Matematika1Priklady:Kapitola7

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:14, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Aplikace integrálů} \begin{enumerate} \item Nalezněte plochu mezi grafem fce f a osou x \begin{enumerate} \begin{p...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1Priklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1PrikladyFucikrad 18. 9. 201107:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:44
Header editovatHlavičkový souborPitrazby 23. 2. 201610:53 header.tex
Kapitola1 editovatLimity a spojitostPitrazby 25. 10. 201608:25 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatDerivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptotyFucikrad 16. 7. 202011:14 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVyšetřování funkcíFucikrad 30. 11. 202011:43 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatExtremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexeFucikrad 12. 2. 201912:31 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatNeurčité integrály a primitivní funkceFucikrad 18. 12. 201716:48 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatUrčité integrályPitrazby 28. 4. 201611:29 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAplikace integrálůFucikrad 14. 12. 202017:33 kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Aplikace integrálů}
 
\begin{enumerate}
  \item Nalezněte plochu mezi grafem fce f a osou x
  \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      f(x) = 2 + x^3; x \in \langle0, 1\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      f(x) = (2x^2+1)^2; x \in \langle 0, 1 \rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      f(x) = \sin x; x \in \Big\langle \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi
      \Big\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in \langle0, 2\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in \langle1, 2\rangle
    \end{priklad}
  \end{enumerate}
  $[\frac{9}{4}; \frac{47}{15}; \frac{1}{2}; \frac{13}{3}; \frac{39}{400}]$
 
  \item Nalezněte plochu sevřenou mezi grafy fcí
  \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      y = \sqrt x; y = x^2
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = 5x^2; y = 3-x
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = x; x^3-10y^2=0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = x; y = 2x; y =4
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \cos x; y = 4x^2 - \pi^2
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \cos^2(\pi x); y = \sin^2(\pi x); x = 0; x = \frac{1}{4}
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = 2^x; y = 2; x = 0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = (x+1)^2; x = \sin(\pi y); y = 0; 0\le y\le 1
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = x; y = x + \sin^2 x; 0 \le x \le \pi
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      4x = 4y -y^2; 4x-y = 0
    \end{priklad}
  \end{enumerate}
  $[\frac{1}{3}; \frac{a}{2}; 10; 4; 2 + \frac{2}{3}\pi^3; \frac{\pi}{2}; 2-\frac{1}{\ln 2}; \frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}; \frac{\pi}{2}; \frac{a}{8}]$
 
  \item{Nalezněte objem rotačního tělesa (rotace dle osy x)}
  \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      y = x^2; y = 9
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = x^3; xy=10; y=1
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \sqrt{4-x^2}; y = 0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = x; y =2x - x^3
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      x^2 +(y-b)^2 = a^2; 0 < a \le b
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \frac{1}{1+x^2}; y = 0; -1 \le x \le 1
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \cos x; y=2 \cos x; -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = e^x -1 ; y =2; x =0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
    \end{priklad}
  \end{enumerate}
  $[\frac{1944}{5} \pi; \frac{3790}{21} \pi; \frac{32}{3} \pi; \frac{12}{35} \pi; 2 \pi ^2 a^2b; \frac{\pi}{4}(\pi+2); \frac{3}{2}\pi^2; \pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4); \frac{4}{3} \pi a b^2]$
 
  \item Nalezněte objme rotačního tělesa (rotace dle osy y)
  \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      x = y^3; x = 8; y = 0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \sqrt x; y = x^3
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      x = y^2; x = 2-y^2
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = x; y = 2x-x^3
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y^3-y = x; x =0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \cos x; y = 2 \cos x; -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
    \end{priklad}
  \end{enumerate}
  $[\frac{768}{7} \pi; \frac{2}{5}\pi; \frac{10}{3} \pi; \frac{4}{15} \pi; \frac{16}{105}\pi; \pi^2-2\pi; \frac{4}{3}\pi a^2b]$
 
  \item Spočtěte
  \begin{enumerate}
    \item Objem koule
    \item Objem kulové sféry o tloušťce $t$
  \end{enumerate}
 
  \item Spočtěte délku křivky
  \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      y = x \sqrt x; x \in \langle0, 4\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \ln x; x \in \langle \sqrt 3, \sqrt 8 \rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big); x \in \langle0, b\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y; x \in \langle1,
      e\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}; 0 \le x \le b < a
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \ln \cos x; 0 \le x \le a < \frac{\pi}{2}
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} -
      4\sqrt{ax}; 0 \le x \le b < 0
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}; 0
      < b \le y \le a
    \end{priklad}
 
    \item Délku kružnice
    \item Délku elipsy
  \end{enumerate}
 
  $[\frac{8}{27}(10 \sqrt 10 -1); 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}; a \sinh \frac{b}{a}; \frac{e^2+1}{4}; a \ln \frac{a+b}{a-b} -b; \ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|; 2a \ln \frac{a}{a-b} -b; a \ln \frac{a}{b}]$
 
  \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vzniknou rotací křivek kolem osy x
  \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      y = \sin x; x \in \langle0, \pi \rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = \frac{1}{x}; 0 < a \le x \le b
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y^2 +4x = 2 \ln y; y \in \langle 1, 2 \rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y = a \cos \frac{\pi x}{2b}; x \in \langle-b, b\rangle
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      y^2 = 2px; x \in \langle0, b\rangle
    \end{priklad}
  \end{enumerate}
 
  $[2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2)); 3\pi/16 (9- 8 \ln 2);2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2}); 2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}; 2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)]$
 
  \item Spočtěte povrch toru (duše)  $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$\\
  $[4\pi^2ab]$
 
  \item Obsahy ploch, které vzniknou rotací grafů následujících
  křivek kolem osy y.
   \begin{enumerate}
    \begin{priklad}
      y^2 = 2px;~0\le x \le b
    \end{priklad}
 
    \begin{priklad}
      \frac{x^2}{a^2} \cdot \frac{y^2}{b^2};~ a\ge b
    \end{priklad}
 
   \end{enumerate}
 
   $[\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big);~ 2\pi a^2 + \frac{2\pi b^2}{k}\ln{(\frac{a}{b}(1 + k))};k = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}]$
 
  \item Spočtěte povrchy válce, koule, kužele.
 
  \item Nalezněte l, znáte-li:
   \begin{enumerate}
     \begin{priklad}
     l'(x) = 2x - 1; l(3) = 4
     \end{priklad}
 
     \begin{priklad}
     l''(x) = \cos {x}; l'(0) = 1; l(0) = 2
     \end{priklad}
 
     \begin{priklad}
     l''(x) = bx - 2; l'(0) = 1; l(0) = 2
     \end{priklad}
 
     \begin{priklad}
     l''(x) = 2x - 3; l(2) = -1; l(0) = 3
     \end{priklad}
 
   \end{enumerate}
 
   $[x^2 - x - 2; x - \cos{x} + 3; x^3 - x^2 + x + 2; \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{x}{3} + 3]$
 
  \end{enumerate}
 
\pagebreak