Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Taylorův polynom a Taylorova řada]{\fbox{Taylorův polynom a Taylorova řada}}
\subsection{Taylorův polynom}
\begin{theorem}\label{thm:Taylor}
Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou derivaci řádu $n$, $n\in\N$. Pak existuje právě jeden polynom $T_n(x)$ stupně nejvýše $n$ takový, že platí $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ pro všechna $k = 0,1,2,\dots,n$.
Tento polynom má tvar
$$
T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
$$
\end{theorem}
\begin{define}[Taylorův polynom]
Polynom $T_n$ z věty \ref{thm:Taylor} se nazývá $n$-tý Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$.
\end{define}
\begin{define}[Zbytek Taylorova polynomu]
Zbytek Taylorova polynomu je definován pro všechna $x\in D_f$:
$$
R_n(x)=f(x)-T_n(x).
$$
\end{define}
\begin{theorem}[Taylorova o zbytku]
Nechť $f$ má spojitou derivaci řádu $n+1$ na intervalu $[a,x]$ (nebo $[x,a]$) pro nějaké $x \in D_f$ . Potom
$$
R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t,
$$
tj.
$$
f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t
$$
\begin{proof}
Důkaz provedeme přímo. Aplikujeme metodu per partes na integrál (pro $k\geq1$)
$$
\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t = \Big| \hbox{per partes} \Big| = \frac{1}{k!}\Big[ (x-t)^kf^{(k)}(t) \Big]_{a}^x + \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t,
$$
odkud vyjádříme člen v Taylorově polynomu (pro $k\geq1$)
$$
\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t,
$$
který dosadíme přímo do definice zbytku $R_n(x)$
\begin{align*}
R_n(x) &= f(x) - T_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k = f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k =\\
&= f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\
&= f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^xf^{(k+1)}(t)(x-t)^{k} \ud t + \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\
&= f(x)-f(a) - \frac{1}{0!}\int\limits_{a}^xf^{(1)}(t)(x-t)^{0} \ud t + \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t \\
&= \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t.
\end{align*}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Odhad zbytku]
$$
|R_n(x)| \leq \left( \max\limits_{t\in I} |f^{n+1}(t)| \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.
$$
\begin{proof}
$$
|R_n(x)| = \frac{1}{n!}\left| \int\limits_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n \ud t\right| \leq \frac{1}{n!} \int\limits_{a}^x |f^{(n+1)}(t)||x-t|^n \ud t \leq
\left( \max\limits_{I} f^{(n+1)}(t) \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Taylorova řada}
\begin{define}[Taylorova řada]
Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná v bodě $a \in D_f$ (tj. má konečné derivace všech řádů v bodě $a$) a nechť pro $x\in I$ platí, že $\lim\limits_{n\to+\infty} R_n(x) = 0$.
Pak lze $\forall x \in I$ zkonstruovat nekonečnou řadu
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,
$$
kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$. Množinu $I$ nazýváme oborem konvergence Taylorovy (mocninné) řady.
\end{define}
\begin{remark}
Důležité rozvoje funkcí do Taylorovy (mocninné) řady:
\begin{enumerate}
\item $\e^x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}x^n \quad \forall x\in\R$.
\item $\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \forall x\in\R$.
\item $\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \forall x\in\R$.
\item $\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} \quad \forall x\in (-1,1]$.
\end{enumerate}
\end{remark}
