Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Supremum a infimum]{\fbox{Supremum a infimum}}
\begin{define}[Spočetná množina]
Řekneme, že množina $M$ je spočetná právě tehdy, když existuje funkce $f: \N \to M$, která je prostá a na, tj. $f(\N)=M$.
\end{define}
\begin{define}[Supremum]
Nejmenší horní závora množiny $M$ se nazývá supremum $M$ a značí $\sup M$.
\end{define}
\begin{define}[Infimum]
Největší dolní závora množiny $M$ se nazývá infimum $M$ a značí $\inf M$.
\end{define}
\begin{theorem}[O existenci suprema a infima]
Každá neprázdná shora, resp. zdola omezená množina $M \subset \R$ má své supremum, resp. infimum.
\end{theorem}
\begin{theorem}[O blízkosti suprema k M]
Buď $s=\sup M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(s-\varepsilon < x \leq s)$.
\begin{proof}
Nerovnost $x \leq s$ plyne rovnou z definice suprema neb $s$ je horní závora. \\
Nerovnost $s-\varepsilon < x$ dokážeme sporem. Nechť $\exists\varepsilon>0$ tak, že $\forall x$ $s-\varepsilon \geq x$. To je rovnou spor s tím, že $s$ je nejmenší horní závora a přitom $s-\varepsilon$ je ještě menší než $s$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[O blízkosti infima k M]
Buď $i=\inf M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(i \leq x < i+\varepsilon)$.
\begin{proof}
Důkaz se provede podobně jako v předchozí větě.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[O supremu]
Buď $M$ neprázdná a shora omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $s$ takové, že platí:
\begin{enumerate}
\item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$.
\item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in \R)( s' < s)(\exists x \in M)(s' < x)$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}[O infimu]
Buď $M$ neprázdná a zdola omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $i$ takové, že platí:
\begin{enumerate}
\item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$.
\item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in \R)( i' > i)(\exists x \in M)(i' > x)$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
