Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Zobecněný Riemannův integrál}
\subsection{Definice}
\begin{remark}
Pro $f$- spojitou na $[a,b]$ jsme v zimním semestru definovali určitý (též vlastní) Riemannův integrál. V této kapitole budeme pro tento integrál používat symbol $\rint$.
\end{remark}
\begin{define}[Zobecněný (nevlastní) Riemannův integrál]~\\
Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkci $f$ platí, že
$\left(\forall x \in [a,b)\right)\left(\exists \rint\limits_a^x f(t)\ud t\right)$, resp.
$\left(\forall x \in (a,b]\right)\left(\exists \rint\limits_x^b f(t)\ud t\right)$.
Existuje-li konečná limita
$\lim\limits_{x \to a+} \rint\limits_x^b f(t)\ud t$, resp.
$\lim\limits_{x \to b-} \rint\limits_a^x f(t)\ud t$,
nazýváme tuto limitu zobecněným (též nevlastním) Riemannovým integrálem a značíme
$\int\limits_a^b f(t)\ud t$.
\end{define}
\begin{define}[Kritický bod]~\\
Bod $a \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ nazveme kritickým bodem integrálu $\int\limits_a^b f(x) \ud x$, kde $b \in \R$, jestliže $a=+\infty$ nebo $a=-\infty$ nebo $a \notin D_f$.
\end{define}
\begin{define}
Buď funkce $f$ spojitá na intervalu $[a,b]$ kromě bodu $c\in(a,b)$ a nechť $\lim\limits_{x\to c} |f(x)| = +\infty$. Řekneme, že nevlastní integrál $\int\limits_a^b f$ konverguje,
právě když konvergují integrály $\int\limits_a^c f $ a $\int\limits_c^b f$.
\end{define}
\subsection{Kritéria konvergence}
\begin{theorem}~\\
$\int\limits_0^1 \frac{1}{x^p} \ud x $ konverguje pro $p<1$ a diverguje pro $p \geq 1$. \\
$\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \ud x $ konverguje pro $p>1$ a diverguje pro $p \leq 1$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Srovnávací kritérium]~\\
Buď $b$ kritickým bodem integrálu $\int\limits_a^b f$. Nechť pro $f$ a $g$ platí:
\begin{enumerate}
\item $\exists \rint\limits_a^x f$ a $\exists \rint\limits_a^x f$ pro $\forall x \in [a,b)$,
\item $\left(\forall x\in (a,b)\right)\left(0 \leq f(x) \leq g(x) \right)$.
\end{enumerate}
Potom
\begin{align}
\int\limits_a^b g \hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow \quad \int\limits_a^b f \hbox{~~konverguje}, \\
\int\limits_a^b f \hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow \quad \int\limits_a^b g \hbox{~~diverguje}.
\end{align}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Podílové kritérium]~\\
Buď $b$-kritický bod integrálu $\int\limits_a^b f$. Nechť pro $f$ a $g$ platí:
\begin{enumerate}
\item $\exists \rint\limits_a^x f$ a $\exists \rint\limits_a^x f$ pro $\forall x \in [a,b)$, \\
\item $\left(\forall x\in (a,b)\right)\left(f(x)\geq 0 \wedge g(x) \geq 0 \right)$, \\
\item $\exists \lim\limits_{x\to b-} \frac{f(x)}{g(x)} = c \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$.\\
\end{enumerate}
Potom platí: \\
i. Pokud $0<c<+\infty$, pak: $\int\limits_a^b f$ konverguje $\Leftrightarrow$ $\int\limits_a^b g$ konverguje. \\
ii. Pokud $c>0$, pak: $\int\limits_a^b g$ diverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ diverguje. \\
iii. Pokud $c<+\infty$, pak: $\int\limits_a^b g$ konverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ konverguje.
\end{theorem}
\subsection{Výpočet zobecněného integrálu}
\begin{theorem}[Newtonova formule]~\\
Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkci $f$ platí:\\
1. $\left(\forall x \in [a,b)\right)\left(\exists \rint\limits_a^x f(t)\ud t\right)$, resp.
$\left(\forall x \in (a,b]\right)\left(\exists \rint\limits_x^b f(t)\ud t\right)$, \\
2. k funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na intervalu $(a,b)$, \\
3. existuje konečná limita $\lim\limits_{x\to a+} F(x)$, resp. $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$. \\
Potom integrál $\int\limits_a^b f(t) \ud t$ konverguje a platí
\be
\int\limits_a^b f(t) \ud t = \lim\limits_{x\to b-}F(x) - \lim\limits_{x\to a+}F(x).
\ee
\end{theorem}
\begin{theorem}[Metoda per partes]~\\
Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkce $fg'$ a $f'g$ platí:
\begin{enumerate}
\item[1a.] $\left(\forall x \in [a,b)\right)\left(\exists \rint\limits_a^x f(t)g'(t) \ud t \wedge \exists \rint\limits_a^x f'(t)g(t) \ud t \right)$,
\item[1b.] $\left(\forall x \in (a,b]\right)\left(\exists \rint\limits_x^b f(t)g'(t) \ud t \wedge \exists \rint\limits_x^b f'(t)g(t) \ud t \right)$,
\item[2.] existují a jsou konečné limity $\lim\limits_{x \to a+} f(x)g(x)$ a $\lim\limits_{x \to b-} f(x)g(x)$,
\item[3.] existuje alespoň jeden z integrálů $\int\limits_a^b f(t)g'(t) \ud t$ a $\int\limits_a^b f'(t)g(t) \ud t$. \\
\end{enumerate}
Potom existuje i druhý integrál z bodu 3 a platí:
\be
\int\limits_a^b f'(t)g(t) \ud t = \lim\limits_{x \to b-} f(x)g(x) - \lim\limits_{x \to a+} f(x)g(x) -
\int\limits_a^b f(t)g'(t) \ud t.
\ee
\end{theorem}
\begin{theorem}[Metoda substituce]~\\
Buď $b$-kritický bod integrálu $\int\limits_a^b f$ a nechť pro funkce $f$ a $\varphi$ platí:
\begin{enumerate}
\item $f$ - spojitá v intervalu $(a,b)$,
\item $\varphi$ ostře monotonní a má spojitou derivaci v intervalu $[\alpha, \beta)$.
\item $\varphi([\alpha,\beta)) = [a,b)$ tak, že $a=\varphi(\alpha)$ a $b=\lim\limits_{\xi \to \beta-}\varphi(\xi)$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\be
\int\limits_a^b f(t) \ud t = \int\limits_\alpha^\beta f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\ud t.
\ee
\end{theorem}
