Matematika2:Kapitola10

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:03, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2} \section{Mocninné Řady} \subsection{Konvergence} \begin{define}[Mocninná řada]~\\ Buď $\{a_n \}$ posloupnost reálných čísel a $a \...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201116:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201519:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 6. 2. 202215:05 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 6. 2. 202215:06 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 6. 2. 202215:06 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyFucikrad 6. 2. 202215:07 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 6. 2. 202215:08 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 25. 4. 202215:28 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201214:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 6. 4. 202308:47 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 24. 5. 202211:01 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 20. 4. 202210:15 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 6. 2. 202215:10 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Mocninné Řady}
 
\subsection{Konvergence}
 
\begin{define}[Mocninná řada]~\\
 Buď $\{a_n \}$ posloupnost reálných čísel a $a \in \R$. Řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ se nazývá mocninnou řadou se středem v bodě $a$.
\end{define}
 
\begin{define}[Konvergence mocninné řady na intervalu]~\\
 Řekneme, že mocninná řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje na množině $I$, jestliže pro každé $x_0 \in I$ je řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x_0-a)^n$ konvergentní. Množině $I$ pak říkáme obor konvergence mocninné řady.
\end{define}
 
\begin{theorem}~\\
 Jestliže $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje v bodě $x_0 \neq a$, pak konverguje absolutně pro každé $x \in (a-x_0,a+x_0)$, tj. $|x-a| < |x_0-a|$. Naopak, jestliže řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ diverguje v bodě $x_0$, pak pro každé $x \in (-\infty,a-x_0)\cup(a+x_0,+\infty)$, tj. $|x-a| > |x_0-a|$,  řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}$ diverguje.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}~\\\label{vPol}
 Pro každou mocninnou řadu $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ existuje právě jedno $r$, $0 \leq r \leq +\infty$ tak, že řada 
\begin{enumerate}
 \item Konverguje absolutně pro všechna $x$ taková, že $|x-a| < r$
 \item Diverguje pro všechna $x$ taková, že $|x-a| > r$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{define}[Poloměr konvergence]~\\
 Symbol $r$ z věty \ref{vPol} nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady se středem v bodě $a$.
\end{define}
 
\begin{theorem}[Cauchy-Hadamard]~\\
 Pro poloměr konvergence mocninné řady $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ platí, že
\be
  r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
\ee
resp. $r=0$ pokud $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty$, resp. $r=+\infty$, pokud $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0$
\end{theorem}
 
\pzp 
Poznámky ohledně definice $\limsup\limits_{n\to+\infty}a_n$, příklady nalezení oboru konvergence mocninné řady.
 
\subsection{Derivování mocninných řad}
 
\begin{theorem}~\\
 Nechť $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje na $(a-r,a+r)$. Potom řada $$\frac{\ud}{\ud x} \left( \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n(x-a)^n \right) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}na_n(x-a)^{n-1}$$ také konverguje na $(a-r,a+r)$, tj. konvergentní mocninné řady lze derivovat člen po členu.
\end{theorem}
 
\subsection{Integrace mocninných řad}
 
\begin{theorem}~\\
 Nechť $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje na $(a-r,a+r)$. Pak $g(x)= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ konverguje na $(a-r,a+r)$ a platí, že $\int f = g + C$, tj.
$$
  \int \sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n~ \ud x = 
  \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}+C.
$$
\end{theorem}
 
\subsection{Vlastnosti mocninných řad}
 
\begin{theorem}[Abelova]~\\
 Nechť $f$ je součtová funkce mocninné  řady $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$. Pokud je $f$ spojitá v krajním bodě oboru konvergence mocninné řady $a-r$, resp. $a+r$, pak řada v tomto bodě konverguje k $f(a-r)$, resp. $f(a+r)$.
\end{theorem}
 
 
\begin{theorem}~\\
 V oboru konvergence je mocninná řada Taylorovou řadou své součtové funkce.
\end{theorem}