NME01:Kapitola10

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 6. 2021, 16:58, kterou vytvořil Kunzmart (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „% \wikiskriptum{NME01} \subsection{Metoda nejmenších čtverců} \begin{itemize} \item použití zejména k filtrování dat \item rozlišujeme 2 zák…“)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu NME01

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu NME01Kunzmart 5. 6. 202117:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKunzmart 5. 6. 202117:59
Header editovatHlavičkový souborKunzmart 5. 6. 202116:54 header.tex
Kapitola1 editovatReprezentace čísel v počítačiKunzmart 5. 6. 202116:55 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex
Kapitola2 editovatChybyKunzmart 5. 6. 202116:55 02_chyby.tex
Kapitola3 editovatÚlohy lineární algebryKunzmart 5. 6. 202117:30 03_ulohy_lin_alg.tex
Kapitola4 editovatŘešení soustav Ax - bKunzmart 5. 6. 202116:56 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex
Kapitola5 editovatVlastní číslaKunzmart 5. 6. 202116:56 03b_vlastni_cisla.tex
Kapitola6 editovatDeterminantKunzmart 5. 6. 202116:57 03c_determinant.tex
Kapitola7 editovatAproximace funkcíKunzmart 5. 6. 202117:31 04_aproximace_funkci.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKunzmart 5. 6. 202116:57 04a_interpolace.tex
Kapitola9 editovatČebyševova aproximaceKunzmart 5. 6. 202116:58 04b_cebysevovy_aproximace.tex
Kapitola10 editovatMetoda nejmenších čtvercůKunzmart 5. 6. 202116:58 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex
Kapitola11 editovatŘešení nelineárních rovnicKunzmart 5. 6. 202117:32 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex
Kapitola12 editovatBisekceKunzmart 5. 6. 202116:59 05a_bisekce.tex
Kapitola13 editovatMetoda sečenKunzmart 5. 6. 202116:59 05b_metoda_secen.tex
Kapitola14 editovatRegula falsiKunzmart 5. 6. 202117:00 05c_regula_falsi.tex
Kapitola15 editovatMetoda Newton-RaphsonovaKunzmart 5. 6. 202117:00 05d_newton_raphsonova_metoda.tex
Kapitola16 editovatHledání kořenu polynomuKunzmart 5. 6. 202117:00 05e_hledani_korenu_polynomu.tex
Kapitola17 editovatMullerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:01 05f_mullerova_metoda.tex
Kapitola18 editovatProstá iteraceKunzmart 5. 6. 202117:01 05g_prosta_iterace.tex
Kapitola19 editovatMetoda Newton-Raphson pro systémy rovnicKunzmart 5. 6. 202117:01 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex
Kapitola20 editovatHledání extrémů funkcíKunzmart 5. 6. 202117:32 06_hledani_extremu_funkci.tex
Kapitola21 editovatMetoda zlatého řezuKunzmart 5. 6. 202117:03 06a_metoda_zlateho_rezu.tex
Kapitola22 editovatParabolická iterpolaceKunzmart 5. 6. 202117:04 06b_parabolicka_iterpolace.tex
Kapitola23 editovatNelder Meadova metodaKunzmart 5. 6. 202117:09 06c_nelder_meadova_metoda.tex
Kapitola24 editovatGradientní metodyKunzmart 5. 6. 202117:09 06d_gradientni_metody.tex
Kapitola25 editovatNumerická integraceKunzmart 5. 6. 202117:32 07_numericka_integrace.tex
Kapitola26 editovatKvadraturní vzorceKunzmart 5. 6. 202117:09 07a_kvadraturni_vzorce.tex
Kapitola27 editovatIntegrály se singularitamiKunzmart 5. 6. 202117:10 07b_integraly_se_singularitami.tex
Kapitola28 editovatGaussovy kvadraturyKunzmart 5. 6. 202117:20 07c_gaussovy_kvadratury.tex
Kapitola29 editovatIntegrace Monte CarloKunzmart 5. 6. 202117:20 07d_integrace_monte_carlo.tex
Kapitola30 editovatObyčejné diferenciální rovniceKunzmart 5. 6. 202117:33 08_obycejne_diferencialni_rce.tex
Kapitola31 editovatEulerova metodaKunzmart 5. 6. 202117:21 08a_eulerova_metoda.tex
Kapitola32 editovatMetoda středního boduKunzmart 5. 6. 202117:21 08b_metoda_stredniho_bodu.tex
Kapitola33 editovatHeunova metodaKunzmart 5. 6. 202117:22 08c_heunova_metoda.tex
Kapitola34 editovatRunge Kuttovy metodyKunzmart 5. 6. 202117:22 08d_runge_kuttovy_metody.tex
Kapitola35 editovatMetoda leap frogKunzmart 5. 6. 202117:22 08e_metoda_leap_frog.tex
Kapitola36 editovatMetoda prediktor korektorKunzmart 5. 6. 202117:22 08f_metoda_prediktor_korektor.tex
Kapitola37 editovatMetoda střelbyKunzmart 5. 6. 202117:23 08g_metoda_strelby.tex
Kapitola38 editovatMetoda konečných diferencíKunzmart 5. 6. 202117:23 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex
Kapitola39 editovatVariační metodyKunzmart 5. 6. 202117:23 08i_variacni_metody.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{NME01}
 
\subsection{Metoda nejmenších čtverců}
\begin{itemize}
	\item  použití zejména k filtrování dat
	\item rozlišujeme 2 základní druhy
	      \begin{itemize}
		      \item \underline{diskrétní aproximace:}
		            \begin{itemize}
			            \item [\(=\)] funkce je zadaná v diskrétních bodech \(x_{i}\) a hledáme diskrétní funkci z určité třídy funkcí tak, že \(\varphi_M\) minimalizuje funkcionál \[\boxed{\rho = \sum_{i=1}^{N} w_i[f(x_{i})-\varphi_M(x_{i})]^2}\]
		            \end{itemize}
		      \item \underline{spojitá aproximace:}
		            \begin{itemize}
			            \item [\(=\)] máme funkci zadanou na celém \(\left< a,b \right>\) a hledáme opět funkci \(\varphi_M\) minimalizující funkcionál \[\boxed{\rho = \int_a^b w(x)[f(x)-\varphi_M(x)]^2}\]
		            \end{itemize}
		      \item \(\varphi_M\) může být
		            \begin{itemize}
			            \item \underline{lineární:} \(\varphi_M(x) = \sum_{i}c_ig_i(x)\)\ldots zobecněný polynom, bázové funkce \(g_{i}(x)\) zadány
			            \item \underline{nelineární:} \(\varphi_M(x) = \varphi_M(x,c_1,c_2,\ldots,c_M)\)
		            \end{itemize}
		      \item \(w(x)\) je \underline{váhový faktor} \(\rightarrow\) umožňuje snížit váhu bodů s větší \(\sigma^2\) (viz. statistika)
		      \item [\underline{př.:}]
		            \begin{itemize}
			            \item chceme minimalizovat funkcionál \(\rho(a,b) = s_1^2 + s_2^2 + \ldots + s_n^2\), \(n\) bodů \([x_{i},y_{i}]\)
			            \item volme \(\uwave{\varphi(x) \coloneqq ax + b} \implies\) úloha \underline{minimalizace} \(\rho(a,b) = \sum_{i=1}^{n} [y_{i}-(ax_{i}+b)]^2 \)
			            \item minimum: \(\underline{\frac{\partial \rho}{\partial a} =0\land \frac{\partial \rho}{\partial b} =0}\)
			            \item [\(\implies\)] soustava LAR pro \(a,b\):
			                  \[
				                  \begin{aligned}
					                  a \sum_{i} x_{i}^2  + b \sum_{i} x_{i} & = \sum_{i} y_ix_i \\
					                  a \sum_{i} x_{i} + n\cdot b            & = \sum_{i} y_i
				                  \end{aligned}
				                  \quad\rightarrow\quad \begin{pmatrix}
					                  \circ & \circ \\
					                  \circ & \circ
				                  \end{pmatrix}\cdot
				                  \begin{pmatrix}
					                  a \\ b
				                  \end{pmatrix}=
				                  \begin{pmatrix}
					                  \sum_{i} y_{i}x_{i} \\
					                  \sum_{i} y_{i}
				                  \end{pmatrix}
			                  \]
		            \end{itemize}
		      \item volba základních funkcí \(g_i(x)\):
		            \begin{itemize}
			            \item \underline{polynomy:} \(g_i(x) \in \left\{ 1, x, \ldots, x^{M-1} \right\} \rightarrow\)  nevhodná pro vysoké \(M\)
			            \item \underline{ortogonální polynomy:} získáme Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem
			            \item \underline{trigonometrické polynomy:} ortogonální, viz. VYMA
		            \end{itemize}
	      \end{itemize}
\end{itemize}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=NME01:Kapitola10&oldid=8380“