{\phi_g}+\int_{\phi_\beta}
-\int_{\phi_f}-\int_{\phi_\alpha}=
\int_\alpha^\beta(P(t,g(t)),0)(1, g'(t))\,\d t+
\int_0^1(P,0)(0,f(\beta)-g(\beta))\,\d t-\\
&\quad -\int_\alpha^\beta(P(t,f(t)),0)(1,f'(t))\,\d t-
\int_0^1(P,0)(0,f(\alpha)-g(\alpha))\,\d t=\\
&=\int_\alpha^\beta(P(t,g(t))-P(t,f(t)))\,\d t=
-\int_\alpha^\beta[P(x,y)]_{g(x)}^{f(x)}\,\d x=
-\int_\alpha^\beta\left(
\int_{g(x)}^{f(x)}\frac{\pd P}{\pd y}(x,y)\,\d y
\right)\d x.
\end{split}
\]
\end{proof}
 
\begin{theorem}
Buď $Q\in\c{0}(\uz{D})$, $Q\in\c{1}(D)$, kde $D$ je oblast typu
$y(x)=\{(x,y)\in\R^2~|~y\in\left[\alpha,\beta\right],\ g(y)<x<f(y)\}$. Buď
$\phi$ konstruována jako v~předchozím příkladu a $[\phi]=\hr{D}$.
Pak
\[\int_\phi Q\,\d y=\iint_D\frac{\pd Q}{\pd x}\,\d x\d y.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
$\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$,
$\phi_g(t)=(g(t),t)$, $t\in\left[\alpha,\beta\right]$,
$\phi_\beta(t)=(g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)),\beta)$,
$t\in\left[ 0,1\right]$ atd... analogicky, jako v předchozí větě.
\end{proof}
 
\begin{define} \label{de:Jordanovadraha}
Buď $\phi\in\c{0}\left[\alpha,\beta\right]$,
$\phi:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto\R^n$. Potom $\phi$ nazveme {\bf Jordanovou
dráhou}, pokud platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi(\alpha)=\phi(\beta)$,
\item $\phi$ je na $\left[ \alpha,\beta\right) $ prostá.
\end{enumerate}
\end{define}
 
Jordanovy dráhy jsou tedy takové křivky, které jsou uzavřené a přitom se nikde neprotínají. Platí pro ně následující věta, která je sice \uv{naprosto zjevná}, ale jejíž důkaz je velmi obtížný.
 
\begin{theorem}[Jordan]
Buď $\varphi$ {\bf Jordanova dráha} v~$\R^2$. Pak lze $\R^2$ jednoznačně disjunktně rozloží na tři komponenty souvislosti $\R^2=A\cup[\phi]\cup B$, kde $A$ je neomezená a $B$ omezená. Komponentu $A$ označíme $\extd\phi$ a nazveme ji {\bf vnějšek
dráhy}, $B$ budeme značit $\intd\phi$ a nazývat {\bf vnitřek dráhy}.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Green]
Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\phi$ je kladně orientovaná Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\int_\phi(P\d x+Q\d y)=\iint_D\left(
\frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y}
\right)\d x\d y.
\]
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Vnitřek Jordanovy dráhy je jednoduše souvislý. (jednoduchá souvislost viz \ref{simplyconnected})
\end{theorem}
 
\begin{remark}  
 Je-li forma $\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$ je uzavřená na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru, z definice platí \[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}.\] Z Greenovy věty pak získáme
 \[\int_\phi (P\d x+Q\d y)=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\]
forma $\boldsymbol\omega$ je tedy konzervativní. 
\end{remark}