Matematika1Priklady:Kapitola4

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1Priklady

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu Matematika1Priklady	Fucikrad	18. 9. 2011	08:54
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Admin	7. 9. 2015	14:44
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Fucikrad	27. 4. 2022	09:11	header.tex
Kapitola1	editovat	Limity a spojitost	Pitrazby	25. 10. 2016	09:25	kapitola1.tex
Kapitola2	editovat	Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty	Dvoraro3	4. 11. 2022	22:56	kapitola2.tex
Kapitola3	editovat	Vyšetřování funkcí	Admin	29. 1. 2023	20:44	kapitola3.tex
Kapitola4	editovat	Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe	Admin	3. 4. 2024	11:17	kapitola4.tex
Kapitola5	editovat	Neurčité integrály a primitivní funkce	Dvoraro3	28. 11. 2022	23:16	kapitola5.tex
Kapitola6	editovat	Určité integrály	Pitrazby	28. 4. 2016	12:29	kapitola6.tex
Kapitola7	editovat	Aplikace integrálů	Fucikrad	12. 4. 2022	10:53	kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Aplikace derivace}
 
\begin{enumerate}
  \item Určete rovnice tečen ke křivce $y = x^3+x^2-2x$ v
  průsečících křivky s osou x.\\
  $[6x-y+12 = 0; 2x+y=0; 3x-y-3=0]$
 
  \item Ve kterém bodě má parabola $y = 2x^2+3x-1$ tečnu
    \begin{itemize}
      \item se směrovým úhlem 45 stupňů
      \item rovnoběžnou s přímkou $5x-y+3=0$
      \item kolmou na přímku $x-3y+2=0$
    \end{itemize}
   $[(-1/2, -2); (1/2, 1); (-3/2, -1)]$
 
  \item Určete rovnice tečen ke křivce $y = x^3+x^2 - 6x$ v
  průsečících s osou x.\\
    $[15x-y+45=0; 6x+y=0; 10x-y-20=0]$
 
  \item Je dána parabola $y = x^2 -4x +3$
    \begin{itemize}
      \item určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která
      směrový úhel 45 stupňů
      \item pomocí derivace určete vrchol paraboly
    \end{itemize}
    $[(5/2, -3/4); x-y-13/4=0; (2, -1)]$
 
  \item Je dána parabola $y = 1/2x^2+3x+1$
    \begin{itemize}
      \item určete rovnici tečny paraboly v bodě $-2$
      \item ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem
      60 stupňů ?
      \item ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou
      $5x-y-2=0$?
    \end{itemize}
    $[x-y-1=0; (\sqrt3 - 3, -2); (2, 9)]$
 
  \item Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů
  čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální.
 
 
  \item Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má
  nejmenší obvod.
 
  \item Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je $a$ a výška
  $v$ a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková
  deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Určete
  rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maximální.\\
  $[x=a/2; y = v /2]$
 
  \item Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při
  daném objemu $V$ bylo ochlazování páry nejmenší; tj. aby povrch
  válce byl minimální.\\
  $[r = \sqrt[3]{V/{2\pi}}; v = \sqrt[3]{4V/{\pi}}]$
 
  \item Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek
  přepony a odvěsny $k$ určete ten jehož obsah je největší.\\
  $[y=k/3; x = \sqrt3/3 k; \alpha=\pi/6]$
 
  \item Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar
  pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici $200$m pletiva a víme, že
  část plotu budou tvořit stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový
  půdorys má rozměry $a=16m$ a $b=10m$. Jaké rozměry musí mít
  výběh, aby měl co největší obsah?\\
  $[56,5m; 56,5]$
 
  \item Určete rozměry obsahově maximálního obdélníka vepsaného
  elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$\\
  $[a\sqrt2, b\sqrt2]$
 
  \item Určete rozměry objemově maximálního válce vepsaného do
  koule o poloměry $R$.\\
  $[v = 2R/\sqrt3; r=R\sqrt{2/3}]$
 
  \item Z kruhového papíru o poloměru $r$ vystřihněte takovou
  výseč, aby po její slepení vznikl kuželový kornout maximálního
  objemu.\\
  $[\phi=2\pi\sqrt{2/3}]$
 
  \item Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej
  oplotit pletivem délky $60$m a chceme aby obsah byl co
  největší?\\
  $[15 \times 15 = 255]$
 
  \item Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem
  $V=32m^3$, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně
  matriálu?\\
  $[4,4,2]$
 
  \item Ve kterém bodě má graf funkce $y = \sin^2x$ tečnu
  svírající s osou x úhel 45 stupňů?\\
  $[(\pi/4 + k\pi, 1/2); k \in \cal Z]$
 
  \item Ve kterém bodě má grav funkce $y = x e^{-x}$ tečnu
  rovnoběžnou s osou x?\\
  $[(1, e^{-1})]$
 
  \item Do půlkruhu o poloměru $r$ vepište obdélník maximální
  plochy.\\
  $[r\sqrt2, 1/2r\sqrt2]$
 
  \item Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu.
  Délka rámu celého okna je $P$. Při jakých rozměrech bude okno
  propouštět nejvíce světla?\\
  $[2P/(\pi+4), (P-x(\pi/2+1))/2]$
\end{enumerate}
 
\pagebreak