NME01:Kapitola9

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 6. 2021, 16:58, kterou vytvořil Kunzmart (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „% \wikiskriptum{NME01} \subsection{Čebyševovy polynomy} \begin{itemize} \item k aproximaci konstruujeme Čebyševovy polynomy \item \underline{Čebyš…“)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu NME01

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu NME01Kunzmart 5. 6. 202117:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKunzmart 5. 6. 202117:59
Header editovatHlavičkový souborKunzmart 5. 6. 202116:54 header.tex
Kapitola1 editovatReprezentace čísel v počítačiKunzmart 5. 6. 202116:55 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex
Kapitola2 editovatChybyKunzmart 5. 6. 202116:55 02_chyby.tex
Kapitola3 editovatÚlohy lineární algebryKunzmart 5. 6. 202117:30 03_ulohy_lin_alg.tex
Kapitola4 editovatŘešení soustav Ax - bKunzmart 5. 6. 202116:56 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex
Kapitola5 editovatVlastní číslaKunzmart 5. 6. 202116:56 03b_vlastni_cisla.tex
Kapitola6 editovatDeterminantKunzmart 5. 6. 202116:57 03c_determinant.tex
Kapitola7 editovatAproximace funkcíKunzmart 5. 6. 202117:31 04_aproximace_funkci.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKunzmart 5. 6. 202116:57 04a_interpolace.tex
Kapitola9 editovatČebyševova aproximaceKunzmart 5. 6. 202116:58 04b_cebysevovy_aproximace.tex
Kapitola10 editovatMetoda nejmenších čtvercůKunzmart 5. 6. 202116:58 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex
Kapitola11 editovatŘešení nelineárních rovnicKunzmart 5. 6. 202117:32 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex
Kapitola12 editovatBisekceKunzmart 5. 6. 202116:59 05a_bisekce.tex
Kapitola13 editovatMetoda sečenKunzmart 5. 6. 202116:59 05b_metoda_secen.tex
Kapitola14 editovatRegula falsiKunzmart 5. 6. 202117:00 05c_regula_falsi.tex
Kapitola15 editovatMetoda Newton-RaphsonovaKunzmart 5. 6. 202117:00 05d_newton_raphsonova_metoda.tex
Kapitola16 editovatHledání kořenu polynomuKunzmart 5. 6. 202117:00 05e_hledani_korenu_polynomu.tex
Kapitola17 editovatMullerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:01 05f_mullerova_metoda.tex
Kapitola18 editovatProstá iteraceKunzmart 5. 6. 202117:01 05g_prosta_iterace.tex
Kapitola19 editovatMetoda Newton-Raphson pro systémy rovnicKunzmart 5. 6. 202117:01 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex
Kapitola20 editovatHledání extrémů funkcíKunzmart 5. 6. 202117:32 06_hledani_extremu_funkci.tex
Kapitola21 editovatMetoda zlatého řezuKunzmart 5. 6. 202117:03 06a_metoda_zlateho_rezu.tex
Kapitola22 editovatParabolická iterpolaceKunzmart 5. 6. 202117:04 06b_parabolicka_iterpolace.tex
Kapitola23 editovatNelder Meadova metodaKunzmart 5. 6. 202117:09 06c_nelder_meadova_metoda.tex
Kapitola24 editovatGradientní metodyKunzmart 5. 6. 202117:09 06d_gradientni_metody.tex
Kapitola25 editovatNumerická integraceKunzmart 5. 6. 202117:32 07_numericka_integrace.tex
Kapitola26 editovatKvadraturní vzorceKunzmart 5. 6. 202117:09 07a_kvadraturni_vzorce.tex
Kapitola27 editovatIntegrály se singularitamiKunzmart 5. 6. 202117:10 07b_integraly_se_singularitami.tex
Kapitola28 editovatGaussovy kvadraturyKunzmart 5. 6. 202117:20 07c_gaussovy_kvadratury.tex
Kapitola29 editovatIntegrace Monte CarloKunzmart 5. 6. 202117:20 07d_integrace_monte_carlo.tex
Kapitola30 editovatObyčejné diferenciální rovniceKunzmart 5. 6. 202117:33 08_obycejne_diferencialni_rce.tex
Kapitola31 editovatEulerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:21 08a_eulerova_metoda.tex
Kapitola32 editovatMetoda středního boduKunzmart 5. 6. 202117:21 08b_metoda_stredniho_bodu.tex
Kapitola33 editovatHeunova metodaKunzmart 5. 6. 202117:22 08c_heunova_metoda.tex
Kapitola34 editovatRunge Kuttovy metodyKunzmart 5. 6. 202117:22 08d_runge_kuttovy_metody.tex
Kapitola35 editovatMetoda leap frogKunzmart 5. 6. 202117:22 08e_metoda_leap_frog.tex
Kapitola36 editovatMetoda prediktor korektorKunzmart 5. 6. 202117:22 08f_metoda_prediktor_korektor.tex
Kapitola37 editovatMetoda střelbyKunzmart 5. 6. 202117:23 08g_metoda_strelby.tex
Kapitola38 editovatMetoda konečných diferencíKunzmart 5. 6. 202117:23 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex
Kapitola39 editovatVariační metodyKunzmart 5. 6. 202117:23 08i_variacni_metody.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{NME01}
 
\subsection{Čebyševovy polynomy}
\begin{itemize}
	\item k aproximaci konstruujeme Čebyševovy polynomy
	\item \underline{Čebyševova úloha} = \underline{hledání funkce h(x)}, která na daném intervalu \(\left<a,b \right>\) minimalizuje maximální hodnotu chyby: \(\max_{x \in \left<a,b \right>}|f(x) - h(x)|\), kde \(h(x)\) je určitá třída funkcí (úloze se říká nejlepší stejnoměrná aproximace) \(\rightarrow\) k výpočtu tzv. \underline{Remezův algoritmus}
	\item \underline{aproximace Čebyševovými polynomy:}
	      \begin{itemize}
		      \item \underline{lehce se konstruuje} a je téměř \underline{přesná}, jako nejlepší stejnoměrná aproximace
		            \begin{itemize}
			            \item[\(\implies\)] \underline{využívá se pro výpočty funkcí}
		            \end{itemize}
		      \item pro aproximaci se nejprve libovolný \underline{interval transformuje na interval \(\left< -1,1 \right>\)}
		            \begin{itemize}
			            \item [\(\hookrightarrow\)] tj. každému \(t \in \left<a, b \right>\) přiřadíme hodnotu \(x \in \left< -1, 1 \right>\) předpisem \(\boxed{\frac{2t-(a+b)}{b-a}}\)
		            \end{itemize}
		      \item Čebyševův polynom je \underline{definován:}
		            \[ \boxed{T_{n}(x) = \cos (n\arccos x)}\]
		            nebo rekurentní definicí
		            \[
			            \boxed{
				            \left.
				            \begin{aligned}
					             & T_0(x) = 1 \\
					             & T_1(x) = x
				            \end{aligned}
				            \right\} \rightarrow T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)
			            }
		            \]
		      \item [\underline{pozn.:}] \underline{Čebyševovy polynomy} jsou \underline{ortogonální} s vahou \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
		      \item funkci \(f(x)\) pak pomocí Čebyševova polynomu aproximujeme následovně:
		            \[
			            \boxed{
				            \begin{aligned}
					             & f(x) \approx T(x) = \frac{1}{2}c_0 + \sum_{j=1}^{N-1} c_jT_j(x)                                                                                                                                                                                                                               \\
					             & c_j = \frac{2}{N}\sum_{k=1}^{N} f[\cos\text{\stackengine{\stackgap}{\(\underbrace{\left(\frac{\pi (k-\frac{1}{2})}{N}\right)}\)}{\hspace{2em}\scriptsize\(\hookrightarrow \underline{\text{kořeny } T_n(x)}\)}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}}]\cdot \cos\left(\frac{\pi j(k-\frac{1}{2})}{N}\right)
				            \end{aligned}
			            } \leftarrow \text{\scriptsize z teorie Fourierových řad}
		            \]
	      \end{itemize}
\end{itemize}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=NME01:Kapitola9&oldid=8379“