Verze z 14. 9. 2011, 16:58

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}}
\subsection{Definice}
 
	\begin{define}[Křivka daná parametricky]
	Nechť $x(t)$ a $y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. 
	Pak množinu bodů
	$$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$
	nazvýváme křivkou danou parametricky.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}}
		}
		Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$.
		&
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}}
		Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$
		}
	\end{tabular}
	\end{center}
 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{p{0.98\textwidth}}
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}}
		}
		Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$
 
	\end{tabular}
	\end{center}
 
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Rovnice tečny]
	Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $\dot{x}(t)$ a $\dot{y}(t)$ existují
	na $(\alpha, \beta)$ a nechť je alespoň jedna z derivací $\dot{x}t_0$ a $\dot{y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě
	$[x(t_0), y(t_0)]$ je 
	$$
	\dot{y}(t_0)(x-x(t_0)) = \dot{x}(t_0)(y-y(t_0)).
	$$
	\begin{proof}
	\begin{enumerate}
	 \item Nechť $\dot{x}(t_0) \neq 0$:\\
	Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[x(t_0),y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[x(t_0+h),y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. 
	Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici
	$$
		k_s(h) = \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) }.
	$$
	Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[x(t_0),y(t_0)]$:
	$$
		k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = 
		\lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } = 
		\lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } \frac{h}{h} = 
		\frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)}
	$$
	Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny
	$$
		q = y_(t_0) - kx(t_0) = y(t_0) - \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} x(t_0).
	$$
	Odtud dostáváme tvrzení věty.
	\item Je-li $\dot{x}(t_0) = 0$, pak $x(t) = x(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = x(t_0)$.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Plocha v křivce dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Plocha v křivce]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom plocha vymezená křivkou a osou x je  dána vzorcem
	$$
	A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)\dot{x}(t)\ud t.
	$$
	\begin{proof}
	Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $X(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = X^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis 
	$$
		f(x) = y(t) = y(X^{-1}(x)).
	$$
	Plocha pod grafem funkce $f$ je
	$$
		A = \int\limits_a^b f(x) \ud x,
	$$
	kde $a=X^{-1}(\alpha)$ a $b=X^{-1}(\beta)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Délka křivky daná parametricky}
 
	\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky}
	Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $(\alpha, \beta)$. 
	Délka křivky dané parametricky je dán vzorcem
	$$
	L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t.
	$$
	\begin{proof}
	Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]q$. 
	Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$:
	\begin{equation*}
	\begin{split}
		d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2}
		\\
		=(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}.
	\end{split}
	\end{equation*}
	Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$:
	$$
		d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}.
	$$
	Označíme-li 
	\begin{align*}
	m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\
	M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},
	\end{align*}
	dostaneme odhad pro $d_k$
	$$
		 m_k \leq (t_k-t_{k-1}) d_k \leq  (t_k-t_{k-1}) M_k,
	$$
	tj. po vysčítání přes $k$
	$$
		s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}(\varsigma)} \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}(\varsigma)}.
	$$
	Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty.
 	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích]
	Délka křivky v polárních souřadnicích
	$$
		L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. 
	$$
	\begin{proof}
	Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy
	\begin{align*}
	x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ 
	y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi,
	\end{align*}
	pro které platí
	$$
		\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2 + \dot{r}^2.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Objem rotující křivky daná parametricky}
 
	\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem
	$$
	V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem
	$$
	V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Povrch rotující křivky daná parametricky}
 
	\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem
	$$
	P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem
	$$
	P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t.
	$$
	\end{theorem}