Aktuální verze z 25. 4. 2022, 16:28

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}}
\subsection{Definice a příklady křivek a jejich parametrizace}
 
	\begin{define}[Křivka daná parametricky]
	Nechť $X=X(t)$ a $Y=Y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. 
	Pak množinu bodů
	$$\{ [X(t), Y(t)] \in \R^2:  t\in [\alpha, \beta] \},$$
	nazvýváme křivkou danou parametricky.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}}
		}
		Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$.
		Parametrizace $x(t)=a\cos^{\frac23}t$ a $y(t)=a\sin^{\frac23}t$.
		Dosadíme: $a^3 = 3a(\cos{t}\sin{t})^{\frac23}$.
		&
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}}
		Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$
		Parametrizace $x(t)=a\cos^3t$ a $y(t)=a\sin^3t$.
		}
	\end{tabular}
	\end{center}
 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{p{0.98\textwidth}}
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}}
		}\\
		Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$
 
	\end{tabular}
	\end{center}
 
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky}
	\begin{remark}
	Pro derivaci funkcí podle parametru (typicky $t$ je ve fyzice čase apod.) se často používá značení derivací tečkou: $\frac{\ud}{\ud t}X(t) = \dot{X}(t)$, $\frac{\ud}{\ud t}Y(t) = \dot{Y}(t)$. 
	\end{remark}
 
 
	\begin{theorem}[Rovnice tečny]
	Mějme křivku $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ a nechť pro $t_0\in(\alpha,\beta)$ je alespoň jedna z derivací $\dot{X}(t_0)$ a $\dot{Y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě
	$[X(t_0), Y(t_0)]$ je 
	$$
	\dot{Y}(t_0)(x-X(t_0)) = \dot{X}(t_0)(y-Y(t_0)).
	$$
	\begin{proof}
	\begin{enumerate}
	 \item Nechť $\dot{X}(t_0) \neq 0$:\\
	Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[X(t_0),Y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[X(t_0+h),Y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. 
	Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici
	$$
		k_s(h) = \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) }.
	$$
	Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[X(t_0),Y(t_0)]$:
	$$
		k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = 
		\lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } = 
		\lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } \frac{h}{h} = 
		\frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)}
	$$
	Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny
	$$
		q = Y(t_0) - kX(t_0) = Y(t_0) - \frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)} X(t_0).
	$$
	Odtud dostáváme tvrzení věty.
 
	\item Je-li $\dot{X}(t_0) = 0$, pak $X(t) = X(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{Y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = X(t_0)$.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Plocha v křivce dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Plocha v křivce]
	Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha,\beta]$.
	Potom plocha vymezená křivkou a osou x je  dána vzorcem
	$$
	A = \int\limits_\alpha^\beta Y(t)\dot{X}(t)\ud t.
	$$
	\begin{proof}
	Protože $X(t)$ je prostá funkce, existuje k ní inverzní funkce $X^{-1}$ a vztah $x=X(t)$ lze invertovat na $t = X^{-1}(x)$.
	Křivku v parametrickém popisu můžeme zároveň uvažovat jako křivku danou grafem funkce $f$ s předpisem 
	$$
		f(x) := Y(t) = Y(X^{-1}(x)).
	$$
	Plocha pod grafem funkce $f$ je
	$$
		A = \int\limits_a^b f(x) \ud x,
	$$
	kde meze $a$ a $b$ jsou dány obrazem bodů $\alpha$ a $\beta$:
	$$
		a := X(\alpha), \quad b := X(\beta).
	$$
	Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty:
	$$
		A = \int\limits_a^b f(x) \ud x 
		= \int\limits_\alpha^\beta f(X(t)) \dot{X}(t) \ud t
		= \int\limits_\alpha^\beta Y(X^{-1}(X(t))) \dot{X}(t) \ud t
		= \int\limits_\alpha^\beta Y(t) \dot{X}(t) \ud t.
	$$
 
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Délka křivky dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky}
	Nechť $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$. 
	Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem
	$$
	L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }\ud t.
	$$
%	\begin{proof}
%		Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$. 
%		Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce.
%		
%		(a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána 
%		\begin{equation*}
%			L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x,
%		\end{equation*}
%		kde provedeme př
%	\end{proof}
%	\begin{proof}
%	Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$. 
%	Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$:
%	\begin{equation*}
%	\begin{split}
%		d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2}
%		\\
%		=(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}.
%	\end{split}
%	\end{equation*}
%	Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$:
%	$$
%		d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}.
%	$$
%	
%	
%	\todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?}
%	
%	Označíme-li 
%	\begin{align*}
%	m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\
%	M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},
%	\end{align*}
%	dostaneme odhad pro $d_k$
%	$$
%		 m_k (t_k-t_{k-1}) \leq  d_k \leq  (t_k-t_{k-1}) M_k,
%	$$
%	tj. po vysčítání přes $k$
%	$$
%		s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma).
%	$$
%	Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty.
% 	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích]
	Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$. 
	Délka křivky v polárních souřadnicích
	$$
		L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. 
	$$
	\begin{proof}
	Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy
	\begin{align*}
	X(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ 
	Y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi,
	\end{align*}
	pro které platí
	$$
		\dot{X}^2 + \dot{Y}^2 = r^2 + \dot{r}^2.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Objem a povrch rotující křivky dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$]
	Nechť $\{ [X(t), Y(t)]: t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$~spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
	Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$x$ je dán vzorcem
	$$
	V = \pi\int\limits_\alpha^\beta Y^2(t)\dot{X}(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$]
	Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $Y$ je prostá, $\dot{Y}$ spojitá a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
	Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$y$ je dán vzorcem
	$$
	V = \pi\int\limits_\alpha^\beta X^2(t)\dot{Y}(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
 
%\subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$]
	Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
	Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem
	$$
	P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta Y(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$]
	Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $Y$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
	Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem
	$$
	P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta X(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t.
	$$
	\end{theorem}