Uživatel:Steffy: Porovnání verzí

Verze z 16. 2. 2010, 14:38

\documentclass[12pt,a4paper,titlepage]{report} \usepackage[czech]{babel} \usepackage[cp1250]{inputenc} \usepackage{dsfont} \usepackage{a4}

\def \pr {\noindent {\bf Příklad:} } \def \navod {\noindent {\bf Návod:} } \def \vysl {\noindent {\bf Výsledek:} }

\newtheorem{xpriklad}{Příklad}[chapter] \newenvironment{cvi}

   {\begin{xpriklad}\normalfont{}}
   {\end{xpriklad}}

\def \bc {\begin{cvi}} \def \ec {\end{cvi}}

\addtolength{\textwidth}{60pt} \addtolength{\oddsidemargin}{-4pt}

\begin{document}

\begin{titlepage} \begin{center} \LARGE{\bf{Sbírka úloh z termodynamiky a statistické fyziky}} \end{center} \addvspace{30pt} \begin{center} \LARGE{Martin Štefaňák}\\ \today \end{center}

\addvspace{430pt}

Sbírka je rozdělena do tematických kapitol, které obsahují přehled teorie a příklady. Návody k příkladům nepředstavují detailní popis řešení vyžadovaný na cvičení, pouze naznačují možný postup. Různé algebraické úpravy, vyčíslení sum a integrálů není provedeno explicitně. U lehčích příkladů je uveden pouze výsledek.

Uvítám jakékoli komentáře a návrhy na zlepšení sbírky, upozornění na chyby a překlepy apod., nejlépe elektronicky na martin.stefanak@fjfi.cvut.cz . \end{titlepage}

\tableofcontents

\chapter{Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky}

\section{Základní pojmy}

\subsection{Náhodný jev, náhodná veličina}

{\bf Elementární náhodný jev} $\omega$ je výsledek nějakého náhodného pokusu. Množinu všech možných elementárních náhodných jevů označíme $\Omega$. Obecný náhodný jev $A$ je nějaká podmnožina $\Omega$.

Jev $A$ je {\bf částí} jevu $B$, pokud jev $A$ nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li jev $B$ $$A\subset B.$$

Jev $C$ je {\bf sjednocení} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane tehdy, nastane-li jev $A$ nebo $B$ $$C = A \cup B.$$

Jev $C$ je {\bf průnik} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane jen tehdy, nastanou-li jevy $A$ a $B$ současně $$C = A \cap B.$$

Jev {\bf opačný} k jevu $A$ značíme $\overline{A}$. Nastane vždy, když nenastane jev $A$. Opačný jev k opačnému jevu je jev původní $$\overline{\overline{A}} = A .$$

Jev {\bf jistý} $S$ nastane při každém opakování náhodného pokusu. Opačný jev k $S$ je jev {\bf vyloučený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí $$ A\cup\overline{A} = S,\qquad A\cap\overline{A} = \emptyset. $$

Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf neslučitelné} (vzájemně se vylučující), právě tehdy když jejich průnik je jev vyloučený $$A\cap B =\emptyset.$$

Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevů. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení několika elementárních jevů $\omega_i$ $$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$ Složený jev $B$ nastane pokud nastane některý z elementárních jevů $\omega_i$ v něm obsažených. $S$ obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\

\pr Šestistěnná kostka\\ Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledků $i = 1,\ldots,6$. Označme $B$ jev kdy padne sudé číslo. Je to jev složený $$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, čili dvojka může padnout jenom když padne sudé číslo. Jev opačný k jevu $B$ je jev kdy padne liché číslo $$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$ Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemně vylučují, protože jednička není sudé číslo.\\

\subsection{Pravděpodobnostní rozdělení, hustota pravděpodobnosti}

Nechť $\Omega$ je množina všech jevů náhodného pokusu, $S$ jev jistý, $A$ libovolný jev a $\omega_i,\ i\in I$ jsou vzájemně se vylučující jevy. {\bf Pravděpodobnostní rozdělení} náhodných jevů $P$ je zobrazení splňující vlastnosti \begin{enumerate} \item $P(A)\geq 0$ - pravděpodobnost každého jevu je nezáporná \item $P(S) = 1$ - jev jistý nastane s pravděpodobností jedna \item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} \omega_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(\omega_i)$ - pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností \end{enumerate} Z těchto axiomů plynou následující vlastnosti: \begin{itemize} \item $\forall A\subset\Omega,\qquad 0\leq P(A) \leq 1, \qquad P(\emptyset) = 0$ \item $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ \item $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ \item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$ \end{itemize} Mějme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmíněná pravděpodobnost} jevu $A$, za předpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem $$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud $$P(A|B) = P(A),\qquad P(B|A) = P(B).$$ Pro nezávislé jevy $A_i, i\in I$, je pravděpodobnost toho, že nastanou současně, dána součinem jejich pravděpodobností $$P\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right) = \prod_{i\in I}P(A_i).$$

\pr Vyvážená šestistěnná kostka\\ Pravděpodobnosti všech hodů jsou stejné $P(\omega_i) = \frac{1}{6},\ i=1,\ldots,6$. Pravděpodobnost toho, že padne sudé číslo je $$P(B) = P(\omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6) = P(\omega_2) + P(\omega_4) + P(\omega_6) = \frac{1}{2},$$ protože jevy $\omega_i$ se vzájemně vylučují. Podmíněná pravděpodobnost toho, že padne šestka, za předpokladu, že padlo sudé číslo, je rovna $$P(\omega_6|B) = \frac{P(\omega_6\cap B)}{P(B)} = \frac{P(\omega_6)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$$\\

{\bf Náhodná veličina} je libovolná reálná funkce definovaná na množině elementárních jevů. Obor hodnot může být jak spočetný ({\bf diskrétní náhodná veličina}), tak nespočetný ({\bf spojitá náhodná veličina}). Náhodný jev můžeme chápat jako náhodnou veličinu, která může nabývat pouze dvou hodnot - 1 (jev nastal) nebo 0 (jev nenastal).

Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i, i\in I$, je funkce $P$, která splňuje vlastnosti \begin{enumerate} \item $0 \leq P(A = a_i) = p_i \leq 1 $ \item $\sum\limits_{i\in I} p_i = 1$ \end{enumerate}

{\bf Hustota pravděpodobnosti} spojité náhodné veličiny $X$, která může nabývat hodnot $X = x\in\Omega$, je nezáporná funkce $w(x)$, splňující vlastnost $$\forall A\subset\Omega, P(X\in A) = \int\limits_A w(x)dx.$$

Uvažujme nyní vektor náhodných veličin $\vec{x} = \left(x_1,\ldots,x_n\right)$, $x_i\in\Omega_i$, s pravděpodobnostním rozdělením $w(\vec{x})$. {\bf Marginální rozdělení} složky vektoru $x_i$ je dáno vystředováním rozdělení $w(\vec{x})$ přes složky $x_j,\ j\neq i$ $$ w_m(x_i) = \int\limits_{\Omega_1}dx_1\ldots \int\limits_{\Omega_{i-1}}dx_{i-1} \int\limits_{\Omega_{i+1}}dx_{i+1}\ldots \int\limits_{\Omega_n}dx_n w(\vec{x}). $$

\subsection{Střední hodnoty, fluktuace, kovariance}

{\bf Střední hodnota} diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i,\ i\in I$ s pravděpodobností $P(A = a_i) = p_i$, je dána vztahem $$\langle A\rangle = \sum_{i\in I} a_i p_i.$$ Podobně, pro spojitou náhodnou veličinu $X$, která může nabývat hodnot $x\in \Omega$ a má hustotu pravděpodobnosti $w(x)$, je střední hodnota $X$ rovna $$\langle X\rangle = \int\limits_\Omega x w(x)dx.$$ Střední hodnota náhodné veličiny je její průměrná hodnota po mnoha nezávislých opakování pokusu. Střední hodnota je lineární v následujícím smyslu $$ \langle aX + bY + c\rangle = a\langle X\rangle + b\langle Y\rangle + c, $$ kde $X,Y$ jsou dvě náhodné veličiny a $a,b,c$ jsou reálná čísla. Nechť $F$ je funkce náhodné veličiny $X$, její střední hodnota je pak dána vztahem $$\langle F\rangle = \sum_{i\in I}F(a_i)p_i \quad\left( = \int\limits_\Omega F(x)w(x)dx \right).$$ Speciálně, pro $F(x) = x^k$ se označuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdělení}.

{\bf Střední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné veličiny $X$ je definována vztahem $$\left(\Delta X\right) = \sqrt{\langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle}.$$ {\bf Variance} se definuje jako kvadrát střední kvadratické odchylky. Snadno zjistíme, že platí $$\left(\Delta X\right)^2 = \langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle = \langle X^2 -2X\langle X\rangle + \langle X\rangle^2\rangle =\langle X^2\rangle -2\langle X\rangle \langle X\rangle + \langle X\rangle^2 = \langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2.$$ {\bf Relativní fluktuací} náhodné veličiny $X$ se myslí střední kvadratická odchylka vztažená ke střední hodnotě, čili zlomek $\frac{\Delta X}{\langle X\rangle}$.

{\bf Kovariance} dvou náhodných veličin $X_1, X_2$ je definována vztahem $$\left(\Delta X_1\Delta X_2\right) = \langle X_1 X_2\rangle - \langle X_1\rangle\langle X_2\rangle.$$ Kovariance indikuje závislost náhodných veličin. Jsou-li $X_1$ a $X_2$ nezávislé, je jejich rozdělení rovno $w(x_1,x_2) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)$, takže platí $ \langle X_1 X_2\rangle = \langle X_1\rangle \cdot \langle X_2\rangle$ a jejich kovariance je rovna nule.

Nechť jsou $X_i,i=1,\ldots, n$ nezávislé náhodné veličiny, každá s oborem hodnot $\Omega_i$ a hustotou pravděpodobnosti $w_i(x_i)$. Jejich součet $$X = \sum_{i=1}^n X_i $$ je potom náhodná veličina s oborem hodnot $$\Omega = \Omega_1\times\Omega_2\times\ldots\times\Omega_n$$ a hustotu pravděpodobnosti $$w(x) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)\cdot\ldots\cdot w_n(x_n).$$ Pro střední hodnotu součtu nezávislých náhodných veličin platí \begin{eqnarray} \label{ind:mean} \nonumber \langle X\rangle & = & \int\limits_\Omega x w(x) dx = \int\limits_\Omega(x_1+\ldots + x_n)w_1(x1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\

& = & \sum_{i=1}^n \int\limits_{\Omega_i} x_i w_i(x_i)dx_i \left(\prod_{j\neq i} \int\limits_{\Omega_j} w_j(x_j)dx_j\right) = \sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle.

\end{eqnarray} Pro vyšší momenty podobné tvrzení neplatí, například pro druhý moment dostaneme \begin{eqnarray} \nonumber \langle X^2\rangle & = & \int\limits_\Omega x^2 w(x) dx = \int\limits_\Omega(x_1+\ldots + x_n)^2w_1(x1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\ \nonumber & = & \sum_{i=1}^n \int\limits_{\Omega_i} x_i^2 w_i(x_i)dx_i \left(\prod_{j\neq i} \int\limits_{\Omega_j} w_j(x_j)dx_j\right) +\\ \nonumber & & + \sum_{i\neq j} \int\limits_{\Omega_i} x_i w_i(x_i)dx_i \int\limits_{\Omega_j} x_j w_j(x_j)dx_j \left(\prod_{k\neq i,j} \int\limits_{\Omega_k} w_k(x_k)dx_k\right)\\ \nonumber & = & \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle \neq \sum_i \langle X_i^2\rangle. \end{eqnarray} Nicméně, vztah analogický (\ref{ind:mean}) platí pro varianci \begin{eqnarray} \label{ind:var} \nonumber \left(\Delta X\right)^2 & = & \langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2 = \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle - \left(\sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle\right)\left(\sum_{j=1}^n \langle X_j\rangle\right)\\

& = & \sum_{i=1}^n \left(\langle X_i^2\rangle - \langle X_i\rangle^2\right) = \sum_{i=1}^n \left(\Delta X_i\right)^2.

\end{eqnarray}

\section{Binomické rozdělení}

Uvažujme náhodný pokus, který má dva možné výsledky - ano/ne experiment. Kladný výsledek nastane s pravděpodobností $p$, záporný s pravděpodobností $1-p$. Pokus $N$-krát opakujeme, jednotlivá opakování jsou na sobě nezávislá. Pravděpodobnost, že z celkového počtu $N$ opakování bude $n$ pokusů úspěšných je dána {\bf binomickým rozdělením} \begin{equation} \label{binom} p_n = {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n},\qquad {N\choose n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}. \end{equation} Normalizace rozdělení (\ref{binom}) je zřejmá z binomické věty $$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$ Střední hodnotu a varianci počtu kladných výsledků lze pro binomické rozdělení rozdělení snadno spočítat z definice (viz. Příklad~\ref{pr:binom}) \begin{equation} \label{binom:mean:var} \langle n\rangle = N p,\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p). \end{equation} Alternativně lze využít nezávislosti opakování pokusu. $j$-tému pokusu přiřadíme náhodnou veličinu $x_j$, která má dvě hodnoty - 1 pro kladný výsledek s pravděpodobností $p$, 0 pro záporný výsledek s pravděpodobností $1-p$. Střední hodnota a variance každé z náhodných veličin $x_i, i=1,\ldots, N$ jsou rovny $$\langle x_i\rangle = p,\qquad \left(\Delta x_i\right)^2 = p(1-p).$$ Protože počet kladných výsledků $n$ můžeme napsat jako $$ n = x_1 + x_2 + \ldots + x_N,$$ dostaneme s použitím tvrzení (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pro střední hodnotu a varianci součtu nezávislých veličin výsledek (\ref{binom:mean:var}).

\section{Poissonovo rozdělení, Stirlingova formule}

{\bf Poissonovo rozdělení} je limitní případ binomického rozdělení kdy $p\rightarrow 0$, $N\rightarrow +\infty$, ale $p N =\lambda$. Vyjádříme-li $p = \frac{\lambda}{N}$ dostaneme binomické rozdělení ve tvaru \begin{equation} \label{binom:poisson} p_n = {N\choose n}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}. \end{equation} Provedením limity $N\rightarrow +\infty$ získáme Poissonovo rozdělení \begin{eqnarray} \label{Poisson} \nonumber p_n & = & \lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \frac{N!}{n!(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\ \nonumber & = & \frac{\lambda^n}{n!}\lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \left(\frac{N}{N}\right)\left(\frac{N-1}{N}\right)\ldots\left(\frac{N-n+1}{N}\right)\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\ & = & \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}. \end{eqnarray} Normalizace rozdělení (\ref{Poisson}) je zřejmá z Taylorova rozvoje exponenciely $$\sum_{n=0}^{+\infty} p_n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1.$$ Jiné odvození Poissonova rozdělení získáme odhadem faktoriálu v binomickém rozdělení pomocí {\bf Stirlingovy formule}. Pro $N\rightarrow +\infty$ můžeme aproximovat $$\ln N! = \sum_{k=1}^N \ln k \simeq \int\limits_1^N \ln kdk = N(\ln N-1) + 1 \simeq N\ln\frac{N}{e},$$ takže $N!$ se chová přibližně jako $$N! \simeq \left(\frac{N}{e}\right)^N.$$ Dosazením do binomického rozdělení (\ref{binom:poisson}) a provedením limity $N\rightarrow +\infty$ dostaneme stejný výsledek jako (\ref{Poisson}).

Parametr $\lambda$ určuje střední hodnotu i varianci (viz. Příklad~\ref{pr:Poisson}) $$\langle n\rangle = \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$$

\section{Náhodné procházky}

Jako příklad náhodného (stochastického) jevu si rozebereme {\bf náhodnou procházku}. Uvažujme částici, která v diskrétních časových krocích přeskakuje mezi body $m\in\mathds{Z}$ na ose $x$. V čase $t=0$ je částice v počátku $m=0$. V každém kroku může skočit s pravděpodobností $p$ o jedna doprava, nebo o jedna doleva s pravděpodobností $1-p$. Otázka zní, s jakou pravděpodobností $p(m,t)$ ji můžeme nalézt v bodě $m$ po $t$ krocích? Z definice je zřejmé, že $p(m,t) = 0$, pokud $m$ a $t$ mají jinou paritu (např. $m$ je sudé a $t$ liché). Uvažujme tedy jen $m,t$ se stejnou paritou. Označíme-li $r$ počet kroků doprava a $l$ počet kroků doleva, pak platí $$ r+l = t,\quad r-l = m \quad \Longrightarrow\quad r = \frac{t+m}{2},\quad l =\frac{t-m}{2}. $$ Pro pravděpodobnost nalezení částice v bodě m po t krocích pak dostaneme \begin{equation} \label{chap1:rwdist} p(m,t) = { t\choose r} p^r (1-p)^l = { t\choose\frac{t+m}{2}} p^\frac{t+m}{2} (1-p)^\frac{t-m}{2}. \end{equation} Jiný způsob odvození je pomocí binomické věty. Platí totiž \begin{equation} \label{chap1:rw} 1 = (p + (1-p))^t = \sum_{k=0}^t {t\choose k}p^k (1-p)^{t-k} = \sum_{m=-t}^t {t\choose\frac{t+m}{2}} p^{\frac{t+m}{2}} (1-p)^\frac{t-m}{2} = \sum_{m=-t}^t p(m,t). \end{equation} Přeškálujme nyní pravděpodobnosti skoku doprava a doleva nějakým parametrem $x$, umocněným na změnu pozice částice, která odpovídá danému skoku,tj. $$ p \longrightarrow p x^1,\qquad (1-p) \longrightarrow (1-p) x^{-1}. $$ Výraz (\ref{chap1:rw}) pak přejde do tvaru $$ (px + (1-p)x^{-1})^t = \sum_{k=0}^t {t\choose k}p^k (1-p)^{t-k} x^{k-(t-k)} = \sum_{m=-t}^t {t\choose\frac{t+m}{2}} p^{\frac{t+m}{2}} (1-p)^\frac{t-m}{2} x^m = \sum_{m=-t}^t p(m,t) x^m. $$ Vidíme, že koeficient u $x^m$ odpovídá pravděpodobnosti nalezení částice v bodě $m$ po $t$ krocích (\ref{chap1:rwdist}). Výhoda tohoto postupu spočívá v tom, že lze snadno zobecnit na procházky s jinými pravidly, více částicemi, ve vícerozměrných sítích atd.

Spočítáme nyní základní charakteristiky náhodné procházky - střední hodnotu a varianci pozice částice po $t$ krocích. Můžeme využít toho, že jednotlivé kroky jsou nezávislé. Polohu částice po $t$ krocích tak můžeme zapsat jako součet $$ x(t) = x_1 + x_2 + \ldots + x_t $$ $t$ náhodných veličin $x_n$, které odpovídají změně pozice částice během $n$-tého kroku. V našem případě tedy platí, že každá z $x_n$ může nabývat hodnoty +1 s pravděpodobností $p$, nebo -1 s pravděpodobností $1-p$. Pro střední hodnotu a varianci posunutí během jednoho kroku $x_n$ snadno dostaneme $$ \langle x_n\rangle = 2p-1,\quad \langle x_n^2\rangle = 1,\quad \left(\Delta x_n\right)^2 = \langle x_n^2\rangle - \langle x_n\rangle^2 = 4p(1-p). $$ S použitím vztahů (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pak pro polohu částice po $t$ krocích dostaneme $$ \langle x(t) \rangle = t\langle x_n\rangle = t (2p-1),\quad \left(\Delta x(t)\rangle\right)^2 = t \left(\Delta x_n\rangle\right)^2 = t 4p(1-p). $$ Vidíme tedy, že střední kvadratická odchylka polohy částice roste s druhou odmocninou počtu kroků, což odpovídá difuzi.

\section{Gaussovo rozdělení, Gaussovy integrály}

\subsection{Gaussovo normální rozdělení}

{\bf Gaussovo normální rozdělení} spojité náhodné veličiny $X\in\mathds{R}$ má tvar \begin{equation} \label{Gauss} w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\quad \mu\in\mathds{R},\quad \sigma>0. \end{equation} Parametry rozdělení $\mu,\sigma$ mají jednoduchý význam - bod $x = \mu$ je maximum rozdělení, body $x = \mu\pm\sigma$ jsou jeho inflexní body. Navíc platí, že $\mu$ je střední hodnota náhodné veličiny $X$, $\sigma$ je její střední kvadratická odchylka (viz. Příklad~\ref{pr:Gauss}) \begin{equation} \label{Gauss:mu:sigma} \langle X\rangle = \mu,\qquad \Delta X = \sigma. \end{equation}

\subsection{Gaussovy integrály}

Odvodíme vzorec pro integrál $$I_n(a) = \int\limits_\mathds{R} x^n e^{-a x^2} dx, \quad a>0,\quad n = 0,1,2,\ldots$$

\begin{enumerate} \item Integrál $I_0(1)$ spočítáme přechodem do polárních souřadnic \begin{eqnarray} \nonumber I^2_0(1) & = & \int\limits_{\mathds{R}^2} e^{-x^2+y^2}dxdy =\left\{\begin{array}{c}

                                                                               x = r\cos\varphi,\ y = r\sin\varphi \\
                                                                               dxdy = r drd\varphi
                                                                             \end{array}\right\} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{+\infty} r dr e^{-r^2}\\

\nonumber & = & \left\{\begin{array}{c}

                 r^2 = t \\
                 2r dr = dt
               \end{array}\right\} = 2\pi\frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty} e^{-t} dt = \pi\\

I_0(1) & = & \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}. \end{eqnarray} \item Integrál $I_0(a)$ se převede substitucí $\sqrt{a}x = y$ na $I_0(1)$ $$I_0(a) = \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx = \frac{I_0(1)}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$ \item Integrál $I_{2k}(a)$ se vyjádří derivací $I_0(a)$ podle parametru $a$ \begin{eqnarray} \nonumber \frac{d^k}{da^k} \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx & = & \int\limits_\mathds{R} \frac{\partial^k}{\partial a^k} e^{-ax^2}dx = (-1)^k \int\limits_\mathds{R} x^{2k} e^{-ax^2}dx\\ I_{2k}(a) & = & (-1)^n \frac{d^k}{da^k} I_0(a) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}(2k-1)!! \left(\frac{1}{2a}\right)^k, \end{eqnarray} speciálně pro $k= 1,2$ dostaneme $$I_2(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{2} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{2a},\qquad I_4(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{4} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{4a^2}.$$ Integrál $I_{2k+1}(a)$ je roven nule, protože integrand je lichá funkce. \end{enumerate}

\subsection{Eulerovy integrály}

{\bf $\Gamma$-funkce} je definována vztahem $$\Gamma(p) = \int\limits_0^{+\infty} x^{p-1} e^{-x}dx, \qquad p>0.$$ {\bf $\beta$-funkce} má tvar $$\beta(p,q) = \int\limits_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx,\qquad p,q>0.$$ Pro Eulerovy integrály platí následující \begin{enumerate} \item $\beta(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ \item pro $p\in(0,1)$, $\beta(p,1-p) = \frac{\pi}{\sin(p\pi)}$; speciálně pro $p=\frac{1}{2}$ dostaneme $$\beta\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \pi = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}.$$ \item $\Gamma(p+1) = p\Gamma(p)$; speciálně pro $p=n\in\mathds{N}$ dostaneme $\Gamma(n) = (n-1)!$ \item z bodů 2. a 3. získáme vztah $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ \end{enumerate} Eulerovy integrály můžeme využít pro výpočet Gaussových integrálů v mezích $(0,+\infty)$ $$\int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-ax^2}dx = \left\{

                                            \begin{array}{c}
                                              ax^2 = y, x = \sqrt{\frac{y}{a}}\\
                                              dx = \frac{dy}{2\sqrt{ay}}\\
                                            \end{array}
                                          \right\} = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\int\limits_0^{+\infty} y^\frac{n-1}{2}e^{-y}dy = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right),$$

speciálně pro $n = 1,2,3,4$ dostaneme \begin{eqnarray} \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{4a},\\ \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^3 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^2},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^4 e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{8a^2}. \end{eqnarray}

\section{Příklady}

\bc \label{pr:binom} Přímým výpočtem určete střední hodnotu a varianci pro binomické rozdělení s pravděpodobností úspěchu $p$ a $N$ opakování. \ec \vysl $\langle n\rangle = N p,\qquad \langle n^2\rangle = N p((N-1)p + 1),\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p).$

\bc \label{pr:Poisson} Určete střední hodnotu a varianci pro Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda$. \ec \vysl $\langle n\rangle = \lambda,\qquad \langle n^2\rangle = \lambda(\lambda+1),\qquad \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$

\bc Uvažujte náhodnou procházku na přímce, kde částice má tři možnosti - může udělat krok doleva nebo doprava o jedna s pravděpodobností $1/4$, nebo může zůstat na místě s pravděpodobností $1/2$. Určete pravděpodobnost nalezení částice v bodě $m$ po $t$ krocích $p(m,t)$, střední hodnotu a varianci polohy částice. \ec \vysl $p(m,t) = \frac{1}{4^t} {2t\choose t+m},\quad \langle x(t)\rangle = 0,\quad \left(\Delta x(t)\right)^2 = \frac{t}{2}.$

\bc \label{pr:Gauss} Explicitním výpočtem ověřte normalizaci Gaussova rozdělení (\ref{Gauss}) a platnost vztahů (\ref{Gauss:mu:sigma}). \ec

\bc Určete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozměrné koule $B_n$. \ec \navod Převeďte integrál $\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-x^2}d^nx = \pi^\frac{n}{2}$ do sférických souřadnic. Integrál přes prostorový úhel je roven povrchu jednotkové koule $S_n$. Výsledek je $$ S_n = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}.$$ Objem $V_n$ se spočítá analogicky převodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ do sférických souřadnic $$V_n = \int\limits_{B_n} 1d^nx = S_n \int\limits_0^1 r^{n-1}dr = \frac{S_n}{n} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.$$

\bc Určete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozměrných harmonických oscilátorů s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie souboru zhora omezená hodnotou $E$. \ec \navod Fázový objem souboru oscilátorů je dán integrálem $$V_{N,E} = \int\limits_{H\leq E} d\Gamma,\qquad H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q_i^2,\qquad d\Gamma = d^Nqd^Np.$$ Přeškálováním obecných souřadnic a hybností $$q_i' = q_i \sqrt{\frac{m\omega^2}{2}},\qquad p_i' = \frac{p_i}{\sqrt{2m}},$$ převedeme integrál na objem $2N$-rozměrné koule o poloměru $\sqrt{E}$. Výsledek je $$V_{N,E} = \frac{(2\pi)^N E^N}{N!\omega^N}.$$

\bc Maxwellovo rozdělení rychlostí atomů plynu při teplotě $T$ má tvar $$ w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),\quad \vec{v}\in\mathds{R}^3. $$ Určete rozdělení velikosti rychlosti $v$. \ec \navod Hledáme marginální rozdělení. Hustotu pravděpodobnosti $w(\vec{v})$ převedeme do sférických souřadnic $w(v,\theta,\varphi)$ a vyintegrujeme přes úhly $\theta,\varphi$, nesmíme zapomenout na jakobián. Výsledek je $$ w(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right). $$

\chapter{Nejpravděpodobnější rozdělení}

\section{Míra informace, entropie}

Mějme náhodný pokus, jehož výsledky jsou jevy (mikrostavy) $\gamma\in\Omega$ s pravděpodobností $p_\gamma$. {\bf Míra informace} náhodného jevu je funkce $I(p_\gamma)$ splňující vlastnosti \begin{enumerate} \item Jev jistý má nulovou informační hodnotu $$p_\gamma = 1 \Longrightarrow I(p_\gamma) = 0$$ \item S klesající pravděpodobností jevu jeho informační hodnota roste $$p_\gamma \longrightarrow 0 \Longrightarrow I(p_\gamma) \longrightarrow +\infty$$ \item Jsou-li $\alpha$, $\beta$ nezávislé jevy, pak se jejich informační hodnoty sčítají $$P\left(\alpha\cap\beta\right) = p_\alpha p_\beta \Longrightarrow I(p_\alpha p_\beta) = I(p_\alpha) + I(p_\beta)$$ \end{enumerate} Tyto požadavky splňuje funkce logaritmus $$I(p_\gamma) = - k \ln p_\gamma,$$ kde $k$ je libovolná konstanta.

{\bf Entropie} $S$ je definována jako střední hodnota informace $$S = \langle I\rangle = - k \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma\ln p_\gamma .$$ Entropie je funkcionál na prostoru pravděpodobnostních rozděleních. Maxima nabývá pro rovnoměrné rozdělení.

\pr Balíček 52 karet\\ Známe-li pořadí karet v balíčku, je entropie jeho rozdělení nulová. Pokud ale karty zamícháme tak, že nevíme, jak jdou za sebou, jsou všechna pořadí karet stejně pravděpodobná, tj. pořadí karet je dáno rovnoměrným rozdělením. Celkový počet možností (mikrostavů) je $|\Omega| = 52!$, takže pro všechny mikrostavy $\gamma$ je $w_\gamma = \frac{1}{52!}$. Entropie rozdělení pořadí karet po zamíchání tedy vzroste na $$ S = - k \sum_{\gamma\in\Omega} \frac{1}{52!}\ln\frac{1}{52!} = k \ln 52!,$$ což je maximální možná hodnota.\\

Pro spojitou náhodnou veličinu $x\in\Omega$ s hustotou pravděpodobnosti $w(x)$ se entropie definuje analogicky vztahem $$S = -\int\limits_\Omega w(x)\ln w(x) dx.$$

Uvažujme nyní následující problém. Máme zadaný systém s mikrostavy $\gamma\in\Omega$ a známe střední hodnoty $\langle A_j\rangle$ veličin $A_j, j=1,\ldots, n$ definovaných na mikrostavech, případně známe nějaké vazby mezi pravděpodobnostmi mikrostavů $p_\gamma$ vyjádřené vztahy typu $f_j(p_\gamma) = 0$. Úkolem je najít nejpravděpodobnější rozdělení, které odpovídá zadaným podmínkám. Nejpravděpodobnější rozdělení je to, k jehož sestrojení nepoužijeme žádnou informaci navíc. Má tedy maximální entropii za daných podmínek. Úloha vede na vázaný extrém funkcionálu entropie $S$.

\section{Diskrétní veličiny}

Pro systém se spočetně mnoha mikrostavy vedou podmínky typu středních hodnot na transcendentní rovnice. Budeme proto uvažovat pouze vazby mezi pravděpodobnostmi mikrostavů, které budou navíc lineární \begin{equation} \label{chap2:vazby1} f_j(p_\gamma) \equiv \sum_{\gamma\in\Omega} f_j^\gamma p_\gamma = 0,\qquad j = 1,\ldots,n \end{equation} Rozdělení musí být navíc správně normováno k jedné \begin{equation} \label{chap2:norma} \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma = 1. \end{equation} Nejpravděpodobnější rozdělení za podmínek (\ref{chap2:vazby1}),(\ref{chap2:norma}) je dáno vázaným extrémem entropie, který určíme pomocí Lagrangeovy funkce $$\Lambda = -k \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma\ln p_\gamma - k \alpha\left(\sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma - 1\right) - k\sum_{j = 1}^n \lambda_j\left(\sum_{\gamma\in\Omega} f_j^\gamma p_\gamma\right).$$ Z podmínky na extrém Lagrangeovy funkce $\frac{\partial\Lambda}{\partial p_\gamma} = 0$ dostaneme $$p_\gamma = e^{-1-\alpha}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_jf_j^\gamma\right).$$ Z normalizační podmínky (\ref{chap2:norma}) získáme $$\sum_{\gamma\in\Omega}p_\gamma = e^{-1-\alpha}\sum_{\gamma\in\Omega}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right) = 1,$$ z čehož plyne $$Z \equiv e^{1+\alpha} = \sum_{\gamma\in\Omega}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right).$$ Výraz $Z$ označuje partiční sumu (Zustandsumme). Nejpravděpodobnější rozdělení má tedy tvar $$p_\gamma = \frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right),$$ Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se určí dosazením $p_\gamma$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby1}).

\section{Spojité veličiny}

Mějme nyní systém s nespočetně mnoha mikrostavy $x\in\Omega$. Hledáme nejpravděpodobnější rozdělení $w(x)$ za podmínek \begin{eqnarray} \label{chap2:vazby2} \langle A_j\rangle & = & \int\limits_{\Omega} A_j(x)w(x)dx,\qquad j = 1,\ldots,n\\ \label{chap2:norma2} \int\limits_{\Omega} w(x)dx & = & 1. \end{eqnarray} Vázaný extrém funkcionálu entropie za podmínek (\ref{chap2:vazby2}),(\ref{chap2:norma2}) nalezneme přechodem k funkcionálu $$ \Lambda = -k \int\limits_\Omega w(x)\ln w(x)dx - k \sum_j \lambda_j\left( \int\limits_\Omega A_j(x) w(x)dx - \langle A_j\rangle \right) - k\alpha\left(\int\limits_\Omega w(x)dx - 1 \right). $$ Variace funkcionálu $\Lambda$ je rovna $$ \delta\Lambda = -k \int\limits_\Omega \left( 1 + \ln w(x) + \sum_j \lambda_j A_j(x) + \alpha \right)\delta w dx. $$ Z podmínky na extrém $\delta\Lambda = 0$ dostaneme $$ \ln w(x) = -1 - \alpha - \sum_j \lambda_j A_j(x). $$ Nejpravděpodobnější rozdělení má tedy tvar \begin{equation} \label{chap2:w:cont} w(x) = e^{-1-\alpha} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right), \end{equation} kde jsme zavedli partiční sumu $$Z \equiv e^{1+\alpha} = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.$$ Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se určí dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby2}).

\section{Příklady}

\bc Uvažujme šestistěnou kostku, u které 1 padá dvakrát častěji než 6. Najděte nejpravděpodobnější rozdělení výsledků hodu kostkou. \ec \navod Vazbové podmínky jsou $$p_1 = 2 p_6,\qquad \sum_{i=1}^6 p_i = 1.$$ Řešení má tvar \begin{eqnarray} \nonumber p_i & = & e^{-1-\alpha} = \frac{1}{Z},\quad i=2,3,4,5 \\ \nonumber p_1 & = & \frac{1}{Z} e^{-\lambda},\qquad p_6 = \frac{1}{Z} e^{2\lambda}, \end{eqnarray} kde Lagrangeův multiplikátor $\lambda$ a partiční suma $Z$ jsou rovny $$ \lambda = -\frac{1}{3}\ln 2,\qquad Z = 4 + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{2}{3}}. $$

\bc \label{chap2:pr2} Mějme částici na ose $x$. Víme, že její střední hodnota polohy je rovna $\mu$ a střední kvadratická odchylka polohy je $\sigma$. Určete nejpravděpodobnější rozdělení polohy částice. \ec \navod Hledáme nejpravděpodobnější rozdělení $w(x),\ x\in\mathds{R}$ za podmínek $$ \langle x\rangle = \mu, \quad \langle x^2\rangle = \sigma^2 + \mu^2, \quad \int\limits_\mathds{R} w(x)dx = 1. $$ Nejpravděpodobnější rozdělení má tvar (viz. (\ref{chap2:w:cont})) $$ w(x) = \frac{1}{Z} e^{-\lambda_1 x - \lambda_2 x^2} = \frac{1}{Z} \exp\left[-\lambda_2 \left(x + \frac{\lambda_1}{2\lambda_2}\right)^2\right]e^{\frac{\lambda_1^2}{4\lambda_2}} $$ Partiční sumu a Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ získáme dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek. Postupně nalezneme \begin{eqnarray} \nonumber \int\limits_\mathds{R} w(x)dx = 1 & \Longrightarrow & Z = e^{\frac{\lambda_1^2}{4\lambda_2}}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} \\ \nonumber \int\limits_\mathds{R} x w(x)dx = \mu & \Longrightarrow & - \frac{\lambda_1}{2\lambda_2} = \mu \\ \nonumber \int\limits_\mathds{R} x^2 w(x)dx = \sigma^2 + \mu^2 & \Longrightarrow & \sigma^2 = \frac{1}{2\lambda_2}. \end{eqnarray} Lagrangeovy multiplikátory jsou tedy rovny $$ \lambda_1 = -\frac{\mu}{\sigma^2},\qquad \lambda_2 = \frac{1}{2\sigma^2}. $$ Po dosazení se nejpravděpodobnější rozdělení zjednoduší na tvar $$ w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), $$ což je Gaussovo normální rozdělení s parametry $\mu$ a $\sigma$.

\bc Mějme jednoatomový plyn v nádobě, která je v klidu. Plyn má teplotu $T$. Určete nejpravděpodobnější rozdělení rychlostí atomů plynu. \ec \navod Hledáme nejpravděpodobnější rozdělení $w(\vec{v})$ náhodné veličiny $\vec{v}\in\mathds{R}^3$. Protože jsou různé složky rychlosti nezávislé veličiny a žádný směr není preferovaný, bude platit $$ w(\vec{v}) = w(v_1) w(v_2) w(v_3). $$ Stačí tedy nalézt rozdělení jedné složky rychlosti $v_i$. Jedna vazbová podmínka je $\langle v_i\rangle = 0$. Druhou dostaneme z ekvipartičního teorému, podle kterého má atom plynu při dostatečně vysoké teplotě $T$ střední hodnotu kinetické energie rovnu $$ \langle E_k\rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} kT. $$ Protože $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$, dostaneme pro střední hodnotu kvadrátu jedné složky rychlosti podmínku $$ \langle v_i\rangle = \frac{kT}{m}. $$ Nejpravděpodobnější rozdělení jedné složky rychlosti má tedy tvar (viz. Příklad~\ref{chap2:pr2} pro $\mu = 0$ a $\sigma^2 = \frac{kT}{m}$) $$ w(v_i) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{1}{2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT}\right). $$ Rozdělení vektoru rychlosti je potom $$ w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right), $$ což je známé Maxwellovo rozdělení.

\chapter{Termodynamické potenciály a identity}

\section{Diferenciální formy}

{\bf Diferenciální forma } 1. stupně je zobrazení $\omega: \mathds{R}^n\rightarrow\left(\mathds{R}^{n}\right)^*$.

\pr Nechť $f:\mathds{R}^n\rightarrow\mathds{R}$ je hladká funkce. Derivace $f$ v bodě $x_0$ je lineární funkcionál $$ f'(x_0) = df(x_0) = \sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x_0}dx_i . $$ Diferenciál funkce je tedy diferenciální forma 1. stupně. Obecně můžeme zapsat diferenciální formu ve tvaru $$ \omega(x) = \sum_i \omega_i(x)dx_i . $$

Diferenciální forma $\omega$ je {\bf exaktní}, existuje-li funkce $f$, taková, že $\omega$ je její diferenciál. $\omega$ je uzavřená, platí-li $$ \frac{\partial\omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial\omega_j}{\partial x_i}. $$ Diferenciální formy můžeme integrovat po dráze. Je-li $\varphi:\langle a,b\rangle\rightarrow\mathds{R}^n$ dráha, pak platí $$ \int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b\omega(\varphi(t))\phi'(t) dt. $$ Je-li $\omega$ exaktní, pak snadno zjistíme, že integrál nezávisí na trajektorii $$ \int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b f'(\varphi(t))\phi'(t) dt = \int\limits_a^b \left(f\circ\varphi\right)'(t) dt = f(\varphi(b)) - f(\varphi(a)). $$ Diferenciální forma $\omega$ je konzervativní, platí-li $$ \int\limits_{\varphi_1} \omega = \int\limits_{\varphi_2} \omega, $$ pro všechny dráhy $\varphi_1, \varphi_2$ které mají společný počáteční a koncový bod. Platí následující tvrzení: $$ \omega \hbox{ je exaktní} \Longleftrightarrow \oint\limits_\varphi\omega = 0 \Longleftrightarrow \omega \hbox{ je konzervativní}. $$

\pr První princip termodynamiky můžeme zapsat ve tvaru $$ dU = dQ - dW. $$ Diferenciály $dQ$ a $dW$ nejsou exaktní. Dodané teplo a vykonaná práce závisí na tom, jaký děj soustava koná. Diferenciál $dU$ ale exaktní je, existuje tedy funkce $U$ - vnitřní energie. Změna vnitřní energie tedy nezávisí na ději, jen na počátečním a koncovém stavu soustavy. Proto se také $U$ říká stavová funkce.

\section{Termodynamické potenciály}

\subsection{Vnitřní energie} \label{chap3:U}

Z prvního principu termodynamiky můžeme vyjádřit diferenciál vnitřní energie ve tvaru $$ dU = T dS - P dV + \mu dN. $$ Protože je to exaktní diferenciál, existuje vnitřní energie $U$ jako stavová funkce. Její přirozené proměnné jsou $S, V, N$. Z exaktnosti $dU$ plyne $$ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} = -P,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,N} = \mu, $$ což je část první série Maxwellových vztahů (viz. kapitola \ref{chap3:maxwell}). V termodynamické rovnováze dále platí $$ U(S,V,N) = N U(s,v,1),\qquad s = \frac{S}{N},\quad v = \frac{V}{N}. $$ Vnitřní energie je tedy homogenní funkce 1. stupně, z čehož plyne vztah $$ U(S,V,N) = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V + \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,N} N = TS - PV + \mu N. $$ Při adiabatickém ději ($dQ = 0, dS = 0$) koná soustava práci na úkor svojí vnitřní energie $$ dW_S = - dU. $$

\subsection{Volná energie} \label{chap3:F}

K volné energii se dostaneme od vnitřní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(T,V,N)$. Volná energie je definována jako $$ F = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S = U - TS. $$ Přirozené proměnné volné energie jsou $(T,V,N)$, což jsou také přirozené proměnné kanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:K}). Pro diferenciál volné energie dostaneme vztah $$ dF = dU - TdS - SdT = -SdT - PdV + \mu dN. $$ Protože $dF$ je exaktní, platí vztahy $$ S = - \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N},\quad P = - \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial F}{\partial S}\right)_{T,V}. $$ Při izotermickém ději a konstantním počtu částic koná soustava práci na úkor svojí volné energie $$ dW_T = - dU + TdS = -d(U - TS) = -dF. $$

\subsection{Entalpie} \label{chap3:H}

Entalpii dostaneme z vnitřní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(S,P,N)$ $$ H = U - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V = U + PV. $$ Přirozené proměnné entalpie jsou tedy $(S,P,N)$. Diferenciál entalpie je roven $$ dH = dU + PdV + VdP = TdS + VdP + \mu dN. $$ Z exaktnosti $dH$ plynou vztahy $$ T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N}, \quad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial N}\right)_{S,P}. $$

\subsection{Gibbsův potenciál} \label{chap3:G}

Ke Gibbsovu potenciálu se dostaneme Legenderovou transformací vnitřní energie vzhledem k $(S,V,N)\longrightarrow(T,P,N)$. Platí tedy $$ G = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} V = U - TS + PV = \mu N. $$ Přirozené proměnné Gibbsova potenciálu $(T,P,N)$ jsou také přirozené proměnné izotermicko-izobarického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:TP}). Diferenciál Gibbsova potenciálu je roven $$ dG = -SdT + VdP + \mu dN, $$ z jeho exaktnosti pak plynou vztahy $$ S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,P}. $$ Vyjádřením diferenciálu $dG$ ve tvaru $$ dG = \mu dN + Nd\mu = -SdT + VdP + \mu dN $$ dostaneme Gibbs-Duhemův vztah $$ SdT - VdP + \mu dN = 0, $$ který je matematickým vyjádřením toho, že k popisu stavu soustavy nestačí pouze intenzivní proměnné $T,P,\mu$. Vždy potřebujeme alespoň jednu extenzivní proměnnou (buď $S$, nebo $V$, nebo $N$). Z Gibbs-Duhemova vztahu se dá odvodit např. následující rovnost $$ \left(\frac{\partial P}{\partial \mu}\right)_{T} = \frac{N}{V}. $$

\subsection{Grandkanonický potenciál} \label{chap3:GK}

Grandkanonický potenciál dostaneme z vnitřní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow (T,V,\mu)$ $$ \Omega = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} N = U - TS - \mu N = -PV. $$ Přirozené proměnné grandkanonického potenciálu jsou $(T,V,\mu)$, což jsou také přirozené proměnné grandkanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:GK}). Diferenciál $\Omega$ je roven $$ d\Omega = -SdT - PdV - Nd\mu. $$

\section{Maxwellovy vztahy} \label{chap3:maxwell}

Shrňme si nejprve diferenciály termodynamických potenciálů \begin{eqnarray} \nonumber dU & = & TdS - PdV + \mu dN \\ \nonumber dF & = & -SdT - PdV + \mu dN \\ \nonumber dH & = & TdS + VdP + \mu dN \\ \nonumber dG & = & -SdT + VdP + \mu dN \\ \nonumber d\Omega & = & -SdT - PdV - Nd\mu. \end{eqnarray} Z jejich exaktnosti plyne 1. série Maxwellových vztahů \begin{eqnarray} \nonumber T & = & \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N} \\ \nonumber P & = & -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} \\ \nonumber S & = & -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N} = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N} \\ \nonumber V & = & \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N}. \end{eqnarray} Pokud jsou navíc potenciály dostatečně hladké funkce, pak ze záměnosti druhých parciálních derivací dostaneme 2. sérii Maxwellových vztahů \begin{eqnarray} \nonumber dU & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} = - \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V,N} \\ \nonumber dF & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T,N} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,N} \\ \nonumber dH & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P,N} \\ \nonumber dG & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T,N} = - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N} \end{eqnarray}

\section{Jakobiány, záměna proměnných}

Uvažujme hladké zobrazení $f: (x,y)\mapsto (u,v)$. Jeho derivace v bodě $(x_0,y_0)$ je matice $$ df(x_0,y_0) = \left(

               \begin{array}{cc}
                 \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\
                 \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} \\
               \end{array}
             \right)_{(x_0,y_0)}.

$$ {\bf Jakobián} zobrazení $f$ je determinant matice derivace (pro jednoduchost zápisu nebudeme explicitně vypisovat bod $(x_0,y_0)$.) $$ \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \left|

               \begin{array}{cc}
                 \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\
                 \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} \\
               \end{array}
             \right| = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} - \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y}.

$$ Pomocí jakobiánu můžeme vyjádřit parciální derivaci $$\frac{\partial(u,y)}{\partial(x,y)} = \left|

               \begin{array}{cc}
                 \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & 0 \\
                 0 & 1 \\
               \end{array}
             \right| =  \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}.$$

Z vlastností determinantu pro jakobiány plynou vztahy: \begin{enumerate} \item Prohození proměnných odpovídá změně znaménka $$\frac{\partial(v,u)}{\partial(x,y)} = -\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$$ \item Jakobián inverzního zobrazení je převrácená hodnota $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}$$ \item Jakobián můžeme rozšířit jedničkou $$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(t,s)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(x,y)}$$ \end{enumerate}

Při úpravě parciálních derivací je často potřeba přejít k novým proměnným. Uvažujme funkci $f(x,y)$, její diferenciál je \begin{equation} \label{chap3:df1} df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} dy. \end{equation} Od proměnné $y$ přejdeme k nové proměnné $z$. V nových proměnných $(x,z)$ má diferenciál funkce $f$ tvar \begin{equation} \label{chap3:df2} df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x} dz. \end{equation} Abychom mohli předchozí výrazy porovnat, budeme uvažovat $z$ jako funkci $(x,y)$. Diferenciál $dz$ pak můžeme zapsat ve tvaru $$ dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy. $$ Dosazením do (\ref{chap3:df2}) dostaneme \begin{equation} \label{chap3:df3} df = \left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\right]dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy. \end{equation} Porovnáním koeficientů u diferenciálů $dx$ a $dy$ ve výrazech (\ref{chap3:df1}) a (\ref{chap3:df3}) dostaneme vztahy \begin{eqnarray} \nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} \\ \nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}. \end{eqnarray}

\section{Příklady}

\bc Dokažte ****-vztah $$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P. $$ \ec \navod Analogie 2. série Maxwellových vztahů pro diferenciál entropie.

\bc Tepelné kapacity jsou definovány jako $$ C_P = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{P} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},\qquad C_V = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{V} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}. $$ Dokažte Mayerův vztah $$ C_P - C_V = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}. $$ \ec \navod Vyjádřete diferenciál entropie v proměnných $T,P$ a převeďte ho do proměnných $T,V$.

\bc Dokažte platnost vztahu $$ \left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_{T} = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_{P}. $$ \ec

\bc Dokažte platnost vztahu $$ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S} = \frac{C_P}{C_V}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}. $$ \ec \navod Použijte jakobiány.

\bc Dokažte platnost vztahu $$ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} + \frac{C_V}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}. $$ \ec \navod Vyjádřete diferenciál $dP$ v proměnných $T,V$ a převeďte ho do proměnných $T,S$.

\bc Dokažte platnost vztahu $$ \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_G = \frac{C_P}{T}\left[\frac{V}{S}-\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P\right]. $$ \ec \navod Využijte toho, že při $G=konst.$ je $dG = -SdT + VdP = 0$.

\chapter{Ideální a neidální plyny}

\bc Určete entropii $n$ molů ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$. \ec \vysl $S(T,V,n) = nC_V \ln{T} + nR\ln{V} - nR\ln{n} + K n$.

\bc Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický děj. Při něm si vyměňuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Určete rovnici polytropy v proměnných $T,V$, $P,V$, a $T,P$. Diskutujte speciální případy adiabaty, izobary, izochory a izotermy. \ec \navod Zavedeme stupeň polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru $$ TV^{\alpha-1} = konst.,\quad PV^\alpha = konst.,\quad TP^{-\frac{\alpha-1}{\alpha}} = konst. $$

\bc Nechť vnitřní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$. \ec \navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerův vztah

\bc Nechť pro vnitřní energii plynu platí $$ U = a \frac{S^3}{NV},\quad a>0. $$ Určete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v proměnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$. \ec \vysl a) $ S = \sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, b) $P = \sqrt{\frac{NT^3}{27 aV}}$, c) $C_P - C_V = \frac{3}{2} S =\frac{3}{2}\sqrt{TVN}{3a}$, d) $\mu = -\frac{T^3}{27aP}$

\bc Stavová rovnice plynu a jeho tepelná kapacita mají tvar \begin{eqnarray} \nonumber P & = & \frac{RT}{V}\left[1 + \frac{1}{V} B(T)\right]\\ \nonumber C_V & = & \frac{3}{2} R - \frac{R^2}{V} \frac{d}{dT}\left(T^\alpha \frac{d}{dT}B(T)\right). \end{eqnarray} Určete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byli kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spočítejte entropii plynu $S(T,V)$. \ec \navod Pro určení hodnoty $\alpha$ použijte vztah $$ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_V. $$ Entropie se určí integrací jejích parciálních derivací $$ \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{C_V}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V. $$

\bc Stavová rovnice plynu má tvar $$ PV = A(T) + B(T) P + C(T) P^2 + \ldots . $$ Určete tvar závislosti $C_P$ na teplotě a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn? \ec \navod $C_P$ až na funkci teploty dostaneme integrací vztahu $$ \left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P. $$ Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita při konstantním tlaku může být maximálně funkcí teploty.

\bc Pro entropii plynu platí $$ S(T,V) = R\frac{V}{V_0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha. $$ Navíc víme, že plyn při izotermické expanzi při teplotě $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci $$ W_T = RT_0\ln{\frac{V}{V_0}}. $$ Určete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu. \ec \navod Volnou energii až na neurčenou funkci objemu získáme integrací entropie přes teplotu, protože platí $$ \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S. $$ Dodatečnou funkci objemu určíme z toho, že při izotermickém ději plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy $$ dW_T = -dF\quad \Longrightarrow\quad W_T = F(T_0,V_0) - F(T_0,V). $$ Výsledek je $$ F(T,V) = -R\frac{V}{V_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha \frac{T}{\alpha+1} + RT_0\left(\frac{V}{V_0(\alpha+1)} - \ln {V}\right) $$ Stavovou rovnici určíme ze vztahu $$ P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{RT_0}{V_0}\left(\frac{V_0}{V} - \frac{1}{\alpha+1} + \frac{1}{\alpha+1}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\alpha+1}\right). $$

\bc Mějme dvě stejná množství plynu, jedno s teplotou $T_1$, druhé s teplotou $T_2<T_1$. Plyny smícháme. Jaká je maximální a minimální možná výsledná teplota plynu? Určete maximální práci, kterou můžeme smícháním plynů získat. Předpokládejte, že tepelná kapacita plynu je konstantní. \ec \navod Maximální výslednou teplotu získáme, pokud neodebereme žádné teplo ke konání práce, tedy $$ Q_1 = C(T_1-T_{\rm max}) = Q_2 = C(T_{\rm max}-T_2) $$ Pokud nějaké teplo odebereme ke konání práce, bude výsledná teplota nižší. Je-li teplota po smíchání $T_0$, pak můžeme získat práci $$ W(T_0) = C(T_1 + T_2 - 2T_0). $$ Maximální práce tak odpovídá minimální výsledné teplotě. Ta je omezena tím, že entropie soustavy se nemůže zmenšit $$ \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \int\limits_{T_1}^{T_0} dS + \int\limits_{T_2}^{T_0} dS \geq 0. $$ V našem případě je minimální teplota dána vztahem $$ T_{\rm min} = \sqrt{T_1 T_2}, $$ maximální získaná práce je potom $$ W_{\rm max} = C(T_1 + T_2 - 2\sqrt{T_1T_2}). $$

\chapter{Statistické soubory - Hamiltonovské systémy}

\section{Partiční suma}

Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\Omega$. Systém má pevné střední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na mikrostavech. Víme tedy, že nejpravděpodobnější (rovnovážné) rozdělení systému má tvar $$ w(x) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right), $$ kde $Z$ je partiční suma $$ Z(\lambda_j) = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx. $$ Ukážeme si, že většinu informací o systému můžeme získat i bez znalosti nejpravděpodobnějšího rozdělení, a sice přímo z partiční sumy. Partiční sumu nyní budeme chápat jako funkci Lagrangeových multiplikátorů $\lambda_j$.

\begin{enumerate} \item Entropie rovnovážného rozdělení je dána součtem $\ln Z$ a středních hodnot pozorovatelných vynásobených přislušnými Lagrangeovými multiplikátory \begin{eqnarray} \nonumber S & = & - k \int\limits_\Omega w(x) \ln w(x) dx = -k \int\limits_\Omega w(x) \ln\left(\frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)\right) dx\\ \nonumber & = & k \ln Z\int\limits_\Omega w(x) dx + k \sum_j \lambda_j \int\limits_\Omega w(x) A_j(x) dx \\ & = & k\ln Z + k \sum_j\lambda_j\langle A_j\rangle. \label{chap5:S} \end{eqnarray} \item Střední hodnoty se vyjádří derivací logaritmu $Z$ podle příslušného Lagrangeova multiplikátoru \begin{eqnarray} \nonumber \frac{\partial\ln Z}{\partial\lambda_i} & = & \frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i} = - \int\limits_\Omega A_i(x) \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) dx = - \int\limits_\Omega A_i(x) w(x) dx\\ & = & -\langle A_i\rangle. \label{chap5:mean} \end{eqnarray} \item Kovariance (míra závislosti dvou pozorovatelných) je dána druhou derivací $\ln Z$ podle příslušných Lagrangeových multiplikátorů \begin{eqnarray} \nonumber \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} & = & \frac{\partial}{\partial\lambda_i}\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j}\right) = \frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} - \frac{1}{Z^2}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j} \\ \nonumber & = & = \int\limits_\Omega A_i(x)A_j(x)\frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{k} \lambda_k A_k(x)\right) dx - \left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\right)\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\right)\\ & = & \langle A_i A_j\rangle - \langle A_i\rangle\langle A_j\rangle = \left(\Delta A_i\Delta A_j\right) \label{chap5:kov} \end{eqnarray} \item Variance je speciální případ předchozího vztahu pro $i=j$ \begin{equation} \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i^2} = \langle A_i^2\rangle - \langle A_i\rangle^2 = \left(\Delta A_i\right)^2. \label{chap5:flukt} \end{equation} \end{enumerate}

V následujícím budeme uvažovat systém (plyn), který je tvořen identickými neinteragujícími částicemi. Prostor mikrostavů jedné částice je její fázový prostor $\Omega_j = \Gamma$, pro soubor $N$ částic pak platí $$ \Omega = \underbrace{\Gamma \times \Gamma \times \ldots \times \Gamma}_{N\times} = \Gamma_N. $$ Roli funkcí $A_j$ budou hrát pozorovatelné veličiny (např. energie, počet částic, objem,...). Jejich střední hodnoty ale neznáme, naopak, chtěli bychom je určit. Využijeme toho, že odpovídající Lagrangeovy multiplikátory jsou přímo spojené s nějakou intenzivní veličinou (teplota, chemický potenciál, tlak,...), která vlastně definuje podmínku na střední hodnotu dané pozorovatelné veličiny. Přesný fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů určíme porovnáním statistické entropie pro odpovídající rovnovážné rozdělení (\ref{chap5:S}) s entropií termodynamickou. Úlohu tedy můžeme otočit. Nejprve určíme partiční sumu jako funkci Lagrangeových multiplikátorů, tj. jako funkci fyzikálních parametrů soustavy. Střední hodnoty pozorovatelných (vnitřní energie, střední počet částic, střední objem,...), jejich fluktuace atd. pak určíme pomocí vztahů (\ref{chap5:mean}), (\ref{chap5:kov}) a (\ref{chap5:flukt}).

\section{Kanonický soubor} \label{chap5:K}

Mějme plyn v objemu $V$, který je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Počet částic plynu $N$ zůstává konstantní. Parametry kanonického souboru jsou $T,V,N$, což jsou přirozené proměnné volné energie (viz. kapitola \ref{chap3:F}). Celková energie plynu je dána součtem hamiltoniánů jednotlivých částic $$ H_N = \sum_{j=1}^N H(q_j,p_j), $$ kde $q_j$ jsou souřadnice a $p_j$ hybnosti $j$-té částice. Celková energie plynu ale není přesně určená. Protože plyn má teplotu $T$, jeho energie fluktuuje kolem jisté střední hodnoty, kterou je vnitřní energie \begin{equation} \label{chap5:U} \langle H_N\rangle = \int\limits_{\Gamma_N} H_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) d\mathbf{q}d\mathbf{p} = U. \end{equation} Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $\beta$. Hustota pravděpodobnosti $w_N(\mathbf{q},\mathbf{p})$ je nejpravděpodobnější (rovnovážné) rozdělení $N$ částic plynu na jejich fázovém prostoru $\Gamma_N$ $$ w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \frac{1}{Z_K} \exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right), $$ kde $Z_K$ je {\bf kanonická partiční suma} (Maxwell-Boltzmannnova statistika) $$ Z_K = \frac{1}{\hbar^{3N}}\int\limits_{\Gamma_N}\exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right)d\mathbf{q}d\mathbf{p}. $$ Faktor $\hbar^{-3N}$ jsme přidali kvůli tomu, aby partiční suma byla bezrozměrná. Protože částice plynu mezi sebou neinteragují, můžeme integrál přes $\Gamma_N$ zjednodušit $$ Z_K = \left(\frac{1}{\hbar^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp\right)^N = z^N, $$ kde $z$ označuje {\bf jednočásticovou partiční sumu}. Takto zavedená kanonická partiční suma ale vede na entropii, která není aditivní. Proto budeme uvažovat korigovanou Maxwell-Boltzmannnovu statistiku, kde \begin{equation} \label{chap5:Zk} Z_K = \frac{1}{N!} z^N,\quad z = \frac{1}{\hbar^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp. \end{equation} Určeme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\beta$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdělení $$ S = k \ln Z_K + k\beta U, $$ což můžeme upravit do tvaru $$ -\frac{1}{\beta} \ln Z_K = U - \frac{1}{k\beta} S. $$ Výraz na pravé straně je roven volné energii $F$, pokud zvolíme $\beta = \frac{1}{kT}$. Lagrangeův multiplikátor $\beta$ má tedy význam inverzní teploty, jeho rozměr je $\left[\beta\right] = J^{-1}$. To souvisí s tím, že $\beta$ je multiplikátor odpovídající vazbě na střední hodnotu energie. Součin $\beta H(q,p)$ je tedy bezrozměrný, a díky faktoru $\hbar^{-3}$ jsou bezrozměrné jednočásticová i kanonická partiční suma. V kanonickém souboru tedy platí $$ U = -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta},\quad F = -kT \ln Z_K. $$ Stavovou rovnici plynu pak určíme z Maxwellova vztahu $$ P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} $$

\section{Grandkanonický soubor} \label{chap5:GK}

Uvažujme opět plyn v konečném objemu $V$, který je tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Této podmínce odpovídá vazba na střední hodnotu energie plynu (\ref{chap5:U}). Plyn má chemický potenciál $\mu$. Parametry grandkanonického souboru jsou $T,V,\mu$, což jsou přirozené proměnné grandkanonického potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:GK}). V grandkanonickém souboru počet částic plynu $N$ není konstantní, ale může se měnit (v principu od nuly do nekonečna). Máme tedy další vazbu, konkrétně na střední hodnotu počtu částic $\langle N\rangle$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $-\alpha$. {\bf Grandkanonická partiční suma} je pak definovaná vztahem $$ Z_G = \sum_{N=0}^{+\infty} e^{\alpha N} Z_K(N), $$ kde $Z_K(N)$ je kanonická partiční suma souboru $N$ částic (\ref{chap5:Zk}). Suma se dá snadno sečíst (je to Taylorův rozvoj exponenciely), takže platí \begin{equation} \label{chap5:Zg} Z_G = \exp\left(z e^\alpha\right), \end{equation} kde $z$ je jednočásticová partiční suma.

Fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů $\alpha,\beta$ opět určíme ze vztahu pro entropii rovnovážného rozdělení $$ S = k\ln{Z_G} + k\beta U - k\alpha\langle N\rangle. $$ Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle N\rangle$ pouze $N$. Výraz pro entropii můžeme upravit do tvaru $$ -\frac{1}{\beta}\ln{Z_G} = U - \frac{1}{k\beta}S - \frac{\alpha}{\beta}N. $$ Výraz na pravé straně je roven grandkanonickému potenciálu, pokud zvolíme $$ \beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}. $$ Lagrangeův multiplikátor $\alpha$ je bezrozměrný, v souladu s tím, že $\alpha$ odpovídá vazbě na střední počet částic, což je bezrozměrná veličina. Ze vztahu (\ref{chap5:Zg}) je vidět, že i grandkanonická partiční suma je bezrozměrná. V grandkanonickém souboru platí $$ U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = +\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha}\right)_\beta. $$ Stavovou rovnici plynu určíme přímo z grandkanonického potenciálu, protože platí $$ \Omega = -PV = -kT\ln{Z_G}. $$

\section{Izotermicko-izobarický soubor} \label{chap5:TP}

Uvažujme nyní plyn, který má teplotu $T$. Počet částic se nemění a je roven $N$. Místo objemu je ale nyní zafixován tlak plynu $P$. Parametry izotermicko-izobarického souboru jsou tedy $T,P,N$, což jsou přirozené proměnné Gibbsova potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:G}). Objem plynu $V$ může fluktuovat kolem své střední hodnoty $\langle V\rangle$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $\gamma$. Partiční suma izotermicko-izobarického souboru je potom rovna $$ \widetilde{Z} = \gamma\int\limits_0^{+\infty} e^{-\gamma V} Z_K dV, $$ kde $Z_K$ je kanonická partiční suma pro $N$ částic plynu v objemu $V$ (\ref{chap5:Zk}). Faktor $\gamma$ jsme přidali kvůli tomu, aby výsledná partiční suma byla bezrozměrná.

Určíme fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů $\beta$ a $\gamma$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdělení $$ S = k\ln{\widetilde{Z}} + k\beta U + k\gamma \langle V\rangle. $$ Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle V\rangle$ pouze $V$. Entropii rovnovážného rozdělení upravíme do tvaru $$ -\frac{1}{\beta}\ln{\widetilde{Z}} = U - \frac{1}{k\beta} S + \frac{\gamma}{\beta} V. $$ Výraz na pravé straně je roven Gibbsovu potenciálu, pokud zvolíme $$ \beta = \frac{1}{kT},\quad \gamma = \frac{P}{kT}. $$ Rozměr Lagrangeova multiplikátoru $\gamma$ je tedy $\left[\gamma\right] = m^{-3}$. To koresponduje s tím, že $\gamma$ je Lagrangeův multiplikátor vazby na střední hodnotu objemu. V izotermicko-izobarickém souboru platí $$ U = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\beta}\right)_\gamma,\quad V = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\gamma}\right)_\beta,\quad G = -kT\ln\widetilde{Z}. $$ Stavovou rovnici plynu určíme ze vztahu pro střední hodnotu objemu.

\section{Příklady}

\bc $N$ molekul klasického ideálního plynu je v objemu $V$ při teplotě $T$. Najděte kanonickou partiční sumu $Z_K$, stavovou rovnici, vnitřní energii a tepelnou kapacitu plynu. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber z & = & \frac{V}{\hbar^3}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2},\qquad Z_K = \frac{V^N}{N!\hbar^{3N}} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N},\qquad \beta = \frac{1}{kT}\\ \nonumber F & = & -\frac{3}{2}NkT\ln\left(2\pi m kT\right) - NkT\ln{V} + kT\ln\left(N!\hbar^{3N}\right),\quad P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} = \frac{NkT}{V}\\ \nonumber U & = & -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta} = \frac{3}{2}N kT,\quad C_V = \frac{\partial U}{\partial T}_{V,N} = \frac{3}{2}Nk. \end{eqnarray}

\bc Ideální ultrarelativistický plyn je v objemu $V$ při teplotě $T$ a má chemický potenciál $\mu$. Najděte grandkanonickou partiční sumu $Z_G$, stavovou rovnici, střední počet částic a vnitřní energii. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber z & = & \frac{8\pi V}{\beta^3c^3\hbar^3},\quad Z_G = \exp\left(\frac{8\pi V}{\beta^3c^3\hbar^3}e^\alpha\right),\quad \beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}, \\ \nonumber N & = & \frac{8\pi V k^3T^3}{c^3\hbar^3}e^\frac{\mu}{kT},\quad \Omega = -kT\ln{Z_G} = -NkT = -PV,\quad U = 3NkT. \end{eqnarray}

\bc $N$ molekul klasického ideálního plynu má teplotu $T$ a tlak $P$. Najděte partiční sumu $\widetilde{Z}$ izotermicko-izobarického souboru, stavovou rovnici a vnitřní energii. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber z & = & \frac{V}{\hbar^3}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2},\quad Z_K = \frac{V^N}{N!\hbar^{3N}} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N},\quad \widetilde{Z} = \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \frac{1}{\gamma^{N}\hbar^{3N}},\quad \beta = \frac{1}{kT}\\ \nonumber \gamma & = & \frac{P}{kT},\quad V = -\left(\frac{\partial\ln\widetilde{Z}}{\partial\gamma}\right)_{\beta} = \frac{NkT}{P},\quad U = -\left(\frac{\partial\ln\widetilde{Z}}{\partial\beta}\right)_{\gamma} = \frac{3}{2}NkT. \end{eqnarray}

\bc Soubor $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii. \ec \vysl $$ z = \frac{2\pi}{\beta\hbar\omega},\quad Z_K = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi}{\beta\hbar\omega}\right)^N,\quad U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}\right) = \frac{N}{\beta} = NkT. $$

\bc $N$ částic klasického ideálního plynu o teplotě $T$ je ve válci, který rotuje kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Výška válce je $h$ a poloměr $R$. Díky kontaktu plynu se stěnou rotujícího válce mají částice plynu nenulovou střední hodnotu $z$-ové složky momentu hybnosti $\langle L_z\rangle$. Fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru příslušného této vazbě je dán tím, že plyn korotuje s válcem a jeho částice mají stejnou střední úhlovou rychlost $\omega$. Určete rovnovážné pravděpodobnostní rozdělení $w(\vec{r},\vec{p})$, závislost hustoty počtu částic v nádobě na vzdálenosti od osy rotace $n(r_\bot)$ a kanonickou partiční sumu $Z_K$ . \ec \navod Uvažujme nejprve obecnou rotaci s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající vazbě $\langle \vec{L}\rangle$ označíme $\vec{\lambda}$ (je to trojice multiplikátorů). Rovnovážné rozdělení je dáno vztahem $$ w(\vec{r},\vec{p}) = \frac{1}{z}\exp\left[-\beta H(p)\right] \exp\left[-\vec{\lambda}\cdot\vec{L}\right] = \frac{1}{z} \exp\left[-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)\right)^2\right] \exp\left[\frac{m}{2\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)^2\right]. $$ Určíme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\vec{\lambda}$. Víme, že musí platit $$ \langle\vec{v}(\vec{r}_0)\rangle = \vec{\omega}\times\vec{r}_0 \Longleftrightarrow \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = m\vec{\omega}\times\vec{r}_0. $$ Podmíněné rozdělení hybností v bodě $\vec{r}_0$ je dáno vztahem $$ w(\vec{p}|\vec{r}_0) = \frac{w(\vec{r}_0,\vec{p})}{\int\limits_{\mathds{R}^3} w(\vec{r}_0,\vec{p}) d^3p} = \left(\frac{\beta}{2\pi m }\right)^\frac{3}{2}\exp\left(-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right)\right)^2\right). $$ Střední hodnota hybnosti částice plynu v bodě $\vec{r}_0$ je tedy $$ \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = -\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right), $$ a pro Lagrangeův multiplikátor dostaneme $$ \vec{\lambda} = -\beta\vec{\omega}. $$ Rovnovážné rozdělení pro rotaci válce kolem $z$-ové osy, kdy $\vec{\omega} = (0,0,\omega)$, je v cylindrických souřadnicích rovno $$ w(r_\bot,\varphi,h,\vec{p}) = \frac{1}{z} \exp\left(-\frac{\beta p^2}{2m}\right) r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right) $$ Marginální rozdělení pravděpodobnosti nalezení částice ve vzdálenosti $r_\bot$ od osy rotace dostaneme integrací $w(\vec{r},\vec{p})$ přes hybnost, polární úhel a výšku válce $$ w(r_\bot) = \int\limits_{\mathds{R}^3} d^3p\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^h dh' w(\vec{r},\vec{p}) \sim r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right). $$ Hustota počtu částic $n(r_\bot) = N w(r_\bot)$ je včetně normalizace rovna $$ n(r_\bot) = \frac{N\beta}{2V} \frac{m\omega^2 R^2}{\exp\left(\frac{\beta m\omega^2 R^2}{2} - 1\right)} r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right), $$ kde $V = \pi R^2 h$ je objem válce. Jednočásticová partiční suma se dá zapsat ve tvaru $$ z = \frac{2 V}{\hbar^3} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2}\frac{1}{\beta m\omega^2 R^2}\left(\exp\left(\frac{\beta m\omega^2R^2}{2}\right)-1\right). $$ Kanonickou partiční sumu získáme standardním způsobem, je vhodné ji vyjádřit jako funkci původních Lagrangeových multiplikátorů $\beta$ a $\lambda$. Výsledek je $$ Z_K(\beta,\lambda) = \frac{V^N}{\hbar^{3N} N!} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \left(\frac{2\beta}{m\lambda^2 R^2}\right)^N \left(\exp\left(\frac{m\lambda^2 R^2}{2\beta}\right)-1\right)^N $$

\chapter{Statistické soubory - diskrétní hladiny}

\section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení}

Uvažujme systém, tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy $$ Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N. $$ Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů $$ S = k\ln{Z_K} + \beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}. $$ Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy $$ Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right), $$ kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna \begin{equation} \label{chap6:S} S = k\ln{Z_{\rm MB}} + \beta U + \alpha N, \end{equation} vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů \begin{equation} \label{chap6:UN} U = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta. \end{equation} Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí $$ N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle, $$ kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz. Příklad~\ref{chap6:ni}) $$ \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)}, $$ což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení.

\section{Bose-Einsteinovo rozdělení}

Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v soboru a jeho energie je potom $$ N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i. $$ Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíše systém pomocí grandkanonické partiční sumy $$ Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}. $$ Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru $$ Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}. $$ Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar $$ Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}. $$ Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz. Příklad~\ref{chap6:ni}) $$ \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}. $$ Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo.

\section{Fermi-Diracovo rozdělení}

Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna $$ Z_{\rm FD} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}, $$ kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz. Příklad~\ref{chap6:ni}) $$ \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}. $$

\section{Příklady}

\bc Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\ \nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right). \end{eqnarray}

\bc $N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu$ je pevně umístěno v homogením magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem ( energie $\varepsilon_+ = -\mu B$ ), nebo antiparalelně ( energie $\varepsilon_- = +\mu B$ ). Určete kanonickou partiční sumu, celkový magnetický moment a vnitřní energii soustavy v závisloti na teplotě. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber w_\pm & = & \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},\quad z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu B),\quad Z_K = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu B)\\ \nonumber U & = & -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu B\tanh(\beta \mu B),\quad M = N\langle m\rangle = N(\mu w_+ - \mu w_-) = N \mu\tanh(\beta\mu B). \end{eqnarray}

\bc Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$. \ec \navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je $$ z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha. $$ Pro $N$ aktivních míst dostaneme $$ Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N. $$ Střední počet obsazených aktivních míst je roven $$ n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}. $$ Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí $$ e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}. $$ Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme $$ \Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0}, $$ kde $P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}$.

\bc \label{chap6:ni} Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)}\\ \nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}\\ \nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}. \end{eqnarray}

\chapter{Fluktuace}

\bc Dokažte, ze v kanonickém souboru platí vztah $$ \left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C. $$ \ec \navod $$ \left(\Delta U\right)^2 = \frac{\partial^2\ln{Z_K}}{\partial\beta^2} = -\frac{\partial U}{\beta} = -\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} \left(\frac{\partial T}{\partial \beta}\right) = kT^2 C. $$

\bc V rámci izotermicko-izobarického souboru dokažte platnost vztahu $$ \left(\Delta U\Delta V\right) = kT\left[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\right]. $$ \ec \navod \begin{eqnarray} \nonumber \left(\Delta U\Delta V\right) & = & \frac{\partial^2\ln\widetilde{Z}}{\partial\beta\partial \gamma} = -\left(\frac{\partial V}{\partial \beta}\right)_\gamma = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\frac{\partial T}{\partial \beta}\right)_\gamma - \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\left(\frac{\partial P}{\partial \beta}\right)_\gamma \\ \nonumber & = & kT^2 \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + PkT\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T. \end{eqnarray}

\bc Dokažte, že pro fluktuace počtu částic v grandkanonickém souboru platí vztah $$ \left(\Delta N\right)^2 = \frac{NkT}{V}\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)_{T,V}. $$ Použijte Gibbs-Duhemův vztah. \ec \navod $$ \left(\Delta N\right)^2 = \left(\frac{\partial^2\ln{Z_G}}{\partial\alpha^2}\right)_\beta = \left(\frac{\partial N }{\partial\alpha}\right)_\beta = kT \left(\frac{\partial N }{\partial\mu}\right)_{T,V} = kT \left(\frac{\partial N }{\partial P}\right)_{T,V}\left(\frac{\partial P}{\partial\mu}\right)_{T,V} $$ Gibbs-Duhem $\Longrightarrow$ $\frac{N}{V} = \left(\frac{\partial P}{\partial\mu}\right)_{T}$

\bc Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitřní energie souboru $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$, platí vztah $$ \frac{\Delta U}{U} = \frac{1}{\sqrt{N}}. $$ \ec \navod $$ Z_K = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi}{\beta\omega}\right)^N,\quad U = \frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = \frac{N}{\beta},\quad \left(\Delta U\right)^2 = -\frac{\partial U}{\partial\beta} = \frac{N}{\beta^2}. $$

\end{document}

@@ Řádka 5: / Řádka 5: @@
 \usepackage{a4}
-\def \pr {\noindent {\bf Pøíklad:} }
+\def \pr {\noindent {\bf Příklad:} }
 \def \navod {\noindent {\bf Návod:} }
 \def \vysl {\noindent {\bf Výsledek:} }
-\newtheorem{xpriklad}{Pøíklad}[chapter]
+\newtheorem{xpriklad}{Příklad}[chapter]
 \newenvironment{cvi}
      {\begin{xpriklad}\normalfont{}}
@@ Řádka 28: / Řádka 28: @@
 \addvspace{30pt}
 \begin{center}
-\LARGE{Martin Štefaòák}\\
+\LARGE{Martin Štefaňák}\\
 \today
 \end{center}
@@ Řádka 34: / Řádka 34: @@
 \addvspace{430pt}
-Sbírka je rozdìlena do tematických kapitol, které obsahují pøehled teorie a pøíklady. Návody k pøíkladùm nepøedstavují detailní popis øešení vyžadovaný na cvièení, pouze naznaèují možný postup. Rùzné algebraické úpravy, vyèíslení sum a integrálù není provedeno explicitnì. U lehèích pøíkladù je uveden pouze výsledek.
+Sbírka je rozdělena do tematických kapitol, které obsahují přehled teorie a příklady. Návody k příkladům nepředstavují detailní popis řešení vyžadovaný na cvičení, pouze naznačují možný postup. Různé algebraické úpravy, vyčíslení sum a integrálů není provedeno explicitně. U lehčích příkladů je uveden pouze výsledek.
-Uvítám jakékoli komentáøe a návrhy na zlepšení sbírky, upozornìní na chyby a pøeklepy apod., nejlépe elektronicky na martin.stefanak@fjfi.cvut.cz .
+Uvítám jakékoli komentáře a návrhy na zlepšení sbírky, upozornění na chyby a překlepy apod., nejlépe elektronicky na martin.stefanak@fjfi.cvut.cz .
 \end{titlepage}
@@ Řádka 42: / Řádka 42: @@
-\chapter{Základy teorie pravdìpodobnosti a matematické statistiky}
+\chapter{Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky}
 \section{Základní pojmy}
-\subsection{Náhodný jev, náhodná velièina}
+\subsection{Náhodný jev, náhodná veličina}
-{\bf Elementární náhodný jev} $\omega$ je výsledek nìjakého náhodného pokusu. Množinu všech možných elementárních náhodných jevù oznaèíme $\Omega$. Obecný náhodný jev $A$ je nìjaká podmnožina $\Omega$.
+{\bf Elementární náhodný jev} $\omega$ je výsledek nějakého náhodného pokusu. Množinu všech možných elementárních náhodných jevů označíme $\Omega$. Obecný náhodný jev $A$ je nějaká podmnožina $\Omega$.
-Jev $A$ je {\bf èástí} jevu $B$, pokud jev $A$ nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li jev $B$
+Jev $A$ je {\bf částí} jevu $B$, pokud jev $A$ nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li jev $B$
 $$A\subset B.$$
-Jev $C$ je {\bf sjednocení} jevù $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane tehdy, nastane-li jev $A$ nebo $B$
+Jev $C$ je {\bf sjednocení} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane tehdy, nastane-li jev $A$ nebo $B$
 $$C = A \cup B.$$
-Jev $C$ je {\bf prùnik} jevù $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane jen tehdy, nastanou-li jevy $A$ a $B$ souèasnì
+Jev $C$ je {\bf průnik} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane jen tehdy, nastanou-li jevy $A$ a $B$ současně
 $$C = A \cap B.$$
-Jev {\bf opaèný} k jevu $A$ znaèíme $\overline{A}$. Nastane vždy, když nenastane jev $A$. Opaèný jev k opaènému jevu je jev pùvodní
+Jev {\bf opačný} k jevu $A$ značíme $\overline{A}$. Nastane vždy, když nenastane jev $A$. Opačný jev k opačnému jevu je jev původní
 $$\overline{\overline{A}} = A .$$
-Jev {\bf jistý} $S$ nastane pøi každém opakování náhodného pokusu. Opaèný jev k $S$ je jev {\bf vylouèený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí
+Jev {\bf jistý} $S$ nastane při každém opakování náhodného pokusu. Opačný jev k $S$ je jev {\bf vyloučený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí
 $$ A\cup\overline{A} = S,\qquad A\cap\overline{A} = \emptyset. $$
-Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nesluèitelné} (vzájemnì se vyluèující), právì tehdy když jejich prùnik je jev vylouèený
+Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf neslučitelné} (vzájemně se vylučující), právě tehdy když jejich průnik je jev vyloučený
 $$A\cap B =\emptyset.$$
-Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevù. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení nìkolika elementárních jevù $\omega_i$
+Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevů. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení několika elementárních jevů $\omega_i$
 $$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$
-Složený jev $B$ nastane pokud nastane nìkterý z elementárních jevù $\omega_i$ v nìm obsažených. $S$ obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\
+Složený jev $B$ nastane pokud nastane některý z elementárních jevů $\omega_i$ v něm obsažených. $S$ obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\
-\pr Šestistìnná kostka\\
+\pr Šestistěnná kostka\\
-Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledkù $i = 1,\ldots,6$. Oznaème $B$ jev kdy padne sudé èíslo. Je to jev složený
+Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledků $i = 1,\ldots,6$. Označme $B$ jev kdy padne sudé číslo. Je to jev složený
-$$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, èili dvojka mùže padnout jenom když padne sudé èíslo. Jev opaèný k jevu $B$ je jev kdy padne liché èíslo
+$$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, čili dvojka může padnout jenom když padne sudé číslo. Jev opačný k jevu $B$ je jev kdy padne liché číslo
 $$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$
-Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemnì vyluèují, protože jednièka není sudé èíslo.\\
+Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemně vylučují, protože jednička není sudé číslo.\\
-\subsection{Pravdìpodobnostní rozdìlení, hustota pravdìpodobnosti}
+\subsection{Pravděpodobnostní rozdělení, hustota pravděpodobnosti}
-Nech $\Omega$ je množina všech jevù náhodného pokusu, $S$ jev jistý, $A$ libovolný jev a $\omega_i,\ i\in I$ jsou vzájemnì se vyluèující jevy.
+Nechť $\Omega$ je množina všech jevů náhodného pokusu, $S$ jev jistý, $A$ libovolný jev a $\omega_i,\ i\in I$ jsou vzájemně se vylučující jevy.
-{\bf Pravdìpodobnostní rozdìlení} náhodných jevù $P$ je zobrazení splòující vlastnosti
+{\bf Pravděpodobnostní rozdělení} náhodných jevů $P$ je zobrazení splňující vlastnosti
 \begin{enumerate}
-\item $P(A)\geq 0$ - pravdìpodobnost každého jevu je nezáporná
+\item $P(A)\geq 0$ - pravděpodobnost každého jevu je nezáporná
-\item $P(S) = 1$ - jev jistý nastane s pravdìpodobností jedna
+\item $P(S) = 1$ - jev jistý nastane s pravděpodobností jedna
-\item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} \omega_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(\omega_i)$ - pravdìpodobnost sjednocení vzájemnì se vyluèujících jevù je rovna souètu jejich pravdìpodobností
+\item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} \omega_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(\omega_i)$ - pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností
 \end{enumerate}
-Z tìchto axiomù plynou následující vlastnosti:
+Z těchto axiomů plynou následující vlastnosti:
 \begin{itemize}
 \item $\forall A\subset\Omega,\qquad 0\leq P(A) \leq 1, \qquad P(\emptyset) = 0$
@@ Řádka 94: / Řádka 94: @@
 \item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$
 \end{itemize}
-Mìjme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmínìná pravdìpodobnost} jevu $A$, za pøedpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem
+Mějme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmíněná pravděpodobnost} jevu $A$, za předpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem
 $$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$
 Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud
 $$P(A|B) = P(A),\qquad P(B|A) = P(B).$$
-Pro nezávislé jevy $A_i, i\in I$, je pravdìpodobnost toho, že nastanou souèasnì, dána souèinem jejich pravdìpodobností
+Pro nezávislé jevy $A_i, i\in I$, je pravděpodobnost toho, že nastanou současně, dána součinem jejich pravděpodobností
 $$P\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right) = \prod_{i\in I}P(A_i).$$
-\pr Vyvážená šestistìnná kostka\\
+\pr Vyvážená šestistěnná kostka\\
-Pravdìpodobnosti všech hodù jsou stejné $P(\omega_i) = \frac{1}{6},\ i=1,\ldots,6$. Pravdìpodobnost toho, že padne sudé èíslo je
+Pravděpodobnosti všech hodů jsou stejné $P(\omega_i) = \frac{1}{6},\ i=1,\ldots,6$. Pravděpodobnost toho, že padne sudé číslo je
 $$P(B) = P(\omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6) = P(\omega_2) + P(\omega_4) + P(\omega_6) = \frac{1}{2},$$
-protože jevy $\omega_i$ se vzájemnì vyluèují. Podmínìná pravdìpodobnost toho, že padne šestka, za pøedpokladu, že padlo sudé èíslo, je rovna
+protože jevy $\omega_i$ se vzájemně vylučují. Podmíněná pravděpodobnost toho, že padne šestka, za předpokladu, že padlo sudé číslo, je rovna
 $$P(\omega_6|B) = \frac{P(\omega_6\cap B)}{P(B)} = \frac{P(\omega_6)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$$\\
-{\bf Náhodná velièina} je libovolná reálná funkce definovaná na množinì elementárních jevù. Obor hodnot mùže být jak spoèetný ({\bf diskrétní náhodná velièina}), tak nespoèetný ({\bf spojitá náhodná velièina}). Náhodný jev mùžeme chápat jako náhodnou velièinu, která mùže nabývat pouze dvou hodnot - 1 (jev nastal) nebo 0 (jev nenastal).
+{\bf Náhodná veličina} je libovolná reálná funkce definovaná na množině elementárních jevů. Obor hodnot může být jak spočetný ({\bf diskrétní náhodná veličina}), tak nespočetný ({\bf spojitá náhodná veličina}). Náhodný jev můžeme chápat jako náhodnou veličinu, která může nabývat pouze dvou hodnot - 1 (jev nastal) nebo 0 (jev nenastal).
-Pravdìpodobnostní rozdìlení diskrétní náhodné velièiny $A$, která mùže nabývat hodnot $A = a_i, i\in I$, je funkce $P$, která splòuje vlastnosti
+Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i, i\in I$, je funkce $P$, která splňuje vlastnosti
 \begin{enumerate}
 \item $0 \leq P(A = a_i) = p_i \leq 1 $
@@ Řádka 115: / Řádka 115: @@
 \end{enumerate}
-{\bf Hustota pravdìpodobnosti} spojité náhodné velièiny $X$, která mùže nabývat hodnot $X = x\in\Omega$, je nezáporná funkce $w(x)$, splòující vlastnost
+{\bf Hustota pravděpodobnosti} spojité náhodné veličiny $X$, která může nabývat hodnot $X = x\in\Omega$, je nezáporná funkce $w(x)$, splňující vlastnost
 $$\forall A\subset\Omega, P(X\in A) = \int\limits_A w(x)dx.$$
-Uvažujme nyní vektor náhodných velièin $\vec{x} = \left(x_1,\ldots,x_n\right)$, $x_i\in\Omega_i$, s pravdìpodobnostním rozdìlením $w(\vec{x})$. {\bf Marginální rozdìlení} složky vektoru $x_i$ je dáno vystøedováním rozdìlení $w(\vec{x})$ pøes složky $x_j,\ j\neq i$
+Uvažujme nyní vektor náhodných veličin $\vec{x} = \left(x_1,\ldots,x_n\right)$, $x_i\in\Omega_i$, s pravděpodobnostním rozdělením $w(\vec{x})$. {\bf Marginální rozdělení} složky vektoru $x_i$ je dáno vystředováním rozdělení $w(\vec{x})$ přes složky $x_j,\ j\neq i$
 $$
 w_m(x_i) = \int\limits_{\Omega_1}dx_1\ldots \int\limits_{\Omega_{i-1}}dx_{i-1} \int\limits_{\Omega_{i+1}}dx_{i+1}\ldots \int\limits_{\Omega_n}dx_n w(\vec{x}).
 $$
-\subsection{Støední hodnoty, fluktuace, kovariance}
+\subsection{Střední hodnoty, fluktuace, kovariance}
-{\bf Støední hodnota} diskrétní náhodné velièiny $A$, která mùže nabývat hodnot $A = a_i,\ i\in I$ s pravdìpodobností $P(A = a_i) = p_i$, je dána vztahem
+{\bf Střední hodnota} diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i,\ i\in I$ s pravděpodobností $P(A = a_i) = p_i$, je dána vztahem
 $$\langle A\rangle =  \sum_{i\in I} a_i p_i.$$
-Podobnì, pro spojitou náhodnou velièinu $X$, která mùže nabývat hodnot $x\in \Omega$ a má hustotu pravdìpodobnosti $w(x)$, je støední hodnota $X$ rovna
+Podobně, pro spojitou náhodnou veličinu $X$, která může nabývat hodnot $x\in \Omega$ a má hustotu pravděpodobnosti $w(x)$, je střední hodnota $X$ rovna
 $$\langle X\rangle = \int\limits_\Omega x w(x)dx.$$
-Støední hodnota náhodné velièiny je její prùmìrná hodnota po mnoha nezávislých opakování pokusu. Støední hodnota je lineární v následujícím smyslu
+Střední hodnota náhodné veličiny je její průměrná hodnota po mnoha nezávislých opakování pokusu. Střední hodnota je lineární v následujícím smyslu
 $$
 \langle aX + bY + c\rangle = a\langle X\rangle + b\langle Y\rangle + c,
 $$
-kde $X,Y$ jsou dvì náhodné velièiny a $a,b,c$ jsou reálná èísla. Nech $F$ je funkce náhodné velièiny $X$, její støední hodnota je pak dána vztahem
+kde $X,Y$ jsou dvě náhodné veličiny a $a,b,c$ jsou reálná čísla. Nechť $F$ je funkce náhodné veličiny $X$, její střední hodnota je pak dána vztahem
 $$\langle F\rangle = \sum_{i\in I}F(a_i)p_i \quad\left( = \int\limits_\Omega F(x)w(x)dx \right).$$
-Speciálnì, pro $F(x) = x^k$ se oznaèuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdìlení}.
+Speciálně, pro $F(x) = x^k$ se označuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdělení}.
-{\bf Støední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné velièiny $X$ je definována vztahem
+{\bf Střední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné veličiny $X$ je definována vztahem
 $$\left(\Delta X\right) = \sqrt{\langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle}.$$
-{\bf Variance} se definuje jako kvadrát støední kvadratické odchylky. Snadno zjistíme, že platí
+{\bf Variance} se definuje jako kvadrát střední kvadratické odchylky. Snadno zjistíme, že platí
 $$\left(\Delta X\right)^2 = \langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle = \langle X^2 -2X\langle X\rangle + \langle X\rangle^2\rangle =\langle X^2\rangle -2\langle X\rangle \langle X\rangle + \langle X\rangle^2 = \langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2.$$
-{\bf Relativní fluktuací} náhodné velièiny $X$ se myslí støední kvadratická odchylka vztažená ke støední hodnotì, èili zlomek $\frac{\Delta X}{\langle X\rangle}$.
+{\bf Relativní fluktuací} náhodné veličiny $X$ se myslí střední kvadratická odchylka vztažená ke střední hodnotě, čili zlomek $\frac{\Delta X}{\langle X\rangle}$.
-{\bf Kovariance} dvou náhodných velièin $X_1, X_2$ je definována vztahem
+{\bf Kovariance} dvou náhodných veličin $X_1, X_2$ je definována vztahem
 $$\left(\Delta X_1\Delta X_2\right) = \langle X_1 X_2\rangle - \langle X_1\rangle\langle X_2\rangle.$$
-Kovariance indikuje závislost náhodných velièin. Jsou-li $X_1$ a $X_2$ nezávislé, je jejich rozdìlení rovno $w(x_1,x_2) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)$, takže platí $ \langle X_1 X_2\rangle = \langle X_1\rangle \cdot \langle X_2\rangle$ a jejich kovariance je rovna nule.
+Kovariance indikuje závislost náhodných veličin. Jsou-li $X_1$ a $X_2$ nezávislé, je jejich rozdělení rovno $w(x_1,x_2) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)$, takže platí $ \langle X_1 X_2\rangle = \langle X_1\rangle \cdot \langle X_2\rangle$ a jejich kovariance je rovna nule.
-Nech jsou $X_i,i=1,\ldots, n$ nezávislé náhodné velièiny, každá s oborem hodnot $\Omega_i$ a hustotou pravdìpodobnosti $w_i(x_i)$. Jejich souèet
+Nechť jsou $X_i,i=1,\ldots, n$ nezávislé náhodné veličiny, každá s oborem hodnot $\Omega_i$ a hustotou pravděpodobnosti $w_i(x_i)$. Jejich součet
 $$X = \sum_{i=1}^n X_i $$
-je potom náhodná velièina s oborem hodnot
+je potom náhodná veličina s oborem hodnot
 $$\Omega = \Omega_1\times\Omega_2\times\ldots\times\Omega_n$$
-a hustotu pravdìpodobnosti
+a hustotu pravděpodobnosti
 $$w(x) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)\cdot\ldots\cdot w_n(x_n).$$
-Pro støední hodnotu souètu nezávislých náhodných velièin platí
+Pro střední hodnotu součtu nezávislých náhodných veličin platí
 \begin{eqnarray}
 \label{ind:mean}
@@ Řádka 159: / Řádka 159: @@
   & = & \sum_{i=1}^n \int\limits_{\Omega_i} x_i w_i(x_i)dx_i \left(\prod_{j\neq i} \int\limits_{\Omega_j} w_j(x_j)dx_j\right) = \sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle.
 \end{eqnarray}
-Pro vyšší momenty podobné tvrzení neplatí, napøíklad pro druhý moment dostaneme
+Pro vyšší momenty podobné tvrzení neplatí, například pro druhý moment dostaneme
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \langle X^2\rangle & = & \int\limits_\Omega x^2 w(x) dx = \int\limits_\Omega(x_1+\ldots + x_n)^2w_1(x1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\
@@ Řádka 166: / Řádka 166: @@
 \nonumber & = & \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle \neq \sum_i \langle X_i^2\rangle.
 \end{eqnarray}
-Nicménì, vztah analogický (\ref{ind:mean}) platí pro varianci
+Nicméně, vztah analogický (\ref{ind:mean}) platí pro varianci
 \begin{eqnarray}
 \label{ind:var}
@@ Řádka 173: / Řádka 173: @@
 \end{eqnarray}
-\section{Binomické rozdìlení}
+\section{Binomické rozdělení}
-Uvažujme náhodný pokus, který má dva možné výsledky - ano/ne experiment. Kladný výsledek nastane s pravdìpodobností $p$, záporný s pravdìpodobností $1-p$. Pokus $N$-krát opakujeme, jednotlivá opakování jsou na sobì nezávislá. Pravdìpodobnost, že z celkového poètu $N$ opakování bude $n$ pokusù úspìšných je dána {\bf binomickým rozdìlením}
+Uvažujme náhodný pokus, který má dva možné výsledky - ano/ne experiment. Kladný výsledek nastane s pravděpodobností $p$, záporný s pravděpodobností $1-p$. Pokus $N$-krát opakujeme, jednotlivá opakování jsou na sobě nezávislá. Pravděpodobnost, že z celkového počtu $N$ opakování bude $n$ pokusů úspěšných je dána {\bf binomickým rozdělením}
 \begin{equation}
 \label{binom}
 p_n = {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n},\qquad {N\choose n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}.
 \end{equation}
-Normalizace rozdìlení (\ref{binom}) je zøejmá z binomické vìty
+Normalizace rozdělení (\ref{binom}) je zřejmá z binomické věty
 $$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$
-Støední hodnotu a varianci poètu kladných výsledkù lze pro binomické rozdìlení rozdìlení snadno spoèítat z definice (viz. Pøíklad~\ref{pr:binom})
+Střední hodnotu a varianci počtu kladných výsledků lze pro binomické rozdělení rozdělení snadno spočítat z definice (viz. Příklad~\ref{pr:binom})
 \begin{equation}
 \label{binom:mean:var}
 \langle n\rangle = N p,\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p).
 \end{equation}
-Alternativnì lze využít nezávislosti opakování pokusu. $j$-tému pokusu pøiøadíme náhodnou velièinu $x_j$, která má dvì hodnoty - 1 pro kladný výsledek s pravdìpodobností $p$, 0 pro záporný výsledek s pravdìpodobností $1-p$. Støední hodnota a variance každé z náhodných velièin $x_i, i=1,\ldots, N$ jsou rovny
+Alternativně lze využít nezávislosti opakování pokusu. $j$-tému pokusu přiřadíme náhodnou veličinu $x_j$, která má dvě hodnoty - 1 pro kladný výsledek s pravděpodobností $p$, 0 pro záporný výsledek s pravděpodobností $1-p$. Střední hodnota a variance každé z náhodných veličin $x_i, i=1,\ldots, N$ jsou rovny
 $$\langle x_i\rangle = p,\qquad \left(\Delta x_i\right)^2 = p(1-p).$$
-Protože poèet kladných výsledkù $n$ mùžeme napsat jako
+Protože počet kladných výsledků $n$ můžeme napsat jako
 $$ n = x_1 + x_2 + \ldots + x_N,$$
-dostaneme s použitím tvrzení (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pro støední hodnotu a varianci souètu nezávislých velièin výsledek (\ref{binom:mean:var}).
+dostaneme s použitím tvrzení (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pro střední hodnotu a varianci součtu nezávislých veličin výsledek (\ref{binom:mean:var}).
-\section{Poissonovo rozdìlení, Stirlingova formule}
+\section{Poissonovo rozdělení, Stirlingova formule}
-{\bf Poissonovo rozdìlení} je limitní pøípad binomického rozdìlení kdy $p\rightarrow 0$, $N\rightarrow +\infty$, ale $p N =\lambda$. Vyjádøíme-li $p = \frac{\lambda}{N}$ dostaneme binomické rozdìlení ve tvaru
+{\bf Poissonovo rozdělení} je limitní případ binomického rozdělení kdy $p\rightarrow 0$, $N\rightarrow +\infty$, ale $p N =\lambda$. Vyjádříme-li $p = \frac{\lambda}{N}$ dostaneme binomické rozdělení ve tvaru
 \begin{equation}
 \label{binom:poisson}
 p_n = {N\choose n}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}.
 \end{equation}
-Provedením limity $N\rightarrow +\infty$ získáme Poissonovo rozdìlení
+Provedením limity $N\rightarrow +\infty$ získáme Poissonovo rozdělení
 \begin{eqnarray}
 \label{Poisson}
@@ Řádka 208: / Řádka 208: @@
 & = & \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}.
 \end{eqnarray}
-Normalizace rozdìlení (\ref{Poisson}) je zøejmá z Taylorova rozvoje exponenciely
+Normalizace rozdělení (\ref{Poisson}) je zřejmá z Taylorova rozvoje exponenciely
 $$\sum_{n=0}^{+\infty} p_n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1.$$
-Jiné odvození Poissonova rozdìlení získáme odhadem faktoriálu v binomickém rozdìlení pomocí {\bf Stirlingovy formule}. Pro $N\rightarrow +\infty$ mùžeme aproximovat
+Jiné odvození Poissonova rozdělení získáme odhadem faktoriálu v binomickém rozdělení pomocí {\bf Stirlingovy formule}. Pro $N\rightarrow +\infty$ můžeme aproximovat
 $$\ln N! = \sum_{k=1}^N \ln k \simeq \int\limits_1^N \ln kdk = N(\ln N-1) + 1 \simeq N\ln\frac{N}{e},$$
-takže $N!$ se chová pøibližnì jako
+takže $N!$ se chová přibližně jako
 $$N! \simeq \left(\frac{N}{e}\right)^N.$$
-Dosazením do binomického rozdìlení (\ref{binom:poisson}) a provedením limity $N\rightarrow +\infty$ dostaneme stejný výsledek jako (\ref{Poisson}).
+Dosazením do binomického rozdělení (\ref{binom:poisson}) a provedením limity $N\rightarrow +\infty$ dostaneme stejný výsledek jako (\ref{Poisson}).
-Parametr $\lambda$ urèuje støední hodnotu i varianci (viz. Pøíklad~\ref{pr:Poisson})
+Parametr $\lambda$ určuje střední hodnotu i varianci (viz. Příklad~\ref{pr:Poisson})
 $$\langle n\rangle = \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$$
 \section{Náhodné procházky}
-Jako pøíklad náhodného (stochastického) jevu si rozebereme {\bf náhodnou procházku}. Uvažujme èástici, která v diskrétních èasových krocích pøeskakuje mezi body $m\in\mathds{Z}$ na ose $x$. V èase $t=0$ je èástice v poèátku $m=0$. V každém kroku mùže skoèit s pravdìpodobností $p$ o jedna doprava, nebo o jedna doleva s pravdìpodobností $1-p$. Otázka zní, s jakou pravdìpodobností $p(m,t)$ ji mùžeme nalézt v bodì $m$ po $t$ krocích? Z definice je zøejmé, že $p(m,t) = 0$, pokud $m$ a $t$ mají jinou paritu (napø. $m$ je sudé a $t$ liché). Uvažujme tedy jen $m,t$ se stejnou paritou. Oznaèíme-li $r$ poèet krokù doprava a $l$ poèet krokù doleva, pak platí
+Jako příklad náhodného (stochastického) jevu si rozebereme {\bf náhodnou procházku}. Uvažujme částici, která v diskrétních časových krocích přeskakuje mezi body $m\in\mathds{Z}$ na ose $x$. V čase $t=0$ je částice v počátku $m=0$. V každém kroku může skočit s pravděpodobností $p$ o jedna doprava, nebo o jedna doleva s pravděpodobností $1-p$. Otázka zní, s jakou pravděpodobností $p(m,t)$ ji můžeme nalézt v bodě $m$ po $t$ krocích? Z definice je zřejmé, že $p(m,t) = 0$, pokud $m$ a $t$ mají jinou paritu (např. $m$ je sudé a $t$ liché). Uvažujme tedy jen $m,t$ se stejnou paritou. Označíme-li $r$ počet kroků doprava a $l$ počet kroků doleva, pak platí
 $$
 r+l = t,\quad r-l = m \quad \Longrightarrow\quad  r = \frac{t+m}{2},\quad l =\frac{t-m}{2}.
 $$
-Pro pravdìpodobnost nalezení èástice v bodì m po t krocích pak dostaneme
+Pro pravděpodobnost nalezení částice v bodě m po t krocích pak dostaneme
 \begin{equation}
 \label{chap1:rwdist}
 p(m,t) = { t\choose r} p^r (1-p)^l = { t\choose\frac{t+m}{2}} p^\frac{t+m}{2} (1-p)^\frac{t-m}{2}.
 \end{equation}
-Jiný zpùsob odvození je pomocí binomické vìty. Platí totiž
+Jiný způsob odvození je pomocí binomické věty. Platí totiž
 \begin{equation}
 \label{chap1:rw}
 = (p + (1-p))^t = \sum_{k=0}^t {t\choose k}p^k (1-p)^{t-k} = \sum_{m=-t}^t {t\choose\frac{t+m}{2}} p^{\frac{t+m}{2}} (1-p)^\frac{t-m}{2} = \sum_{m=-t}^t p(m,t).
 \end{equation}
-Pøeškálujme nyní pravdìpodobnosti skoku doprava a doleva nìjakým parametrem $x$, umocnìným na zmìnu pozice èástice, která odpovídá danému skoku,tj.
+Přeškálujme nyní pravděpodobnosti skoku doprava a doleva nějakým parametrem $x$, umocněným na změnu pozice částice, která odpovídá danému skoku,tj.
 $$
 p \longrightarrow p x^1,\qquad (1-p) \longrightarrow (1-p) x^{-1}.
 $$
-Výraz (\ref{chap1:rw}) pak pøejde do tvaru
+Výraz (\ref{chap1:rw}) pak přejde do tvaru
 $$
 (px + (1-p)x^{-1})^t = \sum_{k=0}^t {t\choose k}p^k (1-p)^{t-k} x^{k-(t-k)} = \sum_{m=-t}^t {t\choose\frac{t+m}{2}} p^{\frac{t+m}{2}} (1-p)^\frac{t-m}{2} x^m = \sum_{m=-t}^t p(m,t) x^m.
 $$
-Vidíme, že koeficient u $x^m$ odpovídá pravdìpodobnosti nalezení èástice v bodì $m$ po $t$ krocích (\ref{chap1:rwdist}). Výhoda tohoto postupu spoèívá v tom, že lze snadno zobecnit na procházky s jinými pravidly, více èásticemi, ve vícerozmìrných sítích atd.
+Vidíme, že koeficient u $x^m$ odpovídá pravděpodobnosti nalezení částice v bodě $m$ po $t$ krocích (\ref{chap1:rwdist}). Výhoda tohoto postupu spočívá v tom, že lze snadno zobecnit na procházky s jinými pravidly, více částicemi, ve vícerozměrných sítích atd.
-Spoèítáme nyní základní charakteristiky náhodné procházky - støední hodnotu a varianci pozice èástice po $t$ krocích. Mùžeme využít toho, že jednotlivé kroky jsou nezávislé. Polohu èástice po $t$ krocích tak mùžeme zapsat jako souèet
+Spočítáme nyní základní charakteristiky náhodné procházky - střední hodnotu a varianci pozice částice po $t$ krocích. Můžeme využít toho, že jednotlivé kroky jsou nezávislé. Polohu částice po $t$ krocích tak můžeme zapsat jako součet
 $$
 x(t) = x_1 + x_2 + \ldots + x_t
 $$
-$t$ náhodných velièin $x_n$, které odpovídají zmìnì pozice èástice bìhem $n$-tého kroku. V našem pøípadì tedy platí, že každá z $x_n$ mùže nabývat hodnoty +1 s pravdìpodobností $p$, nebo -1 s pravdìpodobností $1-p$. Pro støední hodnotu a varianci posunutí bìhem jednoho kroku $x_n$ snadno dostaneme
+$t$ náhodných veličin $x_n$, které odpovídají změně pozice částice během $n$-tého kroku. V našem případě tedy platí, že každá z $x_n$ může nabývat hodnoty +1 s pravděpodobností $p$, nebo -1 s pravděpodobností $1-p$. Pro střední hodnotu a varianci posunutí během jednoho kroku $x_n$ snadno dostaneme
 $$
 \langle x_n\rangle = 2p-1,\quad \langle x_n^2\rangle = 1,\quad \left(\Delta x_n\right)^2 = \langle x_n^2\rangle - \langle x_n\rangle^2 = 4p(1-p).
 $$
-S použitím vztahù (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pak pro polohu èástice po $t$ krocích dostaneme
+S použitím vztahů (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pak pro polohu částice po $t$ krocích dostaneme
 $$
 \langle x(t) \rangle = t\langle x_n\rangle = t (2p-1),\quad \left(\Delta x(t)\rangle\right)^2 = t \left(\Delta x_n\rangle\right)^2 = t 4p(1-p).
 $$
-Vidíme tedy, že støední kvadratická odchylka polohy èástice roste s druhou odmocninou poètu krokù, což odpovídá difuzi.
+Vidíme tedy, že střední kvadratická odchylka polohy částice roste s druhou odmocninou počtu kroků, což odpovídá difuzi.
-\section{Gaussovo rozdìlení, Gaussovy integrály}
+\section{Gaussovo rozdělení, Gaussovy integrály}
-\subsection{Gaussovo normální rozdìlení}
+\subsection{Gaussovo normální rozdělení}
-{\bf Gaussovo normální rozdìlení} spojité náhodné velièiny $X\in\mathds{R}$ má tvar
+{\bf Gaussovo normální rozdělení} spojité náhodné veličiny $X\in\mathds{R}$ má tvar
 \begin{equation}
 \label{Gauss}
 w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\quad \mu\in\mathds{R},\quad \sigma>0.
 \end{equation}
-Parametry rozdìlení $\mu,\sigma$ mají jednoduchý význam - bod $x = \mu$ je maximum rozdìlení, body $x = \mu\pm\sigma$ jsou jeho inflexní body. Navíc platí, že $\mu$ je støední hodnota náhodné velièiny $X$, $\sigma$ je její støední kvadratická odchylka (viz. Pøíklad~\ref{pr:Gauss})
+Parametry rozdělení $\mu,\sigma$ mají jednoduchý význam - bod $x = \mu$ je maximum rozdělení, body $x = \mu\pm\sigma$ jsou jeho inflexní body. Navíc platí, že $\mu$ je střední hodnota náhodné veličiny $X$, $\sigma$ je její střední kvadratická odchylka (viz. Příklad~\ref{pr:Gauss})
 \begin{equation}
 \label{Gauss:mu:sigma}
@@ Řádka 280: / Řádka 280: @@
 \begin{enumerate}
-\item Integrál $I_0(1)$ spoèítáme pøechodem do polárních souøadnic
+\item Integrál $I_0(1)$ spočítáme přechodem do polárních souřadnic
 \begin{eqnarray}
 \nonumber I^2_0(1) & = & \int\limits_{\mathds{R}^2} e^{-x^2+y^2}dxdy =\left\{\begin{array}{c}
@@ Řádka 292: / Řádka 292: @@
 I_0(1) & = & \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}.
 \end{eqnarray}
-\item Integrál $I_0(a)$ se pøevede substitucí $\sqrt{a}x = y$ na $I_0(1)$
+\item Integrál $I_0(a)$ se převede substitucí $\sqrt{a}x = y$ na $I_0(1)$
 $$I_0(a) = \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx = \frac{I_0(1)}{\sqrt{a}}  = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$
-\item Integrál $I_{2k}(a)$ se vyjádøí derivací $I_0(a)$ podle parametru $a$
+\item Integrál $I_{2k}(a)$ se vyjádří derivací $I_0(a)$ podle parametru $a$
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \frac{d^k}{da^k} \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx & = & \int\limits_\mathds{R} \frac{\partial^k}{\partial a^k} e^{-ax^2}dx = (-1)^k \int\limits_\mathds{R} x^{2k} e^{-ax^2}dx\\
 I_{2k}(a) & = & (-1)^n \frac{d^k}{da^k} I_0(a) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}(2k-1)!! \left(\frac{1}{2a}\right)^k,
 \end{eqnarray}
-speciálnì pro $k= 1,2$ dostaneme
+speciálně pro $k= 1,2$ dostaneme
 $$I_2(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{2} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{2a},\qquad I_4(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{4} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{4a^2}.$$
 Integrál $I_{2k+1}(a)$ je roven nule, protože integrand je lichá funkce.
@@ Řádka 313: / Řádka 313: @@
 \begin{enumerate}
 \item $\beta(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
-\item pro $p\in(0,1)$, $\beta(p,1-p) = \frac{\pi}{\sin(p\pi)}$; speciálnì pro $p=\frac{1}{2}$ dostaneme
+\item pro $p\in(0,1)$, $\beta(p,1-p) = \frac{\pi}{\sin(p\pi)}$; speciálně pro $p=\frac{1}{2}$ dostaneme
 $$\beta\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \pi = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}.$$
-\item $\Gamma(p+1) = p\Gamma(p)$; speciálnì pro $p=n\in\mathds{N}$ dostaneme $\Gamma(n) = (n-1)!$
+\item $\Gamma(p+1) = p\Gamma(p)$; speciálně pro $p=n\in\mathds{N}$ dostaneme $\Gamma(n) = (n-1)!$
-\item z bodù 2. a 3. získáme vztah $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
+\item z bodů 2. a 3. získáme vztah $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
 \end{enumerate}
-Eulerovy integrály mùžeme využít pro výpoèet Gaussových integrálù v mezích $(0,+\infty)$
+Eulerovy integrály můžeme využít pro výpočet Gaussových integrálů v mezích $(0,+\infty)$
 $$\int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-ax^2}dx = \left\{
                                               \begin{array}{c}
@@ Řádka 325: / Řádka 325: @@
                                               \end{array}
                                             \right\} = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\int\limits_0^{+\infty} y^\frac{n-1}{2}e^{-y}dy = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right),$$
-speciálnì pro $n = 1,2,3,4$ dostaneme
+speciálně pro $n = 1,2,3,4$ dostaneme
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{4a},\\
@@ Řádka 331: / Řádka 331: @@
 \end{eqnarray}
-\section{Pøíklady}
+\section{Příklady}
 \bc
 \label{pr:binom}
-Pøímým výpoètem urèete støední hodnotu a varianci pro binomické rozdìlení s pravdìpodobností úspìchu $p$ a $N$ opakování.
+Přímým výpočtem určete střední hodnotu a varianci pro binomické rozdělení s pravděpodobností úspěchu $p$ a $N$ opakování.
 \ec
 \vysl $\langle n\rangle = N p,\qquad \langle n^2\rangle = N p((N-1)p + 1),\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p).$
@@ Řádka 341: / Řádka 341: @@
 \bc
 \label{pr:Poisson}
-Urèete støední hodnotu a varianci pro Poissonovo rozdìlení s parametrem $\lambda$.
+Určete střední hodnotu a varianci pro Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda$.
 \ec
 \vysl $\langle n\rangle = \lambda,\qquad \langle n^2\rangle = \lambda(\lambda+1),\qquad \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$
 \bc
-Uvažujte náhodnou procházku na pøímce, kde èástice má tøi možnosti - mùže udìlat krok doleva nebo doprava o jedna s pravdìpodobností $1/4$, nebo mùže zùstat na místì s pravdìpodobností $1/2$. Urèete pravdìpodobnost nalezení èástice v bodì $m$ po $t$ krocích $p(m,t)$, støední hodnotu a varianci polohy èástice.
+Uvažujte náhodnou procházku na přímce, kde částice má tři možnosti - může udělat krok doleva nebo doprava o jedna s pravděpodobností $1/4$, nebo může zůstat na místě s pravděpodobností $1/2$. Určete pravděpodobnost nalezení částice v bodě $m$ po $t$ krocích $p(m,t)$, střední hodnotu a varianci polohy částice.
 \ec
 \vysl $p(m,t) = \frac{1}{4^t} {2t\choose t+m},\quad \langle x(t)\rangle = 0,\quad \left(\Delta x(t)\right)^2 = \frac{t}{2}.$
@@ Řádka 352: / Řádka 352: @@
 \bc
 \label{pr:Gauss}
-Explicitním výpoètem ovìøte normalizaci Gaussova rozdìlení (\ref{Gauss}) a platnost vztahù (\ref{Gauss:mu:sigma}).
+Explicitním výpočtem ověřte normalizaci Gaussova rozdělení (\ref{Gauss}) a platnost vztahů (\ref{Gauss:mu:sigma}).
 \ec
 \bc
-Urèete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozmìrné koule $B_n$.
+Určete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozměrné koule $B_n$.
 \ec
-\navod Pøeveïte integrál $\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-x^2}d^nx = \pi^\frac{n}{2}$ do sférických souøadnic. Integrál pøes prostorový úhel je roven povrchu jednotkové koule $S_n$. Výsledek je
+\navod Převeďte integrál $\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-x^2}d^nx = \pi^\frac{n}{2}$ do sférických souřadnic. Integrál přes prostorový úhel je roven povrchu jednotkové koule $S_n$. Výsledek je
 $$ S_n = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}.$$
-Objem $V_n$ se spoèítá analogicky pøevodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ do sférických souøadnic
+Objem $V_n$ se spočítá analogicky převodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ do sférických souřadnic
 $$V_n = \int\limits_{B_n} 1d^nx =  S_n \int\limits_0^1 r^{n-1}dr = \frac{S_n}{n} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.$$
 \bc
-Urèete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozmìrných harmonických oscilátorù s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie souboru zhora omezená hodnotou $E$.
+Určete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozměrných harmonických oscilátorů s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie souboru zhora omezená hodnotou $E$.
 \ec
-\navod Fázový objem souboru oscilátorù je dán integrálem
+\navod Fázový objem souboru oscilátorů je dán integrálem
 $$V_{N,E} = \int\limits_{H\leq E} d\Gamma,\qquad  H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q_i^2,\qquad d\Gamma = d^Nqd^Np.$$
-Pøeškálováním obecných souøadnic a hybností
+Přeškálováním obecných souřadnic a hybností
 $$q_i' = q_i \sqrt{\frac{m\omega^2}{2}},\qquad p_i' = \frac{p_i}{\sqrt{2m}},$$
-pøevedeme integrál na objem $2N$-rozmìrné koule o polomìru $\sqrt{E}$. Výsledek je
+převedeme integrál na objem $2N$-rozměrné koule o poloměru $\sqrt{E}$. Výsledek je
 $$V_{N,E} = \frac{(2\pi)^N E^N}{N!\omega^N}.$$
 \bc
-Maxwellovo rozdìlení rychlostí atomù plynu pøi teplotì $T$ má tvar
+Maxwellovo rozdělení rychlostí atomů plynu při teplotě $T$ má tvar
 $$
 w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),\quad \vec{v}\in\mathds{R}^3.
 $$
-Urèete rozdìlení velikosti rychlosti $v$.
+Určete rozdělení velikosti rychlosti $v$.
 \ec
 \navod
-Hledáme marginální rozdìlení. Hustotu pravdìpodobnosti $w(\vec{v})$ pøevedeme do sférických souøadnic $w(v,\theta,\varphi)$ a vyintegrujeme pøes úhly $\theta,\varphi$, nesmíme zapomenout na jakobián. Výsledek je
+Hledáme marginální rozdělení. Hustotu pravděpodobnosti $w(\vec{v})$ převedeme do sférických souřadnic $w(v,\theta,\varphi)$ a vyintegrujeme přes úhly $\theta,\varphi$, nesmíme zapomenout na jakobián. Výsledek je
 $$
 w(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right).
@@ Řádka 387: / Řádka 387: @@
-\chapter{Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení}
+\chapter{Nejpravděpodobnější rozdělení}
 \section{Míra informace, entropie}
-Mìjme náhodný pokus, jehož výsledky jsou jevy (mikrostavy) $\gamma\in\Omega$ s pravdìpodobností $p_\gamma$. {\bf Míra informace} náhodného jevu je funkce $I(p_\gamma)$ splòující vlastnosti
+Mějme náhodný pokus, jehož výsledky jsou jevy (mikrostavy) $\gamma\in\Omega$ s pravděpodobností $p_\gamma$. {\bf Míra informace} náhodného jevu je funkce $I(p_\gamma)$ splňující vlastnosti
 \begin{enumerate}
-\item Jev jistý má nulovou informaèní hodnotu
+\item Jev jistý má nulovou informační hodnotu
 $$p_\gamma = 1 \Longrightarrow I(p_\gamma) = 0$$
-\item S klesající pravdìpodobností jevu jeho informaèní hodnota roste
+\item S klesající pravděpodobností jevu jeho informační hodnota roste
 $$p_\gamma \longrightarrow 0 \Longrightarrow I(p_\gamma) \longrightarrow +\infty$$
-\item Jsou-li $\alpha$, $\beta$ nezávislé jevy, pak se jejich informaèní hodnoty sèítají
+\item Jsou-li $\alpha$, $\beta$ nezávislé jevy, pak se jejich informační hodnoty sčítají
 $$P\left(\alpha\cap\beta\right) = p_\alpha p_\beta \Longrightarrow I(p_\alpha p_\beta) = I(p_\alpha) + I(p_\beta)$$
 \end{enumerate}
-Tyto požadavky splòuje funkce logaritmus
+Tyto požadavky splňuje funkce logaritmus
 $$I(p_\gamma) = - k \ln p_\gamma,$$
 kde $k$ je libovolná konstanta.
-{\bf Entropie} $S$ je definována jako støední hodnota informace
+{\bf Entropie} $S$ je definována jako střední hodnota informace
 $$S = \langle I\rangle = - k \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma\ln p_\gamma .$$
-Entropie je funkcionál na prostoru pravdìpodobnostních rozdìleních. Maxima nabývá pro rovnomìrné rozdìlení.
+Entropie je funkcionál na prostoru pravděpodobnostních rozděleních. Maxima nabývá pro rovnoměrné rozdělení.
-\pr Balíèek 52 karet\\
+\pr Balíček 52 karet\\
-Známe-li poøadí karet v balíèku, je entropie jeho rozdìlení nulová. Pokud ale karty zamícháme tak, že nevíme, jak jdou za sebou, jsou všechna poøadí karet stejnì pravdìpodobná, tj. poøadí karet je dáno rovnomìrným rozdìlením. Celkový poèet možností (mikrostavù) je $|\Omega| = 52!$, takže pro všechny mikrostavy $\gamma$ je $w_\gamma = \frac{1}{52!}$. Entropie rozdìlení poøadí karet po zamíchání tedy vzroste na
+Známe-li pořadí karet v balíčku, je entropie jeho rozdělení nulová. Pokud ale karty zamícháme tak, že nevíme, jak jdou za sebou, jsou všechna pořadí karet stejně pravděpodobná, tj. pořadí karet je dáno rovnoměrným rozdělením. Celkový počet možností (mikrostavů) je $|\Omega| = 52!$, takže pro všechny mikrostavy $\gamma$ je $w_\gamma = \frac{1}{52!}$. Entropie rozdělení pořadí karet po zamíchání tedy vzroste na
 $$ S = - k \sum_{\gamma\in\Omega} \frac{1}{52!}\ln\frac{1}{52!} = k \ln 52!,$$
 což je maximální možná hodnota.\\
-Pro spojitou náhodnou velièinu $x\in\Omega$ s hustotou pravdìpodobnosti $w(x)$ se entropie definuje analogicky vztahem
+Pro spojitou náhodnou veličinu $x\in\Omega$ s hustotou pravděpodobnosti $w(x)$ se entropie definuje analogicky vztahem
 $$S = -\int\limits_\Omega w(x)\ln w(x) dx.$$
-Uvažujme nyní následující problém. Máme zadaný systém s mikrostavy $\gamma\in\Omega$ a známe støední hodnoty $\langle A_j\rangle$ velièin $A_j, j=1,\ldots, n$ definovaných na mikrostavech, pøípadnì známe nìjaké vazby mezi pravdìpodobnostmi mikrostavù $p_\gamma$ vyjádøené vztahy typu $f_j(p_\gamma) = 0$. Úkolem je najít nejpravdìpodobnìjší rozdìlení, které odpovídá zadaným podmínkám. Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení je to, k jehož sestrojení nepoužijeme žádnou informaci navíc. Má tedy maximální entropii za daných podmínek. Úloha vede na vázaný extrém funkcionálu entropie $S$.
+Uvažujme nyní následující problém. Máme zadaný systém s mikrostavy $\gamma\in\Omega$ a známe střední hodnoty $\langle A_j\rangle$ veličin $A_j, j=1,\ldots, n$ definovaných na mikrostavech, případně známe nějaké vazby mezi pravděpodobnostmi mikrostavů $p_\gamma$ vyjádřené vztahy typu $f_j(p_\gamma) = 0$. Úkolem je najít nejpravděpodobnější rozdělení, které odpovídá zadaným podmínkám. Nejpravděpodobnější rozdělení je to, k jehož sestrojení nepoužijeme žádnou informaci navíc. Má tedy maximální entropii za daných podmínek. Úloha vede na vázaný extrém funkcionálu entropie $S$.
-\section{Diskrétní velièiny}
+\section{Diskrétní veličiny}
-Pro systém se spoèetnì mnoha mikrostavy vedou podmínky typu støedních hodnot na transcendentní rovnice. Budeme proto uvažovat pouze vazby mezi pravdìpodobnostmi mikrostavù, které budou navíc lineární
+Pro systém se spočetně mnoha mikrostavy vedou podmínky typu středních hodnot na transcendentní rovnice. Budeme proto uvažovat pouze vazby mezi pravděpodobnostmi mikrostavů, které budou navíc lineární
 \begin{equation}
 \label{chap2:vazby1}
 f_j(p_\gamma) \equiv  \sum_{\gamma\in\Omega} f_j^\gamma p_\gamma  = 0,\qquad j = 1,\ldots,n
 \end{equation}
-Rozdìlení musí být navíc správnì normováno k jedné
+Rozdělení musí být navíc správně normováno k jedné
 \begin{equation}
 \label{chap2:norma}
 \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma = 1.
 \end{equation}
-Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení za podmínek (\ref{chap2:vazby1}),(\ref{chap2:norma}) je dáno vázaným extrémem entropie, který urèíme pomocí Lagrangeovy funkce
+Nejpravděpodobnější rozdělení za podmínek (\ref{chap2:vazby1}),(\ref{chap2:norma}) je dáno vázaným extrémem entropie, který určíme pomocí Lagrangeovy funkce
 $$\Lambda = -k \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma\ln p_\gamma - k \alpha\left(\sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma - 1\right) - k\sum_{j = 1}^n \lambda_j\left(\sum_{\gamma\in\Omega} f_j^\gamma p_\gamma\right).$$
 Z podmínky na extrém Lagrangeovy funkce $\frac{\partial\Lambda}{\partial p_\gamma} = 0$ dostaneme
 $$p_\gamma = e^{-1-\alpha}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_jf_j^\gamma\right).$$
-Z normalizaèní podmínky (\ref{chap2:norma}) získáme
+Z normalizační podmínky (\ref{chap2:norma}) získáme
 $$\sum_{\gamma\in\Omega}p_\gamma = e^{-1-\alpha}\sum_{\gamma\in\Omega}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right) = 1,$$
-z èehož plyne
+z čehož plyne
 $$Z \equiv e^{1+\alpha} = \sum_{\gamma\in\Omega}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right).$$
-Výraz $Z$ oznaèuje partièní sumu (Zustandsumme). Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení má tedy tvar
+Výraz $Z$ označuje partiční sumu (Zustandsumme). Nejpravděpodobnější rozdělení má tedy tvar
 $$p_\gamma = \frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right),$$
-Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se urèí dosazením $p_\gamma$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby1}).
+Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se určí dosazením $p_\gamma$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby1}).
-\section{Spojité velièiny}
+\section{Spojité veličiny}
-Mìjme nyní systém s nespoèetnì mnoha mikrostavy $x\in\Omega$. Hledáme nejpravdìpodobnìjší rozdìlení $w(x)$ za podmínek
+Mějme nyní systém s nespočetně mnoha mikrostavy $x\in\Omega$. Hledáme nejpravděpodobnější rozdělení $w(x)$ za podmínek
 \begin{eqnarray}
 \label{chap2:vazby2}
@@ Řádka 451: / Řádka 451: @@
 \int\limits_{\Omega} w(x)dx & = & 1.
 \end{eqnarray}
-Vázaný extrém funkcionálu entropie za podmínek (\ref{chap2:vazby2}),(\ref{chap2:norma2}) nalezneme pøechodem k funkcionálu
+Vázaný extrém funkcionálu entropie za podmínek (\ref{chap2:vazby2}),(\ref{chap2:norma2}) nalezneme přechodem k funkcionálu
 $$
 \Lambda = -k \int\limits_\Omega w(x)\ln w(x)dx - k  \sum_j \lambda_j\left( \int\limits_\Omega A_j(x) w(x)dx - \langle A_j\rangle \right) - k\alpha\left(\int\limits_\Omega w(x)dx - 1 \right).
@@ Řádka 463: / Řádka 463: @@
 \ln w(x) = -1 - \alpha - \sum_j \lambda_j A_j(x).
 $$
-Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení má tedy tvar
+Nejpravděpodobnější rozdělení má tedy tvar
 \begin{equation}
 \label{chap2:w:cont}
 w(x) = e^{-1-\alpha} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right),
 \end{equation}
-kde jsme zavedli partièní sumu
+kde jsme zavedli partiční sumu
 $$Z \equiv e^{1+\alpha} = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.$$
-Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se urèí dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby2}).
+Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se určí dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby2}).
-\section{Pøíklady}
+\section{Příklady}
 \bc
-Uvažujme šestistìnou kostku, u které 1 padá dvakrát èastìji než 6. Najdìte nejpravdìpodobnìjší rozdìlení výsledkù hodu kostkou.
+Uvažujme šestistěnou kostku, u které 1 padá dvakrát častěji než 6. Najděte nejpravděpodobnější rozdělení výsledků hodu kostkou.
 \ec
 \navod
 Vazbové podmínky jsou
 $$p_1 = 2 p_6,\qquad \sum_{i=1}^6 p_i = 1.$$
-Øešení má tvar
+Řešení má tvar
 \begin{eqnarray}
 \nonumber p_i & = & e^{-1-\alpha} = \frac{1}{Z},\quad i=2,3,4,5 \\
 \nonumber p_1 & = & \frac{1}{Z} e^{-\lambda},\qquad  p_6 = \frac{1}{Z} e^{2\lambda},
 \end{eqnarray}
-kde Lagrangeùv multiplikátor $\lambda$ a partièní suma $Z$ jsou rovny
+kde Lagrangeův multiplikátor $\lambda$ a partiční suma $Z$ jsou rovny
 $$
 \lambda = -\frac{1}{3}\ln 2,\qquad Z = 4 + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{2}{3}}.
@@ Řádka 492: / Řádka 492: @@
 \bc
 \label{chap2:pr2}
-Mìjme èástici na ose $x$. Víme, že její støední hodnota polohy je rovna $\mu$ a støední kvadratická odchylka polohy je $\sigma$. Urèete nejpravdìpodobnìjší rozdìlení polohy èástice.
+Mějme částici na ose $x$. Víme, že její střední hodnota polohy je rovna $\mu$ a střední kvadratická odchylka polohy je $\sigma$. Určete nejpravděpodobnější rozdělení polohy částice.
 \ec
-\navod Hledáme nejpravdìpodobnìjší rozdìlení $w(x),\ x\in\mathds{R}$ za podmínek
+\navod Hledáme nejpravděpodobnější rozdělení $w(x),\ x\in\mathds{R}$ za podmínek
 $$
 \langle x\rangle = \mu, \quad \langle x^2\rangle = \sigma^2 + \mu^2, \quad \int\limits_\mathds{R} w(x)dx = 1.
 $$
-Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení má tvar (viz. (\ref{chap2:w:cont}))
+Nejpravděpodobnější rozdělení má tvar (viz. (\ref{chap2:w:cont}))
 $$
 w(x) = \frac{1}{Z} e^{-\lambda_1 x - \lambda_2 x^2} = \frac{1}{Z} \exp\left[-\lambda_2 \left(x + \frac{\lambda_1}{2\lambda_2}\right)^2\right]e^{\frac{\lambda_1^2}{4\lambda_2}}
 $$
-Partièní sumu a Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ získáme dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek. Postupnì nalezneme
+Partiční sumu a Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ získáme dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek. Postupně nalezneme
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \int\limits_\mathds{R} w(x)dx = 1 & \Longrightarrow & Z = e^{\frac{\lambda_1^2}{4\lambda_2}}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} \\
@@ Řádka 512: / Řádka 512: @@
 \lambda_1 = -\frac{\mu}{\sigma^2},\qquad \lambda_2 = \frac{1}{2\sigma^2}.
 $$
-Po dosazení se nejpravdìpodobnìjší rozdìlení zjednoduší na tvar
+Po dosazení se nejpravděpodobnější rozdělení zjednoduší na tvar
 $$
 w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),
 $$
-což je Gaussovo normální rozdìlení s parametry $\mu$ a $\sigma$.
+což je Gaussovo normální rozdělení s parametry $\mu$ a $\sigma$.
 \bc
-Mìjme jednoatomový plyn v nádobì, která je v klidu. Plyn má teplotu $T$. Urèete nejpravdìpodobnìjší rozdìlení rychlostí atomù plynu.
+Mějme jednoatomový plyn v nádobě, která je v klidu. Plyn má teplotu $T$. Určete nejpravděpodobnější rozdělení rychlostí atomů plynu.
 \ec
-\navod Hledáme nejpravdìpodobnìjší rozdìlení $w(\vec{v})$ náhodné velièiny $\vec{v}\in\mathds{R}^3$. Protože jsou rùzné složky rychlosti nezávislé velièiny a žádný smìr není preferovaný, bude platit
+\navod Hledáme nejpravděpodobnější rozdělení $w(\vec{v})$ náhodné veličiny $\vec{v}\in\mathds{R}^3$. Protože jsou různé složky rychlosti nezávislé veličiny a žádný směr není preferovaný, bude platit
 $$
 w(\vec{v}) = w(v_1) w(v_2) w(v_3).
 $$
-Staèí tedy nalézt rozdìlení jedné složky rychlosti $v_i$. Jedna vazbová podmínka je $\langle v_i\rangle = 0$. Druhou dostaneme z ekvipartièního teorému, podle kterého má atom plynu pøi dostateènì vysoké teplotì $T$ støední hodnotu kinetické energie rovnu
+Stačí tedy nalézt rozdělení jedné složky rychlosti $v_i$. Jedna vazbová podmínka je $\langle v_i\rangle = 0$. Druhou dostaneme z ekvipartičního teorému, podle kterého má atom plynu při dostatečně vysoké teplotě $T$ střední hodnotu kinetické energie rovnu
 $$
 \langle E_k\rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} kT.
 $$
-Protože $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$, dostaneme pro støední hodnotu kvadrátu jedné složky rychlosti podmínku
+Protože $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$, dostaneme pro střední hodnotu kvadrátu jedné složky rychlosti podmínku
 $$
 \langle v_i\rangle = \frac{kT}{m}.
 $$
-Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení jedné složky rychlosti má tedy tvar (viz. Pøíklad~\ref{chap2:pr2} pro $\mu = 0$ a $\sigma^2 = \frac{kT}{m}$)
+Nejpravděpodobnější rozdělení jedné složky rychlosti má tedy tvar (viz. Příklad~\ref{chap2:pr2} pro $\mu = 0$ a $\sigma^2 = \frac{kT}{m}$)
 $$
 w(v_i) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{1}{2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT}\right).
 $$
-Rozdìlení vektoru rychlosti je potom
+Rozdělení vektoru rychlosti je potom
 $$
 w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),
 $$
-což je známé Maxwellovo rozdìlení.
+což je známé Maxwellovo rozdělení.
 \chapter{Termodynamické potenciály a identity}
@@ Řádka 547: / Řádka 547: @@
 \section{Diferenciální formy}
-{\bf Diferenciální forma } 1. stupnì je zobrazení $\omega: \mathds{R}^n\rightarrow\left(\mathds{R}^{n}\right)^*$.
+{\bf Diferenciální forma } 1. stupně je zobrazení $\omega: \mathds{R}^n\rightarrow\left(\mathds{R}^{n}\right)^*$.
-\pr Nech $f:\mathds{R}^n\rightarrow\mathds{R}$ je hladká funkce. Derivace $f$ v bodì $x_0$ je lineární funkcionál
+\pr Nechť $f:\mathds{R}^n\rightarrow\mathds{R}$ je hladká funkce. Derivace $f$ v bodě $x_0$ je lineární funkcionál
 $$
 f'(x_0) = df(x_0) = \sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x_0}dx_i .
 $$
-Diferenciál funkce je tedy diferenciální forma 1. stupnì. Obecnì mùžeme zapsat diferenciální formu ve tvaru
+Diferenciál funkce je tedy diferenciální forma 1. stupně. Obecně můžeme zapsat diferenciální formu ve tvaru
 $$
 \omega(x) = \sum_i \omega_i(x)dx_i .
 $$
-Diferenciální forma $\omega$ je {\bf exaktní}, existuje-li funkce $f$, taková, že $\omega$ je její diferenciál. $\omega$ je uzavøená, platí-li
+Diferenciální forma $\omega$ je {\bf exaktní}, existuje-li funkce $f$, taková, že $\omega$ je její diferenciál. $\omega$ je uzavřená, platí-li
 $$
 \frac{\partial\omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial\omega_j}{\partial x_i}.
 $$
-Diferenciální formy mùžeme integrovat po dráze. Je-li $\varphi:\langle a,b\rangle\rightarrow\mathds{R}^n$ dráha, pak platí
+Diferenciální formy můžeme integrovat po dráze. Je-li $\varphi:\langle a,b\rangle\rightarrow\mathds{R}^n$ dráha, pak platí
 $$
 \int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b\omega(\varphi(t))\phi'(t) dt.
@@ Řádka 574: / Řádka 574: @@
 \int\limits_{\varphi_1} \omega = \int\limits_{\varphi_2} \omega,
 $$
-pro všechny dráhy $\varphi_1, \varphi_2$ které mají spoleèný poèáteèní a koncový bod. Platí následující tvrzení:
+pro všechny dráhy $\varphi_1, \varphi_2$ které mají společný počáteční a koncový bod. Platí následující tvrzení:
 $$
 \omega \hbox{ je exaktní} \Longleftrightarrow \oint\limits_\varphi\omega = 0 \Longleftrightarrow \omega \hbox{ je konzervativní}.
 $$
-\pr První princip termodynamiky mùžeme zapsat ve tvaru
+\pr První princip termodynamiky můžeme zapsat ve tvaru
 $$
 dU = dQ - dW.
 $$
-Diferenciály $dQ$ a $dW$ nejsou exaktní. Dodané teplo a vykonaná práce závisí na tom, jaký dìj soustava koná. Diferenciál $dU$ ale exaktní je, existuje tedy funkce $U$ - vnitøní energie. Zmìna vnitøní energie tedy nezávisí na dìji, jen na poèáteèním a koncovém stavu soustavy. Proto se také $U$ øíká stavová funkce.
+Diferenciály $dQ$ a $dW$ nejsou exaktní. Dodané teplo a vykonaná práce závisí na tom, jaký děj soustava koná. Diferenciál $dU$ ale exaktní je, existuje tedy funkce $U$ - vnitřní energie. Změna vnitřní energie tedy nezávisí na ději, jen na počátečním a koncovém stavu soustavy. Proto se také $U$ říká stavová funkce.
 \section{Termodynamické potenciály}
-\subsection{Vnitøní energie}
+\subsection{Vnitřní energie}
 \label{chap3:U}
-Z prvního principu termodynamiky mùžeme vyjádøit diferenciál vnitøní energie ve tvaru
+Z prvního principu termodynamiky můžeme vyjádřit diferenciál vnitřní energie ve tvaru
 $$
 dU = T dS - P dV + \mu dN.
 $$
-Protože je to exaktní diferenciál, existuje vnitøní energie $U$ jako stavová funkce. Její pøirozené promìnné jsou $S, V, N$. Z exaktnosti $dU$ plyne
+Protože je to exaktní diferenciál, existuje vnitřní energie $U$ jako stavová funkce. Její přirozené proměnné jsou $S, V, N$. Z exaktnosti $dU$ plyne
 $$
 \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} = -P,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,N} = \mu,
 $$
-což je èást první série Maxwellových vztahù (viz. kapitola \ref{chap3:maxwell}). V termodynamické rovnováze dále platí
+což je část první série Maxwellových vztahů (viz. kapitola \ref{chap3:maxwell}). V termodynamické rovnováze dále platí
 $$
 U(S,V,N) = N U(s,v,1),\qquad s = \frac{S}{N},\quad v = \frac{V}{N}.
 $$
-Vnitøní energie je tedy homogenní funkce 1. stupnì, z èehož plyne vztah
+Vnitřní energie je tedy homogenní funkce 1. stupně, z čehož plyne vztah
 $$
 U(S,V,N) = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V + \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,N} N = TS - PV + \mu N.
 $$
-Pøi adiabatickém dìji ($dQ = 0, dS = 0$) koná soustava práci na úkor svojí vnitøní energie
+Při adiabatickém ději ($dQ = 0, dS = 0$) koná soustava práci na úkor svojí vnitřní energie
 $$
 dW_S = - dU.
@@ Řádka 615: / Řádka 615: @@
 \label{chap3:F}
-K volné energii se dostaneme od vnitøní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(T,V,N)$. Volná energie je definována jako
+K volné energii se dostaneme od vnitřní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(T,V,N)$. Volná energie je definována jako
 $$
 F = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S = U - TS.
 $$
-Pøirozené promìnné volné energie jsou $(T,V,N)$, což jsou také pøirozené promìnné kanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:K}). Pro diferenciál volné energie dostaneme vztah
+Přirozené proměnné volné energie jsou $(T,V,N)$, což jsou také přirozené proměnné kanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:K}). Pro diferenciál volné energie dostaneme vztah
 $$
 dF = dU - TdS - SdT = -SdT - PdV + \mu dN.
@@ Řádka 627: / Řádka 627: @@
 S = - \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N},\quad P = - \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial F}{\partial S}\right)_{T,V}.
 $$
-Pøi izotermickém dìji a konstantním poètu èástic koná soustava práci na úkor svojí volné energie
+Při izotermickém ději a konstantním počtu částic koná soustava práci na úkor svojí volné energie
 $$
 dW_T = - dU + TdS = -d(U - TS) = -dF.
@@ Řádka 635: / Řádka 635: @@
 \label{chap3:H}
-Entalpii dostaneme z vnitøní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(S,P,N)$
+Entalpii dostaneme z vnitřní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(S,P,N)$
 $$
 H = U - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V = U + PV.
 $$
-Pøirozené promìnné entalpie jsou tedy $(S,P,N)$. Diferenciál entalpie je roven
+Přirozené proměnné entalpie jsou tedy $(S,P,N)$. Diferenciál entalpie je roven
 $$
 dH = dU + PdV + VdP = TdS + VdP + \mu dN.
@@ Řádka 648: / Řádka 648: @@
 $$
-\subsection{Gibbsùv potenciál}
+\subsection{Gibbsův potenciál}
 \label{chap3:G}
-Ke Gibbsovu potenciálu se dostaneme Legenderovou transformací vnitøní energie vzhledem k $(S,V,N)\longrightarrow(T,P,N)$. Platí tedy
+Ke Gibbsovu potenciálu se dostaneme Legenderovou transformací vnitřní energie vzhledem k $(S,V,N)\longrightarrow(T,P,N)$. Platí tedy
 $$
 G = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} V = U - TS + PV = \mu N.
 $$
-Pøirozené promìnné Gibbsova potenciálu $(T,P,N)$ jsou také pøirozené promìnné izotermicko-izobarického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:TP}).
+Přirozené proměnné Gibbsova potenciálu $(T,P,N)$ jsou také přirozené proměnné izotermicko-izobarického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:TP}).
 Diferenciál Gibbsova potenciálu je roven
 $$
@@ Řádka 664: / Řádka 664: @@
 S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,P}.
 $$
-Vyjádøením diferenciálu $dG$ ve tvaru
+Vyjádřením diferenciálu $dG$ ve tvaru
 $$
 dG = \mu dN + Nd\mu = -SdT + VdP + \mu dN
 $$
-dostaneme Gibbs-Duhemùv vztah
+dostaneme Gibbs-Duhemův vztah
 $$
 SdT - VdP + \mu dN = 0,
 $$
-který je matematickým vyjádøením toho, že k popisu stavu soustavy nestaèí pouze intenzivní promìnné $T,P,\mu$. Vždy potøebujeme alespoò jednu extenzivní promìnnou (buï $S$, nebo $V$, nebo $N$). Z Gibbs-Duhemova vztahu se dá odvodit napø. následující rovnost
+který je matematickým vyjádřením toho, že k popisu stavu soustavy nestačí pouze intenzivní proměnné $T,P,\mu$. Vždy potřebujeme alespoň jednu extenzivní proměnnou (buď $S$, nebo $V$, nebo $N$). Z Gibbs-Duhemova vztahu se dá odvodit např. následující rovnost
 $$
 \left(\frac{\partial P}{\partial \mu}\right)_{T} = \frac{N}{V}.
@@ Řádka 680: / Řádka 680: @@
 \label{chap3:GK}
-Grandkanonický potenciál dostaneme z vnitøní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow (T,V,\mu)$
+Grandkanonický potenciál dostaneme z vnitřní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow (T,V,\mu)$
 $$
 \Omega = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} N = U - TS - \mu N = -PV.
 $$
-Pøirozené promìnné grandkanonického potenciálu jsou $(T,V,\mu)$, což jsou také pøirozené promìnné grandkanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:GK}). Diferenciál $\Omega$ je roven
+Přirozené proměnné grandkanonického potenciálu jsou $(T,V,\mu)$, což jsou také přirozené proměnné grandkanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:GK}). Diferenciál $\Omega$ je roven
 $$
 d\Omega = -SdT - PdV - Nd\mu.
@@ Řádka 692: / Řádka 692: @@
 \label{chap3:maxwell}
-Shròme si nejprve diferenciály termodynamických potenciálù
+Shrňme si nejprve diferenciály termodynamických potenciálů
 \begin{eqnarray}
 \nonumber dU & = & TdS - PdV + \mu dN \\
@@ Řádka 700: / Řádka 700: @@
 \nonumber d\Omega & = & -SdT - PdV - Nd\mu.
 \end{eqnarray}
-Z jejich exaktnosti plyne 1. série Maxwellových vztahù
+Z jejich exaktnosti plyne 1. série Maxwellových vztahů
 \begin{eqnarray}
 \nonumber T & = & \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N} \\
@@ Řádka 707: / Řádka 707: @@
 \nonumber V & = & \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N}.
 \end{eqnarray}
-Pokud jsou navíc potenciály dostateènì hladké funkce, pak ze zámìnosti druhých parciálních derivací dostaneme 2. sérii Maxwellových vztahù
+Pokud jsou navíc potenciály dostatečně hladké funkce, pak ze záměnosti druhých parciálních derivací dostaneme 2. sérii Maxwellových vztahů
 \begin{eqnarray}
 \nonumber dU & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} = - \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V,N} \\
@@ Řádka 715: / Řádka 715: @@
 \end{eqnarray}
-\section{Jakobiány, zámìna promìnných}
+\section{Jakobiány, záměna proměnných}
-Uvažujme hladké zobrazení $f: (x,y)\mapsto (u,v)$. Jeho derivace v bodì $(x_0,y_0)$ je matice
+Uvažujme hladké zobrazení $f: (x,y)\mapsto (u,v)$. Jeho derivace v bodě $(x_0,y_0)$ je matice
 $$
 df(x_0,y_0) = \left(
@@ Řádka 726: / Řádka 726: @@
                \right)_{(x_0,y_0)}.
 $$
-{\bf Jakobián} zobrazení $f$ je determinant matice derivace (pro jednoduchost zápisu nebudeme explicitnì vypisovat bod $(x_0,y_0)$.)
+{\bf Jakobián} zobrazení $f$ je determinant matice derivace (pro jednoduchost zápisu nebudeme explicitně vypisovat bod $(x_0,y_0)$.)
 $$
 \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \left|
@@ Řádka 735: / Řádka 735: @@
                \right| = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} - \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y}.
 $$
-Pomocí jakobiánu mùžeme vyjádøit parciální derivaci
+Pomocí jakobiánu můžeme vyjádřit parciální derivaci
 $$\frac{\partial(u,y)}{\partial(x,y)} = \left|
                  \begin{array}{cc}
@@ Řádka 744: / Řádka 744: @@
 Z vlastností determinantu pro jakobiány plynou vztahy:
 \begin{enumerate}
-\item Prohození promìnných odpovídá zmìnì znaménka
+\item Prohození proměnných odpovídá změně znaménka
 $$\frac{\partial(v,u)}{\partial(x,y)} = -\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$$
-\item Jakobián inverzního zobrazení je pøevrácená hodnota
+\item Jakobián inverzního zobrazení je převrácená hodnota
 $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}$$
-\item Jakobián mùžeme rozšíøit jednièkou
+\item Jakobián můžeme rozšířit jedničkou
 $$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(t,s)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(x,y)}$$
 \end{enumerate}
-Pøi úpravì parciálních derivací je èasto potøeba pøejít k novým promìnným. Uvažujme funkci $f(x,y)$, její diferenciál je
+Při úpravě parciálních derivací je často potřeba přejít k novým proměnným. Uvažujme funkci $f(x,y)$, její diferenciál je
 \begin{equation}
 \label{chap3:df1}
 df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} dy.
 \end{equation}
-Od promìnné $y$ pøejdeme k nové promìnné $z$. V nových promìnných $(x,z)$ má diferenciál funkce $f$ tvar
+Od proměnné $y$ přejdeme k nové proměnné $z$. V nových proměnných $(x,z)$ má diferenciál funkce $f$ tvar
 \begin{equation}
 \label{chap3:df2}
 df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x} dz.
 \end{equation}
-Abychom mohli pøedchozí výrazy porovnat, budeme uvažovat $z$ jako funkci $(x,y)$. Diferenciál $dz$ pak mùžeme zapsat ve tvaru
+Abychom mohli předchozí výrazy porovnat, budeme uvažovat $z$ jako funkci $(x,y)$. Diferenciál $dz$ pak můžeme zapsat ve tvaru
 $$
 dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy.
@@ Řádka 771: / Řádka 771: @@
 df = \left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\right]dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy.
 \end{equation}
-Porovnáním koeficientù u diferenciálù $dx$ a $dy$ ve výrazech (\ref{chap3:df1}) a (\ref{chap3:df3}) dostaneme vztahy
+Porovnáním koeficientů u diferenciálů $dx$ a $dy$ ve výrazech (\ref{chap3:df1}) a (\ref{chap3:df3}) dostaneme vztahy
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} \\
@@ Řádka 777: / Řádka 777: @@
 \end{eqnarray}
-\section{Pøíklady}
+\section{Příklady}
 \bc
@@ Řádka 785: / Řádka 785: @@
 $$
 \ec
-\navod Analogie 2. série Maxwellových vztahù pro diferenciál entropie.
+\navod Analogie 2. série Maxwellových vztahů pro diferenciál entropie.
 \bc
@@ Řádka 792: / Řádka 792: @@
 C_P = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{P} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},\qquad C_V = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{V} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}.
 $$
-Dokažte Mayerùv vztah
+Dokažte Mayerův vztah
 $$
 C_P - C_V = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
 $$
 \ec
-\navod Vyjádøete diferenciál entropie v promìnných $T,P$ a pøeveïte ho do promìnných $T,V$.
+\navod Vyjádřete diferenciál entropie v proměnných $T,P$ a převeďte ho do proměnných $T,V$.
 \bc
@@ Řádka 820: / Řádka 820: @@
 $$
 \ec
-\navod Vyjádøete diferenciál $dP$ v promìnných $T,V$ a pøeveïte ho do promìnných $T,S$.
+\navod Vyjádřete diferenciál $dP$ v proměnných $T,V$ a převeďte ho do proměnných $T,S$.
 \bc
@@ Řádka 828: / Řádka 828: @@
 $$
 \ec
-\navod Využijte toho, že pøi $G=konst.$ je $dG = -SdT + VdP = 0$.
+\navod Využijte toho, že při $G=konst.$ je $dG = -SdT + VdP = 0$.
@@ Řádka 834: / Řádka 834: @@
 \bc
-Urèete entropii $n$ molù ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$.
+Určete entropii $n$ molů ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$.
 \ec
 \vysl $S(T,V,n) = nC_V \ln{T} + nR\ln{V} - nR\ln{n} + K n$.
 \bc
-Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický dìj. Pøi nìm si vymìòuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Urèete rovnici polytropy v promìnných $T,V$, $P,V$, a $T,P$. Diskutujte speciální pøípady adiabaty, izobary, izochory a izotermy.
+Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický děj. Při něm si vyměňuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Určete rovnici polytropy v proměnných $T,V$, $P,V$, a $T,P$. Diskutujte speciální případy adiabaty, izobary, izochory a izotermy.
 \ec
-\navod Zavedeme stupeò polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru
+\navod Zavedeme stupeň polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru
 $$
 TV^{\alpha-1} = konst.,\quad PV^\alpha = konst.,\quad TP^{-\frac{\alpha-1}{\alpha}} = konst.
@@ Řádka 847: / Řádka 847: @@
 \bc
-Nech vnitøní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$.
+Nechť vnitřní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$.
 \ec
-\navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerùv vztah
+\navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerův vztah
 \bc
-Nech pro vnitøní energii plynu platí
+Nechť pro vnitřní energii plynu platí
 $$
 U = a \frac{S^3}{NV},\quad a>0.
 $$
-Urèete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v promìnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$.
+Určete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v proměnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$.
 \ec
 \vysl a) $ S = \sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, b) $P = \sqrt{\frac{NT^3}{27 aV}}$, c) $C_P - C_V = \frac{3}{2} S =\frac{3}{2}\sqrt{TVN}{3a}$, d) $\mu = -\frac{T^3}{27aP}$
@@ Řádka 866: / Řádka 866: @@
 \nonumber C_V & = & \frac{3}{2} R - \frac{R^2}{V} \frac{d}{dT}\left(T^\alpha \frac{d}{dT}B(T)\right).
 \end{eqnarray}
-Urèete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byli kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spoèítejte entropii plynu $S(T,V)$.
+Určete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byli kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spočítejte entropii plynu $S(T,V)$.
 \ec
-\navod Pro urèení hodnoty $\alpha$ použijte vztah
+\navod Pro určení hodnoty $\alpha$ použijte vztah
 $$
 \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_V.
 $$
-Entropie se urèí integrací jejích parciálních derivací
+Entropie se určí integrací jejích parciálních derivací
 $$
 \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{C_V}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V.
@@ Řádka 882: / Řádka 882: @@
 PV = A(T) + B(T) P + C(T) P^2 + \ldots .
 $$
-Urèete tvar závislosti $C_P$ na teplotì a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn?
+Určete tvar závislosti $C_P$ na teplotě a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn?
 \ec
 \navod $C_P$ až na funkci teploty dostaneme integrací vztahu
@@ Řádka 888: / Řádka 888: @@
 \left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P.
 $$
-Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita pøi konstantním tlaku mùže být maximálnì funkcí teploty.
+Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita při konstantním tlaku může být maximálně funkcí teploty.
 \bc
@@ Řádka 895: / Řádka 895: @@
 S(T,V) = R\frac{V}{V_0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha.
 $$
-Navíc víme, že plyn pøi izotermické expanzi pøi teplotì $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci
+Navíc víme, že plyn při izotermické expanzi při teplotě $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci
 $$
 W_T = RT_0\ln{\frac{V}{V_0}}.
 $$
-Urèete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu.
+Určete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu.
 \ec
-\navod Volnou energii až na neurèenou funkci objemu získáme integrací entropie pøes teplotu, protože platí
+\navod Volnou energii až na neurčenou funkci objemu získáme integrací entropie přes teplotu, protože platí
 $$
 \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S.
 $$
-Dodateènou funkci objemu urèíme z toho, že pøi izotermickém dìji plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy
+Dodatečnou funkci objemu určíme z toho, že při izotermickém ději plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy
 $$
 dW_T = -dF\quad \Longrightarrow\quad W_T = F(T_0,V_0) - F(T_0,V).
@@ Řádka 913: / Řádka 913: @@
 F(T,V) = -R\frac{V}{V_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha \frac{T}{\alpha+1} + RT_0\left(\frac{V}{V_0(\alpha+1)} - \ln {V}\right)
 $$
-Stavovou rovnici urèíme ze vztahu
+Stavovou rovnici určíme ze vztahu
 $$
 P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{RT_0}{V_0}\left(\frac{V_0}{V} - \frac{1}{\alpha+1} + \frac{1}{\alpha+1}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\alpha+1}\right).
@@ Řádka 919: / Řádka 919: @@
 \bc
-Mìjme dvì stejná množství plynu, jedno s teplotou $T_1$, druhé s teplotou $T_2<T_1$. Plyny smícháme. Jaká je maximální a minimální možná výsledná teplota plynu? Urèete maximální práci, kterou mùžeme smícháním plynù získat. Pøedpokládejte, že tepelná kapacita plynu je konstantní.
+Mějme dvě stejná množství plynu, jedno s teplotou $T_1$, druhé s teplotou $T_2<T_1$. Plyny smícháme. Jaká je maximální a minimální možná výsledná teplota plynu? Určete maximální práci, kterou můžeme smícháním plynů získat. Předpokládejte, že tepelná kapacita plynu je konstantní.
 \ec
 \navod Maximální výslednou teplotu získáme, pokud neodebereme žádné teplo ke konání práce, tedy
@@ Řádka 925: / Řádka 925: @@
 Q_1 = C(T_1-T_{\rm max}) = Q_2 = C(T_{\rm max}-T_2)
 $$
-Pokud nìjaké teplo odebereme ke konání práce, bude výsledná teplota nižší. Je-li teplota po smíchání $T_0$, pak mùžeme získat práci
+Pokud nějaké teplo odebereme ke konání práce, bude výsledná teplota nižší. Je-li teplota po smíchání $T_0$, pak můžeme získat práci
 $$
 W(T_0) = C(T_1 + T_2 - 2T_0).
 $$
-Maximální práce tak odpovídá minimální výsledné teplotì. Ta je omezena tím, že entropie soustavy se nemùže zmenšit
+Maximální práce tak odpovídá minimální výsledné teplotě. Ta je omezena tím, že entropie soustavy se nemůže zmenšit
 $$
 \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \int\limits_{T_1}^{T_0} dS + \int\limits_{T_2}^{T_0} dS \geq 0.
 $$
-V našem pøípadì je minimální teplota dána vztahem
+V našem případě je minimální teplota dána vztahem
 $$
 T_{\rm min} = \sqrt{T_1 T_2},
@@ Řádka 946: / Řádka 946: @@
 \chapter{Statistické soubory - Hamiltonovské systémy}
-\section{Partièní suma}
+\section{Partiční suma}
-Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\Omega$. Systém má pevné støední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na mikrostavech. Víme tedy, že nejpravdìpodobnìjší (rovnovážné) rozdìlení systému má tvar
+Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\Omega$. Systém má pevné střední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na mikrostavech. Víme tedy, že nejpravděpodobnější (rovnovážné) rozdělení systému má tvar
 $$
 w(x) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right),
 $$
-kde $Z$ je partièní suma
+kde $Z$ je partiční suma
 $$
 Z(\lambda_j) = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.
 $$
-Ukážeme si, že vìtšinu informací o systému mùžeme získat i bez znalosti nejpravdìpodobnìjšího rozdìlení, a sice pøímo z partièní sumy. Partièní sumu nyní budeme chápat jako funkci Lagrangeových multiplikátorù $\lambda_j$.
+Ukážeme si, že většinu informací o systému můžeme získat i bez znalosti nejpravděpodobnějšího rozdělení, a sice přímo z partiční sumy. Partiční sumu nyní budeme chápat jako funkci Lagrangeových multiplikátorů $\lambda_j$.
 \begin{enumerate}
-\item Entropie rovnovážného rozdìlení je dána souètem $\ln Z$ a støedních hodnot pozorovatelných vynásobených pøislušnými Lagrangeovými multiplikátory
+\item Entropie rovnovážného rozdělení je dána součtem $\ln Z$ a středních hodnot pozorovatelných vynásobených přislušnými Lagrangeovými multiplikátory
 \begin{eqnarray}
 \nonumber S & = & - k \int\limits_\Omega w(x) \ln w(x) dx = -k \int\limits_\Omega w(x) \ln\left(\frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)\right) dx\\
@@ Řádka 966: / Řádka 966: @@
 \label{chap5:S}
 \end{eqnarray}
-\item Støední hodnoty se vyjádøí derivací logaritmu $Z$ podle pøíslušného Lagrangeova multiplikátoru
+\item Střední hodnoty se vyjádří derivací logaritmu $Z$ podle příslušného Lagrangeova multiplikátoru
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \frac{\partial\ln Z}{\partial\lambda_i} & = & \frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i} = - \int\limits_\Omega A_i(x) \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) dx = - \int\limits_\Omega A_i(x) w(x) dx\\
@@ Řádka 972: / Řádka 972: @@
 \label{chap5:mean}
 \end{eqnarray}
-\item Kovariance (míra závislosti dvou pozorovatelných) je dána druhou derivací $\ln Z$ podle pøíslušných Lagrangeových multiplikátorù
+\item Kovariance (míra závislosti dvou pozorovatelných) je dána druhou derivací $\ln Z$ podle příslušných Lagrangeových multiplikátorů
 \begin{eqnarray}
 \nonumber \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} & = & \frac{\partial}{\partial\lambda_i}\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j}\right) = \frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} - \frac{1}{Z^2}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j} \\
@@ Řádka 979: / Řádka 979: @@
 \label{chap5:kov}
 \end{eqnarray}
-\item Variance je speciální pøípad pøedchozího vztahu pro $i=j$
+\item Variance je speciální případ předchozího vztahu pro $i=j$
 \begin{equation}
 \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i^2} = \langle A_i^2\rangle - \langle A_i\rangle^2 = \left(\Delta A_i\right)^2.
@@ Řádka 986: / Řádka 986: @@
 \end{enumerate}
-V následujícím budeme uvažovat systém (plyn), který je tvoøen identickými neinteragujícími èásticemi. Prostor mikrostavù jedné èástice je její fázový prostor $\Omega_j = \Gamma$, pro soubor $N$ èástic pak platí
+V následujícím budeme uvažovat systém (plyn), který je tvořen identickými neinteragujícími částicemi. Prostor mikrostavů jedné částice je její fázový prostor $\Omega_j = \Gamma$, pro soubor $N$ částic pak platí
 $$
 \Omega = \underbrace{\Gamma \times \Gamma \times \ldots \times \Gamma}_{N\times} = \Gamma_N.
 $$
-Roli funkcí $A_j$ budou hrát pozorovatelné velièiny (napø. energie, poèet èástic, objem,...). Jejich støední hodnoty ale neznáme, naopak, chtìli bychom je urèit. Využijeme toho, že odpovídající Lagrangeovy multiplikátory jsou pøímo spojené s nìjakou intenzivní velièinou (teplota, chemický potenciál, tlak,...), která vlastnì definuje podmínku na støední hodnotu dané pozorovatelné velièiny. Pøesný fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorù urèíme porovnáním statistické entropie pro odpovídající rovnovážné rozdìlení (\ref{chap5:S}) s entropií termodynamickou. Úlohu tedy mùžeme otoèit. Nejprve urèíme partièní sumu jako funkci Lagrangeových multiplikátorù, tj. jako funkci fyzikálních parametrù soustavy. Støední hodnoty pozorovatelných (vnitøní energie, støední poèet èástic, støední objem,...), jejich fluktuace atd. pak urèíme pomocí vztahù (\ref{chap5:mean}), (\ref{chap5:kov}) a (\ref{chap5:flukt}).
+Roli funkcí $A_j$ budou hrát pozorovatelné veličiny (např. energie, počet částic, objem,...). Jejich střední hodnoty ale neznáme, naopak, chtěli bychom je určit. Využijeme toho, že odpovídající Lagrangeovy multiplikátory jsou přímo spojené s nějakou intenzivní veličinou (teplota, chemický potenciál, tlak,...), která vlastně definuje podmínku na střední hodnotu dané pozorovatelné veličiny. Přesný fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů určíme porovnáním statistické entropie pro odpovídající rovnovážné rozdělení (\ref{chap5:S}) s entropií termodynamickou. Úlohu tedy můžeme otočit. Nejprve určíme partiční sumu jako funkci Lagrangeových multiplikátorů, tj. jako funkci fyzikálních parametrů soustavy. Střední hodnoty pozorovatelných (vnitřní energie, střední počet částic, střední objem,...), jejich fluktuace atd. pak určíme pomocí vztahů (\ref{chap5:mean}), (\ref{chap5:kov}) a (\ref{chap5:flukt}).
@@ Řádka 996: / Řádka 996: @@
 \label{chap5:K}
-Mìjme plyn v objemu $V$, který je v tepelné rovnováze s okolím o teplotì $T$. Poèet èástic plynu $N$ zùstává konstantní. Parametry kanonického souboru jsou $T,V,N$, což jsou pøirozené promìnné volné energie (viz. kapitola \ref{chap3:F}). Celková energie plynu je dána souètem hamiltoniánù jednotlivých èástic
+Mějme plyn v objemu $V$, který je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Počet částic plynu $N$ zůstává konstantní. Parametry kanonického souboru jsou $T,V,N$, což jsou přirozené proměnné volné energie (viz. kapitola \ref{chap3:F}). Celková energie plynu je dána součtem hamiltoniánů jednotlivých částic
 $$
 H_N = \sum_{j=1}^N H(q_j,p_j),
 $$
-kde $q_j$ jsou souøadnice a $p_j$ hybnosti $j$-té èástice. Celková energie plynu ale není pøesnì urèená. Protože plyn má teplotu $T$, jeho energie fluktuuje kolem jisté støední hodnoty, kterou je vnitøní energie
+kde $q_j$ jsou souřadnice a $p_j$ hybnosti $j$-té částice. Celková energie plynu ale není přesně určená. Protože plyn má teplotu $T$, jeho energie fluktuuje kolem jisté střední hodnoty, kterou je vnitřní energie
 \begin{equation}
 \label{chap5:U}
 \langle H_N\rangle = \int\limits_{\Gamma_N} H_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) d\mathbf{q}d\mathbf{p} = U.
 \end{equation}
-Lagrangeùv multiplikátor odpovídající této vazbì oznaèíme $\beta$. Hustota pravdìpodobnosti $w_N(\mathbf{q},\mathbf{p})$ je nejpravdìpodobnìjší (rovnovážné) rozdìlení $N$ èástic plynu na jejich fázovém prostoru $\Gamma_N$
+Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $\beta$. Hustota pravděpodobnosti $w_N(\mathbf{q},\mathbf{p})$ je nejpravděpodobnější (rovnovážné) rozdělení $N$ částic plynu na jejich fázovém prostoru $\Gamma_N$
 $$
 w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \frac{1}{Z_K} \exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right),
 $$
-kde $Z_K$ je {\bf kanonická partièní suma} (Maxwell-Boltzmannnova statistika)
+kde $Z_K$ je {\bf kanonická partiční suma} (Maxwell-Boltzmannnova statistika)
 $$
 Z_K = \frac{1}{\hbar^{3N}}\int\limits_{\Gamma_N}\exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right)d\mathbf{q}d\mathbf{p}.
 $$
-Faktor $\hbar^{-3N}$ jsme pøidali kvùli tomu, aby partièní suma byla bezrozmìrná. Protože èástice plynu mezi sebou neinteragují, mùžeme integrál pøes $\Gamma_N$ zjednodušit
+Faktor $\hbar^{-3N}$ jsme přidali kvůli tomu, aby partiční suma byla bezrozměrná. Protože částice plynu mezi sebou neinteragují, můžeme integrál přes $\Gamma_N$ zjednodušit
 $$
 Z_K = \left(\frac{1}{\hbar^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp\right)^N  = z^N,
 $$
-kde $z$ oznaèuje {\bf jednoèásticovou partièní sumu}. Takto zavedená kanonická partièní suma ale vede na entropii, která není aditivní. Proto budeme uvažovat korigovanou Maxwell-Boltzmannnovu statistiku, kde
+kde $z$ označuje {\bf jednočásticovou partiční sumu}. Takto zavedená kanonická partiční suma ale vede na entropii, která není aditivní. Proto budeme uvažovat korigovanou Maxwell-Boltzmannnovu statistiku, kde
 \begin{equation}
 \label{chap5:Zk}
 Z_K = \frac{1}{N!} z^N,\quad z = \frac{1}{\hbar^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp.
 \end{equation}
-Urèeme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\beta$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdìlení
+Určeme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\beta$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdělení
 $$
 S = k \ln Z_K + k\beta U,
 $$
-což mùžeme upravit do tvaru
+což můžeme upravit do tvaru
 $$
 -\frac{1}{\beta} \ln Z_K = U - \frac{1}{k\beta} S.
 $$
-Výraz na pravé stranì je roven volné energii $F$, pokud zvolíme $\beta = \frac{1}{kT}$. Lagrangeùv multiplikátor $\beta$ má tedy význam inverzní teploty, jeho rozmìr je $\left[\beta\right] = J^{-1}$. To souvisí s tím, že $\beta$ je multiplikátor odpovídající vazbì na støední hodnotu energie. Souèin $\beta H(q,p)$ je tedy bezrozmìrný, a díky faktoru $\hbar^{-3}$ jsou bezrozmìrné jednoèásticová i kanonická partièní suma. V kanonickém souboru tedy platí
+Výraz na pravé straně je roven volné energii $F$, pokud zvolíme $\beta = \frac{1}{kT}$. Lagrangeův multiplikátor $\beta$ má tedy význam inverzní teploty, jeho rozměr je $\left[\beta\right] = J^{-1}$. To souvisí s tím, že $\beta$ je multiplikátor odpovídající vazbě na střední hodnotu energie. Součin $\beta H(q,p)$ je tedy bezrozměrný, a díky faktoru $\hbar^{-3}$ jsou bezrozměrné jednočásticová i kanonická partiční suma. V kanonickém souboru tedy platí
 $$
 U = -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta},\quad F = -kT \ln Z_K.
 $$
-Stavovou rovnici plynu pak urèíme z Maxwellova vztahu
+Stavovou rovnici plynu pak určíme z Maxwellova vztahu
 $$
 P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}
@@ Řádka 1 043: / Řádka 1 043: @@
 \label{chap5:GK}
-Uvažujme opìt plyn v koneèném objemu $V$, který je tepelné rovnováze s okolím o teplotì $T$. Této podmínce odpovídá vazba na støední hodnotu energie plynu (\ref{chap5:U}). Plyn má chemický potenciál $\mu$. Parametry grandkanonického souboru jsou $T,V,\mu$, což jsou pøirozené promìnné grandkanonického potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:GK}). V grandkanonickém souboru poèet èástic plynu $N$ není konstantní, ale mùže se mìnit (v principu od nuly do nekoneèna). Máme tedy další vazbu, konkrétnì na støední hodnotu poètu èástic $\langle N\rangle$. Lagrangeùv multiplikátor odpovídající této vazbì oznaèíme $-\alpha$. {\bf Grandkanonická partièní suma} je pak definovaná vztahem
+Uvažujme opět plyn v konečném objemu $V$, který je tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Této podmínce odpovídá vazba na střední hodnotu energie plynu (\ref{chap5:U}). Plyn má chemický potenciál $\mu$. Parametry grandkanonického souboru jsou $T,V,\mu$, což jsou přirozené proměnné grandkanonického potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:GK}). V grandkanonickém souboru počet částic plynu $N$ není konstantní, ale může se měnit (v principu od nuly do nekonečna). Máme tedy další vazbu, konkrétně na střední hodnotu počtu částic $\langle N\rangle$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $-\alpha$. {\bf Grandkanonická partiční suma} je pak definovaná vztahem
 $$
 Z_G = \sum_{N=0}^{+\infty} e^{\alpha N} Z_K(N),
 $$
-kde $Z_K(N)$ je kanonická partièní suma souboru $N$ èástic (\ref{chap5:Zk}). Suma se dá snadno seèíst (je to Taylorùv rozvoj exponenciely), takže platí
+kde $Z_K(N)$ je kanonická partiční suma souboru $N$ částic (\ref{chap5:Zk}). Suma se dá snadno sečíst (je to Taylorův rozvoj exponenciely), takže platí
 \begin{equation}
 \label{chap5:Zg}
 Z_G = \exp\left(z e^\alpha\right),
 \end{equation}
-kde $z$ je jednoèásticová partièní suma.
+kde $z$ je jednočásticová partiční suma.
-Fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorù $\alpha,\beta$ opìt urèíme ze vztahu pro entropii rovnovážného rozdìlení
+Fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů $\alpha,\beta$ opět určíme ze vztahu pro entropii rovnovážného rozdělení
 $$
 S = k\ln{Z_G} + k\beta U - k\alpha\langle N\rangle.
 $$
-Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle N\rangle$ pouze $N$. Výraz pro entropii mùžeme upravit do tvaru
+Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle N\rangle$ pouze $N$. Výraz pro entropii můžeme upravit do tvaru
 $$
 -\frac{1}{\beta}\ln{Z_G} = U - \frac{1}{k\beta}S - \frac{\alpha}{\beta}N.
 $$
-Výraz na pravé stranì je roven grandkanonickému potenciálu, pokud zvolíme
+Výraz na pravé straně je roven grandkanonickému potenciálu, pokud zvolíme
 $$
 \beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}.
 $$
-Lagrangeùv multiplikátor $\alpha$ je bezrozmìrný, v souladu s tím, že $\alpha$ odpovídá vazbì na støední poèet èástic, což je bezrozmìrná velièina. Ze vztahu (\ref{chap5:Zg}) je vidìt, že i grandkanonická partièní suma je bezrozmìrná. V grandkanonickém souboru platí
+Lagrangeův multiplikátor $\alpha$ je bezrozměrný, v souladu s tím, že $\alpha$ odpovídá vazbě na střední počet částic, což je bezrozměrná veličina. Ze vztahu (\ref{chap5:Zg}) je vidět, že i grandkanonická partiční suma je bezrozměrná. V grandkanonickém souboru platí
 $$
 U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = +\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
 $$
-Stavovou rovnici plynu urèíme pøímo z grandkanonického potenciálu, protože platí
+Stavovou rovnici plynu určíme přímo z grandkanonického potenciálu, protože platí
 $$
 \Omega = -PV = -kT\ln{Z_G}.
@@ Řádka 1 079: / Řádka 1 079: @@
 \label{chap5:TP}
-Uvažujme nyní plyn, který má teplotu $T$. Poèet èástic se nemìní a je roven $N$. Místo objemu je ale nyní zafixován tlak plynu $P$. Parametry izotermicko-izobarického souboru jsou tedy $T,P,N$, což jsou pøirozené promìnné Gibbsova potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:G}). Objem plynu $V$ mùže fluktuovat kolem své støední hodnoty $\langle V\rangle$. Lagrangeùv multiplikátor odpovídající této vazbì oznaèíme $\gamma$. Partièní suma izotermicko-izobarického souboru je potom rovna
+Uvažujme nyní plyn, který má teplotu $T$. Počet částic se nemění a je roven $N$. Místo objemu je ale nyní zafixován tlak plynu $P$. Parametry izotermicko-izobarického souboru jsou tedy $T,P,N$, což jsou přirozené proměnné Gibbsova potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:G}). Objem plynu $V$ může fluktuovat kolem své střední hodnoty $\langle V\rangle$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $\gamma$. Partiční suma izotermicko-izobarického souboru je potom rovna
 $$
 \widetilde{Z} = \gamma\int\limits_0^{+\infty} e^{-\gamma V} Z_K dV,
 $$
-kde $Z_K$ je kanonická partièní suma pro $N$ èástic plynu v objemu $V$ (\ref{chap5:Zk}). Faktor $\gamma$ jsme pøidali kvùli tomu, aby výsledná partièní suma byla bezrozmìrná.
+kde $Z_K$ je kanonická partiční suma pro $N$ částic plynu v objemu $V$ (\ref{chap5:Zk}). Faktor $\gamma$ jsme přidali kvůli tomu, aby výsledná partiční suma byla bezrozměrná.
-Urèíme fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorù $\beta$ a $\gamma$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdìlení
+Určíme fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů $\beta$ a $\gamma$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdělení
 $$
 S = k\ln{\widetilde{Z}} + k\beta U + k\gamma \langle V\rangle.
 $$
-Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle V\rangle$ pouze $V$. Entropii rovnovážného rozdìlení upravíme do tvaru
+Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle V\rangle$ pouze $V$. Entropii rovnovážného rozdělení upravíme do tvaru
 $$
 -\frac{1}{\beta}\ln{\widetilde{Z}} = U - \frac{1}{k\beta} S + \frac{\gamma}{\beta} V.
 $$
-Výraz na pravé stranì je roven Gibbsovu potenciálu, pokud zvolíme
+Výraz na pravé straně je roven Gibbsovu potenciálu, pokud zvolíme
 $$
 \beta = \frac{1}{kT},\quad \gamma = \frac{P}{kT}.
 $$
-Rozmìr Lagrangeova multiplikátoru $\gamma$ je tedy $\left[\gamma\right] = m^{-3}$. To koresponduje s tím, že $\gamma$ je Lagrangeùv multiplikátor vazby na støední hodnotu objemu. V izotermicko-izobarickém souboru platí
+Rozměr Lagrangeova multiplikátoru $\gamma$ je tedy $\left[\gamma\right] = m^{-3}$. To koresponduje s tím, že $\gamma$ je Lagrangeův multiplikátor vazby na střední hodnotu objemu. V izotermicko-izobarickém souboru platí
 $$
 U = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\beta}\right)_\gamma,\quad V = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\gamma}\right)_\beta,\quad G = -kT\ln\widetilde{Z}.
 $$
-Stavovou rovnici plynu urèíme ze vztahu pro støední hodnotu objemu.
+Stavovou rovnici plynu určíme ze vztahu pro střední hodnotu objemu.
-\section{Pøíklady}
+\section{Příklady}
 \bc
-$N$ molekul klasického ideálního plynu je v objemu $V$ pøi teplotì $T$. Najdìte kanonickou partièní sumu $Z_K$, stavovou rovnici, vnitøní energii a tepelnou kapacitu plynu.
+$N$ molekul klasického ideálního plynu je v objemu $V$ při teplotě $T$. Najděte kanonickou partiční sumu $Z_K$, stavovou rovnici, vnitřní energii a tepelnou kapacitu plynu.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 116: / Řádka 1 116: @@
 \bc
-Ideální ultrarelativistický plyn je v objemu $V$ pøi teplotì $T$ a má chemický potenciál $\mu$. Najdìte grandkanonickou partièní sumu $Z_G$, stavovou rovnici, støední poèet èástic a  vnitøní energii.
+Ideální ultrarelativistický plyn je v objemu $V$ při teplotě $T$ a má chemický potenciál $\mu$. Najděte grandkanonickou partiční sumu $Z_G$, stavovou rovnici, střední počet částic a  vnitřní energii.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 125: / Řádka 1 125: @@
 \bc
-$N$ molekul klasického ideálního plynu má teplotu $T$ a tlak $P$. Najdìte partièní sumu $\widetilde{Z}$ izotermicko-izobarického souboru, stavovou rovnici a vnitøní energii.
+$N$ molekul klasického ideálního plynu má teplotu $T$ a tlak $P$. Najděte partiční sumu $\widetilde{Z}$ izotermicko-izobarického souboru, stavovou rovnici a vnitřní energii.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 134: / Řádka 1 134: @@
 \bc
-Soubor $N$ klasických jednorozmìrných harmonických oscilátorù je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$. Urèete kanonickou partièní sumu souboru a vnitøní energii.
+Soubor $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 142: / Řádka 1 142: @@
 \bc
-$N$ èástic klasického ideálního plynu o teplotì $T$ je ve válci, který rotuje kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Výška válce je $h$ a polomìr $R$. Díky kontaktu plynu se stìnou rotujícího válce mají èástice plynu nenulovou støední hodnotu $z$-ové složky momentu hybnosti $\langle L_z\rangle$. Fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru pøíslušného této vazbì je dán tím, že plyn korotuje s válcem a jeho èástice mají stejnou støední úhlovou rychlost $\omega$.  Urèete rovnovážné pravdìpodobnostní rozdìlení $w(\vec{r},\vec{p})$, závislost hustoty poètu èástic v nádobì na vzdálenosti od osy rotace $n(r_\bot)$ a kanonickou partièní sumu $Z_K$ .
+$N$ částic klasického ideálního plynu o teplotě $T$ je ve válci, který rotuje kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Výška válce je $h$ a poloměr $R$. Díky kontaktu plynu se stěnou rotujícího válce mají částice plynu nenulovou střední hodnotu $z$-ové složky momentu hybnosti $\langle L_z\rangle$. Fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru příslušného této vazbě je dán tím, že plyn korotuje s válcem a jeho částice mají stejnou střední úhlovou rychlost $\omega$.  Určete rovnovážné pravděpodobnostní rozdělení $w(\vec{r},\vec{p})$, závislost hustoty počtu částic v nádobě na vzdálenosti od osy rotace $n(r_\bot)$ a kanonickou partiční sumu $Z_K$ .
 \ec
 \navod
-Uvažujme nejprve obecnou rotaci s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$. Lagrangeùv multiplikátor odpovídající vazbì $\langle \vec{L}\rangle$ oznaèíme $\vec{\lambda}$ (je to trojice multiplikátorù). Rovnovážné rozdìlení je dáno vztahem
+Uvažujme nejprve obecnou rotaci s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající vazbě $\langle \vec{L}\rangle$ označíme $\vec{\lambda}$ (je to trojice multiplikátorů). Rovnovážné rozdělení je dáno vztahem
 $$
 w(\vec{r},\vec{p}) = \frac{1}{z}\exp\left[-\beta H(p)\right] \exp\left[-\vec{\lambda}\cdot\vec{L}\right] = \frac{1}{z} \exp\left[-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)\right)^2\right] \exp\left[\frac{m}{2\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)^2\right].
 $$
-Urèíme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\vec{\lambda}$. Víme, že musí platit
+Určíme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\vec{\lambda}$. Víme, že musí platit
 $$
 \langle\vec{v}(\vec{r}_0)\rangle = \vec{\omega}\times\vec{r}_0 \Longleftrightarrow \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = m\vec{\omega}\times\vec{r}_0.
 $$
-Podmínìné rozdìlení hybností v bodì $\vec{r}_0$ je dáno vztahem
+Podmíněné rozdělení hybností v bodě $\vec{r}_0$ je dáno vztahem
 $$
 w(\vec{p}|\vec{r}_0) = \frac{w(\vec{r}_0,\vec{p})}{\int\limits_{\mathds{R}^3} w(\vec{r}_0,\vec{p}) d^3p} = \left(\frac{\beta}{2\pi m }\right)^\frac{3}{2}\exp\left(-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right)\right)^2\right).
 $$
-Støední hodnota hybnosti èástice plynu v bodì $\vec{r}_0$ je tedy
+Střední hodnota hybnosti částice plynu v bodě $\vec{r}_0$ je tedy
 $$
 \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = -\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right),
 $$
-a pro Lagrangeùv multiplikátor dostaneme
+a pro Lagrangeův multiplikátor dostaneme
 $$
 \vec{\lambda} = -\beta\vec{\omega}.
 $$
-Rovnovážné rozdìlení pro rotaci válce kolem $z$-ové osy, kdy $\vec{\omega} = (0,0,\omega)$, je v cylindrických souøadnicích rovno
+Rovnovážné rozdělení pro rotaci válce kolem $z$-ové osy, kdy $\vec{\omega} = (0,0,\omega)$, je v cylindrických souřadnicích rovno
 $$
 w(r_\bot,\varphi,h,\vec{p}) = \frac{1}{z} \exp\left(-\frac{\beta p^2}{2m}\right) r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right)
 $$
-Marginální rozdìlení pravdìpodobnosti nalezení èástice ve vzdálenosti $r_\bot$ od osy rotace dostaneme integrací $w(\vec{r},\vec{p})$ pøes hybnost, polární úhel a výšku válce
+Marginální rozdělení pravděpodobnosti nalezení částice ve vzdálenosti $r_\bot$ od osy rotace dostaneme integrací $w(\vec{r},\vec{p})$ přes hybnost, polární úhel a výšku válce
 $$
 w(r_\bot) = \int\limits_{\mathds{R}^3} d^3p\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^h dh' w(\vec{r},\vec{p}) \sim r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right).
 $$
-Hustota poètu èástic $n(r_\bot) = N w(r_\bot)$ je vèetnì normalizace rovna
+Hustota počtu částic $n(r_\bot) = N w(r_\bot)$ je včetně normalizace rovna
 $$
 n(r_\bot) = \frac{N\beta}{2V} \frac{m\omega^2 R^2}{\exp\left(\frac{\beta m\omega^2 R^2}{2} - 1\right)} r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right),
 $$
-kde $V = \pi R^2 h$ je objem válce. Jednoèásticová partièní suma se dá zapsat ve tvaru
+kde $V = \pi R^2 h$ je objem válce. Jednočásticová partiční suma se dá zapsat ve tvaru
 $$
 z = \frac{2 V}{\hbar^3} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2}\frac{1}{\beta m\omega^2 R^2}\left(\exp\left(\frac{\beta m\omega^2R^2}{2}\right)-1\right).
 $$
-Kanonickou partièní sumu získáme standardním zpùsobem, je vhodné ji vyjádøit jako funkci pùvodních Lagrangeových multiplikátorù $\beta$ a $\lambda$. Výsledek je
+Kanonickou partiční sumu získáme standardním způsobem, je vhodné ji vyjádřit jako funkci původních Lagrangeových multiplikátorů $\beta$ a $\lambda$. Výsledek je
 $$
 Z_K(\beta,\lambda) = \frac{V^N}{\hbar^{3N} N!} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \left(\frac{2\beta}{m\lambda^2 R^2}\right)^N \left(\exp\left(\frac{m\lambda^2 R^2}{2\beta}\right)-1\right)^N
@@ Řádka 1 188: / Řádka 1 188: @@
 \chapter{Statistické soubory - diskrétní hladiny}
-\section{Maxwell-Boltzmannovo rozdìlení}
+\section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení}
-Uvažujme systém, tvoøený klasickými èásticemi. Každá z nich se mùže nacházet na nìjaké energetické hladinì s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nech je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotì $T$. Je-li poèet èástic $N$ pevný, mùžeme systém popsat pomocí kanonické partièní sumy
+Uvažujme systém, tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy
 $$
 Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N.
 $$
-Pro Lagrangeùv multiplikátor opìt platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdìlení a vnitøní energie souboru se urèí ze vztahù
+Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů
 $$
 S = k\ln{Z_K} + \beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}.
 $$
-Pokud se poèet èástic mìní, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partièní sumy
+Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy
 $$
 Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right),
 $$
-kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdìlení je rovna
+kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna
 \begin{equation}
 \label{chap6:S}
 S = k\ln{Z_{\rm MB}} + \beta U + \alpha N,
 \end{equation}
-vnitøní energie a støední poèet èástic se urèí pomocí vztahù
+vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů
 \begin{equation}
 \label{chap6:UN}
 U = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
 \end{equation}
-Protože partièní suma $Z_{\rm MB}$ má tvar souèinu pøes energetické hladiny, platí
+Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí
 $$
 N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle,
 $$
-kde $\langle n_i\rangle$ oznaèuje støední poèet èástic na hladinì $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických èástic snadno dostaneme (viz. Pøíklad~\ref{chap6:ni})
+kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz. Příklad~\ref{chap6:ni})
 $$
 \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},
 $$
-což se oznaèuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdìlení.
+což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení.
-\section{Bose-Einsteinovo rozdìlení}
+\section{Bose-Einsteinovo rozdělení}
-Uvažujme nyní soubor identických kvantových èástic. Oznaèíme poèet èástic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací èíslo) jako $n_i$, celkový poèet èástic v soboru a jeho energie je potom
+Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v soboru a jeho energie je potom
 $$
 N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i.
 $$
-Protože celkový poèet èástic a energie souboru fluktuují kolem svých støedních hodnot, popíše systém pomocí grandkanonické partièní sumy
+Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíše systém pomocí grandkanonické partiční sumy
 $$
 Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}.
 $$
-Pro bosony (èástice s celoèíselným spinem) mùžou obsazovací èísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partièní suma se pak dá pøepsat do tvaru
+Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru
 $$
 Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}.
 $$
-Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partièní suma tvar
+Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar
 $$
 Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}.
 $$
-Entropie, vnitøní energie a støední poèet èástic se urèí analogicky jako pro Maxwell-Boltzmannovo rozdìlení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partièní suma $Z_{\rm BE}$ má opìt tvar souèinu pøes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádøit pomocí støedního poètu èástic na dané energetické hladinì $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonù dostaneme (viz. Pøíklad~\ref{chap6:ni})
+Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz. Příklad~\ref{chap6:ni})
 $$
 \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}.
 $$
-Toto rozdìlení se nazývá Bose-Einsteinovo.
+Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo.
-\section{Fermi-Diracovo rozdìlení}
+\section{Fermi-Diracovo rozdělení}
-Pro fermiony (èástice s poloèíselným spinem) platí Pauliho vyluèovací princip. Obsazovací èísla mùžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partièní suma je pak rovna
+Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna
 $$
 Z_{\rm FD} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i},
 $$
-kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partièní suma $Z_{\rm FD}$ daná souèinem pøes energie, mùžeme $U$ a $N$ vyjádøit pomocí støedního poètu èástic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se øídí Fermi-Diracovým rozdìlením (viz. Pøíklad~\ref{chap6:ni})
+kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz. Příklad~\ref{chap6:ni})
 $$
 \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
 $$
-\section{Pøíklady}
+\section{Příklady}
 \bc
-Soubor $N$ kvantových jednorozmìrných harmonických oscilátorù je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$. Urèete kanonickou partièní sumu souboru a vnitøní energii.
+Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 270: / Řádka 1 270: @@
 \bc
-$N$ èástic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu$ je pevnì umístìno v homogením magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$. Každý spin mùže být orientován paralelnì s magnetickým polem ( energie $\varepsilon_+ = -\mu B$ ), nebo antiparalelnì ( energie $\varepsilon_- = +\mu B$ ). Urèete kanonickou partièní sumu, celkový magnetický moment a vnitøní energii soustavy v závisloti na teplotì.
+$N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu$ je pevně umístěno v homogením magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem ( energie $\varepsilon_+ = -\mu B$ ), nebo antiparalelně ( energie $\varepsilon_- = +\mu B$ ). Určete kanonickou partiční sumu, celkový magnetický moment a vnitřní energii soustavy v závisloti na teplotě.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 279: / Řádka 1 279: @@
 \bc
-Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo mùže vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Pøedpokládejte, že volná molekula má vùèi aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Urèete stupeò adsorbce $\Theta$, tj. poèet adsorbovaných molekul $n$ v pomìru k poètu aktivních míst $N$.
+Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$.
 \ec
-\navod Grandkanonická partièní suma pro jedno aktivní místo je
+\navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je
 $$
 z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
@@ Řádka 1 289: / Řádka 1 289: @@
 Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
 $$
-Støední poèet obsazených aktivních míst je roven
+Střední počet obsazených aktivních míst je roven
 $$
 n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
 $$
-Stìny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
+Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
 $$
 e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
@@ Řádka 1 305: / Řádka 1 305: @@
 \bc
 \label{chap6:ni}
-Urèete støední poèet èástic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických èástic, bosonù a fermionù. Pøedpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$.
+Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$.
 \ec
 \vysl
@@ Řádka 1 341: / Řádka 1 341: @@
 \bc
-Dokažte, že pro fluktuace poètu èástic v grandkanonickém souboru platí vztah
+Dokažte, že pro fluktuace počtu částic v grandkanonickém souboru platí vztah
 $$
 \left(\Delta N\right)^2 = \frac{NkT}{V}\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)_{T,V}.
 $$
-Použijte Gibbs-Duhemùv vztah.
+Použijte Gibbs-Duhemův vztah.
 \ec
 \navod
@@ Řádka 1 354: / Řádka 1 354: @@
 \bc
-Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitøní energie souboru $N$ klasických jednorozmìrných harmonických oscilátorù, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$, platí vztah
+Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitřní energie souboru $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$, platí vztah
 $$
 \frac{\Delta U}{U} = \frac{1}{\sqrt{N}}.