Matematika2Priklady:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (oprava preklepu)
(Doplnění výsledku)
Řádka 613: Řádka 613:
 
\item Spočtěte  
 
\item Spočtěte  
 
\begin{priklad}
 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n^{-3n}(n+1)^{3n-5}
+
\lim_{n \to +\infty} n^{-3n+5}(n+1)^{3n-5}
 
\end{priklad}
 
\end{priklad}
 +
\res{$e^3$}
  
 
\item Spočtěte  
 
\item Spočtěte  

Verze z 22. 5. 2016, 16:46

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2Priklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2PrikladyAdmin 17. 10. 201113:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 22. 9. 201111:06 header.tex
Kapitola1 editovatPokročilé techniky integrace a zobecněný Riemannův integrálKlinkjak 25. 2. 202011:11 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatKuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivkyAdmin 28. 5. 202021:07 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVlastnosti množin, PosloupnostiPitrazby 22. 5. 201616:54 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatKonvergence číselných řadPitrazby 7. 9. 201610:08 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatObor konvergence mocninných řad a sčítání pomocí mocninných řadPitrazby 15. 6. 201613:36 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatRozvoj funkce do mocninné řadyFucikrad 7. 6. 201810:02 kapitola6.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2Priklady}
\section{Vlastnosti množin, Posloupnosti}
 
\subsection*{\fbox{Rozcvička}} 
 
\begin{itemize}
\item Vyšetřete omezenost množiny
\begin{priklad}
\{ 3- n | n \in {\cal N} \}
\end{priklad}
\res{shora}
 
\item Vyšetřete omezenost množiny
\begin{priklad}
\{ 2(1-x) + 5 | x \in [ 0, 1 ] \}
\end{priklad}
\res{omezená}
 
\item Vyšetřete omezenost množiny
\begin{priklad}
\{ x^2+5x - 6 | x \in [ -1, + \infty )\}
\end{priklad}
\res{zdola}
 
\item Vyšetřete omezenost množiny
\begin{priklad}
\left \{ \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} \Big | n \in {\cal N}\right \}
\end{priklad}
\res{zdola}
\end{itemize}
 
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Vlastnosti množin}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\begin{enumerate}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\inf \left \{ \frac{2n^2+n+11}{n^2+5} \Big | n \in {\cal N}\right\}= 2
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\sup \left \{ \frac{2n^2+n+11}{n^2+5} \Big | n \in {\cal N}\right\} = \frac{7}{3}
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\inf \left \{ \frac{(-1)^n (n^2+1)}{n^2-4n+5} \Big | n \in {\cal N}\right\}= -5
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\sup \left \{ \frac{(-1)^n (n^2+1)}{n^2-4n+5} \Big | n \in {\cal N}\right\}= 5
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\sup \left \{ \frac{1+(-1)^n}{2} + (-1)^{n+1}\frac{1}{n} \Big | n \in {\cal N} \right \} = 1
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\inf \left \{ \frac{1+(-1)^n}{2} + (-1)^{n+1}\frac{1}{n} \Big | n \in {\cal N} \right \} =0
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\inf \left \{ \frac{3x+1-2x^2}{x^2+5x} \Big | x > 0 \right \}= -2
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\sup \left \{ \frac{3x+1-2x^2}{x^2+5x} \Big | x > 0 \right\}= + \infty
\end{priklad}
 
\item Dokažte
\begin{priklad}
\inf \{ \sqrt{n+1} - \sqrt{}n | n \in {\cal N}\} = 0
\end{priklad}
 
\item Dokažte, že 
\begin{priklad}
\sup \left\{ \frac{2x+\sqrt x}{\sqrt x + x} : x > 0 \right\} = 2
\end{priklad}
 
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Omezenost a monotonie posloupností}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{n+(-1)^n}{n}
\end{priklad}
\res{omezená zdola 0, shora 3/2, není monotonní}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{n^2}{n+1}
\end{priklad}
\res{omezená zdola 1/2, neomezená shora, rostoucí}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{4n}{\sqrt{4n^2 + 1}}
\end{priklad}
\res{shora 2, zdola 4/5$\sqrt5$, rostoucí}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{4^n}{2^n + 100}
\end{priklad}
\res{zdola 2/51, shora neomezená, rostoucí}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{10^{10} \sqrt{n}}{n+1}
\end{priklad}
\res{zdola 0, shora 1/2 $10^{10}$, klesající}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \ln \frac{2n}{n+1}
\end{priklad}
\res{zdola 0, shora $\ln 2$, rostoucí}
 
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{(n+1)^2}{n^2}
\end{priklad}
\res{shora 4, zdola 1, klesající}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \sqrt{4 - \frac{1}{n}}
\end{priklad}
\res{zdola $\sqrt 3$, shora 2, rostoucí}
 
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = (-1)^{2n+1}\sqrt n
\end{priklad}
\res{shora -1, není zdola, klesající}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}
\end{priklad}
\res{zdola 1/2, shora 1, rostoucí}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \sin \left (  \frac{\pi}{n+1} \right )
\end{priklad}
\res{zdola 0, shora 1, klesající}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\end{priklad}
\res{zdola 0, shora 1/2, klesající}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{\ln (n+2)}{n+2}
\end{priklad}
\res{zdola 0, shora $1/3 \ln 3$, klesající}
 
\item 
Vyšetřete monotonii a omezenost posloupnosti
\begin{priklad}
a_n = \frac{3^n}{(n+1)^2}
\end{priklad}
\res{zdola 3/4, shora není, rostoucí}
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limity posloupností}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{2^n}{4^n + 1}
\end{priklad}
\res{0}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} (-1)^n \sqrt{n}
\end{priklad}
\res{neex}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( -\frac{1}{2}\right )^n 
\end{priklad}
\res{0}
 
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \tg \frac{n\pi}{4n+1} 
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{(2n+1)^2}{(3n-1)^2} 
\end{priklad}
\res{$ \frac{4}{9}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{\sqrt{2n^4+1}} 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}\sqrt2$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \cos \pi n
\end{priklad}
\res{$neex$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} e ^ {1/\sqrt n} 
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \ln(n) - \ln(n+1) 
\end{priklad}
\res{$0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{2 \sqrt{n}} 
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left (  1 + \frac{1}{n} \right )^{2n} 
\end{priklad}
\res{$e^2$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{2^n}{n^2} 
\end{priklad}
\res{$ + \infty$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1) \cos \sqrt n}{n(1+\sqrt n)} 
\end{priklad}
\res{$0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt n \sin e^n \pi}{n+1} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} 2 \ln 3n - \ln (n^2+1) 
\end{priklad}
\res{$ \ln 9$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{2}{n} \right )^n 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln (n+1)}{n+1} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{x^{100n}}{n!} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n ^ {\alpha / n} 
\end{priklad}
\res{$ 1, \alpha > 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n+1}}{4^{n-1}}
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} (n+2)^{1/(n+2)} 
\end{priklad}
\res{$ 1	$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} (n+2) ^ {1/n} 
\end{priklad}
\res{$ 1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \int_0 ^ n e^{-x} \ud x 
\end{priklad}
\res{$ 1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \int_{-n}^{n} \frac{\ud x}{1+x^2} 
\end{priklad}
\res{$ \pi$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln n^2}{n} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \int_{-1 + 1/n}^{1-1/n} \frac{\ud x}{\sqrt{1-x^2}}
\end{priklad}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{5^{n+1}}{4^{2n} - 1} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{n+1}{n+2} \right ) ^n 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{e}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \int_n^{n+1} e ^ {-x^2} \ud x 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{n^n}{2^{n^2}} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left (  1 + \frac{x}{2n}\right) ^ {2n} 
\end{priklad}
\res{$e^x$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \int_{-1/n}^{1/n} \sin x^2 \ud x 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( t + \frac{x}{n} \right ) ^ n, x >
0, t > 0
\end{priklad}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2+n} - n 
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt[3]{n^3+n} - n
\end{priklad}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} 
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{2n^4 + n
-1}
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{8}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{(1+n)(2+n)}
\end{priklad}
\res{$ +\infty $}
 
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \cos (n\pi) \sin (n\pi) 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{n}{1+n} \right ) ^ {1/n} 
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \cos \frac{\pi}{n} \sin \frac{\pi}{n} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( 2  + \frac{1}{n} \right ) ^ n 
\end{priklad}
\res{$ +\infty$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln (n(n+1))}{n} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \ln \left ( 1 + \frac{1}{n}\right )\right )^n
\end{priklad}
 
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\pi}{n} \ln \frac{n}{\pi} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \int_1^n \frac{\ud x}{\sqrt x}
\end{priklad}
 
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots +
\frac{n-1}{n^2} 
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{2n+1} - \sqrt{n} 
\end{priklad}
\res{$ + \infty$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} 3  \sqrt{n^2+1} - 2n
\end{priklad}
\res{$ +\infty$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{n^2+1} - n) 
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1}
\end{priklad}
\res{$0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{3n^2+n+1} - \sqrt{n^2-n+1} 
\end{priklad}
\res{$+\infty$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{3n^2+n+1} - \sqrt{3n^2-n+1} 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{\sqrt 3}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \cdots + \sqrt n}{(\sqrt
n)^3}
\end{priklad}
\res{$ \frac{2}{3}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + \cdots +
\frac{1}{n^2} 
\end{priklad}
\res{$ 0$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1^2+ 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{3}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{1^2+2^2 + \cdots + n^2}{n^2} -
\frac{n}{3} 
\end{priklad}
\res{$ \frac{1}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left (  1 + \frac{1}{n+1}\right ) ^ n 
\end{priklad}
\res{$e$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{3n+4}{3n+5}\right ) ^n 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{\sqrt[3] e }$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left (  \frac{2n+5}{2n+3}\right )^{n+1}
\end{priklad}
\res{$ e$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} (1+\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) ^ {\sqrt{n}} 
\end{priklad}
\res{$\sqrt{e}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n^2 + 3n -2)}{\ln(n^5+n+1)}
\end{priklad}
\res{$\frac{2}{5}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(2+e^{3n})}{\ln(3+e^{2n})} 
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{2}$}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n^{-3n+5}(n+1)^{3n-5}
\end{priklad}
\res{$e^3$}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \sin(e^n \pi)}{n+1}
\end{priklad}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n \sin \frac1n
\end{priklad}
\res{1}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n^{-3n}(n+1)^{3n-5}
\end{priklad}
\res{0}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} (1 + \sqrt{n+1} - \sqrt{n})^{\sqrt{n}}
\end{priklad}
\res{$\sqrt{e}$}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} n \left ( \ln \left( \frac{3 + (-1)^{2n}}{3}+n\right) - \ln \left( \frac{6+(-1)^{2n+1}}{3} + n\right)\right)
\end{priklad}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\end{priklad}
\res{e}
 
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{3n+4}{3n+5}\right )^n
\end{priklad}
\res{$e^{-1/3}$}
 
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{n}{1+n}\right )^{\frac 1 n}
\end{priklad}
\res{1}
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \frac{(-2)^n+(3)^n}{(-2)^{n+1}+(3)^{n+1}}
\end{priklad}
 
 
\item Spočtěte 
\begin{priklad}
\lim_{n \to +\infty} \sqrt[~n~]{ \frac{(n!)^2}{(2n)!}}
\end{priklad}
\res{$\frac14$}
 
 
\end{enumerate}