Matematika1Priklady:Kapitola7: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Aplikace integrálů} \begin{enumerate} \item Nalezněte plochu mezi grafem fce f a osou x \begin{enumerate} \begin{p...)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
 
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
 
\section{Aplikace integrálů}
 
\section{Aplikace integrálů}
   
+
 
 +
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
 +
V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány.
 +
 
 +
\begin{itemize}
 +
\item Spočtěte povrch toru (duše) $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$
 +
\res{$4\pi^2ab$}
 +
 
 +
\end{itemize}
 +
 
 +
 
 +
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 +
 
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
  \item Nalezněte plochu mezi grafem fce f a osou x
+
 
  \begin{enumerate}
+
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ na intervalu $[-\pi,\pi]$.
    \begin{priklad}
+
Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu $[0,\pi]$ ?
      f(x) = 2 + x^3; x \in \langle0, 1\rangle
+
\res{$\frac43$}
    \end{priklad}
+
 
+
\item Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené $y=2x-x^2$ a $y=0$ kolem osy $x$.
    \begin{priklad}
+
\res{$\pi$16/15}
      f(x) = (2x^2+1)^2; x \in \langle 0, 1 \rangle
+
 
    \end{priklad}
+
\item Jaká je délka grafu funkce $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ ?
+
\res{$\pi/2$}
    \begin{priklad}
+
 
      f(x) = \sin x; x \in \Big\langle \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi
+
\item
      \Big\rangle
+
Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru $R$.
    \end{priklad}
+
 
+
\res{$V = \pi R^3 4/3$, $P = 4\pi R^2$.}
    \begin{priklad}
+
 
      f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in \langle0, 2\rangle
+
\item
    \end{priklad}
+
Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte
+
objem a povrch pláště kužele o výšce $a$ a poloměru podstavy $r$.
    \begin{priklad}
+
 
      f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in \langle1, 2\rangle
+
\res{$V = (\pi r^2 v )/ 3$, $P = \pi r \sqrt{v^2+r^2}$}
    \end{priklad}
+
 
  \end{enumerate}
+
\item Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte
  $[\frac{9}{4}; \frac{47}{15}; \frac{1}{2}; \frac{13}{3}; \frac{39}{400}]$
+
obvod kruhu o poloměru $R$.
+
 
  \item Nalezněte plochu sevřenou mezi grafy fcí
+
\item Spočtěte délku křivky $\displaystyle f(x) = x \sqrt x$, $x \in [ 0, 4 ]$.
  \begin{enumerate}
+
 
    \begin{priklad}
+
\res{${\frac {80}{27}}\,\sqrt {10}-{\frac {8}{27}}$}
      y = \sqrt x; y = x^2
+
 
    \end{priklad}
+
\item
+
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
    \begin{priklad}
+
\begin{priklad}
      y = 5x^2; y = 3-x
+
f(x) = 2 + x^3; x \in [0, 1].
    \end{priklad}
+
\end{priklad}
+
\res{$\frac94$}
    \begin{priklad}
+
 
      y = x; x^3-10y^2=0
+
\item
    \end{priklad}
+
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
+
\begin{priklad}
    \begin{priklad}
+
f(x) = (2x^2+1)^2; x \in [0, 1]
      y = x; y = 2x; y =4
+
\end{priklad}
    \end{priklad}
+
\res{$\frac{47}{15}$}
+
 
    \begin{priklad}
+
\item
      y = \cos x; y = 4x^2 - \pi^2
+
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
    \end{priklad}
+
\begin{priklad}
+
f(x) = \sin x; x \in \Big[ \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi \Big].
    \begin{priklad}
+
\end{priklad}
      y = \cos^2(\pi x); y = \sin^2(\pi x); x = 0; x = \frac{1}{4}
+
\res{$\frac{1}{2}$}
    \end{priklad}
+
 
+
\item
    \begin{priklad}
+
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
      y = 2^x; y = 2; x = 0
+
\begin{priklad}
    \end{priklad}
+
f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in [0, 2].
+
\end{priklad}
    \begin{priklad}
+
\res{$\frac{13}{3}$}
      y = (x+1)^2; x = \sin(\pi y); y = 0; 0\le y\le 1
+
 
    \end{priklad}
+
\item
+
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
    \begin{priklad}
+
\begin{priklad}
      y = x; y = x + \sin^2 x; 0 \le x \le \pi
+
f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in [1, 2].
    \end{priklad}
+
\end{priklad}
+
\res{$\frac{39}{400}$}
    \begin{priklad}
+
 
      4x = 4y -y^2; 4x-y = 0
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
    \end{priklad}
+
\begin{priklad}
  \end{enumerate}
+
y = \sqrt x
  $[\frac{1}{3}; \frac{a}{2}; 10; 4; 2 + \frac{2}{3}\pi^3; \frac{\pi}{2}; 2-\frac{1}{\ln 2}; \frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}; \frac{\pi}{2}; \frac{a}{8}]$
+
\end{priklad}
+
a
  \item{Nalezněte objem rotačního tělesa (rotace dle osy x)}
+
\begin{priklad}
  \begin{enumerate}
+
y = x^2.
    \begin{priklad}
+
\end{priklad}
      y = x^2; y = 9
+
\res{$\frac{1}{3}$}
    \end{priklad}
+
 
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
    \begin{priklad}
+
\begin{priklad} y = x^2 \end{priklad}
      y = x^3; xy=10; y=1
+
a
    \end{priklad}
+
\begin{priklad} y = 4x-3. \end{priklad}
+
\res{$\frac{4}{3}$}
    \begin{priklad}
+
 
      y = \sqrt{4-x^2}; y = 0
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
    \end{priklad}
+
\begin{priklad}
+
y = x
    \begin{priklad}
+
\end{priklad}
      y = x; y =2x - x^3
+
a
    \end{priklad}
+
\begin{priklad}
+
x^3-10y^2=0.
    \begin{priklad}
+
\end{priklad}
      x^2 +(y-b)^2 = a^2; 0 < a \le b
+
\res{10}
    \end{priklad}
+
 
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
    \begin{priklad}
+
\begin{priklad}
      y = \frac{1}{1+x^2}; y = 0; -1 \le x \le 1
+
y = x,
    \end{priklad}
+
\end{priklad}
+
\begin{priklad}
    \begin{priklad}
+
y = 2x
      y = \cos x; y=2 \cos x; -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}
+
\end{priklad}
    \end{priklad}
+
a
+
\begin{priklad}
    \begin{priklad}
+
y =4.
      y = e^x -1 ; y =2; x =0
+
\end{priklad}
    \end{priklad}
+
\res{4}
+
 
    \begin{priklad}
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
      \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
+
\begin{priklad}
    \end{priklad}
+
y = \cos x
  \end{enumerate}
+
\end{priklad}
  $[\frac{1944}{5} \pi; \frac{3790}{21} \pi; \frac{32}{3} \pi; \frac{12}{35} \pi; 2 \pi ^2 a^2b; \frac{\pi}{4}(\pi+2); \frac{3}{2}\pi^2; \pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4); \frac{4}{3} \pi a b^2]$
+
a
+
\begin{priklad}
  \item Nalezněte objme rotačního tělesa (rotace dle osy y)
+
y = 4x^2 - \pi^2.
  \begin{enumerate}
+
\end{priklad}
    \begin{priklad}
+
\res{$2 + \frac{2}{3}\pi^3$}
      x = y^3; x = 8; y = 0
+
 
    \end{priklad}
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
+
\begin{priklad}
    \begin{priklad}
+
y = \cos^2(\pi x)
      y = \sqrt x; y = x^3
+
\end{priklad}
    \end{priklad}
+
a
+
\begin{priklad}
    \begin{priklad}
+
y = \sin^2(\pi x)
      x = y^2; x = 2-y^2
+
\end{priklad}
    \end{priklad}
+
pro $x\in[0,\frac14]$.
+
\res{$\frac{\pi}{2}$}
    \begin{priklad}
+
 
      y = x; y = 2x-x^3
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
    \end{priklad}
+
\begin{priklad}
+
y = 2^x,
    \begin{priklad}
+
\end{priklad}
      y^3-y = x; x =0
+
\begin{priklad}
    \end{priklad}
+
y = 2
+
\end{priklad}
    \begin{priklad}
+
a
      y = \cos x; y = 2 \cos x; -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}
+
\begin{priklad}
    \end{priklad}
+
x = 0.
+
\end{priklad}
    \begin{priklad}
+
\res{$2-\frac{1}{\ln 2}$}
      \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
+
 
    \end{priklad}
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
  \end{enumerate}
+
\begin{priklad}
  $[\frac{768}{7} \pi; \frac{2}{5}\pi; \frac{10}{3} \pi; \frac{4}{15} \pi; \frac{16}{105}\pi; \pi^2-2\pi; \frac{4}{3}\pi a^2b]$
+
y = (x+1)^2
+
\end{priklad}
  \item Spočtěte
+
a
  \begin{enumerate}
+
\begin{priklad}
    \item Objem koule
+
x = \sin(\pi y)
    \item Objem kulové sféry o tloušťce $t$
+
\end{priklad}
  \end{enumerate}
+
pro $y\in[0,1]$.
+
 
  \item Spočtěte délku křivky
+
\res{$\frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}$}
  \begin{enumerate}
+
 
    \begin{priklad}
+
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
      y = x \sqrt x; x \in \langle0, 4\rangle
+
\begin{priklad}
    \end{priklad}
+
y = x
+
\end{priklad}
    \begin{priklad}
+
a
      y = \ln x; x \in \langle \sqrt 3, \sqrt 8 \rangle
+
\begin{priklad}
    \end{priklad}
+
y = x + \sin^2 x
+
\end{priklad}
    \begin{priklad}
+
pro $x\in[0,\pi]$.
      y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big); x \in \langle0, b\rangle
+
 
    \end{priklad}
+
\res{$\frac{\pi}{2}$}
+
 
    \begin{priklad}
+
\item  
      x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y; x \in \langle1,
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
      e\rangle
+
$y = x^2$ a $y = 9$ okolo osy $x$.
    \end{priklad}
+
 
+
\res{$\frac{1944}{5} \pi$}
    \begin{priklad}
+
 
      y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}; 0 \le x \le b < a
+
\item
    \end{priklad}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
+
$y = x^3$, $xy=10$ a $y=1$ okolo osy $x$.
    \begin{priklad}
+
 
      y = \ln \cos x; 0 \le x \le a < \frac{\pi}{2}
+
\res{$\frac{3790}{21} \pi$}
    \end{priklad}
+
 
+
\item
    \begin{priklad}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
      y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} -
+
$y = \sqrt{4-x^2}$ a $y = 0$ okolo osy $x$.
      4\sqrt{ax}; 0 \le x \le b < 0
+
 
    \end{priklad}
+
\res{$\frac{32}{3} \pi $}
+
 
    \begin{priklad}
+
\item
      x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}; 0
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
      < b \le y \le a
+
$y = x$ a $y =2x - x^3$ okolo osy $x$.
    \end{priklad}
+
 
+
\res{$\frac{12}{35} \pi$}
    \item Délku kružnice
+
 
    \item Délku elipsy
+
\item
  \end{enumerate}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
+
$y = \frac{1}{1+x^2}$, $y = 0$ a $x\in[-1,1]$ okolo osy $x$.
  $[\frac{8}{27}(10 \sqrt 10 -1); 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}; a \sinh \frac{b}{a}; \frac{e^2+1}{4}; a \ln \frac{a+b}{a-b} -b; \ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|; 2a \ln \frac{a}{a-b} -b; a \ln \frac{a}{b}]$
+
 
+
\res{$\frac{\pi}{4}(\pi+2)$}
  \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vzniknou rotací křivek kolem osy x
+
 
  \begin{enumerate}
+
\item
    \begin{priklad}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
      y = \sin x; x \in \langle0, \pi \rangle
+
$y = \cos x$, $y=2 \cos x$, $x\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
    \end{priklad}
+
okolo osy $x$.
+
 
    \begin{priklad}
+
\res{$\frac{3}{2}\pi^2$}
      y = \frac{1}{x}; 0 < a \le x \le b
+
 
    \end{priklad}
+
\item
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
    \begin{priklad}
+
$y = e^x -1$, $y =2$ a $x =0$ okolo osy $x$.
      y^2 +4x = 2 \ln y; y \in \langle 1, 2 \rangle
+
 
    \end{priklad}
+
\res{$\pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4)$}
   
+
 
    \begin{priklad}
+
 
      y = a \cos \frac{\pi x}{2b}; x \in \langle-b, b\rangle
+
\item
    \end{priklad}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
+
$x = y^3$, $x = 8$, $y = 0$ okolo osy $y$.
    \begin{priklad}
+
 
      y^2 = 2px; x \in \langle0, b\rangle
+
\res{$\frac{128}{7} \pi$}
    \end{priklad}
+
 
  \end{enumerate}
+
\item
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
  $[2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2)); 3\pi/16 (9- 8 \ln 2);2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2}); 2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}; 2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)]$
+
$y = \sqrt x$ a $y = x^3$ okolo osy $y$.
+
 
  \item Spočtěte povrch toru (duše)  $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$\\
+
\res{$\frac{2}{5}\pi$}
  $[4\pi^2ab]$
+
 
+
\item
  \item Obsahy ploch, které vzniknou rotací grafů následujících
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
  křivek kolem osy y.
+
$x = y^2$ a $x = 2-y^2$ okolo osy $y$.
  \begin{enumerate}
+
 
    \begin{priklad}
+
\res{$\frac{10}{3} \pi$}
      y^2 = 2px;~0\le x \le b
+
 
    \end{priklad}
+
 
+
\item
    \begin{priklad}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
      \frac{x^2}{a^2} \cdot \frac{y^2}{b^2};~ a\ge b
+
$y = x$ a $y = 2x-x^3$ okolo osy $y$.
    \end{priklad}
+
 
+
\res{$\frac{4}{15} \pi$}
  \end{enumerate}
+
 
+
\item
  $[\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big);~ 2\pi a^2 + \frac{2\pi b^2}{k}\ln{(\frac{a}{b}(1 + k))};k = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}]$
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
+
$y^3-y = x$ a $x =0$ okolo osy $y$.
  \item Spočtěte povrchy válce, koule, kužele.
+
 
+
\res{$\frac{16}{105}\pi$}
  \item Nalezněte l, znáte-li:
+
 
  \begin{enumerate}
+
\item
    \begin{priklad}
+
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
    l'(x) = 2x - 1; l(3) = 4
+
$y = \cos x$, $y = 2 \cos x$, $x\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
    \end{priklad}
+
okolo osy $y$.
+
 
    \begin{priklad}
+
\item
    l''(x) = \cos {x}; l'(0) = 1; l(0) = 2
+
Spočtěte délku grafu
    \end{priklad}
+
$y = \ln x$, kde $x \in [\sqrt 3, \sqrt 8]$.
+
 
    \begin{priklad}
+
%\res{$\frac{8}{27}(10 \sqrt 10 -1)$} % odkud to je????
    l''(x) = bx - 2; l'(0) = 1; l(0) = 2
+
\res{$1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$}
    \end{priklad}
+
 
+
\item
    \begin{priklad}
+
Spočtěte délku grafu
    l''(x) = 2x - 3; l(2) = -1; l(0) = 3
+
$y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big)$, kde $x \in [0, b]$.
    \end{priklad}
+
 
+
\res{$a \sinh \frac{b}{a}$}
  \end{enumerate}
+
 
+
\item
  $[x^2 - x - 2; x - \cos{x} + 3; x^3 - x^2 + x + 2; \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{x}{3} + 3]$
+
Spočtěte délku grafu
+
$x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y$, kde $x \in [1,e]$.
  \end{enumerate}
+
 
+
\res{$\frac{e^2+1}{4}$}
\pagebreak
+
 
 +
\item
 +
Spočtěte délku grafu
 +
$y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}$, kde $x\in[0,b]$ a $b < a$.
 +
 
 +
\res{$a \ln \frac{a+b}{a-b} -b$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte délku grafu
 +
$y = \ln \cos x$, kde $x\in[0,a]$ a $a < \frac{\pi}{2}$.
 +
 
 +
\res{$\ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte délku grafu
 +
$y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} - 4\sqrt{ax}$,
 +
kde $x\in[0, b]$ a $b>0$.
 +
 
 +
\res{$2a \ln \frac{a}{a-b} -b$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte délku grafu
 +
$x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}$,
 +
kde $y\in[b,a]$ a $0<b < a$.
 +
 
 +
\res{$a \ln \frac{a}{b}$}
 +
 
 +
\item  
 +
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
 +
$y = \sin x$ a  $x \in [0, \pi]$ okolo osy x.
 +
 
 +
\res{$2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2))$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
 +
$y = \frac{1}{x}$,  $x\in[0, b]$ okolo osy x.
 +
 
 +
\res{$3\pi/16 (9- 8 \ln 2)$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
 +
$y^2 +4x = 2 \ln y$$y\in[1, 2]$ okolo osy x.
 +
 
 +
\res{$2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2})$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
 +
$y = a \cos \frac{\pi x}{2b}$,  $x\in[-b, b]$ okolo osy x.
 +
 
 +
\res{$2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}$}
 +
 
 +
\item
 +
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
 +
$y^2 = 2px$,  $x\in[0, b]$ okolo osy x.
 +
 
 +
\res{$2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)$}
 +
 
 +
 
 +
\item  
 +
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
 +
$y^2 = 2px$,  $x\in[0, b]$ okolo osy y.
 +
 
 +
\res{$\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big)$}
 +
 
 +
\end{enumerate}

Verze z 10. 7. 2011, 11:48

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1Priklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1PrikladyFucikrad 18. 9. 201107:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:44
Header editovatHlavičkový souborPitrazby 23. 2. 201610:53 header.tex
Kapitola1 editovatLimity a spojitostPitrazby 25. 10. 201608:25 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatDerivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptotyFucikrad 16. 7. 202011:14 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVyšetřování funkcíFucikrad 30. 11. 202011:43 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatExtremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexeFucikrad 12. 2. 201912:31 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatNeurčité integrály a primitivní funkceFucikrad 18. 12. 201716:48 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatUrčité integrályPitrazby 28. 4. 201611:29 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAplikace integrálůFucikrad 14. 12. 202017:33 kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Aplikace integrálů}
 
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány.
 
\begin{itemize}
\item Spočtěte povrch toru (duše)  $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$
\res{$4\pi^2ab$}
 
\end{itemize}
 
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
\begin{enumerate}
 
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ na intervalu $[-\pi,\pi]$. 
Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu $[0,\pi]$ ? 
\res{$\frac43$}
 
\item Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené $y=2x-x^2$ a $y=0$ kolem osy $x$.
\res{$\pi$16/15}
 
\item Jaká je délka grafu funkce $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ ?
\res{$\pi/2$}
 
\item 
Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru $R$.
 
\res{$V = \pi R^3 4/3$, $P = 4\pi R^2$.}
 
\item
Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte
objem a povrch pláště kužele o výšce $a$ a poloměru podstavy $r$.
 
\res{$V = (\pi r^2 v )/ 3$, $P = \pi r \sqrt{v^2+r^2}$}
 
\item Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte
 obvod kruhu o poloměru $R$.
 
\item Spočtěte délku křivky $\displaystyle f(x) = x \sqrt x$, $x \in [ 0, 4 ]$.
 
\res{${\frac {80}{27}}\,\sqrt {10}-{\frac {8}{27}}$}
 
\item 
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = 2 + x^3; x \in [0, 1].
\end{priklad}
\res{$\frac94$}
 
\item 
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = (2x^2+1)^2; x \in [0, 1]
\end{priklad}
\res{$\frac{47}{15}$}
 
\item 
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sin x; x \in \Big[ \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi \Big].
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
\item 
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in [0, 2].
\end{priklad}
\res{$\frac{13}{3}$}
 
\item 
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in [1, 2].
\end{priklad}
\res{$\frac{39}{400}$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = \sqrt x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = x^2.
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{3}$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad} y = x^2 \end{priklad}
a
\begin{priklad} y = 4x-3. \end{priklad}
\res{$\frac{4}{3}$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
x^3-10y^2=0.
\end{priklad}
\res{10}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = x,
\end{priklad}
\begin{priklad}
y = 2x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y =4.
\end{priklad}
\res{4}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = \cos x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = 4x^2 - \pi^2.
\end{priklad}
\res{$2 + \frac{2}{3}\pi^3$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = \cos^2(\pi x)
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = \sin^2(\pi x)
\end{priklad}
pro $x\in[0,\frac14]$.
\res{$\frac{\pi}{2}$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = 2^x,
\end{priklad}
\begin{priklad}
y = 2
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
x = 0.
\end{priklad}
\res{$2-\frac{1}{\ln 2}$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = (x+1)^2
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
x = \sin(\pi y)
\end{priklad}
pro $y\in[0,1]$.
 
\res{$\frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}$}
 
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = x + \sin^2 x 
\end{priklad}
pro $x\in[0,\pi]$.
 
\res{$\frac{\pi}{2}$}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x^2$ a $y = 9$ okolo osy $x$.
 
\res{$\frac{1944}{5} \pi$}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x^3$, $xy=10$ a $y=1$ okolo osy $x$.
 
\res{$\frac{3790}{21} \pi$}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \sqrt{4-x^2}$ a $y = 0$ okolo osy $x$.
 
\res{$\frac{32}{3} \pi $}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x$ a $y =2x - x^3$ okolo osy $x$.
 
\res{$\frac{12}{35} \pi$}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \frac{1}{1+x^2}$, $y = 0$ a $x\in[-1,1]$ okolo osy $x$.
 
\res{$\frac{\pi}{4}(\pi+2)$}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \cos x$, $y=2 \cos x$, $x\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
okolo osy $x$.
 
\res{$\frac{3}{2}\pi^2$}
 
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = e^x -1$, $y =2$ a $x =0$ okolo osy $x$.
 
\res{$\pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4)$}
 
 
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$x = y^3$, $x = 8$, $y = 0$ okolo osy $y$.
 
\res{$\frac{128}{7} \pi$}
 
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \sqrt x$ a $y = x^3$ okolo osy $y$.
 
\res{$\frac{2}{5}\pi$}
 
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$x = y^2$ a $x = 2-y^2$ okolo osy $y$.
 
\res{$\frac{10}{3} \pi$}
 
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x$ a $y = 2x-x^3$ okolo osy $y$.
 
\res{$\frac{4}{15} \pi$}
 
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y^3-y = x$ a $x =0$ okolo osy $y$.
 
\res{$\frac{16}{105}\pi$}
 
\item 
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \cos x$, $y = 2 \cos x$, $x\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
okolo osy $y$.
 
\item 
Spočtěte délku grafu 
$y = \ln x$, kde $x \in [\sqrt 3, \sqrt 8]$.
 
%\res{$\frac{8}{27}(10 \sqrt 10 -1)$} % odkud to je????
\res{$1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$}
 
\item
Spočtěte délku grafu 
$y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big)$, kde $x \in [0, b]$.
 
\res{$a \sinh \frac{b}{a}$}
 
\item
Spočtěte délku grafu 
$x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y$, kde $x \in [1,e]$.
 
\res{$\frac{e^2+1}{4}$}
 
\item
Spočtěte délku grafu 
$y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}$, kde $x\in[0,b]$ a $b < a$.
 
\res{$a \ln \frac{a+b}{a-b} -b$}
 
\item
Spočtěte délku grafu 
$y = \ln \cos x$, kde $x\in[0,a]$ a $a < \frac{\pi}{2}$.
 
\res{$\ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|$}
 
\item 
Spočtěte délku grafu 
$y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} - 4\sqrt{ax}$,
kde $x\in[0, b]$ a $b>0$.
 
\res{$2a \ln \frac{a}{a-b} -b$}
 
\item
Spočtěte délku grafu 
$x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}$,
kde $y\in[b,a]$ a $0<b < a$.
 
\res{$a \ln \frac{a}{b}$}
 
\item 
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = \sin x$ a  $x \in [0, \pi]$ okolo osy x.
 
\res{$2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2))$}
 
\item 
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = \frac{1}{x}$,  $x\in[0, b]$ okolo osy x.
 
\res{$3\pi/16 (9- 8 \ln 2)$}
 
\item 
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y^2 +4x = 2 \ln y$,  $y\in[1, 2]$ okolo osy x.
 
\res{$2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2})$}
 
\item 
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = a \cos \frac{\pi x}{2b}$,  $x\in[-b, b]$ okolo osy x.
 
\res{$2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}$}
 
\item 
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y^2 = 2px$,  $x\in[0, b]$ okolo osy x.
 
\res{$2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)$}
 
 
\item 
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y^2 = 2px$,  $x\in[0, b]$ okolo osy y.
 
\res{$\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big)$}
 
\end{enumerate}