Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Rozvoj funkce do řady}
% \subsection{Historický úvod}
%
% \pzp
% Brooks Taylor (1685-1731), motivace.
\subsection{Taylorův polynom}
\begin{theorem}~\\\label{vTay}
Nechť funkce $f$ má v bodě $x=0$ konečnou derivaci řádu $n$, $n\in\N$. Pak existuje právě jeden polynom $T_n(x)$ stupně nejvýše $n$ tak, že platí $$T_n^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$$ pro všechna $k = 0,1,2,\dots,n$.
Tento polynom má tvar
\be
T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.
\ee
\end{theorem}
\begin{define}[Taylorův polynom]~\\
Polynom $T_n$ z věty \ref{vTay} se nazývá Taylorův polynom funkce $f$ stupně $n$ v bodě $0$.
\end{define}
\begin{remark}[Taylorův polynom v obecném bodě]~\\
Pokud má funkce $f$ v bodě $a\in D_f$ konečnou derivaci řádu $n$, pak Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$ je dán
\be
T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
\ee
\end{remark}
\begin{define}[Zbytek Taylorova polynomu]~\\
Zbytek Taylorova polynomu je definován pro všechna $x\in D_f$:
\be
R_n(x)=f(x)-T_n(x).
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Taylorova věta o zbytku]~\\
Nechť $f$ má spojitou derivaci řádu $n$ na intervalu $[a,x]$ pro nějaké $x \in D_f$. Potom
\be
R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t,
\ee
tj.
\be
f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}x^k + \frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t
\ee
\end{theorem}
\begin{theorem}[Odhad zbytku]~\\
\be
|R_n(x)| \leq \left( \max\limits_{t\in I} |f^{n+1}(t)| \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.
\ee
\end{theorem}
\subsection{Taylorova řada}
\begin{define}[Taylorova řada]~\\
Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná v bodě $a \in D_f$ (tj. má konečné derivace všech řádů) a nechť pro $x\in D_f$ platí, že $\lim\limits_{n\to+\infty} R_n(x) = 0$. Pak lze zkonstruovat nekonečnou řadu
\be
f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,
\ee
kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$.
\end{define}
%% TODO : vyhodit z prednasek 4. sekci o taylorovi v bode a ... zkratka to rozumne sjednotit
\pzp
Příklady a důležité rozvoje základních funkcí do Taylorovy řady v bodě $a=0$:
\begin{enumerate}
\item $\e^x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}x^n \quad \forall x\in\R$
\item $\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \forall x\in\R$
\item $\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \forall x\in\R$
\item $\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} \quad \forall x\in (-1,1]$
\end{enumerate}