NME01:Kapitola34

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 6. 2021, 17:22, kterou vytvořil Kunzmart (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „% \wikiskriptum{NME01} \subsubsection{Runge-Kuttovy metody} \begin{itemize} \item chceme získat nějakou optimální \hookannotateunder{\underline{\text…“)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu NME01

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu NME01Kunzmart 5. 6. 202117:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKunzmart 5. 6. 202117:59
Header editovatHlavičkový souborKunzmart 5. 6. 202116:54 header.tex
Kapitola1 editovatReprezentace čísel v počítačiKunzmart 5. 6. 202116:55 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex
Kapitola2 editovatChybyKunzmart 5. 6. 202116:55 02_chyby.tex
Kapitola3 editovatÚlohy lineární algebryKunzmart 5. 6. 202117:30 03_ulohy_lin_alg.tex
Kapitola4 editovatŘešení soustav Ax - bKunzmart 5. 6. 202116:56 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex
Kapitola5 editovatVlastní číslaKunzmart 5. 6. 202116:56 03b_vlastni_cisla.tex
Kapitola6 editovatDeterminantKunzmart 5. 6. 202116:57 03c_determinant.tex
Kapitola7 editovatAproximace funkcíKunzmart 5. 6. 202117:31 04_aproximace_funkci.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKunzmart 5. 6. 202116:57 04a_interpolace.tex
Kapitola9 editovatČebyševova aproximaceKunzmart 5. 6. 202116:58 04b_cebysevovy_aproximace.tex
Kapitola10 editovatMetoda nejmenších čtvercůKunzmart 5. 6. 202116:58 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex
Kapitola11 editovatŘešení nelineárních rovnicKunzmart 5. 6. 202117:32 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex
Kapitola12 editovatBisekceKunzmart 5. 6. 202116:59 05a_bisekce.tex
Kapitola13 editovatMetoda sečenKunzmart 5. 6. 202116:59 05b_metoda_secen.tex
Kapitola14 editovatRegula falsiKunzmart 5. 6. 202117:00 05c_regula_falsi.tex
Kapitola15 editovatMetoda Newton-RaphsonovaKunzmart 5. 6. 202117:00 05d_newton_raphsonova_metoda.tex
Kapitola16 editovatHledání kořenu polynomuKunzmart 5. 6. 202117:00 05e_hledani_korenu_polynomu.tex
Kapitola17 editovatMullerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:01 05f_mullerova_metoda.tex
Kapitola18 editovatProstá iteraceKunzmart 5. 6. 202117:01 05g_prosta_iterace.tex
Kapitola19 editovatMetoda Newton-Raphson pro systémy rovnicKunzmart 5. 6. 202117:01 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex
Kapitola20 editovatHledání extrémů funkcíKunzmart 5. 6. 202117:32 06_hledani_extremu_funkci.tex
Kapitola21 editovatMetoda zlatého řezuKunzmart 5. 6. 202117:03 06a_metoda_zlateho_rezu.tex
Kapitola22 editovatParabolická iterpolaceKunzmart 5. 6. 202117:04 06b_parabolicka_iterpolace.tex
Kapitola23 editovatNelder Meadova metodaKunzmart 5. 6. 202117:09 06c_nelder_meadova_metoda.tex
Kapitola24 editovatGradientní metodyKunzmart 5. 6. 202117:09 06d_gradientni_metody.tex
Kapitola25 editovatNumerická integraceKunzmart 5. 6. 202117:32 07_numericka_integrace.tex
Kapitola26 editovatKvadraturní vzorceKunzmart 5. 6. 202117:09 07a_kvadraturni_vzorce.tex
Kapitola27 editovatIntegrály se singularitamiKunzmart 5. 6. 202117:10 07b_integraly_se_singularitami.tex
Kapitola28 editovatGaussovy kvadraturyKunzmart 5. 6. 202117:20 07c_gaussovy_kvadratury.tex
Kapitola29 editovatIntegrace Monte CarloKunzmart 5. 6. 202117:20 07d_integrace_monte_carlo.tex
Kapitola30 editovatObyčejné diferenciální rovniceKunzmart 5. 6. 202117:33 08_obycejne_diferencialni_rce.tex
Kapitola31 editovatEulerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:21 08a_eulerova_metoda.tex
Kapitola32 editovatMetoda středního boduKunzmart 5. 6. 202117:21 08b_metoda_stredniho_bodu.tex
Kapitola33 editovatHeunova metodaKunzmart 5. 6. 202117:22 08c_heunova_metoda.tex
Kapitola34 editovatRunge Kuttovy metodyKunzmart 5. 6. 202117:22 08d_runge_kuttovy_metody.tex
Kapitola35 editovatMetoda leap frogKunzmart 5. 6. 202117:22 08e_metoda_leap_frog.tex
Kapitola36 editovatMetoda prediktor korektorKunzmart 5. 6. 202117:22 08f_metoda_prediktor_korektor.tex
Kapitola37 editovatMetoda střelbyKunzmart 5. 6. 202117:23 08g_metoda_strelby.tex
Kapitola38 editovatMetoda konečných diferencíKunzmart 5. 6. 202117:23 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex
Kapitola39 editovatVariační metodyKunzmart 5. 6. 202117:23 08i_variacni_metody.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{NME01}
 
\subsubsection{Runge-Kuttovy metody}
\begin{itemize}
	\item chceme získat nějakou optimální \hookannotateunder{\underline{\text{LK směrnic } f(x,y)}}{\underline{\(\Phi(x_n,y_n,h) \coloneqq \sum_{i} p_if_i\)}} \(\implies\) ozn. obecné řešení \(y(x_n + h) = y_n + h\cdot \underbrace{\Phi(x_n,y_n,h)}_{\operatorname{LK} f_i}\)
	\item  \underline{odvození:}
	      \begin{enumerate}[label=\roman*)]
		      \item rozvineme \(y(x_n + h)\) do 2. řádu
		            \begin{equation}\label{rozvoj y(x_n + h) do 2. radu}
			            \begin{aligned}
				            y(x_n + h) & \approx y(x_n) + h\cdot y'(x_n) + \frac{h^2}{2}\cdot y''(x_n) = y_n + h \cdot f(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2}\cdot \frac{\operatorname{d} f}{\d x} (x_n,y_n) =                                                                                                                                                           \\
				                       & = y_n + h\cdot f(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2} \cdot\left[ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\d y}{\d x}  \right] = \boxed{y_n + h\cdot f(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2} \cdot \left.\left[ \frac{\partial f}{\partial x} + f\cdot \frac{\partial f}{\partial y} \right]\right|_{(x_n,y_n)}}
			            \end{aligned}
		            \end{equation}
		      \item rozvineme \(\Phi(x_n,y_n,h)\) v okolí \(h=0\) do 1. řádu
		            \begin{equation*}\label{rozvoj Phi do 1. radu}
			            \begin{aligned}
				            \Phi(x_n,y_n,h) & \approx \Phi(x_n,y_n,0) + h\cdot \Phi'(x_n,y_n,0) =
				            \left\{
				            \begin{aligned}
					             & \text{\scriptsize předpokládáme \(\Phi (x_n,y_n,h)\) jako kombinaci hodnot}                   \\
					             & \text{\scriptsize \(f\) v bodech \((x_n,y_n)\) a \((x_n+\alpha h,y_n + \beta h f(x_n,y_n))\)}
				            \end{aligned}
				            \right\} =                                                                                                                                                                                                                                   \\
				                            & = p_1\cdot f(x_n,y_n) + p_2\cdot f(x_n,y_n) + h\cdot \frac{\d{} }{\d h}
				            \lefteqn{\phantom{[ p_1\cdot f(x_n,y_n)  + p_2\cdot f(\hspace{0.1em}}\underbrace{\phantom{x_n + \alpha h}}_{\scriptstyle x}\phantom{,}\underbrace{\phantom{y_n + \beta h\cdot f(x_n, y_n)}}_{\scriptstyle y}}
				            \left. \left( p_1\cdot f(x_n,y_n)  + p_2\cdot f(x_n + \alpha h,y_n + \beta h\cdot f(x_n, y_n)) \right)\right|_{h=0}=                                                                                                                         \\
				                            & = (p_1 + p_2)\cdot f(x_n,y_n) + h p_2 \left( \left.\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial h} \right|_{h = 0} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\d{} y}{\d h}\right|_{h=0}   \right) = \\
				                            & = (p_1 + p_2) \cdot f(x_n,y_n) + hp_2 \left.\left( \alpha\cdot \frac{\partial f}{\partial x}  + \beta\cdot \frac{\partial f}{\partial y} \right)\right|_{(x_n,y_n)}
			            \end{aligned}
		            \end{equation*}
		      \item dosadíme do \(\Phi\) obecného tvaru řešení \(y(x_n + h) = y_n +  h\cdot\Phi(x_n,y_n,h) \)
		            \begin{equation} \label{y(x_n + h) dosazeno z rozvoje Phi}
			            \implies y(x_n+h) = \boxed{y(x_n) + h(p_1+p_2) \cdot f(x_n,y_n) + h^2p_2 \left.\left( \alpha\cdot \frac{\partial f}{\partial x} + \beta\cdot \frac{\partial f}{\partial y}  \right) \right|_{(x_n,y_n)}}
		            \end{equation}
		      \item srovnáním koeficientů \ref{rozvoj y(x_n + h) do 2. radu} a \ref{y(x_n + h) dosazeno z rozvoje Phi} dostáváme:
		            \[
			            \alpha \cdot p_1 = \frac{1}{2} \quad \land \quad \beta \cdot p_2 = \frac{1}{2} \quad \land \quad p_1 + p_2 = 1
		            \]
		            \(\rightarrow\)   3 rovnice pro 4 neznámé  \(\rightarrow\) \underline{volíme} např.:  \(\underline{\alpha = \beta = 1} \quad \implies \quad \underline{p_2 = p_1 = \frac{1}{2}}\)
 
		      \item ve výsledku dostáváme:
		            \[
			            \boxed{y(x_n + h) = y_n + \frac{h}{2} \left( f(x_n,y_n) + f(x_n + h, y_n + h \cdot f(x_n,y_n)) \right) }
		            \]
	      \end{enumerate}
	\item [\underline{pozn.:}] koeficienty lze volit různě
\end{itemize}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=NME01:Kapitola34&oldid=8409“