NME01:Kapitola38

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu NME01

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu NME01Kunzmart 5. 6. 202117:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKunzmart 5. 6. 202117:59
Header editovatHlavičkový souborKunzmart 5. 6. 202116:54 header.tex
Kapitola1 editovatReprezentace čísel v počítačiKunzmart 5. 6. 202116:55 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex
Kapitola2 editovatChybyKunzmart 5. 6. 202116:55 02_chyby.tex
Kapitola3 editovatÚlohy lineární algebryKunzmart 5. 6. 202117:30 03_ulohy_lin_alg.tex
Kapitola4 editovatŘešení soustav Ax - bKunzmart 5. 6. 202116:56 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex
Kapitola5 editovatVlastní číslaKunzmart 5. 6. 202116:56 03b_vlastni_cisla.tex
Kapitola6 editovatDeterminantKunzmart 5. 6. 202116:57 03c_determinant.tex
Kapitola7 editovatAproximace funkcíKunzmart 5. 6. 202117:31 04_aproximace_funkci.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKunzmart 5. 6. 202116:57 04a_interpolace.tex
Kapitola9 editovatČebyševova aproximaceKunzmart 5. 6. 202116:58 04b_cebysevovy_aproximace.tex
Kapitola10 editovatMetoda nejmenších čtvercůKunzmart 5. 6. 202116:58 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex
Kapitola11 editovatŘešení nelineárních rovnicKunzmart 5. 6. 202117:32 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex
Kapitola12 editovatBisekceKunzmart 5. 6. 202116:59 05a_bisekce.tex
Kapitola13 editovatMetoda sečenKunzmart 5. 6. 202116:59 05b_metoda_secen.tex
Kapitola14 editovatRegula falsiKunzmart 5. 6. 202117:00 05c_regula_falsi.tex
Kapitola15 editovatMetoda Newton-RaphsonovaKunzmart 5. 6. 202117:00 05d_newton_raphsonova_metoda.tex
Kapitola16 editovatHledání kořenu polynomuKunzmart 5. 6. 202117:00 05e_hledani_korenu_polynomu.tex
Kapitola17 editovatMullerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:01 05f_mullerova_metoda.tex
Kapitola18 editovatProstá iteraceKunzmart 5. 6. 202117:01 05g_prosta_iterace.tex
Kapitola19 editovatMetoda Newton-Raphson pro systémy rovnicKunzmart 5. 6. 202117:01 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex
Kapitola20 editovatHledání extrémů funkcíKunzmart 5. 6. 202117:32 06_hledani_extremu_funkci.tex
Kapitola21 editovatMetoda zlatého řezuKunzmart 5. 6. 202117:03 06a_metoda_zlateho_rezu.tex
Kapitola22 editovatParabolická iterpolaceKunzmart 5. 6. 202117:04 06b_parabolicka_iterpolace.tex
Kapitola23 editovatNelder Meadova metodaKunzmart 5. 6. 202117:09 06c_nelder_meadova_metoda.tex
Kapitola24 editovatGradientní metodyKunzmart 5. 6. 202117:09 06d_gradientni_metody.tex
Kapitola25 editovatNumerická integraceKunzmart 5. 6. 202117:32 07_numericka_integrace.tex
Kapitola26 editovatKvadraturní vzorceKunzmart 5. 6. 202117:09 07a_kvadraturni_vzorce.tex
Kapitola27 editovatIntegrály se singularitamiKunzmart 5. 6. 202117:10 07b_integraly_se_singularitami.tex
Kapitola28 editovatGaussovy kvadraturyKunzmart 5. 6. 202117:20 07c_gaussovy_kvadratury.tex
Kapitola29 editovatIntegrace Monte CarloKunzmart 5. 6. 202117:20 07d_integrace_monte_carlo.tex
Kapitola30 editovatObyčejné diferenciální rovniceKunzmart 5. 6. 202117:33 08_obycejne_diferencialni_rce.tex
Kapitola31 editovatEulerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:21 08a_eulerova_metoda.tex
Kapitola32 editovatMetoda středního boduKunzmart 5. 6. 202117:21 08b_metoda_stredniho_bodu.tex
Kapitola33 editovatHeunova metodaKunzmart 5. 6. 202117:22 08c_heunova_metoda.tex
Kapitola34 editovatRunge Kuttovy metodyKunzmart 5. 6. 202117:22 08d_runge_kuttovy_metody.tex
Kapitola35 editovatMetoda leap frogKunzmart 5. 6. 202117:22 08e_metoda_leap_frog.tex
Kapitola36 editovatMetoda prediktor korektorKunzmart 5. 6. 202117:22 08f_metoda_prediktor_korektor.tex
Kapitola37 editovatMetoda střelbyKunzmart 5. 6. 202117:23 08g_metoda_strelby.tex
Kapitola38 editovatMetoda konečných diferencíKunzmart 5. 6. 202117:23 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex
Kapitola39 editovatVariační metodyKunzmart 5. 6. 202117:23 08i_variacni_metody.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{NME01}
 
\subsubsection{Metoda konečných diferencí}
\begin{itemize}
	\item založená na diskretizaci \underline{v síti} bodů \(x_1,\ldots,x_N\)
	\item pro ekvidistantní krok napíšeme:
	      \begin{itemize}
		      \item[]
		            \[
			            \begin{aligned}
				            v'(x) = \text{?} \quad \leftarrow \quad & v'(x) \approx \frac{v(x+h) - v(x-h)}{2h}\text{, kde } h = x_{k+1}- x_k \quad \leftarrow \quad v'(x) \text{ 2. řádu}                                           \\
				            v''(x) = \text{?} \quad\leftarrow\quad  & v''(x) = \frac{v'(x) + v'(x-h)}{h} \quad\land\quad v'(x) = \frac{v(x+h) - v(x)}{h}                                                                            \\
				                                                    & \implies v''(x) = \frac{\frac{v(x+h) - v(x)}{h} - \frac{v(x)-v(x-h)}{h}}{h} = \frac{v(x+h) - 2v(x) + v(x-h)}{h^2} \quad\leftarrow\quad v''(x) \text{ 2. řádu}
			            \end{aligned}
		            \]
		      \item chceme-li řešit např. rovnici tvaru
		            \[
			            \underline{ a(x)\cdot v'' + b(x)\cdot v' + c(x)\cdot v = d(x) }, x \in\left<0,1 \right>, \underline{ v(0)=\alpha },\underline{v(1)=\beta}\quad\leftarrow\text{\underline{okrajové podmínky}}
		            \]
		            \(\implies\) aproximace diferenční rovnicí:
		            \[
			            \begin{aligned}
				             & a_i \frac{v_{i+1}-2v_i + v_{i-1}}{h^2} + b_i\frac{v_{i+1}-v_{i-1}}{2h} + c_iv_i = d_i \quad /\cdot \left(-h^2 \right)                                                                                                                     \\
				             & \Leftrightarrow \underbrace{ \left(-a_i - \frac{h}{2}b_i \right) }_{q_i} \cdot v_{i+1} + \underbrace{ \left(2a_i - c_i h^2 \right) }_{p_i} \cdot v_i + \underbrace{ \left(-a_i + \frac{h}{2} b_i \right) }_{r_i} \cdot v_{i-1} = -h^2 d_i
			            \end{aligned}
		            \]
		      \item dále označíme koeficienty před \(v_{i-1},v_i,v_{i+1} \rightarrow r_i,p_i,q_i\)\\
		            \(\implies\) \underline{řešíme soustavu rovnic s pásovou maticí:}
		            \[
			            \begin{pmatrix}
				            \lefteqn{\phantom{\vdots}}p_{1} & q_{ 1 } & 0_{}    &        &         & \ldots  & 0       \\
				            r_{ 2 }                         & p_{ 2 } & q_{ 2 } &        &         &         & \vdots  \\
				                                            &         &         & \ddots &         &         &         \\
				            \vdots                          &         &         &        & r_{N-1} & p_{N-1} & q_{N-1} \\
				            \lefteqn{\phantom{\vdots}}0     & \ldots  &         &        & 0       & r_{N}   & p_{N}
			            \end{pmatrix}\cdot
			            \begin{pmatrix}
				            \lefteqn{\phantom{\vdots}}v_1     \\
				            \lefteqn{\phantom{\vdots}}v_2     \\
				            \vdots                            \\
				            \lefteqn{\phantom{\vdots}}v_{N-1} \\
				            \lefteqn{\phantom{\vdots}}v_{N}
			            \end{pmatrix} = -h^2 \cdot
			            \annotateunder{
				            \begin{pmatrix}
					            \lefteqn{\phantom{\vdots}}d_1 + \frac{f(\alpha)}{h^2} \\
					            \lefteqn{\phantom{\vdots}}d_2                         \\
					            \vdots                                                \\
					            \lefteqn{\phantom{\vdots}}d_{N-1}                     \\
					            \lefteqn{\phantom{\vdots}}d_{N} + \frac{f(\beta)}{h^2}
				            \end{pmatrix}}{ \(f(\alpha)\) a \(f(\beta)\) jsou vyčíslené okrajové podmínky }
		            \]
	      \end{itemize}
 
\end{itemize}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=NME01:Kapitola38&oldid=8413“