|
|
| (Není zobrazena jedna mezilehlá verze od stejného uživatele.) |
| Řádka 1: |
Řádka 1: |
| − | \documentclass[12pt,a4paper,titlepage]{report}
| |
| − | \usepackage[czech]{babel}
| |
| − | \usepackage[cp1250]{inputenc}
| |
| − | \usepackage{dsfont}
| |
| − | \usepackage{a4}
| |
| | | | |
| − | \def \pr {\noindent {\bf Pøíklad:} }
| |
| − | \def \navod {\noindent {\bf Návod:} }
| |
| − | \def \vysl {\noindent {\bf Výsledek:} }
| |
| − |
| |
| − | \newtheorem{xpriklad}{Pøíklad}[chapter]
| |
| − | \newenvironment{cvi}
| |
| − | {\begin{xpriklad}\normalfont{}}
| |
| − | {\end{xpriklad}}
| |
| − | \def \bc {\begin{cvi}}
| |
| − | \def \ec {\end{cvi}}
| |
| − |
| |
| − | \addtolength{\textwidth}{60pt} \addtolength{\oddsidemargin}{-4pt}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \begin{document}
| |
| − |
| |
| − | \begin{titlepage}
| |
| − | \begin{center}
| |
| − | \LARGE{\bf{Sbírka úloh z termodynamiky a statistické fyziky}}
| |
| − | \end{center}
| |
| − | \addvspace{30pt}
| |
| − | \begin{center}
| |
| − | \LARGE{Martin Štefaòák}\\
| |
| − | \today
| |
| − | \end{center}
| |
| − |
| |
| − | \addvspace{430pt}
| |
| − |
| |
| − | Sbírka je rozdìlena do tematických kapitol, které obsahují pøehled teorie a pøíklady. Návody k pøíkladùm nepøedstavují detailní popis øešení vyžadovaný na cvièení, pouze naznaèují možný postup. Rùzné algebraické úpravy, vyèíslení sum a integrálù není provedeno explicitnì. U lehèích pøíkladù je uveden pouze výsledek.
| |
| − |
| |
| − | Uvítám jakékoli komentáøe a návrhy na zlepšení sbírky, upozornìní na chyby a pøeklepy apod., nejlépe elektronicky na martin.stefanak@fjfi.cvut.cz .
| |
| − | \end{titlepage}
| |
| − |
| |
| − | \tableofcontents
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Základy teorie pravdìpodobnosti a matematické statistiky}
| |
| − |
| |
| − | \section{Základní pojmy}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Náhodný jev, náhodná velièina}
| |
| − |
| |
| − | {\bf Elementární náhodný jev} $\omega$ je výsledek nìjakého náhodného pokusu. Množinu všech možných elementárních náhodných jevù oznaèíme $\Omega$. Obecný náhodný jev $A$ je nìjaká podmnožina $\Omega$.
| |
| − |
| |
| − | Jev $A$ je {\bf èástí} jevu $B$, pokud jev $A$ nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li jev $B$
| |
| − | $$A\subset B.$$
| |
| − |
| |
| − | Jev $C$ je {\bf sjednocení} jevù $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane tehdy, nastane-li jev $A$ nebo $B$
| |
| − | $$C = A \cup B.$$
| |
| − |
| |
| − | Jev $C$ je {\bf prùnik} jevù $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane jen tehdy, nastanou-li jevy $A$ a $B$ souèasnì
| |
| − | $$C = A \cap B.$$
| |
| − |
| |
| − | Jev {\bf opaèný} k jevu $A$ znaèíme $\overline{A}$. Nastane vždy, když nenastane jev $A$. Opaèný jev k opaènému jevu je jev pùvodní
| |
| − | $$\overline{\overline{A}} = A .$$
| |
| − |
| |
| − | Jev {\bf jistý} $S$ nastane pøi každém opakování náhodného pokusu. Opaèný jev k $S$ je jev {\bf vylouèený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí
| |
| − | $$ A\cup\overline{A} = S,\qquad A\cap\overline{A} = \emptyset. $$
| |
| − |
| |
| − | Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nesluèitelné} (vzájemnì se vyluèující), právì tehdy když jejich prùnik je jev vylouèený
| |
| − | $$A\cap B =\emptyset.$$
| |
| − |
| |
| − | Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevù. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení nìkolika elementárních jevù $\omega_i$
| |
| − | $$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$
| |
| − | Složený jev $B$ nastane pokud nastane nìkterý z elementárních jevù $\omega_i$ v nìm obsažených. $S$ obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\
| |
| − |
| |
| − | \pr Šestistìnná kostka\\
| |
| − | Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledkù $i = 1,\ldots,6$. Oznaème $B$ jev kdy padne sudé èíslo. Je to jev složený
| |
| − | $$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, èili dvojka mùže padnout jenom když padne sudé èíslo. Jev opaèný k jevu $B$ je jev kdy padne liché èíslo
| |
| − | $$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$
| |
| − | Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemnì vyluèují, protože jednièka není sudé èíslo.\\
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Pravdìpodobnostní rozdìlení, hustota pravdìpodobnosti}
| |
| − |
| |
| − | Nech $\Omega$ je množina všech jevù náhodného pokusu, $S$ jev jistý, $A$ libovolný jev a $\omega_i,\ i\in I$ jsou vzájemnì se vyluèující jevy.
| |
| − | {\bf Pravdìpodobnostní rozdìlení} náhodných jevù $P$ je zobrazení splòující vlastnosti
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item $P(A)\geq 0$ - pravdìpodobnost každého jevu je nezáporná
| |
| − | \item $P(S) = 1$ - jev jistý nastane s pravdìpodobností jedna
| |
| − | \item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} \omega_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(\omega_i)$ - pravdìpodobnost sjednocení vzájemnì se vyluèujících jevù je rovna souètu jejich pravdìpodobností
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − | Z tìchto axiomù plynou následující vlastnosti:
| |
| − | \begin{itemize}
| |
| − | \item $\forall A\subset\Omega,\qquad 0\leq P(A) \leq 1, \qquad P(\emptyset) = 0$
| |
| − | \item $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
| |
| − | \item $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
| |
| − | \item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$
| |
| − | \end{itemize}
| |
| − | Mìjme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmínìná pravdìpodobnost} jevu $A$, za pøedpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem
| |
| − | $$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$
| |
| − | Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud
| |
| − | $$P(A|B) = P(A),\qquad P(B|A) = P(B).$$
| |
| − | Pro nezávislé jevy $A_i, i\in I$, je pravdìpodobnost toho, že nastanou souèasnì, dána souèinem jejich pravdìpodobností
| |
| − | $$P\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right) = \prod_{i\in I}P(A_i).$$
| |
| − |
| |
| − | \pr Vyvážená šestistìnná kostka\\
| |
| − | Pravdìpodobnosti všech hodù jsou stejné $P(\omega_i) = \frac{1}{6},\ i=1,\ldots,6$. Pravdìpodobnost toho, že padne sudé èíslo je
| |
| − | $$P(B) = P(\omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6) = P(\omega_2) + P(\omega_4) + P(\omega_6) = \frac{1}{2},$$
| |
| − | protože jevy $\omega_i$ se vzájemnì vyluèují. Podmínìná pravdìpodobnost toho, že padne šestka, za pøedpokladu, že padlo sudé èíslo, je rovna
| |
| − | $$P(\omega_6|B) = \frac{P(\omega_6\cap B)}{P(B)} = \frac{P(\omega_6)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$$\\
| |
| − |
| |
| − | {\bf Náhodná velièina} je libovolná reálná funkce definovaná na množinì elementárních jevù. Obor hodnot mùže být jak spoèetný ({\bf diskrétní náhodná velièina}), tak nespoèetný ({\bf spojitá náhodná velièina}). Náhodný jev mùžeme chápat jako náhodnou velièinu, která mùže nabývat pouze dvou hodnot - 1 (jev nastal) nebo 0 (jev nenastal).
| |
| − |
| |
| − | Pravdìpodobnostní rozdìlení diskrétní náhodné velièiny $A$, která mùže nabývat hodnot $A = a_i, i\in I$, je funkce $P$, která splòuje vlastnosti
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item $0 \leq P(A = a_i) = p_i \leq 1 $
| |
| − | \item $\sum\limits_{i\in I} p_i = 1$
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − |
| |
| − | {\bf Hustota pravdìpodobnosti} spojité náhodné velièiny $X$, která mùže nabývat hodnot $X = x\in\Omega$, je nezáporná funkce $w(x)$, splòující vlastnost
| |
| − | $$\forall A\subset\Omega, P(X\in A) = \int\limits_A w(x)dx.$$
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme nyní vektor náhodných velièin $\vec{x} = \left(x_1,\ldots,x_n\right)$, $x_i\in\Omega_i$, s pravdìpodobnostním rozdìlením $w(\vec{x})$. {\bf Marginální rozdìlení} složky vektoru $x_i$ je dáno vystøedováním rozdìlení $w(\vec{x})$ pøes složky $x_j,\ j\neq i$
| |
| − | $$
| |
| − | w_m(x_i) = \int\limits_{\Omega_1}dx_1\ldots \int\limits_{\Omega_{i-1}}dx_{i-1} \int\limits_{\Omega_{i+1}}dx_{i+1}\ldots \int\limits_{\Omega_n}dx_n w(\vec{x}).
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Støední hodnoty, fluktuace, kovariance}
| |
| − |
| |
| − | {\bf Støední hodnota} diskrétní náhodné velièiny $A$, která mùže nabývat hodnot $A = a_i,\ i\in I$ s pravdìpodobností $P(A = a_i) = p_i$, je dána vztahem
| |
| − | $$\langle A\rangle = \sum_{i\in I} a_i p_i.$$
| |
| − | Podobnì, pro spojitou náhodnou velièinu $X$, která mùže nabývat hodnot $x\in \Omega$ a má hustotu pravdìpodobnosti $w(x)$, je støední hodnota $X$ rovna
| |
| − | $$\langle X\rangle = \int\limits_\Omega x w(x)dx.$$
| |
| − | Støední hodnota náhodné velièiny je její prùmìrná hodnota po mnoha nezávislých opakování pokusu. Støední hodnota je lineární v následujícím smyslu
| |
| − | $$
| |
| − | \langle aX + bY + c\rangle = a\langle X\rangle + b\langle Y\rangle + c,
| |
| − | $$
| |
| − | kde $X,Y$ jsou dvì náhodné velièiny a $a,b,c$ jsou reálná èísla. Nech $F$ je funkce náhodné velièiny $X$, její støední hodnota je pak dána vztahem
| |
| − | $$\langle F\rangle = \sum_{i\in I}F(a_i)p_i \quad\left( = \int\limits_\Omega F(x)w(x)dx \right).$$
| |
| − | Speciálnì, pro $F(x) = x^k$ se oznaèuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdìlení}.
| |
| − |
| |
| − | {\bf Støední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné velièiny $X$ je definována vztahem
| |
| − | $$\left(\Delta X\right) = \sqrt{\langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle}.$$
| |
| − | {\bf Variance} se definuje jako kvadrát støední kvadratické odchylky. Snadno zjistíme, že platí
| |
| − | $$\left(\Delta X\right)^2 = \langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle = \langle X^2 -2X\langle X\rangle + \langle X\rangle^2\rangle =\langle X^2\rangle -2\langle X\rangle \langle X\rangle + \langle X\rangle^2 = \langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2.$$
| |
| − | {\bf Relativní fluktuací} náhodné velièiny $X$ se myslí støední kvadratická odchylka vztažená ke støední hodnotì, èili zlomek $\frac{\Delta X}{\langle X\rangle}$.
| |
| − |
| |
| − | {\bf Kovariance} dvou náhodných velièin $X_1, X_2$ je definována vztahem
| |
| − | $$\left(\Delta X_1\Delta X_2\right) = \langle X_1 X_2\rangle - \langle X_1\rangle\langle X_2\rangle.$$
| |
| − | Kovariance indikuje závislost náhodných velièin. Jsou-li $X_1$ a $X_2$ nezávislé, je jejich rozdìlení rovno $w(x_1,x_2) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)$, takže platí $ \langle X_1 X_2\rangle = \langle X_1\rangle \cdot \langle X_2\rangle$ a jejich kovariance je rovna nule.
| |
| − |
| |
| − | Nech jsou $X_i,i=1,\ldots, n$ nezávislé náhodné velièiny, každá s oborem hodnot $\Omega_i$ a hustotou pravdìpodobnosti $w_i(x_i)$. Jejich souèet
| |
| − | $$X = \sum_{i=1}^n X_i $$
| |
| − | je potom náhodná velièina s oborem hodnot
| |
| − | $$\Omega = \Omega_1\times\Omega_2\times\ldots\times\Omega_n$$
| |
| − | a hustotu pravdìpodobnosti
| |
| − | $$w(x) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)\cdot\ldots\cdot w_n(x_n).$$
| |
| − | Pro støední hodnotu souètu nezávislých náhodných velièin platí
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \label{ind:mean}
| |
| − | \nonumber \langle X\rangle & = & \int\limits_\Omega x w(x) dx = \int\limits_\Omega(x_1+\ldots + x_n)w_1(x1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\
| |
| − | & = & \sum_{i=1}^n \int\limits_{\Omega_i} x_i w_i(x_i)dx_i \left(\prod_{j\neq i} \int\limits_{\Omega_j} w_j(x_j)dx_j\right) = \sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Pro vyšší momenty podobné tvrzení neplatí, napøíklad pro druhý moment dostaneme
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \langle X^2\rangle & = & \int\limits_\Omega x^2 w(x) dx = \int\limits_\Omega(x_1+\ldots + x_n)^2w_1(x1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\
| |
| − | \nonumber & = & \sum_{i=1}^n \int\limits_{\Omega_i} x_i^2 w_i(x_i)dx_i \left(\prod_{j\neq i} \int\limits_{\Omega_j} w_j(x_j)dx_j\right) +\\
| |
| − | \nonumber & & + \sum_{i\neq j} \int\limits_{\Omega_i} x_i w_i(x_i)dx_i \int\limits_{\Omega_j} x_j w_j(x_j)dx_j \left(\prod_{k\neq i,j} \int\limits_{\Omega_k} w_k(x_k)dx_k\right)\\
| |
| − | \nonumber & = & \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle \neq \sum_i \langle X_i^2\rangle.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Nicménì, vztah analogický (\ref{ind:mean}) platí pro varianci
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \label{ind:var}
| |
| − | \nonumber \left(\Delta X\right)^2 & = & \langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2 = \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle - \left(\sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle\right)\left(\sum_{j=1}^n \langle X_j\rangle\right)\\
| |
| − | & = & \sum_{i=1}^n \left(\langle X_i^2\rangle - \langle X_i\rangle^2\right) = \sum_{i=1}^n \left(\Delta X_i\right)^2.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \section{Binomické rozdìlení}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme náhodný pokus, který má dva možné výsledky - ano/ne experiment. Kladný výsledek nastane s pravdìpodobností $p$, záporný s pravdìpodobností $1-p$. Pokus $N$-krát opakujeme, jednotlivá opakování jsou na sobì nezávislá. Pravdìpodobnost, že z celkového poètu $N$ opakování bude $n$ pokusù úspìšných je dána {\bf binomickým rozdìlením}
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{binom}
| |
| − | p_n = {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n},\qquad {N\choose n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Normalizace rozdìlení (\ref{binom}) je zøejmá z binomické vìty
| |
| − | $$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$
| |
| − | Støední hodnotu a varianci poètu kladných výsledkù lze pro binomické rozdìlení rozdìlení snadno spoèítat z definice (viz. Pøíklad~\ref{pr:binom})
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{binom:mean:var}
| |
| − | \langle n\rangle = N p,\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p).
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Alternativnì lze využít nezávislosti opakování pokusu. $j$-tému pokusu pøiøadíme náhodnou velièinu $x_j$, která má dvì hodnoty - 1 pro kladný výsledek s pravdìpodobností $p$, 0 pro záporný výsledek s pravdìpodobností $1-p$. Støední hodnota a variance každé z náhodných velièin $x_i, i=1,\ldots, N$ jsou rovny
| |
| − | $$\langle x_i\rangle = p,\qquad \left(\Delta x_i\right)^2 = p(1-p).$$
| |
| − | Protože poèet kladných výsledkù $n$ mùžeme napsat jako
| |
| − | $$ n = x_1 + x_2 + \ldots + x_N,$$
| |
| − | dostaneme s použitím tvrzení (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pro støední hodnotu a varianci souètu nezávislých velièin výsledek (\ref{binom:mean:var}).
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \section{Poissonovo rozdìlení, Stirlingova formule}
| |
| − |
| |
| − | {\bf Poissonovo rozdìlení} je limitní pøípad binomického rozdìlení kdy $p\rightarrow 0$, $N\rightarrow +\infty$, ale $p N =\lambda$. Vyjádøíme-li $p = \frac{\lambda}{N}$ dostaneme binomické rozdìlení ve tvaru
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{binom:poisson}
| |
| − | p_n = {N\choose n}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Provedením limity $N\rightarrow +\infty$ získáme Poissonovo rozdìlení
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \label{Poisson}
| |
| − | \nonumber p_n & = & \lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \frac{N!}{n!(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\
| |
| − | \nonumber & = & \frac{\lambda^n}{n!}\lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \left(\frac{N}{N}\right)\left(\frac{N-1}{N}\right)\ldots\left(\frac{N-n+1}{N}\right)\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\
| |
| − | & = & \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Normalizace rozdìlení (\ref{Poisson}) je zøejmá z Taylorova rozvoje exponenciely
| |
| − | $$\sum_{n=0}^{+\infty} p_n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1.$$
| |
| − | Jiné odvození Poissonova rozdìlení získáme odhadem faktoriálu v binomickém rozdìlení pomocí {\bf Stirlingovy formule}. Pro $N\rightarrow +\infty$ mùžeme aproximovat
| |
| − | $$\ln N! = \sum_{k=1}^N \ln k \simeq \int\limits_1^N \ln kdk = N(\ln N-1) + 1 \simeq N\ln\frac{N}{e},$$
| |
| − | takže $N!$ se chová pøibližnì jako
| |
| − | $$N! \simeq \left(\frac{N}{e}\right)^N.$$
| |
| − | Dosazením do binomického rozdìlení (\ref{binom:poisson}) a provedením limity $N\rightarrow +\infty$ dostaneme stejný výsledek jako (\ref{Poisson}).
| |
| − |
| |
| − | Parametr $\lambda$ urèuje støední hodnotu i varianci (viz. Pøíklad~\ref{pr:Poisson})
| |
| − | $$\langle n\rangle = \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$$
| |
| − |
| |
| − | \section{Náhodné procházky}
| |
| − |
| |
| − | Jako pøíklad náhodného (stochastického) jevu si rozebereme {\bf náhodnou procházku}. Uvažujme èástici, která v diskrétních èasových krocích pøeskakuje mezi body $m\in\mathds{Z}$ na ose $x$. V èase $t=0$ je èástice v poèátku $m=0$. V každém kroku mùže skoèit s pravdìpodobností $p$ o jedna doprava, nebo o jedna doleva s pravdìpodobností $1-p$. Otázka zní, s jakou pravdìpodobností $p(m,t)$ ji mùžeme nalézt v bodì $m$ po $t$ krocích? Z definice je zøejmé, že $p(m,t) = 0$, pokud $m$ a $t$ mají jinou paritu (napø. $m$ je sudé a $t$ liché). Uvažujme tedy jen $m,t$ se stejnou paritou. Oznaèíme-li $r$ poèet krokù doprava a $l$ poèet krokù doleva, pak platí
| |
| − | $$
| |
| − | r+l = t,\quad r-l = m \quad \Longrightarrow\quad r = \frac{t+m}{2},\quad l =\frac{t-m}{2}.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro pravdìpodobnost nalezení èástice v bodì m po t krocích pak dostaneme
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap1:rwdist}
| |
| − | p(m,t) = { t\choose r} p^r (1-p)^l = { t\choose\frac{t+m}{2}} p^\frac{t+m}{2} (1-p)^\frac{t-m}{2}.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Jiný zpùsob odvození je pomocí binomické vìty. Platí totiž
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap1:rw}
| |
| − | 1 = (p + (1-p))^t = \sum_{k=0}^t {t\choose k}p^k (1-p)^{t-k} = \sum_{m=-t}^t {t\choose\frac{t+m}{2}} p^{\frac{t+m}{2}} (1-p)^\frac{t-m}{2} = \sum_{m=-t}^t p(m,t).
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Pøeškálujme nyní pravdìpodobnosti skoku doprava a doleva nìjakým parametrem $x$, umocnìným na zmìnu pozice èástice, která odpovídá danému skoku,tj.
| |
| − | $$
| |
| − | p \longrightarrow p x^1,\qquad (1-p) \longrightarrow (1-p) x^{-1}.
| |
| − | $$
| |
| − | Výraz (\ref{chap1:rw}) pak pøejde do tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | (px + (1-p)x^{-1})^t = \sum_{k=0}^t {t\choose k}p^k (1-p)^{t-k} x^{k-(t-k)} = \sum_{m=-t}^t {t\choose\frac{t+m}{2}} p^{\frac{t+m}{2}} (1-p)^\frac{t-m}{2} x^m = \sum_{m=-t}^t p(m,t) x^m.
| |
| − | $$
| |
| − | Vidíme, že koeficient u $x^m$ odpovídá pravdìpodobnosti nalezení èástice v bodì $m$ po $t$ krocích (\ref{chap1:rwdist}). Výhoda tohoto postupu spoèívá v tom, že lze snadno zobecnit na procházky s jinými pravidly, více èásticemi, ve vícerozmìrných sítích atd.
| |
| − |
| |
| − | Spoèítáme nyní základní charakteristiky náhodné procházky - støední hodnotu a varianci pozice èástice po $t$ krocích. Mùžeme využít toho, že jednotlivé kroky jsou nezávislé. Polohu èástice po $t$ krocích tak mùžeme zapsat jako souèet
| |
| − | $$
| |
| − | x(t) = x_1 + x_2 + \ldots + x_t
| |
| − | $$
| |
| − | $t$ náhodných velièin $x_n$, které odpovídají zmìnì pozice èástice bìhem $n$-tého kroku. V našem pøípadì tedy platí, že každá z $x_n$ mùže nabývat hodnoty +1 s pravdìpodobností $p$, nebo -1 s pravdìpodobností $1-p$. Pro støední hodnotu a varianci posunutí bìhem jednoho kroku $x_n$ snadno dostaneme
| |
| − | $$
| |
| − | \langle x_n\rangle = 2p-1,\quad \langle x_n^2\rangle = 1,\quad \left(\Delta x_n\right)^2 = \langle x_n^2\rangle - \langle x_n\rangle^2 = 4p(1-p).
| |
| − | $$
| |
| − | S použitím vztahù (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pak pro polohu èástice po $t$ krocích dostaneme
| |
| − | $$
| |
| − | \langle x(t) \rangle = t\langle x_n\rangle = t (2p-1),\quad \left(\Delta x(t)\rangle\right)^2 = t \left(\Delta x_n\rangle\right)^2 = t 4p(1-p).
| |
| − | $$
| |
| − | Vidíme tedy, že støední kvadratická odchylka polohy èástice roste s druhou odmocninou poètu krokù, což odpovídá difuzi.
| |
| − |
| |
| − | \section{Gaussovo rozdìlení, Gaussovy integrály}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Gaussovo normální rozdìlení}
| |
| − |
| |
| − | {\bf Gaussovo normální rozdìlení} spojité náhodné velièiny $X\in\mathds{R}$ má tvar
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{Gauss}
| |
| − | w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\quad \mu\in\mathds{R},\quad \sigma>0.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Parametry rozdìlení $\mu,\sigma$ mají jednoduchý význam - bod $x = \mu$ je maximum rozdìlení, body $x = \mu\pm\sigma$ jsou jeho inflexní body. Navíc platí, že $\mu$ je støední hodnota náhodné velièiny $X$, $\sigma$ je její støední kvadratická odchylka (viz. Pøíklad~\ref{pr:Gauss})
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{Gauss:mu:sigma}
| |
| − | \langle X\rangle = \mu,\qquad \Delta X = \sigma.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Gaussovy integrály}
| |
| − |
| |
| − | Odvodíme vzorec pro integrál
| |
| − | $$I_n(a) = \int\limits_\mathds{R} x^n e^{-a x^2} dx, \quad a>0,\quad n = 0,1,2,\ldots$$
| |
| − |
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item Integrál $I_0(1)$ spoèítáme pøechodem do polárních souøadnic
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber I^2_0(1) & = & \int\limits_{\mathds{R}^2} e^{-x^2+y^2}dxdy =\left\{\begin{array}{c}
| |
| − | x = r\cos\varphi,\ y = r\sin\varphi \\
| |
| − | dxdy = r drd\varphi
| |
| − | \end{array}\right\} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{+\infty} r dr e^{-r^2}\\
| |
| − | \nonumber & = & \left\{\begin{array}{c}
| |
| − | r^2 = t \\
| |
| − | 2r dr = dt
| |
| − | \end{array}\right\} = 2\pi\frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty} e^{-t} dt = \pi\\
| |
| − | I_0(1) & = & \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | \item Integrál $I_0(a)$ se pøevede substitucí $\sqrt{a}x = y$ na $I_0(1)$
| |
| − | $$I_0(a) = \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx = \frac{I_0(1)}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$
| |
| − | \item Integrál $I_{2k}(a)$ se vyjádøí derivací $I_0(a)$ podle parametru $a$
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \frac{d^k}{da^k} \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx & = & \int\limits_\mathds{R} \frac{\partial^k}{\partial a^k} e^{-ax^2}dx = (-1)^k \int\limits_\mathds{R} x^{2k} e^{-ax^2}dx\\
| |
| − | I_{2k}(a) & = & (-1)^n \frac{d^k}{da^k} I_0(a) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}(2k-1)!! \left(\frac{1}{2a}\right)^k,
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | speciálnì pro $k= 1,2$ dostaneme
| |
| − | $$I_2(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{2} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{2a},\qquad I_4(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{4} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{4a^2}.$$
| |
| − | Integrál $I_{2k+1}(a)$ je roven nule, protože integrand je lichá funkce.
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Eulerovy integrály}
| |
| − |
| |
| − | {\bf $\Gamma$-funkce} je definována vztahem
| |
| − | $$\Gamma(p) = \int\limits_0^{+\infty} x^{p-1} e^{-x}dx, \qquad p>0.$$
| |
| − | {\bf $\beta$-funkce} má tvar
| |
| − | $$\beta(p,q) = \int\limits_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx,\qquad p,q>0.$$
| |
| − | Pro Eulerovy integrály platí následující
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item $\beta(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
| |
| − | \item pro $p\in(0,1)$, $\beta(p,1-p) = \frac{\pi}{\sin(p\pi)}$; speciálnì pro $p=\frac{1}{2}$ dostaneme
| |
| − | $$\beta\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \pi = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}.$$
| |
| − | \item $\Gamma(p+1) = p\Gamma(p)$; speciálnì pro $p=n\in\mathds{N}$ dostaneme $\Gamma(n) = (n-1)!$
| |
| − | \item z bodù 2. a 3. získáme vztah $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − | Eulerovy integrály mùžeme využít pro výpoèet Gaussových integrálù v mezích $(0,+\infty)$
| |
| − | $$\int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-ax^2}dx = \left\{
| |
| − | \begin{array}{c}
| |
| − | ax^2 = y, x = \sqrt{\frac{y}{a}}\\
| |
| − | dx = \frac{dy}{2\sqrt{ay}}\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right\} = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\int\limits_0^{+\infty} y^\frac{n-1}{2}e^{-y}dy = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right),$$
| |
| − | speciálnì pro $n = 1,2,3,4$ dostaneme
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{4a},\\
| |
| − | \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^3 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^2},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^4 e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{8a^2}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \section{Pøíklady}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | \label{pr:binom}
| |
| − | Pøímým výpoètem urèete støední hodnotu a varianci pro binomické rozdìlení s pravdìpodobností úspìchu $p$ a $N$ opakování.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl $\langle n\rangle = N p,\qquad \langle n^2\rangle = N p((N-1)p + 1),\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p).$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | \label{pr:Poisson}
| |
| − | Urèete støední hodnotu a varianci pro Poissonovo rozdìlení s parametrem $\lambda$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl $\langle n\rangle = \lambda,\qquad \langle n^2\rangle = \lambda(\lambda+1),\qquad \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Uvažujte náhodnou procházku na pøímce, kde èástice má tøi možnosti - mùže udìlat krok doleva nebo doprava o jedna s pravdìpodobností $1/4$, nebo mùže zùstat na místì s pravdìpodobností $1/2$. Urèete pravdìpodobnost nalezení èástice v bodì $m$ po $t$ krocích $p(m,t)$, støední hodnotu a varianci polohy èástice.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl $p(m,t) = \frac{1}{4^t} {2t\choose t+m},\quad \langle x(t)\rangle = 0,\quad \left(\Delta x(t)\right)^2 = \frac{t}{2}.$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | \label{pr:Gauss}
| |
| − | Explicitním výpoètem ovìøte normalizaci Gaussova rozdìlení (\ref{Gauss}) a platnost vztahù (\ref{Gauss:mu:sigma}).
| |
| − | \ec
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Urèete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozmìrné koule $B_n$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Pøeveïte integrál $\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-x^2}d^nx = \pi^\frac{n}{2}$ do sférických souøadnic. Integrál pøes prostorový úhel je roven povrchu jednotkové koule $S_n$. Výsledek je
| |
| − | $$ S_n = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}.$$
| |
| − | Objem $V_n$ se spoèítá analogicky pøevodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ do sférických souøadnic
| |
| − | $$V_n = \int\limits_{B_n} 1d^nx = S_n \int\limits_0^1 r^{n-1}dr = \frac{S_n}{n} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.$$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Urèete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozmìrných harmonických oscilátorù s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie souboru zhora omezená hodnotou $E$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Fázový objem souboru oscilátorù je dán integrálem
| |
| − | $$V_{N,E} = \int\limits_{H\leq E} d\Gamma,\qquad H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q_i^2,\qquad d\Gamma = d^Nqd^Np.$$
| |
| − | Pøeškálováním obecných souøadnic a hybností
| |
| − | $$q_i' = q_i \sqrt{\frac{m\omega^2}{2}},\qquad p_i' = \frac{p_i}{\sqrt{2m}},$$
| |
| − | pøevedeme integrál na objem $2N$-rozmìrné koule o polomìru $\sqrt{E}$. Výsledek je
| |
| − | $$V_{N,E} = \frac{(2\pi)^N E^N}{N!\omega^N}.$$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Maxwellovo rozdìlení rychlostí atomù plynu pøi teplotì $T$ má tvar
| |
| − | $$
| |
| − | w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),\quad \vec{v}\in\mathds{R}^3.
| |
| − | $$
| |
| − | Urèete rozdìlení velikosti rychlosti $v$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | Hledáme marginální rozdìlení. Hustotu pravdìpodobnosti $w(\vec{v})$ pøevedeme do sférických souøadnic $w(v,\theta,\varphi)$ a vyintegrujeme pøes úhly $\theta,\varphi$, nesmíme zapomenout na jakobián. Výsledek je
| |
| − | $$
| |
| − | w(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right).
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení}
| |
| − |
| |
| − | \section{Míra informace, entropie}
| |
| − |
| |
| − | Mìjme náhodný pokus, jehož výsledky jsou jevy (mikrostavy) $\gamma\in\Omega$ s pravdìpodobností $p_\gamma$. {\bf Míra informace} náhodného jevu je funkce $I(p_\gamma)$ splòující vlastnosti
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item Jev jistý má nulovou informaèní hodnotu
| |
| − | $$p_\gamma = 1 \Longrightarrow I(p_\gamma) = 0$$
| |
| − | \item S klesající pravdìpodobností jevu jeho informaèní hodnota roste
| |
| − | $$p_\gamma \longrightarrow 0 \Longrightarrow I(p_\gamma) \longrightarrow +\infty$$
| |
| − | \item Jsou-li $\alpha$, $\beta$ nezávislé jevy, pak se jejich informaèní hodnoty sèítají
| |
| − | $$P\left(\alpha\cap\beta\right) = p_\alpha p_\beta \Longrightarrow I(p_\alpha p_\beta) = I(p_\alpha) + I(p_\beta)$$
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − | Tyto požadavky splòuje funkce logaritmus
| |
| − | $$I(p_\gamma) = - k \ln p_\gamma,$$
| |
| − | kde $k$ je libovolná konstanta.
| |
| − |
| |
| − | {\bf Entropie} $S$ je definována jako støední hodnota informace
| |
| − | $$S = \langle I\rangle = - k \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma\ln p_\gamma .$$
| |
| − | Entropie je funkcionál na prostoru pravdìpodobnostních rozdìleních. Maxima nabývá pro rovnomìrné rozdìlení.
| |
| − |
| |
| − | \pr Balíèek 52 karet\\
| |
| − | Známe-li poøadí karet v balíèku, je entropie jeho rozdìlení nulová. Pokud ale karty zamícháme tak, že nevíme, jak jdou za sebou, jsou všechna poøadí karet stejnì pravdìpodobná, tj. poøadí karet je dáno rovnomìrným rozdìlením. Celkový poèet možností (mikrostavù) je $|\Omega| = 52!$, takže pro všechny mikrostavy $\gamma$ je $w_\gamma = \frac{1}{52!}$. Entropie rozdìlení poøadí karet po zamíchání tedy vzroste na
| |
| − | $$ S = - k \sum_{\gamma\in\Omega} \frac{1}{52!}\ln\frac{1}{52!} = k \ln 52!,$$
| |
| − | což je maximální možná hodnota.\\
| |
| − |
| |
| − | Pro spojitou náhodnou velièinu $x\in\Omega$ s hustotou pravdìpodobnosti $w(x)$ se entropie definuje analogicky vztahem
| |
| − | $$S = -\int\limits_\Omega w(x)\ln w(x) dx.$$
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme nyní následující problém. Máme zadaný systém s mikrostavy $\gamma\in\Omega$ a známe støední hodnoty $\langle A_j\rangle$ velièin $A_j, j=1,\ldots, n$ definovaných na mikrostavech, pøípadnì známe nìjaké vazby mezi pravdìpodobnostmi mikrostavù $p_\gamma$ vyjádøené vztahy typu $f_j(p_\gamma) = 0$. Úkolem je najít nejpravdìpodobnìjší rozdìlení, které odpovídá zadaným podmínkám. Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení je to, k jehož sestrojení nepoužijeme žádnou informaci navíc. Má tedy maximální entropii za daných podmínek. Úloha vede na vázaný extrém funkcionálu entropie $S$.
| |
| − |
| |
| − | \section{Diskrétní velièiny}
| |
| − |
| |
| − | Pro systém se spoèetnì mnoha mikrostavy vedou podmínky typu støedních hodnot na transcendentní rovnice. Budeme proto uvažovat pouze vazby mezi pravdìpodobnostmi mikrostavù, které budou navíc lineární
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap2:vazby1}
| |
| − | f_j(p_\gamma) \equiv \sum_{\gamma\in\Omega} f_j^\gamma p_\gamma = 0,\qquad j = 1,\ldots,n
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Rozdìlení musí být navíc správnì normováno k jedné
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap2:norma}
| |
| − | \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma = 1.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení za podmínek (\ref{chap2:vazby1}),(\ref{chap2:norma}) je dáno vázaným extrémem entropie, který urèíme pomocí Lagrangeovy funkce
| |
| − | $$\Lambda = -k \sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma\ln p_\gamma - k \alpha\left(\sum_{\gamma\in\Omega} p_\gamma - 1\right) - k\sum_{j = 1}^n \lambda_j\left(\sum_{\gamma\in\Omega} f_j^\gamma p_\gamma\right).$$
| |
| − | Z podmínky na extrém Lagrangeovy funkce $\frac{\partial\Lambda}{\partial p_\gamma} = 0$ dostaneme
| |
| − | $$p_\gamma = e^{-1-\alpha}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_jf_j^\gamma\right).$$
| |
| − | Z normalizaèní podmínky (\ref{chap2:norma}) získáme
| |
| − | $$\sum_{\gamma\in\Omega}p_\gamma = e^{-1-\alpha}\sum_{\gamma\in\Omega}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right) = 1,$$
| |
| − | z èehož plyne
| |
| − | $$Z \equiv e^{1+\alpha} = \sum_{\gamma\in\Omega}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right).$$
| |
| − | Výraz $Z$ oznaèuje partièní sumu (Zustandsumme). Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení má tedy tvar
| |
| − | $$p_\gamma = \frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{j=1}^n \lambda_j f_j^\gamma\right),$$
| |
| − | Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se urèí dosazením $p_\gamma$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby1}).
| |
| − |
| |
| − | \section{Spojité velièiny}
| |
| − |
| |
| − | Mìjme nyní systém s nespoèetnì mnoha mikrostavy $x\in\Omega$. Hledáme nejpravdìpodobnìjší rozdìlení $w(x)$ za podmínek
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \label{chap2:vazby2}
| |
| − | \langle A_j\rangle & = & \int\limits_{\Omega} A_j(x)w(x)dx,\qquad j = 1,\ldots,n\\
| |
| − | \label{chap2:norma2}
| |
| − | \int\limits_{\Omega} w(x)dx & = & 1.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Vázaný extrém funkcionálu entropie za podmínek (\ref{chap2:vazby2}),(\ref{chap2:norma2}) nalezneme pøechodem k funkcionálu
| |
| − | $$
| |
| − | \Lambda = -k \int\limits_\Omega w(x)\ln w(x)dx - k \sum_j \lambda_j\left( \int\limits_\Omega A_j(x) w(x)dx - \langle A_j\rangle \right) - k\alpha\left(\int\limits_\Omega w(x)dx - 1 \right).
| |
| − | $$
| |
| − | Variace funkcionálu $\Lambda$ je rovna
| |
| − | $$
| |
| − | \delta\Lambda = -k \int\limits_\Omega \left( 1 + \ln w(x) + \sum_j \lambda_j A_j(x) + \alpha \right)\delta w dx.
| |
| − | $$
| |
| − | Z podmínky na extrém $\delta\Lambda = 0$ dostaneme
| |
| − | $$
| |
| − | \ln w(x) = -1 - \alpha - \sum_j \lambda_j A_j(x).
| |
| − | $$
| |
| − | Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení má tedy tvar
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap2:w:cont}
| |
| − | w(x) = e^{-1-\alpha} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right),
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | kde jsme zavedli partièní sumu
| |
| − | $$Z \equiv e^{1+\alpha} = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.$$
| |
| − | Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ se urèí dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek (\ref{chap2:vazby2}).
| |
| − |
| |
| − | \section{Pøíklady}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Uvažujme šestistìnou kostku, u které 1 padá dvakrát èastìji než 6. Najdìte nejpravdìpodobnìjší rozdìlení výsledkù hodu kostkou.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | Vazbové podmínky jsou
| |
| − | $$p_1 = 2 p_6,\qquad \sum_{i=1}^6 p_i = 1.$$
| |
| − | Øešení má tvar
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber p_i & = & e^{-1-\alpha} = \frac{1}{Z},\quad i=2,3,4,5 \\
| |
| − | \nonumber p_1 & = & \frac{1}{Z} e^{-\lambda},\qquad p_6 = \frac{1}{Z} e^{2\lambda},
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | kde Lagrangeùv multiplikátor $\lambda$ a partièní suma $Z$ jsou rovny
| |
| − | $$
| |
| − | \lambda = -\frac{1}{3}\ln 2,\qquad Z = 4 + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{2}{3}}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | \label{chap2:pr2}
| |
| − | Mìjme èástici na ose $x$. Víme, že její støední hodnota polohy je rovna $\mu$ a støední kvadratická odchylka polohy je $\sigma$. Urèete nejpravdìpodobnìjší rozdìlení polohy èástice.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Hledáme nejpravdìpodobnìjší rozdìlení $w(x),\ x\in\mathds{R}$ za podmínek
| |
| − | $$
| |
| − | \langle x\rangle = \mu, \quad \langle x^2\rangle = \sigma^2 + \mu^2, \quad \int\limits_\mathds{R} w(x)dx = 1.
| |
| − | $$
| |
| − | Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení má tvar (viz. (\ref{chap2:w:cont}))
| |
| − | $$
| |
| − | w(x) = \frac{1}{Z} e^{-\lambda_1 x - \lambda_2 x^2} = \frac{1}{Z} \exp\left[-\lambda_2 \left(x + \frac{\lambda_1}{2\lambda_2}\right)^2\right]e^{\frac{\lambda_1^2}{4\lambda_2}}
| |
| − | $$
| |
| − | Partièní sumu a Lagrangeovy multiplikátory $\lambda_j$ získáme dosazením $w(x)$ do vazbových podmínek. Postupnì nalezneme
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \int\limits_\mathds{R} w(x)dx = 1 & \Longrightarrow & Z = e^{\frac{\lambda_1^2}{4\lambda_2}}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} \\
| |
| − | \nonumber \int\limits_\mathds{R} x w(x)dx = \mu & \Longrightarrow & - \frac{\lambda_1}{2\lambda_2} = \mu \\
| |
| − | \nonumber \int\limits_\mathds{R} x^2 w(x)dx = \sigma^2 + \mu^2 & \Longrightarrow & \sigma^2 = \frac{1}{2\lambda_2}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Lagrangeovy multiplikátory jsou tedy rovny
| |
| − | $$
| |
| − | \lambda_1 = -\frac{\mu}{\sigma^2},\qquad \lambda_2 = \frac{1}{2\sigma^2}.
| |
| − | $$
| |
| − | Po dosazení se nejpravdìpodobnìjší rozdìlení zjednoduší na tvar
| |
| − | $$
| |
| − | w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),
| |
| − | $$
| |
| − | což je Gaussovo normální rozdìlení s parametry $\mu$ a $\sigma$.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Mìjme jednoatomový plyn v nádobì, která je v klidu. Plyn má teplotu $T$. Urèete nejpravdìpodobnìjší rozdìlení rychlostí atomù plynu.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Hledáme nejpravdìpodobnìjší rozdìlení $w(\vec{v})$ náhodné velièiny $\vec{v}\in\mathds{R}^3$. Protože jsou rùzné složky rychlosti nezávislé velièiny a žádný smìr není preferovaný, bude platit
| |
| − | $$
| |
| − | w(\vec{v}) = w(v_1) w(v_2) w(v_3).
| |
| − | $$
| |
| − | Staèí tedy nalézt rozdìlení jedné složky rychlosti $v_i$. Jedna vazbová podmínka je $\langle v_i\rangle = 0$. Druhou dostaneme z ekvipartièního teorému, podle kterého má atom plynu pøi dostateènì vysoké teplotì $T$ støední hodnotu kinetické energie rovnu
| |
| − | $$
| |
| − | \langle E_k\rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} kT.
| |
| − | $$
| |
| − | Protože $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$, dostaneme pro støední hodnotu kvadrátu jedné složky rychlosti podmínku
| |
| − | $$
| |
| − | \langle v_i\rangle = \frac{kT}{m}.
| |
| − | $$
| |
| − | Nejpravdìpodobnìjší rozdìlení jedné složky rychlosti má tedy tvar (viz. Pøíklad~\ref{chap2:pr2} pro $\mu = 0$ a $\sigma^2 = \frac{kT}{m}$)
| |
| − | $$
| |
| − | w(v_i) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{1}{2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT}\right).
| |
| − | $$
| |
| − | Rozdìlení vektoru rychlosti je potom
| |
| − | $$
| |
| − | w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),
| |
| − | $$
| |
| − | což je známé Maxwellovo rozdìlení.
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Termodynamické potenciály a identity}
| |
| − |
| |
| − | \section{Diferenciální formy}
| |
| − |
| |
| − | {\bf Diferenciální forma } 1. stupnì je zobrazení $\omega: \mathds{R}^n\rightarrow\left(\mathds{R}^{n}\right)^*$.
| |
| − |
| |
| − | \pr Nech $f:\mathds{R}^n\rightarrow\mathds{R}$ je hladká funkce. Derivace $f$ v bodì $x_0$ je lineární funkcionál
| |
| − | $$
| |
| − | f'(x_0) = df(x_0) = \sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x_0}dx_i .
| |
| − | $$
| |
| − | Diferenciál funkce je tedy diferenciální forma 1. stupnì. Obecnì mùžeme zapsat diferenciální formu ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | \omega(x) = \sum_i \omega_i(x)dx_i .
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | Diferenciální forma $\omega$ je {\bf exaktní}, existuje-li funkce $f$, taková, že $\omega$ je její diferenciál. $\omega$ je uzavøená, platí-li
| |
| − | $$
| |
| − | \frac{\partial\omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial\omega_j}{\partial x_i}.
| |
| − | $$
| |
| − | Diferenciální formy mùžeme integrovat po dráze. Je-li $\varphi:\langle a,b\rangle\rightarrow\mathds{R}^n$ dráha, pak platí
| |
| − | $$
| |
| − | \int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b\omega(\varphi(t))\phi'(t) dt.
| |
| − | $$
| |
| − | Je-li $\omega$ exaktní, pak snadno zjistíme, že integrál nezávisí na trajektorii
| |
| − | $$
| |
| − | \int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b f'(\varphi(t))\phi'(t) dt = \int\limits_a^b \left(f\circ\varphi\right)'(t) dt = f(\varphi(b)) - f(\varphi(a)).
| |
| − | $$
| |
| − | Diferenciální forma $\omega$ je konzervativní, platí-li
| |
| − | $$
| |
| − | \int\limits_{\varphi_1} \omega = \int\limits_{\varphi_2} \omega,
| |
| − | $$
| |
| − | pro všechny dráhy $\varphi_1, \varphi_2$ které mají spoleèný poèáteèní a koncový bod. Platí následující tvrzení:
| |
| − | $$
| |
| − | \omega \hbox{ je exaktní} \Longleftrightarrow \oint\limits_\varphi\omega = 0 \Longleftrightarrow \omega \hbox{ je konzervativní}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \pr První princip termodynamiky mùžeme zapsat ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | dU = dQ - dW.
| |
| − | $$
| |
| − | Diferenciály $dQ$ a $dW$ nejsou exaktní. Dodané teplo a vykonaná práce závisí na tom, jaký dìj soustava koná. Diferenciál $dU$ ale exaktní je, existuje tedy funkce $U$ - vnitøní energie. Zmìna vnitøní energie tedy nezávisí na dìji, jen na poèáteèním a koncovém stavu soustavy. Proto se také $U$ øíká stavová funkce.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \section{Termodynamické potenciály}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Vnitøní energie}
| |
| − | \label{chap3:U}
| |
| − |
| |
| − | Z prvního principu termodynamiky mùžeme vyjádøit diferenciál vnitøní energie ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | dU = T dS - P dV + \mu dN.
| |
| − | $$
| |
| − | Protože je to exaktní diferenciál, existuje vnitøní energie $U$ jako stavová funkce. Její pøirozené promìnné jsou $S, V, N$. Z exaktnosti $dU$ plyne
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} = -P,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,N} = \mu,
| |
| − | $$
| |
| − | což je èást první série Maxwellových vztahù (viz. kapitola \ref{chap3:maxwell}). V termodynamické rovnováze dále platí
| |
| − | $$
| |
| − | U(S,V,N) = N U(s,v,1),\qquad s = \frac{S}{N},\quad v = \frac{V}{N}.
| |
| − | $$
| |
| − | Vnitøní energie je tedy homogenní funkce 1. stupnì, z èehož plyne vztah
| |
| − | $$
| |
| − | U(S,V,N) = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V + \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{V,N} N = TS - PV + \mu N.
| |
| − | $$
| |
| − | Pøi adiabatickém dìji ($dQ = 0, dS = 0$) koná soustava práci na úkor svojí vnitøní energie
| |
| − | $$
| |
| − | dW_S = - dU.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Volná energie}
| |
| − | \label{chap3:F}
| |
| − |
| |
| − | K volné energii se dostaneme od vnitøní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(T,V,N)$. Volná energie je definována jako
| |
| − | $$
| |
| − | F = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S = U - TS.
| |
| − | $$
| |
| − | Pøirozené promìnné volné energie jsou $(T,V,N)$, což jsou také pøirozené promìnné kanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:K}). Pro diferenciál volné energie dostaneme vztah
| |
| − | $$
| |
| − | dF = dU - TdS - SdT = -SdT - PdV + \mu dN.
| |
| − | $$
| |
| − | Protože $dF$ je exaktní, platí vztahy
| |
| − | $$
| |
| − | S = - \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N},\quad P = - \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial F}{\partial S}\right)_{T,V}.
| |
| − | $$
| |
| − | Pøi izotermickém dìji a konstantním poètu èástic koná soustava práci na úkor svojí volné energie
| |
| − | $$
| |
| − | dW_T = - dU + TdS = -d(U - TS) = -dF.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Entalpie}
| |
| − | \label{chap3:H}
| |
| − |
| |
| − | Entalpii dostaneme z vnitøní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(S,P,N)$
| |
| − | $$
| |
| − | H = U - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V = U + PV.
| |
| − | $$
| |
| − | Pøirozené promìnné entalpie jsou tedy $(S,P,N)$. Diferenciál entalpie je roven
| |
| − | $$
| |
| − | dH = dU + PdV + VdP = TdS + VdP + \mu dN.
| |
| − | $$
| |
| − | Z exaktnosti $dH$ plynou vztahy
| |
| − | $$
| |
| − | T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N}, \quad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial N}\right)_{S,P}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Gibbsùv potenciál}
| |
| − | \label{chap3:G}
| |
| − |
| |
| − | Ke Gibbsovu potenciálu se dostaneme Legenderovou transformací vnitøní energie vzhledem k $(S,V,N)\longrightarrow(T,P,N)$. Platí tedy
| |
| − | $$
| |
| − | G = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} V = U - TS + PV = \mu N.
| |
| − | $$
| |
| − | Pøirozené promìnné Gibbsova potenciálu $(T,P,N)$ jsou také pøirozené promìnné izotermicko-izobarického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:TP}).
| |
| − | Diferenciál Gibbsova potenciálu je roven
| |
| − | $$
| |
| − | dG = -SdT + VdP + \mu dN,
| |
| − | $$
| |
| − | z jeho exaktnosti pak plynou vztahy
| |
| − | $$
| |
| − | S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,P}.
| |
| − | $$
| |
| − | Vyjádøením diferenciálu $dG$ ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | dG = \mu dN + Nd\mu = -SdT + VdP + \mu dN
| |
| − | $$
| |
| − | dostaneme Gibbs-Duhemùv vztah
| |
| − | $$
| |
| − | SdT - VdP + \mu dN = 0,
| |
| − | $$
| |
| − | který je matematickým vyjádøením toho, že k popisu stavu soustavy nestaèí pouze intenzivní promìnné $T,P,\mu$. Vždy potøebujeme alespoò jednu extenzivní promìnnou (buï $S$, nebo $V$, nebo $N$). Z Gibbs-Duhemova vztahu se dá odvodit napø. následující rovnost
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial P}{\partial \mu}\right)_{T} = \frac{N}{V}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Grandkanonický potenciál}
| |
| − | \label{chap3:GK}
| |
| − |
| |
| − | Grandkanonický potenciál dostaneme z vnitøní energie Legenderovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow (T,V,\mu)$
| |
| − | $$
| |
| − | \Omega = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} N = U - TS - \mu N = -PV.
| |
| − | $$
| |
| − | Pøirozené promìnné grandkanonického potenciálu jsou $(T,V,\mu)$, což jsou také pøirozené promìnné grandkanonického souboru (viz. kapitola \ref{chap5:GK}). Diferenciál $\Omega$ je roven
| |
| − | $$
| |
| − | d\Omega = -SdT - PdV - Nd\mu.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \section{Maxwellovy vztahy}
| |
| − | \label{chap3:maxwell}
| |
| − |
| |
| − | Shròme si nejprve diferenciály termodynamických potenciálù
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber dU & = & TdS - PdV + \mu dN \\
| |
| − | \nonumber dF & = & -SdT - PdV + \mu dN \\
| |
| − | \nonumber dH & = & TdS + VdP + \mu dN \\
| |
| − | \nonumber dG & = & -SdT + VdP + \mu dN \\
| |
| − | \nonumber d\Omega & = & -SdT - PdV - Nd\mu.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Z jejich exaktnosti plyne 1. série Maxwellových vztahù
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber T & = & \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N} \\
| |
| − | \nonumber P & = & -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} \\
| |
| − | \nonumber S & = & -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N} = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N} \\
| |
| − | \nonumber V & = & \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Pokud jsou navíc potenciály dostateènì hladké funkce, pak ze zámìnosti druhých parciálních derivací dostaneme 2. sérii Maxwellových vztahù
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber dU & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} = - \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V,N} \\
| |
| − | \nonumber dF & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T,N} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,N} \\
| |
| − | \nonumber dH & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P,N} \\
| |
| − | \nonumber dG & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T,N} = - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \section{Jakobiány, zámìna promìnných}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme hladké zobrazení $f: (x,y)\mapsto (u,v)$. Jeho derivace v bodì $(x_0,y_0)$ je matice
| |
| − | $$
| |
| − | df(x_0,y_0) = \left(
| |
| − | \begin{array}{cc}
| |
| − | \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\
| |
| − | \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} \\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)_{(x_0,y_0)}.
| |
| − | $$
| |
| − | {\bf Jakobián} zobrazení $f$ je determinant matice derivace (pro jednoduchost zápisu nebudeme explicitnì vypisovat bod $(x_0,y_0)$.)
| |
| − | $$
| |
| − | \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \left|
| |
| − | \begin{array}{cc}
| |
| − | \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\
| |
| − | \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} \\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right| = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} - \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y}.
| |
| − | $$
| |
| − | Pomocí jakobiánu mùžeme vyjádøit parciální derivaci
| |
| − | $$\frac{\partial(u,y)}{\partial(x,y)} = \left|
| |
| − | \begin{array}{cc}
| |
| − | \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & 0 \\
| |
| − | 0 & 1 \\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right| = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}.$$
| |
| − | Z vlastností determinantu pro jakobiány plynou vztahy:
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item Prohození promìnných odpovídá zmìnì znaménka
| |
| − | $$\frac{\partial(v,u)}{\partial(x,y)} = -\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$$
| |
| − | \item Jakobián inverzního zobrazení je pøevrácená hodnota
| |
| − | $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}$$
| |
| − | \item Jakobián mùžeme rozšíøit jednièkou
| |
| − | $$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(t,s)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(x,y)}$$
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − |
| |
| − | Pøi úpravì parciálních derivací je èasto potøeba pøejít k novým promìnným. Uvažujme funkci $f(x,y)$, její diferenciál je
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap3:df1}
| |
| − | df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} dy.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Od promìnné $y$ pøejdeme k nové promìnné $z$. V nových promìnných $(x,z)$ má diferenciál funkce $f$ tvar
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap3:df2}
| |
| − | df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x} dz.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Abychom mohli pøedchozí výrazy porovnat, budeme uvažovat $z$ jako funkci $(x,y)$. Diferenciál $dz$ pak mùžeme zapsat ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy.
| |
| − | $$
| |
| − | Dosazením do (\ref{chap3:df2}) dostaneme
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap3:df3}
| |
| − | df = \left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\right]dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Porovnáním koeficientù u diferenciálù $dx$ a $dy$ ve výrazech (\ref{chap3:df1}) a (\ref{chap3:df3}) dostaneme vztahy
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} \\
| |
| − | \nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \section{Pøíklady}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte ****-vztah
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Analogie 2. série Maxwellových vztahù pro diferenciál entropie.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Tepelné kapacity jsou definovány jako
| |
| − | $$
| |
| − | C_P = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{P} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},\qquad C_V = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{V} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}.
| |
| − | $$
| |
| − | Dokažte Mayerùv vztah
| |
| − | $$
| |
| − | C_P - C_V = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Vyjádøete diferenciál entropie v promìnných $T,P$ a pøeveïte ho do promìnných $T,V$.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte platnost vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_{T} = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_{P}.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte platnost vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S} = \frac{C_P}{C_V}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Použijte jakobiány.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte platnost vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} + \frac{C_V}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Vyjádøete diferenciál $dP$ v promìnných $T,V$ a pøeveïte ho do promìnných $T,S$.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte platnost vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_G = \frac{C_P}{T}\left[\frac{V}{S}-\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P\right].
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Využijte toho, že pøi $G=konst.$ je $dG = -SdT + VdP = 0$.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Ideální a neidální plyny}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Urèete entropii $n$ molù ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl $S(T,V,n) = nC_V \ln{T} + nR\ln{V} - nR\ln{n} + K n$.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický dìj. Pøi nìm si vymìòuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Urèete rovnici polytropy v promìnných $T,V$, $P,V$, a $T,P$. Diskutujte speciální pøípady adiabaty, izobary, izochory a izotermy.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Zavedeme stupeò polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | TV^{\alpha-1} = konst.,\quad PV^\alpha = konst.,\quad TP^{-\frac{\alpha-1}{\alpha}} = konst.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Nech vnitøní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerùv vztah
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Nech pro vnitøní energii plynu platí
| |
| − | $$
| |
| − | U = a \frac{S^3}{NV},\quad a>0.
| |
| − | $$
| |
| − | Urèete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v promìnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl a) $ S = \sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, b) $P = \sqrt{\frac{NT^3}{27 aV}}$, c) $C_P - C_V = \frac{3}{2} S =\frac{3}{2}\sqrt{TVN}{3a}$, d) $\mu = -\frac{T^3}{27aP}$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Stavová rovnice plynu a jeho tepelná kapacita mají tvar
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber P & = & \frac{RT}{V}\left[1 + \frac{1}{V} B(T)\right]\\
| |
| − | \nonumber C_V & = & \frac{3}{2} R - \frac{R^2}{V} \frac{d}{dT}\left(T^\alpha \frac{d}{dT}B(T)\right).
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | Urèete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byli kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spoèítejte entropii plynu $S(T,V)$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Pro urèení hodnoty $\alpha$ použijte vztah
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_V.
| |
| − | $$
| |
| − | Entropie se urèí integrací jejích parciálních derivací
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{C_V}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Stavová rovnice plynu má tvar
| |
| − | $$
| |
| − | PV = A(T) + B(T) P + C(T) P^2 + \ldots .
| |
| − | $$
| |
| − | Urèete tvar závislosti $C_P$ na teplotì a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn?
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod $C_P$ až na funkci teploty dostaneme integrací vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita pøi konstantním tlaku mùže být maximálnì funkcí teploty.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Pro entropii plynu platí
| |
| − | $$
| |
| − | S(T,V) = R\frac{V}{V_0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha.
| |
| − | $$
| |
| − | Navíc víme, že plyn pøi izotermické expanzi pøi teplotì $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci
| |
| − | $$
| |
| − | W_T = RT_0\ln{\frac{V}{V_0}}.
| |
| − | $$
| |
| − | Urèete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Volnou energii až na neurèenou funkci objemu získáme integrací entropie pøes teplotu, protože platí
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S.
| |
| − | $$
| |
| − | Dodateènou funkci objemu urèíme z toho, že pøi izotermickém dìji plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy
| |
| − | $$
| |
| − | dW_T = -dF\quad \Longrightarrow\quad W_T = F(T_0,V_0) - F(T_0,V).
| |
| − | $$
| |
| − | Výsledek je
| |
| − | $$
| |
| − | F(T,V) = -R\frac{V}{V_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha \frac{T}{\alpha+1} + RT_0\left(\frac{V}{V_0(\alpha+1)} - \ln {V}\right)
| |
| − | $$
| |
| − | Stavovou rovnici urèíme ze vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{RT_0}{V_0}\left(\frac{V_0}{V} - \frac{1}{\alpha+1} + \frac{1}{\alpha+1}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\alpha+1}\right).
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Mìjme dvì stejná množství plynu, jedno s teplotou $T_1$, druhé s teplotou $T_2<T_1$. Plyny smícháme. Jaká je maximální a minimální možná výsledná teplota plynu? Urèete maximální práci, kterou mùžeme smícháním plynù získat. Pøedpokládejte, že tepelná kapacita plynu je konstantní.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Maximální výslednou teplotu získáme, pokud neodebereme žádné teplo ke konání práce, tedy
| |
| − | $$
| |
| − | Q_1 = C(T_1-T_{\rm max}) = Q_2 = C(T_{\rm max}-T_2)
| |
| − | $$
| |
| − | Pokud nìjaké teplo odebereme ke konání práce, bude výsledná teplota nižší. Je-li teplota po smíchání $T_0$, pak mùžeme získat práci
| |
| − | $$
| |
| − | W(T_0) = C(T_1 + T_2 - 2T_0).
| |
| − | $$
| |
| − | Maximální práce tak odpovídá minimální výsledné teplotì. Ta je omezena tím, že entropie soustavy se nemùže zmenšit
| |
| − | $$
| |
| − | \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \int\limits_{T_1}^{T_0} dS + \int\limits_{T_2}^{T_0} dS \geq 0.
| |
| − | $$
| |
| − | V našem pøípadì je minimální teplota dána vztahem
| |
| − | $$
| |
| − | T_{\rm min} = \sqrt{T_1 T_2},
| |
| − | $$
| |
| − | maximální získaná práce je potom
| |
| − | $$
| |
| − | W_{\rm max} = C(T_1 + T_2 - 2\sqrt{T_1T_2}).
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Statistické soubory - Hamiltonovské systémy}
| |
| − |
| |
| − | \section{Partièní suma}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\Omega$. Systém má pevné støední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na mikrostavech. Víme tedy, že nejpravdìpodobnìjší (rovnovážné) rozdìlení systému má tvar
| |
| − | $$
| |
| − | w(x) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right),
| |
| − | $$
| |
| − | kde $Z$ je partièní suma
| |
| − | $$
| |
| − | Z(\lambda_j) = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.
| |
| − | $$
| |
| − | Ukážeme si, že vìtšinu informací o systému mùžeme získat i bez znalosti nejpravdìpodobnìjšího rozdìlení, a sice pøímo z partièní sumy. Partièní sumu nyní budeme chápat jako funkci Lagrangeových multiplikátorù $\lambda_j$.
| |
| − |
| |
| − | \begin{enumerate}
| |
| − | \item Entropie rovnovážného rozdìlení je dána souètem $\ln Z$ a støedních hodnot pozorovatelných vynásobených pøislušnými Lagrangeovými multiplikátory
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber S & = & - k \int\limits_\Omega w(x) \ln w(x) dx = -k \int\limits_\Omega w(x) \ln\left(\frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)\right) dx\\
| |
| − | \nonumber & = & k \ln Z\int\limits_\Omega w(x) dx + k \sum_j \lambda_j \int\limits_\Omega w(x) A_j(x) dx \\
| |
| − | & = & k\ln Z + k \sum_j\lambda_j\langle A_j\rangle.
| |
| − | \label{chap5:S}
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | \item Støední hodnoty se vyjádøí derivací logaritmu $Z$ podle pøíslušného Lagrangeova multiplikátoru
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \frac{\partial\ln Z}{\partial\lambda_i} & = & \frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i} = - \int\limits_\Omega A_i(x) \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) dx = - \int\limits_\Omega A_i(x) w(x) dx\\
| |
| − | & = & -\langle A_i\rangle.
| |
| − | \label{chap5:mean}
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | \item Kovariance (míra závislosti dvou pozorovatelných) je dána druhou derivací $\ln Z$ podle pøíslušných Lagrangeových multiplikátorù
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} & = & \frac{\partial}{\partial\lambda_i}\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j}\right) = \frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} - \frac{1}{Z^2}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j} \\
| |
| − | \nonumber & = & = \int\limits_\Omega A_i(x)A_j(x)\frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{k} \lambda_k A_k(x)\right) dx - \left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\right)\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\right)\\
| |
| − | & = & \langle A_i A_j\rangle - \langle A_i\rangle\langle A_j\rangle = \left(\Delta A_i\Delta A_j\right)
| |
| − | \label{chap5:kov}
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − | \item Variance je speciální pøípad pøedchozího vztahu pro $i=j$
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i^2} = \langle A_i^2\rangle - \langle A_i\rangle^2 = \left(\Delta A_i\right)^2.
| |
| − | \label{chap5:flukt}
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | \end{enumerate}
| |
| − |
| |
| − | V následujícím budeme uvažovat systém (plyn), který je tvoøen identickými neinteragujícími èásticemi. Prostor mikrostavù jedné èástice je její fázový prostor $\Omega_j = \Gamma$, pro soubor $N$ èástic pak platí
| |
| − | $$
| |
| − | \Omega = \underbrace{\Gamma \times \Gamma \times \ldots \times \Gamma}_{N\times} = \Gamma_N.
| |
| − | $$
| |
| − | Roli funkcí $A_j$ budou hrát pozorovatelné velièiny (napø. energie, poèet èástic, objem,...). Jejich støední hodnoty ale neznáme, naopak, chtìli bychom je urèit. Využijeme toho, že odpovídající Lagrangeovy multiplikátory jsou pøímo spojené s nìjakou intenzivní velièinou (teplota, chemický potenciál, tlak,...), která vlastnì definuje podmínku na støední hodnotu dané pozorovatelné velièiny. Pøesný fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorù urèíme porovnáním statistické entropie pro odpovídající rovnovážné rozdìlení (\ref{chap5:S}) s entropií termodynamickou. Úlohu tedy mùžeme otoèit. Nejprve urèíme partièní sumu jako funkci Lagrangeových multiplikátorù, tj. jako funkci fyzikálních parametrù soustavy. Støední hodnoty pozorovatelných (vnitøní energie, støední poèet èástic, støední objem,...), jejich fluktuace atd. pak urèíme pomocí vztahù (\ref{chap5:mean}), (\ref{chap5:kov}) a (\ref{chap5:flukt}).
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \section{Kanonický soubor}
| |
| − | \label{chap5:K}
| |
| − |
| |
| − | Mìjme plyn v objemu $V$, který je v tepelné rovnováze s okolím o teplotì $T$. Poèet èástic plynu $N$ zùstává konstantní. Parametry kanonického souboru jsou $T,V,N$, což jsou pøirozené promìnné volné energie (viz. kapitola \ref{chap3:F}). Celková energie plynu je dána souètem hamiltoniánù jednotlivých èástic
| |
| − | $$
| |
| − | H_N = \sum_{j=1}^N H(q_j,p_j),
| |
| − | $$
| |
| − | kde $q_j$ jsou souøadnice a $p_j$ hybnosti $j$-té èástice. Celková energie plynu ale není pøesnì urèená. Protože plyn má teplotu $T$, jeho energie fluktuuje kolem jisté støední hodnoty, kterou je vnitøní energie
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap5:U}
| |
| − | \langle H_N\rangle = \int\limits_{\Gamma_N} H_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) d\mathbf{q}d\mathbf{p} = U.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Lagrangeùv multiplikátor odpovídající této vazbì oznaèíme $\beta$. Hustota pravdìpodobnosti $w_N(\mathbf{q},\mathbf{p})$ je nejpravdìpodobnìjší (rovnovážné) rozdìlení $N$ èástic plynu na jejich fázovém prostoru $\Gamma_N$
| |
| − | $$
| |
| − | w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \frac{1}{Z_K} \exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right),
| |
| − | $$
| |
| − | kde $Z_K$ je {\bf kanonická partièní suma} (Maxwell-Boltzmannnova statistika)
| |
| − | $$
| |
| − | Z_K = \frac{1}{\hbar^{3N}}\int\limits_{\Gamma_N}\exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right)d\mathbf{q}d\mathbf{p}.
| |
| − | $$
| |
| − | Faktor $\hbar^{-3N}$ jsme pøidali kvùli tomu, aby partièní suma byla bezrozmìrná. Protože èástice plynu mezi sebou neinteragují, mùžeme integrál pøes $\Gamma_N$ zjednodušit
| |
| − | $$
| |
| − | Z_K = \left(\frac{1}{\hbar^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp\right)^N = z^N,
| |
| − | $$
| |
| − | kde $z$ oznaèuje {\bf jednoèásticovou partièní sumu}. Takto zavedená kanonická partièní suma ale vede na entropii, která není aditivní. Proto budeme uvažovat korigovanou Maxwell-Boltzmannnovu statistiku, kde
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap5:Zk}
| |
| − | Z_K = \frac{1}{N!} z^N,\quad z = \frac{1}{\hbar^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Urèeme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\beta$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdìlení
| |
| − | $$
| |
| − | S = k \ln Z_K + k\beta U,
| |
| − | $$
| |
| − | což mùžeme upravit do tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | -\frac{1}{\beta} \ln Z_K = U - \frac{1}{k\beta} S.
| |
| − | $$
| |
| − | Výraz na pravé stranì je roven volné energii $F$, pokud zvolíme $\beta = \frac{1}{kT}$. Lagrangeùv multiplikátor $\beta$ má tedy význam inverzní teploty, jeho rozmìr je $\left[\beta\right] = J^{-1}$. To souvisí s tím, že $\beta$ je multiplikátor odpovídající vazbì na støední hodnotu energie. Souèin $\beta H(q,p)$ je tedy bezrozmìrný, a díky faktoru $\hbar^{-3}$ jsou bezrozmìrné jednoèásticová i kanonická partièní suma. V kanonickém souboru tedy platí
| |
| − | $$
| |
| − | U = -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta},\quad F = -kT \ln Z_K.
| |
| − | $$
| |
| − | Stavovou rovnici plynu pak urèíme z Maxwellova vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \section{Grandkanonický soubor}
| |
| − | \label{chap5:GK}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme opìt plyn v koneèném objemu $V$, který je tepelné rovnováze s okolím o teplotì $T$. Této podmínce odpovídá vazba na støední hodnotu energie plynu (\ref{chap5:U}). Plyn má chemický potenciál $\mu$. Parametry grandkanonického souboru jsou $T,V,\mu$, což jsou pøirozené promìnné grandkanonického potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:GK}). V grandkanonickém souboru poèet èástic plynu $N$ není konstantní, ale mùže se mìnit (v principu od nuly do nekoneèna). Máme tedy další vazbu, konkrétnì na støední hodnotu poètu èástic $\langle N\rangle$. Lagrangeùv multiplikátor odpovídající této vazbì oznaèíme $-\alpha$. {\bf Grandkanonická partièní suma} je pak definovaná vztahem
| |
| − | $$
| |
| − | Z_G = \sum_{N=0}^{+\infty} e^{\alpha N} Z_K(N),
| |
| − | $$
| |
| − | kde $Z_K(N)$ je kanonická partièní suma souboru $N$ èástic (\ref{chap5:Zk}). Suma se dá snadno seèíst (je to Taylorùv rozvoj exponenciely), takže platí
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap5:Zg}
| |
| − | Z_G = \exp\left(z e^\alpha\right),
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | kde $z$ je jednoèásticová partièní suma.
| |
| − |
| |
| − | Fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorù $\alpha,\beta$ opìt urèíme ze vztahu pro entropii rovnovážného rozdìlení
| |
| − | $$
| |
| − | S = k\ln{Z_G} + k\beta U - k\alpha\langle N\rangle.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle N\rangle$ pouze $N$. Výraz pro entropii mùžeme upravit do tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | -\frac{1}{\beta}\ln{Z_G} = U - \frac{1}{k\beta}S - \frac{\alpha}{\beta}N.
| |
| − | $$
| |
| − | Výraz na pravé stranì je roven grandkanonickému potenciálu, pokud zvolíme
| |
| − | $$
| |
| − | \beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}.
| |
| − | $$
| |
| − | Lagrangeùv multiplikátor $\alpha$ je bezrozmìrný, v souladu s tím, že $\alpha$ odpovídá vazbì na støední poèet èástic, což je bezrozmìrná velièina. Ze vztahu (\ref{chap5:Zg}) je vidìt, že i grandkanonická partièní suma je bezrozmìrná. V grandkanonickém souboru platí
| |
| − | $$
| |
| − | U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = +\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
| |
| − | $$
| |
| − | Stavovou rovnici plynu urèíme pøímo z grandkanonického potenciálu, protože platí
| |
| − | $$
| |
| − | \Omega = -PV = -kT\ln{Z_G}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \section{Izotermicko-izobarický soubor}
| |
| − | \label{chap5:TP}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme nyní plyn, který má teplotu $T$. Poèet èástic se nemìní a je roven $N$. Místo objemu je ale nyní zafixován tlak plynu $P$. Parametry izotermicko-izobarického souboru jsou tedy $T,P,N$, což jsou pøirozené promìnné Gibbsova potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:G}). Objem plynu $V$ mùže fluktuovat kolem své støední hodnoty $\langle V\rangle$. Lagrangeùv multiplikátor odpovídající této vazbì oznaèíme $\gamma$. Partièní suma izotermicko-izobarického souboru je potom rovna
| |
| − | $$
| |
| − | \widetilde{Z} = \gamma\int\limits_0^{+\infty} e^{-\gamma V} Z_K dV,
| |
| − | $$
| |
| − | kde $Z_K$ je kanonická partièní suma pro $N$ èástic plynu v objemu $V$ (\ref{chap5:Zk}). Faktor $\gamma$ jsme pøidali kvùli tomu, aby výsledná partièní suma byla bezrozmìrná.
| |
| − |
| |
| − | Urèíme fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorù $\beta$ a $\gamma$. Vyjdeme z entropie rovnovážného rozdìlení
| |
| − | $$
| |
| − | S = k\ln{\widetilde{Z}} + k\beta U + k\gamma \langle V\rangle.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle V\rangle$ pouze $V$. Entropii rovnovážného rozdìlení upravíme do tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | -\frac{1}{\beta}\ln{\widetilde{Z}} = U - \frac{1}{k\beta} S + \frac{\gamma}{\beta} V.
| |
| − | $$
| |
| − | Výraz na pravé stranì je roven Gibbsovu potenciálu, pokud zvolíme
| |
| − | $$
| |
| − | \beta = \frac{1}{kT},\quad \gamma = \frac{P}{kT}.
| |
| − | $$
| |
| − | Rozmìr Lagrangeova multiplikátoru $\gamma$ je tedy $\left[\gamma\right] = m^{-3}$. To koresponduje s tím, že $\gamma$ je Lagrangeùv multiplikátor vazby na støední hodnotu objemu. V izotermicko-izobarickém souboru platí
| |
| − | $$
| |
| − | U = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\beta}\right)_\gamma,\quad V = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\gamma}\right)_\beta,\quad G = -kT\ln\widetilde{Z}.
| |
| − | $$
| |
| − | Stavovou rovnici plynu urèíme ze vztahu pro støední hodnotu objemu.
| |
| − |
| |
| − | \section{Pøíklady}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | $N$ molekul klasického ideálního plynu je v objemu $V$ pøi teplotì $T$. Najdìte kanonickou partièní sumu $Z_K$, stavovou rovnici, vnitøní energii a tepelnou kapacitu plynu.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber z & = & \frac{V}{\hbar^3}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2},\qquad Z_K = \frac{V^N}{N!\hbar^{3N}} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N},\qquad \beta = \frac{1}{kT}\\
| |
| − | \nonumber F & = & -\frac{3}{2}NkT\ln\left(2\pi m kT\right) - NkT\ln{V} + kT\ln\left(N!\hbar^{3N}\right),\quad P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} = \frac{NkT}{V}\\
| |
| − | \nonumber U & = & -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta} = \frac{3}{2}N kT,\quad C_V = \frac{\partial U}{\partial T}_{V,N} = \frac{3}{2}Nk.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Ideální ultrarelativistický plyn je v objemu $V$ pøi teplotì $T$ a má chemický potenciál $\mu$. Najdìte grandkanonickou partièní sumu $Z_G$, stavovou rovnici, støední poèet èástic a vnitøní energii.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber z & = & \frac{8\pi V}{\beta^3c^3\hbar^3},\quad Z_G = \exp\left(\frac{8\pi V}{\beta^3c^3\hbar^3}e^\alpha\right),\quad \beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}, \\
| |
| − | \nonumber N & = & \frac{8\pi V k^3T^3}{c^3\hbar^3}e^\frac{\mu}{kT},\quad \Omega = -kT\ln{Z_G} = -NkT = -PV,\quad U = 3NkT.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | $N$ molekul klasického ideálního plynu má teplotu $T$ a tlak $P$. Najdìte partièní sumu $\widetilde{Z}$ izotermicko-izobarického souboru, stavovou rovnici a vnitøní energii.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber z & = & \frac{V}{\hbar^3}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2},\quad Z_K = \frac{V^N}{N!\hbar^{3N}} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N},\quad \widetilde{Z} = \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \frac{1}{\gamma^{N}\hbar^{3N}},\quad \beta = \frac{1}{kT}\\
| |
| − | \nonumber \gamma & = & \frac{P}{kT},\quad V = -\left(\frac{\partial\ln\widetilde{Z}}{\partial\gamma}\right)_{\beta} = \frac{NkT}{P},\quad U = -\left(\frac{\partial\ln\widetilde{Z}}{\partial\beta}\right)_{\gamma} = \frac{3}{2}NkT.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Soubor $N$ klasických jednorozmìrných harmonických oscilátorù je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$. Urèete kanonickou partièní sumu souboru a vnitøní energii.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | $$
| |
| − | z = \frac{2\pi}{\beta\hbar\omega},\quad Z_K = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi}{\beta\hbar\omega}\right)^N,\quad U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}\right) = \frac{N}{\beta} = NkT.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | $N$ èástic klasického ideálního plynu o teplotì $T$ je ve válci, který rotuje kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Výška válce je $h$ a polomìr $R$. Díky kontaktu plynu se stìnou rotujícího válce mají èástice plynu nenulovou støední hodnotu $z$-ové složky momentu hybnosti $\langle L_z\rangle$. Fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru pøíslušného této vazbì je dán tím, že plyn korotuje s válcem a jeho èástice mají stejnou støední úhlovou rychlost $\omega$. Urèete rovnovážné pravdìpodobnostní rozdìlení $w(\vec{r},\vec{p})$, závislost hustoty poètu èástic v nádobì na vzdálenosti od osy rotace $n(r_\bot)$ a kanonickou partièní sumu $Z_K$ .
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | Uvažujme nejprve obecnou rotaci s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$. Lagrangeùv multiplikátor odpovídající vazbì $\langle \vec{L}\rangle$ oznaèíme $\vec{\lambda}$ (je to trojice multiplikátorù). Rovnovážné rozdìlení je dáno vztahem
| |
| − | $$
| |
| − | w(\vec{r},\vec{p}) = \frac{1}{z}\exp\left[-\beta H(p)\right] \exp\left[-\vec{\lambda}\cdot\vec{L}\right] = \frac{1}{z} \exp\left[-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)\right)^2\right] \exp\left[\frac{m}{2\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)^2\right].
| |
| − | $$
| |
| − | Urèíme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\vec{\lambda}$. Víme, že musí platit
| |
| − | $$
| |
| − | \langle\vec{v}(\vec{r}_0)\rangle = \vec{\omega}\times\vec{r}_0 \Longleftrightarrow \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = m\vec{\omega}\times\vec{r}_0.
| |
| − | $$
| |
| − | Podmínìné rozdìlení hybností v bodì $\vec{r}_0$ je dáno vztahem
| |
| − | $$
| |
| − | w(\vec{p}|\vec{r}_0) = \frac{w(\vec{r}_0,\vec{p})}{\int\limits_{\mathds{R}^3} w(\vec{r}_0,\vec{p}) d^3p} = \left(\frac{\beta}{2\pi m }\right)^\frac{3}{2}\exp\left(-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right)\right)^2\right).
| |
| − | $$
| |
| − | Støední hodnota hybnosti èástice plynu v bodì $\vec{r}_0$ je tedy
| |
| − | $$
| |
| − | \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = -\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right),
| |
| − | $$
| |
| − | a pro Lagrangeùv multiplikátor dostaneme
| |
| − | $$
| |
| − | \vec{\lambda} = -\beta\vec{\omega}.
| |
| − | $$
| |
| − | Rovnovážné rozdìlení pro rotaci válce kolem $z$-ové osy, kdy $\vec{\omega} = (0,0,\omega)$, je v cylindrických souøadnicích rovno
| |
| − | $$
| |
| − | w(r_\bot,\varphi,h,\vec{p}) = \frac{1}{z} \exp\left(-\frac{\beta p^2}{2m}\right) r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right)
| |
| − | $$
| |
| − | Marginální rozdìlení pravdìpodobnosti nalezení èástice ve vzdálenosti $r_\bot$ od osy rotace dostaneme integrací $w(\vec{r},\vec{p})$ pøes hybnost, polární úhel a výšku válce
| |
| − | $$
| |
| − | w(r_\bot) = \int\limits_{\mathds{R}^3} d^3p\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^h dh' w(\vec{r},\vec{p}) \sim r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right).
| |
| − | $$
| |
| − | Hustota poètu èástic $n(r_\bot) = N w(r_\bot)$ je vèetnì normalizace rovna
| |
| − | $$
| |
| − | n(r_\bot) = \frac{N\beta}{2V} \frac{m\omega^2 R^2}{\exp\left(\frac{\beta m\omega^2 R^2}{2} - 1\right)} r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right),
| |
| − | $$
| |
| − | kde $V = \pi R^2 h$ je objem válce. Jednoèásticová partièní suma se dá zapsat ve tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | z = \frac{2 V}{\hbar^3} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2}\frac{1}{\beta m\omega^2 R^2}\left(\exp\left(\frac{\beta m\omega^2R^2}{2}\right)-1\right).
| |
| − | $$
| |
| − | Kanonickou partièní sumu získáme standardním zpùsobem, je vhodné ji vyjádøit jako funkci pùvodních Lagrangeových multiplikátorù $\beta$ a $\lambda$. Výsledek je
| |
| − | $$
| |
| − | Z_K(\beta,\lambda) = \frac{V^N}{\hbar^{3N} N!} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \left(\frac{2\beta}{m\lambda^2 R^2}\right)^N \left(\exp\left(\frac{m\lambda^2 R^2}{2\beta}\right)-1\right)^N
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Statistické soubory - diskrétní hladiny}
| |
| − |
| |
| − | \section{Maxwell-Boltzmannovo rozdìlení}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme systém, tvoøený klasickými èásticemi. Každá z nich se mùže nacházet na nìjaké energetické hladinì s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nech je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotì $T$. Je-li poèet èástic $N$ pevný, mùžeme systém popsat pomocí kanonické partièní sumy
| |
| − | $$
| |
| − | Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro Lagrangeùv multiplikátor opìt platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdìlení a vnitøní energie souboru se urèí ze vztahù
| |
| − | $$
| |
| − | S = k\ln{Z_K} + \beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}.
| |
| − | $$
| |
| − | Pokud se poèet èástic mìní, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partièní sumy
| |
| − | $$
| |
| − | Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right),
| |
| − | $$
| |
| − | kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdìlení je rovna
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap6:S}
| |
| − | S = k\ln{Z_{\rm MB}} + \beta U + \alpha N,
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | vnitøní energie a støední poèet èástic se urèí pomocí vztahù
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | \label{chap6:UN}
| |
| − | U = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | Protože partièní suma $Z_{\rm MB}$ má tvar souèinu pøes energetické hladiny, platí
| |
| − | $$
| |
| − | N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle,
| |
| − | $$
| |
| − | kde $\langle n_i\rangle$ oznaèuje støední poèet èástic na hladinì $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických èástic snadno dostaneme (viz. Pøíklad~\ref{chap6:ni})
| |
| − | $$
| |
| − | \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},
| |
| − | $$
| |
| − | což se oznaèuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdìlení.
| |
| − |
| |
| − | \section{Bose-Einsteinovo rozdìlení}
| |
| − |
| |
| − | Uvažujme nyní soubor identických kvantových èástic. Oznaèíme poèet èástic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací èíslo) jako $n_i$, celkový poèet èástic v soboru a jeho energie je potom
| |
| − | $$
| |
| − | N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i.
| |
| − | $$
| |
| − | Protože celkový poèet èástic a energie souboru fluktuují kolem svých støedních hodnot, popíše systém pomocí grandkanonické partièní sumy
| |
| − | $$
| |
| − | Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro bosony (èástice s celoèíselným spinem) mùžou obsazovací èísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partièní suma se pak dá pøepsat do tvaru
| |
| − | $$
| |
| − | Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}.
| |
| − | $$
| |
| − | Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partièní suma tvar
| |
| − | $$
| |
| − | Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}.
| |
| − | $$
| |
| − | Entropie, vnitøní energie a støední poèet èástic se urèí analogicky jako pro Maxwell-Boltzmannovo rozdìlení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partièní suma $Z_{\rm BE}$ má opìt tvar souèinu pøes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádøit pomocí støedního poètu èástic na dané energetické hladinì $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonù dostaneme (viz. Pøíklad~\ref{chap6:ni})
| |
| − | $$
| |
| − | \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}.
| |
| − | $$
| |
| − | Toto rozdìlení se nazývá Bose-Einsteinovo.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \section{Fermi-Diracovo rozdìlení}
| |
| − |
| |
| − | Pro fermiony (èástice s poloèíselným spinem) platí Pauliho vyluèovací princip. Obsazovací èísla mùžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partièní suma je pak rovna
| |
| − | $$
| |
| − | Z_{\rm FD} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i},
| |
| − | $$
| |
| − | kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partièní suma $Z_{\rm FD}$ daná souèinem pøes energie, mùžeme $U$ a $N$ vyjádøit pomocí støedního poètu èástic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se øídí Fermi-Diracovým rozdìlením (viz. Pøíklad~\ref{chap6:ni})
| |
| − | $$
| |
| − | \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \section{Pøíklady}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Soubor $N$ kvantových jednorozmìrných harmonických oscilátorù je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$. Urèete kanonickou partièní sumu souboru a vnitøní energii.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\
| |
| − | \nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right).
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | $N$ èástic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu$ je pevnì umístìno v homogením magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$. Každý spin mùže být orientován paralelnì s magnetickým polem ( energie $\varepsilon_+ = -\mu B$ ), nebo antiparalelnì ( energie $\varepsilon_- = +\mu B$ ). Urèete kanonickou partièní sumu, celkový magnetický moment a vnitøní energii soustavy v závisloti na teplotì.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber w_\pm & = & \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},\quad z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu B),\quad Z_K = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu B)\\
| |
| − | \nonumber U & = & -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu B\tanh(\beta \mu B),\quad M = N\langle m\rangle = N(\mu w_+ - \mu w_-) = N \mu\tanh(\beta\mu B).
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo mùže vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Pøedpokládejte, že volná molekula má vùèi aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Urèete stupeò adsorbce $\Theta$, tj. poèet adsorbovaných molekul $n$ v pomìru k poètu aktivních míst $N$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod Grandkanonická partièní suma pro jedno aktivní místo je
| |
| − | $$
| |
| − | z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
| |
| − | $$
| |
| − | Pro $N$ aktivních míst dostaneme
| |
| − | $$
| |
| − | Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
| |
| − | $$
| |
| − | Støední poèet obsazených aktivních míst je roven
| |
| − | $$
| |
| − | n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
| |
| − | $$
| |
| − | Stìny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
| |
| − | $$
| |
| − | e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
| |
| − | $$
| |
| − | Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme
| |
| − | $$
| |
| − | \Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},
| |
| − | $$
| |
| − | kde $P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}$.
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | \label{chap6:ni}
| |
| − | Urèete støední poèet èástic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických èástic, bosonù a fermionù. Pøedpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$.
| |
| − | \ec
| |
| − | \vysl
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)}\\
| |
| − | \nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}\\
| |
| − | \nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \chapter{Fluktuace}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte, ze v kanonickém souboru platí vztah
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\Delta U\right)^2 = \frac{\partial^2\ln{Z_K}}{\partial\beta^2} = -\frac{\partial U}{\beta} = -\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} \left(\frac{\partial T}{\partial \beta}\right) = kT^2 C.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | V rámci izotermicko-izobarického souboru dokažte platnost vztahu
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\Delta U\Delta V\right) = kT\left[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\right].
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | \begin{eqnarray}
| |
| − | \nonumber \left(\Delta U\Delta V\right) & = & \frac{\partial^2\ln\widetilde{Z}}{\partial\beta\partial \gamma} = -\left(\frac{\partial V}{\partial \beta}\right)_\gamma = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\frac{\partial T}{\partial \beta}\right)_\gamma - \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\left(\frac{\partial P}{\partial \beta}\right)_\gamma \\
| |
| − | \nonumber & = & kT^2 \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + PkT\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
| |
| − | \end{eqnarray}
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte, že pro fluktuace poètu èástic v grandkanonickém souboru platí vztah
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\Delta N\right)^2 = \frac{NkT}{V}\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)_{T,V}.
| |
| − | $$
| |
| − | Použijte Gibbs-Duhemùv vztah.
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | $$
| |
| − | \left(\Delta N\right)^2 = \left(\frac{\partial^2\ln{Z_G}}{\partial\alpha^2}\right)_\beta = \left(\frac{\partial N }{\partial\alpha}\right)_\beta = kT \left(\frac{\partial N }{\partial\mu}\right)_{T,V} = kT \left(\frac{\partial N }{\partial P}\right)_{T,V}\left(\frac{\partial P}{\partial\mu}\right)_{T,V}
| |
| − | $$
| |
| − | Gibbs-Duhem $\Longrightarrow$ $\frac{N}{V} = \left(\frac{\partial P}{\partial\mu}\right)_{T}$
| |
| − |
| |
| − | \bc
| |
| − | Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitøní energie souboru $N$ klasických jednorozmìrných harmonických oscilátorù, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotì $T$, platí vztah
| |
| − | $$
| |
| − | \frac{\Delta U}{U} = \frac{1}{\sqrt{N}}.
| |
| − | $$
| |
| − | \ec
| |
| − | \navod
| |
| − | $$
| |
| − | Z_K = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi}{\beta\omega}\right)^N,\quad U = \frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = \frac{N}{\beta},\quad \left(\Delta U\right)^2 = -\frac{\partial U}{\partial\beta} = \frac{N}{\beta^2}.
| |
| − | $$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | \end{document}
| |
