Matematika2Priklady:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:19, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2Priklady} \section{Pokročilé techniky integrace} \subsection{Racionální funkce} \begin{enumerate} \begin{priklad} \int \frac{\ud x}{x^...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2Priklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2PrikladyAdmin 17. 10. 201113:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 22. 9. 201111:06 header.tex
Kapitola1 editovatPokročilé techniky integrace a zobecněný Riemannův integrálKlinkjak 25. 2. 202011:11 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatKuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivkyAdmin 28. 5. 202021:07 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVlastnosti množin, PosloupnostiPitrazby 22. 5. 201616:54 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatKonvergence číselných řadPitrazby 7. 9. 201610:08 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatObor konvergence mocninných řad a sčítání pomocí mocninných řadPitrazby 15. 6. 201613:36 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatRozvoj funkce do mocninné řadyFucikrad 7. 6. 201810:02 kapitola6.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2Priklady}
\section{Pokročilé techniky integrace}
 
\subsection{Racionální funkce}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^2-4} = \frac{1}{4} \ln \left | \frac{x-2}{x+2}
  \right|+ k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{2x^2+3}{x(x-1)^2} \ud x = 3 \ln |x| - \ln |x-1| -
  \frac{5}{x-1} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{-2x}{(x+1)(x^2+1)} \ud x = \ln |x+1| - \frac{1}{2}
  \ln (x^2 + 1) - \arctg x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x(x^2+x+1)} = \ln |x| - \frac{1}{2}\ln
  (x^2+x+1)- \frac{1}{\sqrt{3}} \arctg \left (\frac{2}{\sqrt{3}}(x +
  \frac{1}{2}) \right )+ k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{3x^4+x^3+20x^2+3x+31}{(x+1)(x^2+4)^2} \ud x = 2 \ln
  |x+1| + \frac{1}{2} \ln (x^2+4) - \frac{1}{8} \frac{x}{x^2+4} -
  \frac{1}{16} \arctg \frac{x}{2} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^5+2}{x^2-1} \ud x = \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2}
  x^2 - \frac{1}{2} \ln |x+1| + \frac{3}{2} \ln |x-1| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} \ud x
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{2x^2+3}{x^2(x-1)} \ud x = 5 \ln |x-1| - 3 \ln |x| +
  \frac{3}{x} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^5}{(x-2)^2} \ud x = \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3
  + 6x^2 + 32x - \frac{32}{x-2} + 80 \ln |x-2| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x+3}{x^2-3x+2} \ud x = 5 \ln |x-2| - 4 \ln |x-1| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{(x-1)^3} = - \frac{1}{2(x-1)^2} + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^2}{(x-1)^2(x+1)} \ud x = \frac{3}{4} \ln |x-1| -
  \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{4} \ln |x+1| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^4 - 16} = \frac{1}{32} \ln \left |  \frac{x-2}{x+2} \right
  |- \frac{1}{16} \arctg \frac{x}{2} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{(x^2 + 16)^2}
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^4+4} = \frac{1}{16} \ln \left ( \frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2} \right
  )+ \frac{1}{8} \arctg(x+1) + \frac{1}{8} \arctg(x-1) + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^4+16} \footnote{$x^4+a^2 = (x^2 + \sqrt{2a}x + a)(x^2 - \sqrt{2a}x + a)$}
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^3+1} = \frac{1}{3}  \left ( \ln |x+1| - \frac{1}{2}
  \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctg \left ( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}
  \right ) \right )
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x}{x^3+1} \ud x =  \frac{1}{3} \left ( -\ln |x+1| + \frac{1}{2} \ln (x^2-x+1) \sqrt{3} \arctg \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right )
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^4 + 1} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \left (  \frac{x^2 + \sqrt{2}x +1}{x^2-\sqrt{2}x + 1} \right
  )- 2 \arctg(\sqrt{2}x-1) + 2 \arctg(\sqrt{2}x+1) + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^4+x^2+1}\footnote{$x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$} =  \frac{1}{4} \left (  \ln \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} + \frac{1}{2\sqrt{3}} \arctg \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}} \arctg \frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right
  )
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{(x^2+1)^3} = \frac{x}{4(1+x^2)^2} +
  \frac{3x}{8(1+x^2)}+ \frac{3}{8} \arctg x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\ud x}{x^6 + 1} \footnote{$x^6 + 1 = (x^2+1)(x^2+\sqrt{3}x + 1)(x^2-\sqrt{3}x + 1)$} = \frac{1}{2} \arctg x + \frac{1}{6}
  \arctg x ^3 + \frac{1}{4\sqrt{3}} \ln \frac{x^2 + \sqrt{3}x + 1}{x^2- \sqrt{3}x +
  1}+ k
\end{priklad}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\end{enumerate}
 
\separator
 
 
\subsection{Goniometrické funkce}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{priklad}
  \int \sin^3 x \udx = \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \sin^2 3x \udx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{12} \sin 6x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \cos^4 x \sin^3 x \udx = -\frac{1}{5} \cos^5 x +
  \frac{1}{7}\cos^7 x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \sin^3 x \cos^3 x \udx = \frac{1}{3} \tg^3 x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \sin^2 x \cos^3 x \udx = \frac{1}{3} \sin ^3 x -
  \frac{1}{5}\sin^5 x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \sin^4 x \udx = \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} \sin 2x +
  \frac{1}{32} \sin 4x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \sin 2x \cos 3x \udx = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{10}
  \cos 5x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \sin^2 x \sin 2x \udx = \frac{1}{2} \sin^4 x + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \cos 3x \cos 2x \udx = \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{10}
  \sin 5x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \tg^2 3x \udx = \frac{1}{3} \tg 3x - x + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{\cos^2 \pi x} = \frac{1}{\pi} \tg \pi x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \tg^3 x \udx = \frac{1}{2} \tg^2 x + \ln |\cos x| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \tg^2 x \frac{1}{\cos^2 x} \udx = \frac{1}{3} \tg^3 x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{1}{\sin^3 x } \udx = - \frac{1}{2} \frac{1}{\sin x}
  \cotg x + \frac{1}{2} \ln \left | \frac{1}{\sin x} - \cotg x\right | + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \cotg^3 x \frac{1}{\sin^3 x} \udx = - \frac{1}{5} \frac{1}{\sin^5
  x}+ \frac{1}{3} \frac{1}{ \sin^3 x} + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \tg^4 x \frac{1}{\cos^4 x} \udx = \frac{1}{7} \tg^7 x +
  \frac{1}{5} \tg^5 x + k
\end{priklad}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\end{enumerate}
 
\separator
\subsection{Ostatní}
\begin{enumerate}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{(5-x^2)^{3/2}} = \frac{x}{5\sqrt{5-x^2}} + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \sqrt{x^2 -1} \udx = \frac{1}{2} x \sqrt{x^2-1} -
  \frac{1}{2}\ln |x + \sqrt{x^2-1}| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} \udx = 2 \arcsin \frac{x}{2} -
  \frac{1}{2}x \sqrt{4-x^2} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x}{(1-x^2) ^ {3/2}} \udx
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^2}{(1-x^2)^{3/2}} \udx = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} -
  \arcsin x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int x \sqrt{4 - x^2} \udx
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{e^x}{\sqrt{9-e^{2x}}} \udx
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{x \sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{1}{a} \ln \left |
  \frac{a-\sqrt{a^2 - x^2}}{x}  \right | + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int e^x \sqrt{e^{2x} - 1} \udx= \frac{1}{2} e^x \sqrt{e^{2x} -1} -
  \frac{1}{2} \ln(e^x + \sqrt{e^{2x} + 1}) + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{x^2 \sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a^2x}
  \sqrt{x^2-a^2}+k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{e^x \sqrt{e^{2x} - 9}} = \frac{1}{9} e ^{-x}
  \sqrt{e^{2x} - 9} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{(x^2 - 4x + 4)^{3/2}} = - \frac{1}{2(x-2)^2} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x+3}{\sqrt{x^2+4x + 13}} \udx = \sqrt{x^2+4x+13} +
  \ln(x+2+\sqrt{x^2+4x+13}) + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int x (8 - 2x - x^2) ^{3/2} \udx
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\sqrt x}{ \sqrt{x} - 1} \udx = x + 2 \sqrt{x} + 2 \ln
  |\sqrt{x} - 1| + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\sqrt{x-1 + 1}}{\sqrt{x-1} - 1} \udx = x + 4
  \sqrt{x-1}+ 4 \ln |\sqrt{x-1} - 1| + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{ 1 + e^{-x}}
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int 2x^2(4x + 1) ^ {-5/2} \udx = \frac{1}{16}(4x+1) ^ {1/2} +
  \frac{1}{8}(4x+1) ^ {-1/2} - \frac{1}{48}(4x+1)^{-3/2}
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \ln ( x \sqrt{x}) \udx = x \ln(x \sqrt{x}) - \frac{3}{2}x +
  k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \udx = \frac{1}{3} (x^2-2)
  \sqrt{1+x^2}+ k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\sin 3x}{2 + \cos 3x} \udx = - \frac{1}{3} \ln (2 +
  \cos 3x) + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \udx = \frac{1}{2} \tg^2 x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{1- \sin 2x}{1+ \sin 2x} \udx = \tg 2x - \frac{1}{\cos
  2x}- x + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}} = \frac{2}{3}(x+1) ^
  {3/2}+ \frac{2}{3} x ^ {3/2} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int x \ln \sqrt{x^2 + 1} \udx
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{x^2 + 4}{x} \udx = 2 \ln(\sqrt{x^2+4} - 2) - 2 \ln
  |x| + \sqrt{x^2+4} + k
\end{priklad}
 
 
\begin{priklad}
  \int x^2 \arcsin x \udx = \frac{1}{3} x^3 \arcsin x +
  \frac{1}{3}(1-x^2)^{1/2} - \frac{1}{9}(1-x^2)^{3/2} + k
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
  \int \frac{\udx}{ \sqrt{1- e ^{2x}}} = \ln |1 - \sqrt{1-e^{2x}}|
  - x + k
\end{priklad}
 
 
 
 
 
 
\end{enumerate}
\separator