Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Posloupnosti reálných čísel}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Posloupnost]~\\
Posloupnost reálných čísel je funkce $a : \N \to \R$. Hodnota posloupnosti pro
dané $n \in N$ se nazývá člen posloupnosti a je možné jej značit stejně jako hodnotu funkce v bodě, tj. $a(n)$. Obvykle však budeme používat značení $a_n$.
\end{define}
\pzp
Monotonie posloupnosti: ostře rostoucí, rostoucí (neklesající), ostře klesající, klesající (nerostoucí).
\subsection{Limita posloupnosti}
\begin{remark}
Jediný bod , kde je možné vyšetřovat limitu posloupnosti (tj. hromadný bod $\N$) je $+\infty$.
\end{remark}
\begin{define}[Limita posloupnosti]~\\
$$\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = l ~~\Leftrightarrow~~ (\forall\varepsilon >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(|a_n-l| < \varepsilon).$$
\end{define}
\begin{define}[Konvergence]~\\
Posloupnost mající konečnou limitu se nazývá konvergentní. Jinak je divergentní.
\end{define}
\begin{theorem}~\\
Každá konvergentní posloupnost je omezená.
\end{theorem}
\begin{theorem}~\\
Omezená neklesající, resp. nerostoucí posloupnost konverguje k nejmenší horní, resp. největší dolní závoře.
\end{theorem}
\begin{theorem}~\\
$$a_n \to l ~~\Leftrightarrow~~ (a_n - l) \to 0 ~~\Leftrightarrow~~ |a_n - l| \to 0.$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[O sevřené posloupnosti - sendvičová]~\\
Nechť $(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(a_n \leq b_n \leq c_n)$. Pokud $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = l$ a $\lim\limits_{n\to+\infty}c_n = l$, pak $\lim\limits_{n\to+\infty}b_n = l$.
\end{theorem}
\begin{theorem}~\\
Pro $\forall n\in\N$ platí
\be
\left(1+\frac1n \right)^n \leq \e \leq \left( 1+\frac1n \right)^{n+1}.
\ee
\end{theorem}
\begin{remark}
Posloupnost $\left\{ \left(1+\frac1n \right)^n \right\}_{n\in\N}$ roste k $\e$,
zatímco posloupnost $\left\{ \left(1+\frac1n \right)^{n+1} \right\}_{n\in\N}$ k číslu $\e$ klesá.
\end{remark}
\begin{corollary}
\be
\lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = \e
\quad \hbox{a} \quad
\lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} = \e
\ee
\end{corollary}
\begin{theorem}~\\
Buď $c_n \to c$ a $(\forall n \in \N)(c_n \in D_f)$, kde funkce $f$ je spojitá v bodě $c$. Potom $\lim\limits_{n\to+\infty} f(c_n) = f(c)$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Heine]~\\
Buď $f$ reálná funkce a $a \in (D_f)^\prime$, tj. $a$ je hromadným bodem $D_f$. Pak platí
\be
\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = c \quad\Leftrightarrow \quad \lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n)=c \quad \hbox{pro~~} \forall \{x_n \} \subset D_f ~~ x_n \neq a ~~\wedge~~ x_n \to a
\ee
\end{theorem}
\begin{theorem}~\\
Pro všechna $x\in\R$ platí
\be
\lim_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = \e^x
\ee
\end{theorem}
\subsection{Kritéria konvergence}
\begin{theorem}[Cachyho odmocninové kritérium]~\\
Buď $\{a_n\}$ posloupnost kladných reálných čísel a nechť existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}$ a platí $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Stolz]~\\
Buďte $\{ a_n\}$ a $\{b_n \}$ posloupnosti takové, že $b_{n+1} > b_n$, $\lim\limits_{n\to+\infty} b_n = +\infty$ a $b_n \neq 0$ pro všechna $n \in \N$. Nechť existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}$ a platí $$\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$$
\end{theorem}
