NME01:Kapitola26

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 6. 2021, 16:09, kterou vytvořil Kunzmart (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „% \wikiskriptum{NME01} \subsection{Kvadraturní vzorce} \begin{itemize} \item kvadraturní vzorce převádí výpočet integrálu na konečnou sumu \(\su…“)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu NME01

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu NME01Kunzmart 5. 6. 202116:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKunzmart 5. 6. 202116:59
Header editovatHlavičkový souborKunzmart 5. 6. 202115:54 header.tex
Kapitola1 editovatReprezentace čísel v počítačiKunzmart 5. 6. 202115:55 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex
Kapitola2 editovatChybyKunzmart 5. 6. 202115:55 02_chyby.tex
Kapitola3 editovatÚlohy lineární algebryKunzmart 5. 6. 202116:30 03_ulohy_lin_alg.tex
Kapitola4 editovatŘešení soustav Ax - bKunzmart 5. 6. 202115:56 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex
Kapitola5 editovatVlastní číslaKunzmart 5. 6. 202115:56 03b_vlastni_cisla.tex
Kapitola6 editovatDeterminantKunzmart 5. 6. 202115:57 03c_determinant.tex
Kapitola7 editovatAproximace funkcíKunzmart 5. 6. 202116:31 04_aproximace_funkci.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKunzmart 5. 6. 202115:57 04a_interpolace.tex
Kapitola9 editovatČebyševova aproximaceKunzmart 5. 6. 202115:58 04b_cebysevovy_aproximace.tex
Kapitola10 editovatMetoda nejmenších čtvercůKunzmart 5. 6. 202115:58 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex
Kapitola11 editovatŘešení nelineárních rovnicKunzmart 5. 6. 202116:32 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex
Kapitola12 editovatBisekceKunzmart 5. 6. 202115:59 05a_bisekce.tex
Kapitola13 editovatMetoda sečenKunzmart 5. 6. 202115:59 05b_metoda_secen.tex
Kapitola14 editovatRegula falsiKunzmart 5. 6. 202116:00 05c_regula_falsi.tex
Kapitola15 editovatMetoda Newton-RaphsonovaKunzmart 5. 6. 202116:00 05d_newton_raphsonova_metoda.tex
Kapitola16 editovatHledání kořenu polynomuKunzmart 5. 6. 202116:00 05e_hledani_korenu_polynomu.tex
Kapitola17 editovatMullerova metodaKunzmart 5. 6. 202116:01 05f_mullerova_metoda.tex
Kapitola18 editovatProstá iteraceKunzmart 5. 6. 202116:01 05g_prosta_iterace.tex
Kapitola19 editovatMetoda Newton-Raphson pro systémy rovnicKunzmart 5. 6. 202116:01 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex
Kapitola20 editovatHledání extrémů funkcíKunzmart 5. 6. 202116:32 06_hledani_extremu_funkci.tex
Kapitola21 editovatMetoda zlatého řezuKunzmart 5. 6. 202116:03 06a_metoda_zlateho_rezu.tex
Kapitola22 editovatParabolická iterpolaceKunzmart 5. 6. 202116:04 06b_parabolicka_iterpolace.tex
Kapitola23 editovatNelder Meadova metodaKunzmart 5. 6. 202116:09 06c_nelder_meadova_metoda.tex
Kapitola24 editovatGradientní metodyKunzmart 5. 6. 202116:09 06d_gradientni_metody.tex
Kapitola25 editovatNumerická integraceKunzmart 5. 6. 202116:32 07_numericka_integrace.tex
Kapitola26 editovatKvadraturní vzorceKunzmart 5. 6. 202116:09 07a_kvadraturni_vzorce.tex
Kapitola27 editovatIntegrály se singularitamiKunzmart 5. 6. 202116:10 07b_integraly_se_singularitami.tex
Kapitola28 editovatGaussovy kvadraturyKunzmart 5. 6. 202116:20 07c_gaussovy_kvadratury.tex
Kapitola29 editovatIntegrace Monte CarloKunzmart 5. 6. 202116:20 07d_integrace_monte_carlo.tex
Kapitola30 editovatObyčejné diferenciální rovniceKunzmart 5. 6. 202116:33 08_obycejne_diferencialni_rce.tex
Kapitola31 editovatEulerova metodaKunzmart 5. 6. 202116:21 08a_eulerova_metoda.tex
Kapitola32 editovatMetoda středního boduKunzmart 5. 6. 202116:21 08b_metoda_stredniho_bodu.tex
Kapitola33 editovatHeunova metodaKunzmart 5. 6. 202116:22 08c_heunova_metoda.tex
Kapitola34 editovatRunge Kuttovy metodyKunzmart 5. 6. 202116:22 08d_runge_kuttovy_metody.tex
Kapitola35 editovatMetoda leap frogKunzmart 5. 6. 202116:22 08e_metoda_leap_frog.tex
Kapitola36 editovatMetoda prediktor korektorKunzmart 5. 6. 202116:22 08f_metoda_prediktor_korektor.tex
Kapitola37 editovatMetoda střelbyKunzmart 5. 6. 202116:23 08g_metoda_strelby.tex
Kapitola38 editovatMetoda konečných diferencíKunzmart 5. 6. 202116:23 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex
Kapitola39 editovatVariační metodyKunzmart 5. 6. 202116:23 08i_variacni_metody.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{NME01}
 
\subsection{Kvadraturní vzorce}
\begin{itemize}
	\item kvadraturní vzorce převádí výpočet integrálu na konečnou sumu \(\sum_{i=0}^{n} c_i f(x_{i}) \approx \mathcal{I}\)
	\item \uwave{Levostromné pravidlo:}
	      \begin{itemize}
		      \item krok \( \underline{h = x_2 - x_1}, f_1 = f(x_1) \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x = h \cdot f_1 + \mathcal{O}(h^{?})} \)
		      \item řád z Taylora:
		            \[
			            \begin{aligned}
				            \int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x & \annotateabove{ = }{\( t = x - x_1 \)\hspace{2em}} \int_{0}^{h} f(x_1 + t) \d t = \int_{0}^{h}[f(x_1) + t\cdot  f'(x_1) + \frac{t^2}{2}\cdot f''(x_1) + \mathcal{O}(t^3)]\d t                                                                                                                                    \\
				                                      & = [f(x_1)\cdot t + \frac{t^2}{2}\cdot  f'(x_1) + \frac{t^3}{6}\cdot f''(x_1)]_{0}^{h} = \underline{f(x_1)\cdot h} + \text{\stackengine{\stackgap}{\(\underbrace{\frac{h^2}{2}\cdot f'(x_1)}\)}{\scriptsize\underline{metoda 2. řádu} \(\rightarrow\) celková \underline{chyba 1. řádu}}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}}
			            \end{aligned}
		            \]
	      \end{itemize}
	\item \uwave{Midpoint:} (obdélníková)
	      \begin{itemize}
		      \item vyčíslíme funkci v bodě \(x_3 = \frac{x_2 + x_1}{2} \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2}f(x)\d x = h \cdot f(x_3)} + \hookannotateunder{\mathcal{O}(h^3)}{\underline{metoda 3. řádu} \(\rightarrow\) \underline{celková chyba 2. řádu}}\)
		      \item "otevřený vzorec"
	      \end{itemize}
	\item \uwave{Lichoběžníkové pravidlo:}
	      \begin{itemize}
		      \item krok \(\underline{h = x_2 - x_1} \rightarrow \int_{x_1}^{x_2} f(x) \d x = \frac{h}{2}(f(x_1) + f(x_2)) + \mathcal{ O }(h^{?})\)
		      \item řád z Taylor:
		            \[
			            \begin{aligned}
				            \int_{x_1}^{x_2} f(x) \d x & = \int_{0}^{h} f(x_1 + t) \d t =  \int_{0}^{h} [f(x_1) + t\cdot f'(x_1) + \frac{t^2}{2}\cdot f''(x_1) + \frac{t^3}{6}\cdot  f'''(x_1)]\d t =                                                                                                                                                                                                                       \\
				                                       & = h\cdot f(x_1) + \frac{h^2}{2}\cdot f'(x_1) + \uwave{\frac{h^3}{6}\cdot  f''(x_1)} + \frac{h^{4}}{24}\cdot  f'''(x_1) =                                                                                                                                                                                                                                           \\
				                                       & = \frac{h}{2}\cdot  f(x_1) + \frac{h}{2}\cdot \overbrace{\left( f(x_1) + h\cdot  f'(x_1) + \underline{\frac{h^2}{2}\cdot f''(x_1)}\right)}^{f(x_1 + h) \equiv f(x_2)} + \hspace{-5em}\overbrace{h^3(\uwave{\frac{1}{3!}} - \underline{\frac{1}{4}})\cdot  f''(x_1)}^{\hspace{7em}-\frac{1}{12}h^3\cdot  f''(x_1)\quad\leftarrow\text{\underline{ metoda 3. řádu}}}
			            \end{aligned}
		            \]
	      \end{itemize}
	      \uwave{Simpsonovo pravidlo:}
	      \begin{itemize}
		      \item aproximace funkce \(f(x)\) v bodech \(x_1,x_2,x_3\) polynomem 2. stupně
		      \item odvození:
		            \begin{enumerate}[label=\roman*)]
			            \item na intervalu \(\left< x_1, x_3 \right>\) aproximujeme Lagrangeovým polynomem:
			                  \[
				                  f(x) \approx L(x) = f_1 \frac{(x-x_3)(x-x_2)}{(x_1-x_3)(x_1-x_2)} + f_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + f_3 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
			                  \]
			            \item pro zjednodušení máme ekvidistantní body
			                  \[
				                  \implies
				                  h \coloneqq x_2 - x_1 = x_3- x_2 \quad\land\quad \underline{t \coloneqq \frac{x-x_1}{h}} \quad\rightarrow \quad
				                  \begin{aligned}
					                   & x - x_1 = h \cdot t     \\
					                   & x - x_2 = h \cdot (t-1) \\
					                   & x - x_3 = h \cdot (t-2)
				                  \end{aligned}
			                  \]
			            \item
			                  \[
				                  \begin{aligned}
					                  L(t) & = f_1\cdot \frac{h^2\cdot (t-1) (t-2)}{2h^2} + f_2\cdot \frac{h^2\cdot t (t-2)}{-h^2} + f_3\cdot  \frac{h^2\cdot t (t-1)}{2h^2} \\
					                  L(t) & = \frac{f_1}{2}\cdot  (t^2 + 3t + 2) - f_2\cdot  (t^2 - 2 t)+  \frac{f_3}{2}\cdot (t^2 - t)
				                  \end{aligned}
			                  \]
			            \item \[
				                  \begin{aligned}
					                  \int_{x_1}^{x_3} L(x) \d x & = {\scriptstyle\left\{
					                  \begin{aligned}
						                  x-x_1 & = th     \\
						                  \d x  & = h \d t
					                  \end{aligned}
					                  \right\}} = h \int_{0}^{2} L(t) \d t =                                                                                                                                                                                                                                                                                    \\
					                                             & = h \left[ \frac{f_1}{2}\cdot \left(\frac{t^3}{3} + \frac{3}{2}t^2 + 2t\right) - f_2\cdot \left(\frac{t^3}{3} - t^2\right) + \frac{f_3}{2}\cdot \left(\frac{t^3}{3}- \frac{t^2}{2}\right) \right]_{0}^{2} = \boxed{h\cdot \left(\frac{f_1}{3} + \frac{4}{3}\cdot f_2 + \frac{f_3}{3}\right)}
				                  \end{aligned}
			                  \]
		            \end{enumerate}
	      \end{itemize}
	\item \uwave{Rombergova metoda:}
	      \begin{itemize}
		      \item umožňuje zpřesnění kvadraturních vzorců díky iterativní eliminaci chyby
		      \item podstatně snižuje počet bodů, ve kterých musíme funkci vyčíslovat
		      \item \underline{odvození:}
		            \begin{enumerate}[label=\roman*)]
			            \item použijeme lichoběžníkové pravidlo a délku kroku \(\underline{h_n = \frac{b-a}{2^{n-1}}}\)
			            \item budeme chtít eliminovat celkovou chybu lichoběžníkového pravidla, která je úměrná 2. mocnině \(h\) \[ \rightarrow \annotateabove{\mathcal{I}}{přesná hodnota} = \annotateunder{\mathcal{I}_{h}}{přibližná hodnota s krokem délky \(h\)} + Ah^2 + Bh^{4} + \ldots\]
			            \item vyjádříme stejnou integraci s dvojnásobným \hookannotateunder{\text{krokem}}{\(2h\)}
			                  \[
				                  \mathcal{ I } = \annotateunder{\mathcal{I}_{2h}}{hrubší výsledek} + A(\annotateabove{2h}{"hrubší"\  rozdělení})^2 + B(2h)^{4} \ldots
			                  \]
			                  \(\rightarrow\) \underline{vyloučíme chybu u \(h^2\)}
			                  \[
				                  \begin{aligned}
					                  \mathcal{I} & = \mathcal{I}_{h} + Ah^2 + Bh^{4}    & /\cdot \alpha \\
					                  \mathcal{I} & = \mathcal{I}_{h} + 4Ah^2 + 16Bh^{4} & /\cdot \beta
				                  \end{aligned} \quad \oplus \implies (\alpha + \beta)\cdot \mathcal{ I } = \alpha\cdot \mathcal{ I }_{h} + \beta\cdot \mathcal{ I }_{2h} + (\alpha + 4\beta)\cdot Ah^2 + (\alpha + 16 \beta) \cdot B h^{4}
			                  \]
			            \item chceme splnit podmínky:
			                  \[
				                  \alpha +  \beta = 1 \quad\land\quad \alpha + 4\beta = 0 \quad\rightarrow\quad
				                  \begin{pmatrix}[cc|c]
					                  1 & 1 & 1 \\
					                  1 & 4 & 0
				                  \end{pmatrix} \sim
				                  \begin{pmatrix}[cc|c]
					                  1 & 1 & \phantom{-}1 \\
					                  0 & 3 & -1
				                  \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad
				                  \begin{aligned}
					                  \alpha & = \frac{4}{3}   \\
					                  \beta  & = - \frac{1}{3}
				                  \end{aligned}
			                  \]
			            \item výsledek: \(\boxed{\mathcal{I} = \frac{4}{3} \annotateunder{ \mathcal{I}_{h} }{jemnější} - \frac{1}{3}\annotateunder{\mathcal{I}_{2h}}{hrubší} + \mathcal{O}(h^{4})}\) (\ldots složené lichoběžníkové pravidlo)
		            \end{enumerate}
		      \item[\underline{pozn.:}] pokud bychom chtěli dále eliminovat chybu, lze opět vzít krok \(2^{k}\cdot h\) a dále zpřesňovat\\ \(\rightarrow\) \underline{v praxi se používá iterační vzorec}
		      \item[\underline{pozn.:}] chybu lze určit rozdílem mezi iteracemi \(| \mathcal{I}^{(k)} - \mathcal{I}^{(k-1)}| \eqqcolon \varepsilon\)
	      \end{itemize}
	      % TODO: figure here <18-07-20, kunzaatko> %
\end{itemize}