Matematika2:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2} \section{Vlastnosti množin} \subsection{Supremum} \begin{theorem}~\\ Každá neprázdná shora omezená množina $M \subset \R$ má nejmen...)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{Matematika2}
 
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Vlastnosti množin}
+
\section[Supremum a infimum]{\fbox{Supremum a infimum}}
 +
 
 +
 
 +
\begin{define}[Spočetná množina]
 +
Řekneme, že množina $M$ je spočetná právě tehdy, když existuje funkce $f: \N \to M$, která je prostá a na, tj. $f(\N)=M$.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{define}[Supremum]
 +
Nejmenší horní závora množiny $M$ se nazývá supremum $M$ a značí  $\sup M$.
 +
\end{define}
 +
\begin{define}[Infimum]
 +
Největší dolní závora množiny $M$ se nazývá infimum $M$ a značí  $\inf M$.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{theorem}[O existenci suprema a infima]
 +
Každá neprázdná shora, resp. zdola omezená množina $M \subset \R$ má své supremum, resp. infimum.
 +
\end{theorem}
 +
 
 
   
 
   
\subsection{Supremum}
+
\begin{theorem}[O blízkosti suprema k M]
\begin{theorem}~\\
+
Buď $s=\sup M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(s-\varepsilon < x \leq s)$.
  Každá neprázdná shora omezená množina $M \subset \R$ nejmenší horní závoru. Tomuto číslu
+
\begin{proof}
říkáme supremum množiny M a značíme $\sup M$.
+
Nerovnost $x \leq s$ plyne rovnou z definice suprema neb $s$ je horní závora. \\
\end{theorem}
+
Nerovnost $s-\varepsilon < x$ dokážeme sporem. Nechť $\exists\varepsilon>0$ tak, že $\forall x$ $s-\varepsilon \geq x$. To je rovnou spor s tím, že $s$ je nejmenší horní závora a přitom $s-\varepsilon$ je ještě menší než $s$.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\begin{theorem}[O blízkosti infima k M]
 +
Buď $i=\inf M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(i \leq x < i+\varepsilon)$.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz se provede podobně jako v předchozí větě.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 
   
 
   
\begin{theorem}[Blízkost suprema k M]~\\
+
\begin{theorem}[O supremu]
  Buď $s=\sup M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(s-\varepsilon < x \leq s)$.
+
Buď $M$ neprázdná a shora omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $s$ takové, že platí:
\end{theorem}
+
\begin{enumerate}
+
\item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$.
\begin{theorem}[O supremu]~\\
+
\item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in M)( s' < s)(\exists x \in M)(s' < x)$.  
  Buď $M$ neprázdná a shora omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $s$ takové, že platí:
+
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
+
\end{theorem}
\item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$.
+
 
\item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in M)( s' < s)(\exists x \in M)(s' < x)$.  
+
\begin{theorem}[O infimu]
\end{enumerate}
+
Buď $M$ neprázdná a zdola omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $i$ takové, že platí:
\end{theorem}
+
\begin{enumerate}
+
\item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$.
+
\item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in M)( i' > i)(\exists x \in M)(i' > x)$.  
\pzp
+
\end{enumerate}
Definice shora a zdola omezené množiny, horní a dolní závora, spočetnost
+
\end{theorem}
+
\subsection{Infimum}
+
\begin{theorem}~\\
+
  Každá neprázdná zdola omezená množina $M \subset \R$ má největší dolní závoru. Tomuto číslu
+
říkáme infimum množiny M a značíme $\inf M$.
+
\end{theorem}
+
+
\begin{theorem}[Blízkost infima k M]~\\
+
  Buď $i=\inf M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(i+\varepsilon > x \geq i)$.
+
\end{theorem}
+
+
\begin{theorem}[O infimu]~\\
+
  Buď $M$ neprázdná a zdola omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $i$ takové, že platí:
+
\begin{enumerate}
+
\item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$.
+
\item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in M)( i' > i)(\exists x \in M)(i' > x)$.  
+
\end{enumerate}
+
\end{theorem}
+

Verze z 14. 9. 2011, 16:58

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201117:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201520:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 14. 9. 201116:56 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 23. 1. 202115:02 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 20. 2. 202121:59 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyAdmin 26. 2. 201411:52 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 5. 3. 202111:12 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 19. 3. 202008:35 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201215:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 20. 6. 201912:18 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 7. 4. 202116:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 4. 5. 201513:46 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 13. 5. 201911:15 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Supremum a infimum]{\fbox{Supremum a infimum}}
 
 
	\begin{define}[Spočetná množina]
	Řekneme, že množina $M$ je spočetná právě tehdy, když existuje funkce $f: \N \to M$, která je prostá a na, tj. $f(\N)=M$.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Supremum]
	Nejmenší horní závora množiny $M$ se nazývá supremum $M$ a značí  $\sup M$.
	\end{define}
	\begin{define}[Infimum]
	Největší dolní závora množiny $M$ se nazývá infimum $M$ a značí  $\inf M$.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[O existenci suprema a infima]
	Každá neprázdná shora, resp. zdola omezená množina $M \subset \R$ má své supremum, resp. infimum. 
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[O blízkosti suprema k M]
	Buď $s=\sup M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(s-\varepsilon < x \leq s)$.
	\begin{proof}
	Nerovnost $x \leq s$ plyne rovnou z definice suprema neb $s$ je horní závora. \\
	Nerovnost $s-\varepsilon < x$ dokážeme sporem. Nechť $\exists\varepsilon>0$ tak, že $\forall x$ $s-\varepsilon \geq x$. To je rovnou spor s tím, že $s$ je nejmenší horní závora a přitom $s-\varepsilon$ je ještě menší než $s$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[O blízkosti infima k M]
	Buď $i=\inf M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(i \leq x < i+\varepsilon)$.
	\begin{proof}
	Důkaz se provede podobně jako v předchozí větě. 
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[O supremu]
	Buď $M$ neprázdná a shora omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $s$ takové, že platí:
	\begin{enumerate}
	\item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$.
	\item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in M)( s' < s)(\exists x \in M)(s' < x)$. 
	\end{enumerate}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[O infimu]
	Buď $M$ neprázdná a zdola omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $i$ takové, že platí:
	\begin{enumerate}
	\item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$.
	\item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in M)( i' > i)(\exists x \in M)(i' > x)$. 
	\end{enumerate}
	\end{theorem}