Matematika2Priklady:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2Priklady} \section{Nevlastní Riemannův integrál} \subsection{Počítání} \begin{enumerate} \begin{priklad} \int_0^{+\infty} e ^{px}\udx...) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika2Priklady} | %\wikiskriptum{Matematika2Priklady} | ||
− | \section{ | + | % 2. kuzelosecky, polarni souradnice, parametricke krivky |
− | \subsection{ | + | \section{Kuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivky} |
+ | |||
+ | \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} | ||
+ | |||
+ | |||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | + | ||
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | \odstavec{Kuželosečky} | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
− | + | \item Napište rovnici paraboly, když znáte | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | V = (0, 0), F=(2, 0) | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$y^ 2 = 8x$} | |
− | + | ||
− | + | \item Napište rovnici paraboly, když znáte | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | V = (-1, 3), F = (-1, 0) | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$(x+1)^2 = -12(y-3)$} | |
− | + | ||
− | + | \item Napište rovnici paraboly, když znáte | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | F = (1, 1), d: y = -1 | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$4y = (x-1)^2$} | |
− | + | ||
− | + | \item Napište rovnici paraboly, když znáte | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | F = (1, 1), d: x = 2 | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$(y-1)^2 = -2(x- 3/2)$} | |
− | + | ||
− | + | \item Popište a načrtněte parabolu | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | y^2 = 2x | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$V = (0, 0), F=(1/2, 0), d: x = -1/2$} | |
− | + | ||
− | + | \item Popište a načrtněte parabolu | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | 2y = 4x^2 - 1 | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$V = (0, -1/2), F = (0, -3/8), d:y = -5/8$} | |
− | + | ||
− | + | \item Popište a načrtněte parabolu | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | (x+2)^2 = 12-8y | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$V = (-2, 3/2), F=(-2, -1/2), d: y = 7/2$} | |
− | + | ||
− | + | \item Popište a načrtněte parabolu | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | x = y^2 + y + 1 | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | \res{$V=(3/4, -1/2), F=(1, -1/2), d:x = 1/2$} | |
− | + | ||
− | + | \item Nalezněte rovnice všech parabol, které prochází bodem $(5, | |
− | + | 6)$, mají řídící přímku $y = 1$ a osu $x=2$. | |
− | + | \res{$2y = x^2 -4x + 7$;$18y = x^2-4x +103$} | |
− | + | ||
− | + | \item Nalezněte rovnici paraboly, která má horizontální osu, | |
− | + | vrchol $V = (-1, 1)$ a prochází bodem $(-6, 13)$. | |
− | + | ||
− | + | \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | F_1 = (-1, 0), F_2 = (1, 0), a = 3 | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | ||
− | + | \res{$\ds \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$} | |
− | + | ||
− | + | \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): | |
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | F_1 = (1, 3), F_2 = (1, 9), a = 4 | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | ||
− | + | \res{$\ds \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-6)^2}{25} = 1$} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): | |
+ | \begin{priklad} | ||
+ | S = (1, 3), F_1 = (1, 1), a = 5 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\ds \frac{(x-1)^2}{21} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | a = 5, V_1 = (3, 2), V_2= (3, -4) | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\ds \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte elipsu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 3x^2 + 2y^2 = 12 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$S = (0, 0), F = (0, \pm \sqrt 2), a = \sqrt 6, b = 2$} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte elipsu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 4x^2 + 9 y^2 - 18y = 27 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$S = (0, 1), F = (\pm \sqrt 5, 1), a =3, b = 2$} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte elipsu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 4(x-1)^2 + y^2 = 64 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$S = (1, 0), F = (1, \pm 4 \sqrt 3), a = 8, b = 4$} | ||
+ | |||
+ | \item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | F_1 = (0, -13), F_2 = (0, 13), a = 5 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\ds \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | F_1 = (-5, 1), F_2 = (5, 1), a = 3 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\ds \frac{x^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | F_1 = (-1, -1), F_2 = (-1, 1), a = 1/4 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\ds 16y^2 - \frac{16}{15}(x+1)^2 = 1$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte hyperbolu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$S = (0, 0), a = 3, V = (\pm 3, 0), F = (\pm 5, 0), y = \pm 4/3 x$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte hyperbolu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} = 1 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$S = (1, 3), a = 3, V_1 = (4, 3), V = (-2, 3), F_1 = (6, 3), F_2 = (-4, 3), y = \pm 4/3(x-1) + 3$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte hyperbolu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 4x^2 - 8x - y^2 + 6y - 1 = 0 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$S = (1, 3), a = 2, V_1 = (1, 5), V_2 = (1, 1), F_ {1, 2} = (1, 3 \pm \sqrt 5), y = 2x + 1, y = -2x + 5$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte kuželosečku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x^2 - 4y^2 - 10x + 41 = 0 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte kuželosečku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x^2 + 3y^2 + 6x + 8 = 0 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte kuželosečku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | y^2 + 4y + 2x + 1= 0 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte kuželosečku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 9x^2 + 25 y^2 + 100y + 99 = 0 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte kuželosečku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 7x^2 - 5y^2 + 14x - 40y = 118 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Popište a načrtněte kuželosečku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | (x^2 - 4y)(4x^2 + 9y^2 - 36) = 0 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \odstavec{Polární souřadnice} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | \left [3, \frac{1}{2} \pi \right]_p =[0, 3]_k | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | [-1, - \pi]_p | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$ [1, 0]_k$} | ||
+ | |||
+ | \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | \left[ -3, -\frac{1}{3} \pi\right]_p | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\left[ -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \sqrt3\right]_k$} | ||
+ | |||
+ | \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | \left[ 3, - \frac{1}{2} \pi\right]_p | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$[0, -3]_k$} | ||
+ | |||
+ | \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | [0, 1]_k | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\left[ 1, \frac{1}{2} \pi + 2k \pi\right]_p = \left[ -1, \frac{3}{2}\pi + 2k\pi\right]_p$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | [-3, 0]_k | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$[3, \pi + 2k\pi]_p = [-3, 2k\pi]_p$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | [2, -2]_k | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\left[ 2\sqrt2, \frac{7}{4}\pi + 2k \pi\right]_p = \left[-2\sqrt2, \frac{3}{4}\pi + 2k\pi\right]_p$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | [4 \sqrt3, 4]_k | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$\left[ 8, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right]_p = [-8, \frac{7}{6}\pi + 2k\pi]_p$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Prověřte symetrii křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 2 + \cos \varphi | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{dle osy x} | ||
+ | |||
+ | \item Prověřte symetrii křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r(\sin \varphi + \cos \varphi) = 1 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{není symetrická} | ||
+ | |||
+ | \item Prověřte symetrii křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r^2 \sin 2 \varphi = 1 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{dle počátku (obou os)} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu v křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = a \cos \varphi; \varphi \in [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{1}{4} \pi a^2 $} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu v křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = a \sqrt{\cos 2 \varphi}; \varphi \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$ \frac{1}{2} a^2$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu v křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r^2 = a^2 \sin^2 \varphi | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$ \frac{1}{2} \pi a^2$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu mezi křivkami | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 2 \cos \varphi, r = \cos \varphi; \varphi \in [ 0, \frac{\pi}{4} ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$ \frac{3}{16} \pi + \frac{3}{8}$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu mezi křivkami | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = a \left(4 \cos \varphi - \frac{1}{\cos \varphi}\right); | ||
+ | \varphi \in [ 0, \frac{\pi}{4} ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{5}{2} a^2$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu mezi křivkami | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = e^ \varphi, r = e^{\frac\varphi2}; \varphi \in [ 0,\pi ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{1}{4} (e ^{2\pi} + 1 - e^\pi)$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu uvnitř $r = 4$ a napravo od křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = \frac2{\cos \varphi} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2}(16-\frac{4}{\cos^2 \varphi}) \ud \varphi = \frac{16}{3}\pi -4\sqrt{3}$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu uvnitř $r = 4$ a mezi $\varphi = \frac\pi2$ a $r = \frac2{\cos \varphi}$ | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte plochu vně $r = 1 + \cos \varphi$ a uvnitř $r = 2 - \cos \varphi$. | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \odstavec{Parametrické křivky} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = 2t, y = \cos \pi t | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | v bodě $t=0$. | ||
+ | \res{$y = 1$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = t^2, y = (2-t)^2 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | v bodě $ t = \frac{1}{2}$. | ||
+ | |||
+ | \res{$3x-y-3=0$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x= \cos^3 t, y = \sin^3 t | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | v bodě $t = \frac{\pi}{4}$. | ||
+ | |||
+ | \res{$2x + 2y + 1 =0$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 4 - 2 \sin \varphi | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | v bodě $\varphi = 0$. | ||
+ | |||
+ | \res{$2x + y -8 = 0$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = \frac{4}{5-\cos \varphi} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | v bodě $\varphi = \frac{1}{2} \pi$. | ||
+ | |||
+ | \res{$x-5y+4 = 0$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = \frac{\sin \varphi - \cos \varphi}{\sin \varphi + \cos\varphi} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | v bodě $\varphi = 0$. | ||
+ | |||
+ | \res{$x + 2y + 1 =0$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = 3t - t^3, y = t+1. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{vert. $[2, 2], [-2, 0]$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x= 3 -4 \sin t, y = 4 + 3 \cos t. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{horiz. $[3, 7], [3, 1]$, vert. $[-1, 4], [7, 4]$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = t^2 - 2t, y = t^3 - 3t^2 + 2t. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{horiz. $[-\frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9} \sqrt 3]$, vert. $[-1, 0]$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = \cos t, y = \sin 2t. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{horiz. $[\pm \frac{1}{2} \sqrt 2, \pm 1]$, vert. $[\pm 1, 0]$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = t^2, y = t^3; t \in [ 0, 1 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 2(1+ \cos \varphi)^{-1}; \varphi \in [ 0, \pi ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\sqrt 2 + ln(1+\sqrt 2)$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = a \sin^3 \frac{\varphi}{3}; \varphi \in [ 0, \pi ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{3}{2} \pi a$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = e^t \sin t, y = e^t \cos t; t \in [ 0, \pi ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = e^{2 \varphi}; \varphi \in [ 0, 2\pi ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac12 \sqrt 5(e^{4\pi} - 1)$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \ln \left( \frac{1}{\cos x}\right); x \in [ 0,\pi /4 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\ln(1+\sqrt2)$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2-1}); x \in [ 1, 2 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac32$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = t - \sin t, y = 1 - \cos t; t \in [ 0, 2\pi ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{8} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = \cos t + t \sin t, y = \sin t - t \cos t; t \in [0, 2 \pi ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$4\pi$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | y^2 = 2px; x \in [ 0, 4p ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{52}{3} \pi p^2$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 6a^2xy = x^4 + 3a^4; x \in [ 0, 2a ] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{47}{16} \pi a^2$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = \frac{2}{3} t ^{\frac32}, y = t; t \in [ 3, 8 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{2152}{15} \pi$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = e^ \varphi; \varphi \in [ 0, \frac\pi2 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | $[\frac25\sqrt2 \pi(2 e^\pi + 1)]$ | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | 4y = x^3; x \in [ 0, 1 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{61}{432} \pi$} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = 2 \cos t, y = 2 \sin t; t \in [ 0, \frac\pi6 ]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$4\pi(2-\sqrt{3})$} | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | \item Načrtněte a popište křivku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = \frac{12}{2+\sin \varphi} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte body, ve kterých má křivka | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \sin t | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | vertikální a horizontální tečny. | ||
+ | |||
+ | \item Určete plochu, která je společná křivkám | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 2a\sqrt 3 \cos\varphi; \varphi \in \left [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] | ||
+ | \end{priklad} \\ | ||
+ | a | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 2a \sin \varphi; \varphi \in [0, \pi]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Načrtněte křivku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = \frac{9}{5-4 \sin \varphi} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Načrtněte křivku | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x(t) = 4t, y(t) = 3 \sqrt{t^2-1} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \item Spočtěte délku křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x = \frac{1}{4} y^2 - \frac{1}{2} \ln y; y \in [1, e] | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{e^2+1}{4}$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Spočtěte obsah plochy, která leží uvnitř křivky | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | r = 2 \cos \varphi | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | a vně křivky $r=1$. | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle osy x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x(t) = 2\cos t, y(t) =2\sin t; t\in [0,\frac \pi 6]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$8\pi(1-\sqrt{3}/2)$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nalezněte body, ve kterých má křivka | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \sin t | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | vertikální a horizontální tečny. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Nalezněte body, ve kterých má křivka | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \cos t | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | vertikální a horizontální tečny. Načrtněte křivku. | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle osy x) | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | x(t) = 2\cos t, y(t) =2\sin t; t\in [0,\frac \pi 6]. | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac\pi3$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
Verze z 17. 10. 2011, 13:53
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2Priklady | Admin | 17. 10. 2011 | 13:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Fucikrad | 18. 2. 2021 | 22:55 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 22. 9. 2011 | 11:06 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Pokročilé techniky integrace a zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 19. 5. 2021 | 16:50 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Kuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivky | Fucikrad | 16. 3. 2023 | 19:25 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlastnosti množin, Posloupnosti | Pitrazby | 22. 5. 2016 | 16:54 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Konvergence číselných řad | Fucikrad | 12. 4. 2023 | 11:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Obor konvergence mocninných řad a sčítání pomocí mocninných řad | Fucikrad | 27. 4. 2023 | 10:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Rozvoj funkce do mocninné řady | Fucikrad | 7. 6. 2018 | 10:02 | kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2Priklady} % 2. kuzelosecky, polarni souradnice, parametricke krivky \section{Kuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivky} \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Kuželosečky} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Napište rovnici paraboly, když znáte \begin{priklad} V = (0, 0), F=(2, 0) \end{priklad} \res{$y^ 2 = 8x$} \item Napište rovnici paraboly, když znáte \begin{priklad} V = (-1, 3), F = (-1, 0) \end{priklad} \res{$(x+1)^2 = -12(y-3)$} \item Napište rovnici paraboly, když znáte \begin{priklad} F = (1, 1), d: y = -1 \end{priklad} \res{$4y = (x-1)^2$} \item Napište rovnici paraboly, když znáte \begin{priklad} F = (1, 1), d: x = 2 \end{priklad} \res{$(y-1)^2 = -2(x- 3/2)$} \item Popište a načrtněte parabolu \begin{priklad} y^2 = 2x \end{priklad} \res{$V = (0, 0), F=(1/2, 0), d: x = -1/2$} \item Popište a načrtněte parabolu \begin{priklad} 2y = 4x^2 - 1 \end{priklad} \res{$V = (0, -1/2), F = (0, -3/8), d:y = -5/8$} \item Popište a načrtněte parabolu \begin{priklad} (x+2)^2 = 12-8y \end{priklad} \res{$V = (-2, 3/2), F=(-2, -1/2), d: y = 7/2$} \item Popište a načrtněte parabolu \begin{priklad} x = y^2 + y + 1 \end{priklad} \res{$V=(3/4, -1/2), F=(1, -1/2), d:x = 1/2$} \item Nalezněte rovnice všech parabol, které prochází bodem $(5, 6)$, mají řídící přímku $y = 1$ a osu $x=2$. \res{$2y = x^2 -4x + 7$;$18y = x^2-4x +103$} \item Nalezněte rovnici paraboly, která má horizontální osu, vrchol $V = (-1, 1)$ a prochází bodem $(-6, 13)$. \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): \begin{priklad} F_1 = (-1, 0), F_2 = (1, 0), a = 3 \end{priklad} \res{$\ds \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$} \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): \begin{priklad} F_1 = (1, 3), F_2 = (1, 9), a = 4 \end{priklad} \res{$\ds \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-6)^2}{25} = 1$} \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): \begin{priklad} S = (1, 3), F_1 = (1, 1), a = 5 \end{priklad} \res{$\ds \frac{(x-1)^2}{21} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$} \item Napište rovnici elipsy, když znáte ($a$ je hlavní poloosa): \begin{priklad} a = 5, V_1 = (3, 2), V_2= (3, -4) \end{priklad} \res{$\ds \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$} \item Popište a načrtněte elipsu \begin{priklad} 3x^2 + 2y^2 = 12 \end{priklad} \res{$S = (0, 0), F = (0, \pm \sqrt 2), a = \sqrt 6, b = 2$} \item Popište a načrtněte elipsu \begin{priklad} 4x^2 + 9 y^2 - 18y = 27 \end{priklad} \res{$S = (0, 1), F = (\pm \sqrt 5, 1), a =3, b = 2$} \item Popište a načrtněte elipsu \begin{priklad} 4(x-1)^2 + y^2 = 64 \end{priklad} \res{$S = (1, 0), F = (1, \pm 4 \sqrt 3), a = 8, b = 4$} \item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte \begin{priklad} F_1 = (0, -13), F_2 = (0, 13), a = 5 \end{priklad} \res{$\ds \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$} \item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte \begin{priklad} F_1 = (-5, 1), F_2 = (5, 1), a = 3 \end{priklad} \res{$\ds \frac{x^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$} \item Nalezněte rovnice hyperboly, když znáte \begin{priklad} F_1 = (-1, -1), F_2 = (-1, 1), a = 1/4 \end{priklad} \res{$\ds 16y^2 - \frac{16}{15}(x+1)^2 = 1$} \item Popište a načrtněte hyperbolu \begin{priklad} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \end{priklad} \res{$S = (0, 0), a = 3, V = (\pm 3, 0), F = (\pm 5, 0), y = \pm 4/3 x$} \item Popište a načrtněte hyperbolu \begin{priklad} \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} = 1 \end{priklad} \res{$S = (1, 3), a = 3, V_1 = (4, 3), V = (-2, 3), F_1 = (6, 3), F_2 = (-4, 3), y = \pm 4/3(x-1) + 3$} \item Popište a načrtněte hyperbolu \begin{priklad} 4x^2 - 8x - y^2 + 6y - 1 = 0 \end{priklad} \res{$S = (1, 3), a = 2, V_1 = (1, 5), V_2 = (1, 1), F_ {1, 2} = (1, 3 \pm \sqrt 5), y = 2x + 1, y = -2x + 5$} \item Popište a načrtněte kuželosečku \begin{priklad} x^2 - 4y^2 - 10x + 41 = 0 \end{priklad} \item Popište a načrtněte kuželosečku \begin{priklad} x^2 + 3y^2 + 6x + 8 = 0 \end{priklad} \item Popište a načrtněte kuželosečku \begin{priklad} y^2 + 4y + 2x + 1= 0 \end{priklad} \item Popište a načrtněte kuželosečku \begin{priklad} 9x^2 + 25 y^2 + 100y + 99 = 0 \end{priklad} \item Popište a načrtněte kuželosečku \begin{priklad} 7x^2 - 5y^2 + 14x - 40y = 118 \end{priklad} \item Popište a načrtněte kuželosečku \begin{priklad} (x^2 - 4y)(4x^2 + 9y^2 - 36) = 0 \end{priklad} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Polární souřadnice} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic \begin{priklad} \left [3, \frac{1}{2} \pi \right]_p =[0, 3]_k \end{priklad} \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic \begin{priklad} [-1, - \pi]_p \end{priklad} \res{$ [1, 0]_k$} \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic \begin{priklad} \left[ -3, -\frac{1}{3} \pi\right]_p \end{priklad} \res{$\left[ -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \sqrt3\right]_k$} \item Převeďte z polárních do kartézských souřadnic \begin{priklad} \left[ 3, - \frac{1}{2} \pi\right]_p \end{priklad} \res{$[0, -3]_k$} \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu \begin{priklad} [0, 1]_k \end{priklad} \res{$\left[ 1, \frac{1}{2} \pi + 2k \pi\right]_p = \left[ -1, \frac{3}{2}\pi + 2k\pi\right]_p$} \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu \begin{priklad} [-3, 0]_k \end{priklad} \res{$[3, \pi + 2k\pi]_p = [-3, 2k\pi]_p$} \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu \begin{priklad} [2, -2]_k \end{priklad} \res{$\left[ 2\sqrt2, \frac{7}{4}\pi + 2k \pi\right]_p = \left[-2\sqrt2, \frac{3}{4}\pi + 2k\pi\right]_p$} \item Napište všechna vyjádření v polárních souřadnicích bodu \begin{priklad} [4 \sqrt3, 4]_k \end{priklad} \res{$\left[ 8, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right]_p = [-8, \frac{7}{6}\pi + 2k\pi]_p$} \item Prověřte symetrii křivky \begin{priklad} r = 2 + \cos \varphi \end{priklad} \res{dle osy x} \item Prověřte symetrii křivky \begin{priklad} r(\sin \varphi + \cos \varphi) = 1 \end{priklad} \res{není symetrická} \item Prověřte symetrii křivky \begin{priklad} r^2 \sin 2 \varphi = 1 \end{priklad} \res{dle počátku (obou os)} \item Spočtěte plochu v křivce \begin{priklad} r = a \cos \varphi; \varphi \in [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] \end{priklad} \res{$\frac{1}{4} \pi a^2 $} \item Spočtěte plochu v křivce \begin{priklad} r = a \sqrt{\cos 2 \varphi}; \varphi \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ] \end{priklad} \res{$ \frac{1}{2} a^2$} \item Spočtěte plochu v křivce \begin{priklad} r^2 = a^2 \sin^2 \varphi \end{priklad} \res{$ \frac{1}{2} \pi a^2$} \item Spočtěte plochu mezi křivkami \begin{priklad} r = 2 \cos \varphi, r = \cos \varphi; \varphi \in [ 0, \frac{\pi}{4} ] \end{priklad} \res{$ \frac{3}{16} \pi + \frac{3}{8}$} \item Spočtěte plochu mezi křivkami \begin{priklad} r = a \left(4 \cos \varphi - \frac{1}{\cos \varphi}\right); \varphi \in [ 0, \frac{\pi}{4} ] \end{priklad} \res{$\frac{5}{2} a^2$} \item Spočtěte plochu mezi křivkami \begin{priklad} r = e^ \varphi, r = e^{\frac\varphi2}; \varphi \in [ 0,\pi ] \end{priklad} \res{$\frac{1}{4} (e ^{2\pi} + 1 - e^\pi)$} \item Spočtěte plochu uvnitř $r = 4$ a napravo od křivky \begin{priklad} r = \frac2{\cos \varphi} \end{priklad} \res{$\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2}(16-\frac{4}{\cos^2 \varphi}) \ud \varphi = \frac{16}{3}\pi -4\sqrt{3}$} \item Spočtěte plochu uvnitř $r = 4$ a mezi $\varphi = \frac\pi2$ a $r = \frac2{\cos \varphi}$ \item Spočtěte plochu vně $r = 1 + \cos \varphi$ a uvnitř $r = 2 - \cos \varphi$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Parametrické křivky} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce \begin{priklad} x = 2t, y = \cos \pi t \end{priklad} v bodě $t=0$. \res{$y = 1$} \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce \begin{priklad} x = t^2, y = (2-t)^2 \end{priklad} v bodě $ t = \frac{1}{2}$. \res{$3x-y-3=0$} \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce \begin{priklad} x= \cos^3 t, y = \sin^3 t \end{priklad} v bodě $t = \frac{\pi}{4}$. \res{$2x + 2y + 1 =0$} \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce \begin{priklad} r = 4 - 2 \sin \varphi \end{priklad} v bodě $\varphi = 0$. \res{$2x + y -8 = 0$} \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce \begin{priklad} r = \frac{4}{5-\cos \varphi} \end{priklad} v bodě $\varphi = \frac{1}{2} \pi$. \res{$x-5y+4 = 0$} \item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce \begin{priklad} r = \frac{\sin \varphi - \cos \varphi}{\sin \varphi + \cos\varphi} \end{priklad} v bodě $\varphi = 0$. \res{$x + 2y + 1 =0$} \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny \begin{priklad} x = 3t - t^3, y = t+1. \end{priklad} \res{vert. $[2, 2], [-2, 0]$} \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny \begin{priklad} x= 3 -4 \sin t, y = 4 + 3 \cos t. \end{priklad} \res{horiz. $[3, 7], [3, 1]$, vert. $[-1, 4], [7, 4]$} \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny \begin{priklad} x = t^2 - 2t, y = t^3 - 3t^2 + 2t. \end{priklad} \res{horiz. $[-\frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9} \sqrt 3]$, vert. $[-1, 0]$} \item Nalezněte body, kde má křivka vertikální a horizontální tečny \begin{priklad} x = \cos t, y = \sin 2t. \end{priklad} \res{horiz. $[\pm \frac{1}{2} \sqrt 2, \pm 1]$, vert. $[\pm 1, 0]$} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} x = t^2, y = t^3; t \in [ 0, 1 ]. \end{priklad} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} r = 2(1+ \cos \varphi)^{-1}; \varphi \in [ 0, \pi ]. \end{priklad} \res{$\sqrt 2 + ln(1+\sqrt 2)$} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} r = a \sin^3 \frac{\varphi}{3}; \varphi \in [ 0, \pi ]. \end{priklad} \res{$\frac{3}{2} \pi a$} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} x = e^t \sin t, y = e^t \cos t; t \in [ 0, \pi ]. \end{priklad} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} r = e^{2 \varphi}; \varphi \in [ 0, 2\pi ]. \end{priklad} \res{$\frac12 \sqrt 5(e^{4\pi} - 1)$} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} f(x) = \ln \left( \frac{1}{\cos x}\right); x \in [ 0,\pi /4 ]. \end{priklad} \res{$\ln(1+\sqrt2)$} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} f(x) = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2-1}); x \in [ 1, 2 ]. \end{priklad} \res{$\frac32$} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} x = t - \sin t, y = 1 - \cos t; t \in [ 0, 2\pi ]. \end{priklad} \res{8} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} x = \cos t + t \sin t, y = \sin t - t \cos t; t \in [0, 2 \pi ]. \end{priklad} \res{$4\pi$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) \begin{priklad} y^2 = 2px; x \in [ 0, 4p ] \end{priklad} \res{$\frac{52}{3} \pi p^2$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) \begin{priklad} 6a^2xy = x^4 + 3a^4; x \in [ 0, 2a ] \end{priklad} \res{$\frac{47}{16} \pi a^2$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) \begin{priklad} x = \frac{2}{3} t ^{\frac32}, y = t; t \in [ 3, 8 ]. \end{priklad} \res{$\frac{2152}{15} \pi$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) \begin{priklad} r = e^ \varphi; \varphi \in [ 0, \frac\pi2 ]. \end{priklad} $[\frac25\sqrt2 \pi(2 e^\pi + 1)]$ \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) \begin{priklad} 4y = x^3; x \in [ 0, 1 ]. \end{priklad} \res{$\frac{61}{432} \pi$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x) \begin{priklad} x = 2 \cos t, y = 2 \sin t; t \in [ 0, \frac\pi6 ]. \end{priklad} \res{$4\pi(2-\sqrt{3})$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Načrtněte a popište křivku \begin{priklad} r = \frac{12}{2+\sin \varphi} \end{priklad} \item Nalezněte body, ve kterých má křivka \begin{priklad} x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \sin t \end{priklad} vertikální a horizontální tečny. \item Určete plochu, která je společná křivkám \begin{priklad} r = 2a\sqrt 3 \cos\varphi; \varphi \in \left [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \end{priklad} \\ a \begin{priklad} r = 2a \sin \varphi; \varphi \in [0, \pi]. \end{priklad} \item Načrtněte křivku \begin{priklad} r = \frac{9}{5-4 \sin \varphi} \end{priklad} \item Načrtněte křivku \begin{priklad} x(t) = 4t, y(t) = 3 \sqrt{t^2-1} \end{priklad} \item Spočtěte délku křivky \begin{priklad} x = \frac{1}{4} y^2 - \frac{1}{2} \ln y; y \in [1, e] \end{priklad} \res{$\frac{e^2+1}{4}$} \item Spočtěte obsah plochy, která leží uvnitř křivky \begin{priklad} r = 2 \cos \varphi \end{priklad} a vně křivky $r=1$. \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle osy x) \begin{priklad} x(t) = 2\cos t, y(t) =2\sin t; t\in [0,\frac \pi 6]. \end{priklad} \res{$8\pi(1-\sqrt{3}/2)$} \item Nalezněte body, ve kterých má křivka \begin{priklad} x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \sin t \end{priklad} vertikální a horizontální tečny. \item Nalezněte body, ve kterých má křivka \begin{priklad} x(t) = 3- 4\sin t, y(t) = 4+3 \cos t \end{priklad} vertikální a horizontální tečny. Načrtněte křivku. \item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle osy x) \begin{priklad} x(t) = 2\cos t, y(t) =2\sin t; t\in [0,\frac \pi 6]. \end{priklad} \res{$\frac\pi3$} \end{enumerate}