Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Křivky dané parametricky}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Křivka daná parametricky]~\\
Křivkou danou parametricky rozumíme množinu bodů
$$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$
kde $x(t)$ a $y(t)$ jsou diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$.
\end{define}
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{J}
\caption{Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$.}
\end{center}
\end{figure}
% \item[B.] $K = \{ [r, \varphi]_p : r=1-2\cos\varphi \}$
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{K}
\caption{Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{L}
\caption{Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$}
\end{center}
\end{figure}
\clearpage
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky}
\begin{theorem}~\\
Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $x'(t)$ a $y'(t)$ existují
na $(\alpha, \beta)$ a nechť $x'^2(t_0)+y'^2(t_0) \neq 0$. Pak rovnice tečny v bodě
$[x(t_0), y(t_0)]$ je
\be
y'(t_0)(x-x(t_0)) - x'(t_0)(y-y(t_0)) = 0.
\ee
\end{theorem}
\subsection{Plocha v křivce dané parametricky}
\begin{theorem}
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem
\be
A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)x'(t)\ud t.
\ee
\end{theorem}
\subsection{Délka křivky daná parametricky}
\begin{theorem}
Délka křivky dané parametricky je dán vzorcem
\be
L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ x'^2(t)+y'^2(t) }\ud t.
\ee
\end{theorem}
\subsection{Objem rotující křivky daná parametricky}
\begin{theorem}
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy x je dán vzorcem
\be
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)x'(t) \ud t.
\ee
\end{theorem}
\subsection{Povrch rotující křivky daná parametricky}
\begin{theorem}
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy x je dán vzorcem
\be
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ x'^2(t)+y'^2(t) } \ud t.
\ee
\end{theorem}
