Matematika2:Kapitola9

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:03, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2} \section{Rozvoj funkce do řady} % \subsection{Historický úvod} % % \pzp % Brooks Taylor (1685-1731), motivace. \subsection{Taylorův pol...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201116:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201519:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 6. 2. 202215:05 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 6. 2. 202215:06 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 6. 2. 202215:06 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyFucikrad 6. 2. 202215:07 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 6. 2. 202215:08 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 25. 4. 202215:28 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201214:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 6. 4. 202308:47 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 24. 5. 202211:01 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 20. 4. 202210:15 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 6. 2. 202215:10 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Rozvoj funkce do řady}
 
% \subsection{Historický úvod}
% 
% \pzp
% Brooks Taylor (1685-1731), motivace.
 
\subsection{Taylorův polynom}
 
\begin{theorem}~\\\label{vTay}
Nechť funkce $f$ má v bodě $x=0$ konečnou derivaci řádu $n$, $n\in\N$. Pak existuje právě jeden polynom $T_n(x)$ stupně nejvýše $n$ tak, že platí $$T_n^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$$ pro všechna $k = 0,1,2,\dots,n$.
Tento polynom má tvar 
\be
  T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.
\ee
\end{theorem}
 
\begin{define}[Taylorův polynom]~\\
 Polynom $T_n$ z věty \ref{vTay} se nazývá Taylorův polynom funkce $f$ stupně $n$ v bodě $0$.
\end{define}
 
 
\begin{remark}[Taylorův polynom v obecném bodě]~\\
 Pokud má funkce $f$ v bodě $a\in D_f$ konečnou derivaci řádu $n$, pak Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$ je dán
\be
  T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
\ee
\end{remark}
 
\begin{define}[Zbytek Taylorova polynomu]~\\
 Zbytek Taylorova polynomu je definován pro všechna $x\in D_f$:
\be
  R_n(x)=f(x)-T_n(x).
\ee
\end{define}
 
 
\begin{theorem}[Taylorova věta o zbytku]~\\
  Nechť $f$ má spojitou derivaci řádu $n$ na intervalu $[a,x]$ pro nějaké $x \in D_f$. Potom
\be
  R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t,
\ee
tj.
\be
  f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}x^k + \frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t
\ee
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Odhad zbytku]~\\
 \be
     |R_n(x)| \leq \left( \max\limits_{t\in I} |f^{n+1}(t)| \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}. 
 \ee
\end{theorem}
 
 
\subsection{Taylorova řada}
\begin{define}[Taylorova řada]~\\
 Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná v bodě $a \in D_f$ (tj. má konečné derivace všech řádů) a nechť pro $x\in D_f$ platí, že $\lim\limits_{n\to+\infty} R_n(x) = 0$. Pak lze zkonstruovat nekonečnou řadu 
\be 
f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, 
\ee
kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$.
\end{define}
 
%% TODO : vyhodit z prednasek 4. sekci o taylorovi v bode a ... zkratka to rozumne sjednotit
 
 
 
\pzp
Příklady a důležité rozvoje základních funkcí do Taylorovy řady v bodě $a=0$:
\begin{enumerate}
 \item $\e^x  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}x^n \quad \forall x\in\R$ 
 \item $\sin(x)  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \forall x\in\R$
 \item $\cos(x)  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \forall x\in\R$
 \item $\ln(1+x)  = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} \quad \forall x\in (-1,1]$
\end{enumerate}