Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Řady}
\subsection{Konečné řady}
\pzp
Příklady konečných řad, které lze sečíst:
\begin{enumerate}
\item $\sum\limits_{k=1}^n 1 = n$
\item $\sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
\item $\sum\limits_{k=r}^n q^k = q^r \frac{q^{(n-r+1)}-1}{q-1}$, kde $r \in \N$.
\item $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} =
\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = 1-\frac{1}{n+1}$
\end{enumerate}
\subsection{Nekonečné řady}
\begin{define}[Nekonečná řada]~\\
Nechť $\{a_n\}$ je číselná posloupnost. Posloupnost $\{ s_n\}$ definovanou jako $n$-tý částečný součet členů posloupnosti $s_n = \sum\limits_{k=1}^na_k$ nazveme nekonečnou číselnou řadou vytvořenou z posloupnosti $\{a_n\}$ a značíme $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$.
\end{define}
\begin{define}[Konvergence nekonečné řady]~\\
Nechť $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ je nekonečná řada. Existuje-li limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n=s$, pak toto číslo $s$ nazýváme součtem nekonečné řady. Je-li $s\in\R$, resp. $s = \pm\infty$, resp limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n$ neexistuje, pak říkáme, že nekonečná řada konverguje, resp. diverguje, resp. osciluje (nebo též diverguje).
\end{define}
\subsection{Geometrické řady}
\begin{theorem}~\\
\begin{align}
|x| < 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \\
|x| \geq 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n \quad \hbox{diverguje}.
\end{align}
\end{theorem}
\subsection{Vlastnosti nekonečných řad}
\begin{theorem}~\\
Jestliže $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = a$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n = b$ a buď $\alpha\in\R$, pak $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(\alpha a_n + b_n) = \alpha a+b$
\end{theorem}
\subsection{Konvergence}
\begin{theorem}[Nutná podmínka konvergence]~\\
\be
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \quad\Rightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}a_n =0.
\ee
\end{theorem}
\subsection{Konvergence řad s nezápornými členy}
\begin{theorem}~\\
Řada s nezápornými členy konverguje právě tehdy, když je posloupnost částečných součtů omezená.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Integrální kritérium]~\\
Buď $f$-kladná, spojitá a klesající funkce na intervalu $[1,+\infty)$. Pak
\be\nonumber
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f(n) \hbox{~~konverguje} \quad
\Leftrightarrow \quad \int\limits_1^{+\infty}f(x)\ud x \hbox{~~konverguje}
\ee
\end{theorem}
\begin{theorem}[Základní srovnávací kritérium]~\\
Nechť pro všechna $n\in\N$ platí $0\leq a_n\leq b_n$. Pak
\begin{align}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~diverguje} \\
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~konverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Limitní srovnávací kritérium]~\\
Nechť $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ a
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n$ jsou řady s nezápornými členy. Jestliže existuje limita $L=\lim\limits\frac{a_n}{b_n}$, potom platí:
\begin{align}
&0 < L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Leftrightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje} \\
&L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\
&L > 0 \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Cauchyho odmocninové kritérium]~\\
Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s nezápornými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n=+\infty} \sqrt[n]{a_n}$. Pak platí:
\begin{align}
L<1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\
L>1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{theorem}[d'Alembertovo podílové kritérium]~\\
Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s kladnými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Pak platí:
\begin{align}
L < 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \\
L > 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~diverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\subsection{Absolutní konvergence}
\begin{define}[Absolutní konvergence]~\\
Pokud konverguje řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} |a_n|$, říkáme, že řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ konverguje absolutně.
\end{define}
\begin{remark}
Konvergentním řadám, které však nekonvergují absolutně říkáme neabsolutně konvergentní.
\end{remark}
\begin{theorem}~\\
Jestliže řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|$ konverguje, pak konverguje i řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$.
\end{theorem}
\begin{corollary}~\\
Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní.
\end{corollary}
\begin{theorem}[Riemann 1867]~\\
Absolutně konvergentní řady dávají po přerovnání stejný součet. Neabsolutně konvergentní řady lze přeuspořádat tak, aby jejich součet bylo libovolné reálné číslo.
\end{theorem}
\subsection{Alternující řady}
\begin{define}[Alternující řada]~\\
Řadu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} b_n$, kde $b_n >0$ pro $\forall n\in\N$ nazýváme alternujicí řadou.
\end{define}
\begin{theorem}[Leibnitzovo kritérium]~\\
Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$. Pak platí:
\be
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n \hbox{~~konverguje}
\quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n\to+\infty}b_n = 0.
\ee
\end{theorem}
\begin{theorem}[O součtu alternující řady]~\\
Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$ a buď $s\in\R$ součet alternující řady $s=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n$. Potom platí
\be
s_n < s < s_{n+1} \quad \forall n\in\N
\ee
a navíc $n$-tý částečný součet $s_n$ aproximuje $s$ s přesností $a_{n+1}$, tj. $|s-s_n| < a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$.
\end{theorem}
